2022-2023学年北京市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

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1、2022-2023学年北京市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .在等差数列包 中，若6=1,%+&=1 0,则()A.3 8 B.3 9 C.4 0 D.4 1【答案】B【分析】根据4=1，/+%=1 0,求出d,然后用公式计算即可.详解在等数列S 中，4 =1，%+%=1 0,所以 2 ai+4 =2 +4 =1 0解得d=2,所以“2。=%+1 9 1 =3 9,故选：B.2 .已 知 数 歹 的 前“项和S,=2 _ 2 +,则%=()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】根据生=$3-$2计算可得【详解】解：因为数列“的前项和工=2-2 +1,所 以%=S3-S2=(32-

2、2X3+1)-(2 2 2X2 +1)=3故选：B3 .已知数列也 是首项为2的等比数列，且公比大于0,4-4=1 2,则 也 的通项公式()A.4=2 B.4=2 x 3 c.4 =2 x 3 T D b=2 x61-【答案】C【分析】设公比为9,由与一外=1 2得到方程，求出q,即可得解.【详解】解：设公比为力由“也=口，所以2寸-2夕=1 2,解得4 =3或4 =-2,又公比大于0,所以4 =3,所以=2 x 3、故选：c 0 =1(。0)2 2 A IC4 .己知双曲线/的渐近线与圆x +夕 一外+3 =0相切，则。=()百A.3 B.6 C.3 D.3【答案】C【分析】求出圆的圆心和

3、半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径，列方程可求出。的值【详解】解：由/+/-”+3 =,得V+(y _ 2)J l,所以圆心为(0,2),半径为1,x2-y y2=1(0)y=-双曲线。的渐近线方程为。，x2-y2 l(a 0)7因为双曲线/的渐近线与圆x+尸-+3=o相切，国=i G G所以3+如,化简得3/=1,解得 3或 3 (舍去)，故选：C邑=5 .设以为等比数列“的前项和，8%+%=0,则$2 ()3 13 1A.-H B.3 C.3 D.9【答案】A=8 =8【分析】根据等比数列的性质可得叫，进而求得公比，由前项和公式即可求解.【详解】设等比数列 /的公比为

4、夕，8=q3=8由 8 a2 +%=0 得：a2，故1 =-2$2 =1 Ss故1-(-2)5-at=H i1-(-2)邑一所以$2故选：A6.已知 4为等差数列，E,为其前项和，若4=6,$3=2，则当=,S,有最大值.（）A.3 B.4 C.3 或 4 D.4 或 5【答案】C【分析】设为等差数列 的公差为”.利用基本量代换求出=一2,结合二次函数的性质即可求得.【详解】设为等差数列S 的公差为，因为=6,$3=2%,所以3x6+33=1 2,解得：d=-2S=6+x(-2)=1n-n所以 2 I,结合二次函数的性质可得：当 =3或 =4 时，S,有最大值12.故选：Cx2 y2,3。：三

5、+=1（。6 0）口 x=-a7.设椭圆/从/的左、右焦点分别为片，石，2 为直线 2上一点招尸耳是底角为3。的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）73A.T1B.2B3C.2 D.4【答案】D【分析】由A片尸耳是底角为3。的等腰三角形，把 归周=山川用a，。表示出来后可求得离心率.【详解】解：由题意可得归用二代名|,玛（。,0）,如图，期 =4户 6=30。，则/P g E =60。,/月PE=30I *=2|%|=2(|c)所以故选：D.8 .设 数 列&的前项和为S,，且 R T 2,3,)，则5“=()A.3(2-J B.-F C.3(4-J D,3(4)【答案】C【分析】利用并项求和

6、和等比数列的求和公式进行求解即可【详解】因为数列MJ的前“项和为，=2LW J=2f1_l=_ L _ L _ J _ .I 3（4 所以 5 2”=（4+，）+3+&）+3“-|+/“）=吩+尹 4故选：can+2 an+l _ 卜9 .如果数列 J满足川&（左为常数），那么数列”叫做等比差数列，%叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）也=2 若数列 满足与，则该数列是等比差数列；数列 2 是等比差数列；所有的等比数列都是等比差数列；存在等差数列是等比差数列.A.B.C.【答案】BD.4+2【分析】根据比等差数列的定义%”册（左为常数），逐一判断是否是等比差数列即可可得到答案.况

7、=2 S1 l _SL =2(,J +l)-2 n =2【详解】数列%满足，则怎+1%满足等比差数列的定义，故正确：数列5 2 ,续_&(+2)-2”+2 (+1).2 的(+1 2 向 -2/（”+2 2-（+1卢2 2 （7 7 4-1）（+1）,不满足等比差数列的定义，故错误；=q-q=0设等比数列的公比为九则.向黑满足等比差数列，故正确；设等差数列的公差为a,+2%+d.一 笳则。向%a+d an a“(a,+d),S1_SL=O故当=0时，满足a,故存在等差数列是等比差数列，即正确；故答案为：故选：B.1 0.已知抛物线C的焦点/到准线/的距离为4,点P是直线/上的动点.若点/在抛物

8、线C上,且1用=6,过 点/作 直 线。尸的垂线，垂足为“，则-川忖石的最小值为（）A.16 B.6 C.2.D.2而【答案】A【分析】先求出抛物线标准方程，得到焦点”2，）,准线/：X=-2和/0 4 0）,设出。（-2,/）,利用向量法表示出归“卜归日，结合二次函数求最值.噌，。）【详解】不妨设抛物线C的 焦 点12）,由抛物线C的焦点尸到准线/的距离为4,可得：P =4,所以抛物线C：y2=8 x,焦点F（2,0）,准线/：x=-2.因为点4在抛物线C上，且1日=6,所以4+，=6,所 以%+2=6,所 以%=4,所 以 =4血 不 妨 取A（4 4夜）点P是直线/上的动点，不妨取,（一

9、2，）.所 以 强=（6,4夜 一）丽=（4一）因 为 丽 为 再 在 丽 上 的 射 影，所 以 网 厘 卜 网H苏网）网平 调 冏=PA-PF=辰 4+&-/1)|十_ 4 6+2 4|=卜 2=-2+1 6+1 62 1 6.(当且仅当 2行 时等号成立)故选：A.二、填空题1 1 .在等差数 列 也 中,已 知 的=3,%=9,则-+为+%+%=.【答案】2 8【分析】设首项为，公差为d，依题意得到方程组，解得、d,即可求出通项公式，从而得解.【详解】解：在等差数列 中4=3,%=9,设首项为七公差为d,则 q+6=9,解 得 脑=2 ,所 以 氏=2-5,所:以4+%+?+旬 =1

10、+5+9+1 3=2 8故答案为：2 81 2 .某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3 个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了 1 0 0 0 名，将所得的满意度的分数分成7 组：30,40),40,50),90,1 0 0 ,整理得到如下频率分布直方图.这1 0 0 0 名用户满意度的第2 5百分位数是频率【答案】54【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.【详解】由已知可得，样本中满意度在区间B Q 4。）内的样本的频率为0.005x10=0.05,样本中满意度在区间 4，50）内的样本的频率为0.010 x10=0.1,样本中满意度在区间

11、B，6）内的样本的频率为0.025x10=0.25,所以样本中满意度在区间 30，5）内的样本的频率为0 1 5,满意度在区间 30，6）内的样本的频率为0.40,故用户满意度的第2 5百分位数在区间 5，6）内，设用户满意度的第25百分位数为x,则0.15+（x-50）x 0.025=0.25 所以 x=54所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.故答案为：54.1 3.在数列S J中，S”是其前项和，且S“=2a”+1,则数列的通项公式为=.【答案】a=2 ,wN.=I【分析】利用 -S T?2,求解数列的通项公式.【详解】当=1时，E=q=2 q+i,解得：4=-1,令 =2

12、时，S2=2a,+l；即|+“2=2。2+1,解得：a,=a,-1=-2；当2 2 时，a“=S,-S“T=2 a+1-1 =2a,-24T,故%=2%,所以N 2时，%为公比为2的等比数列，所以尸 I,显然”=1 时，4=-1满足”=-2 1,综上：a-2 ,W1故答案为：a，=-2i,n e N 14.在数列 中，/=2,Q+/=a+In、则通项公式.【答案】2+ln n【分析】利用累加法求得数列的通项公式.、2【详解】解析：a+/=a+ln1 ,，：2 a/=ln1 U=ln2,的-1+|)I2=山1 7=ln 2,a(4)I4-a3=n=ln,fl+I 2an-an-i=n 1 )=l

13、n.3n以上(1)个等式相加，得劭-4/=ln 2+ln 2 +ln/=ln.ai=2,：a=2+ln n.:句=2+ln 1=2,.：的通项公式为2+ln n.答案：2+ln n.1 5.在棱长为2的正方体4 4 G A 中，过点A 的平面a 分别与棱8 4，CC,(交于点E,尸，G,记四边形 EFG在平面”8片4 上 的 正 投 影 的 面 积 为 四 边 形 NEFG在平面8C C 上的正投影的面积为5 2.给出下面有四个结论：四边形 EFG是平行四边形；S自的最大值为4；+$2的最大值为6：四边形4EFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为2n.则 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序

14、号 是.【答案】【分析】对，根据面面平行的性质定理即可判断答案；建立空间直角坐标系，设BE =a,C F=b,D G =c,然后根据得到“力，的关系，进而判断，然后结合基本不等式判断，最后根据菱形的对角线互相垂直判断.【详解】解：对 ，因为平面NEFG分别与平面8 自、平面,04 4、平面4、平面C D D、C,交于 EF、4 G、A E、G F,易知平面8 C C 4 平面则 4 G/E F,而 平 面/网4平面,则NE/G尸，以A为原点，AB,AD,AAt分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，记点G在 平 面 上 的 投 影 点 为点H ,点F、G在平面/8与4上的投影点分别为点/、人设 8

15、：=a,CF=6,OG=c,其中 0 4“,b,c 4 2,则 E（2,0,a）,尸（2,2,b）,G（0,2,c）,4（0,0,0）所以“E=（2,0,4），GF=（2,0,6-C）,由 可 得 方=次,所以b=a+c,0tz2 0tz+c2则 42,易得s产 B E x B C =2 a,S?=ABxAJ=2 c,所以工+邑=2（a+c）V 4,故错误；5.S,=4 ac 4（|万 卜,4 4+8|fG|=272所以菱形的面积5=及-4。2+8,当。=1时，=x j4 x l+8=2,故正确故答案为：.三、解答题1 6已知函数/(x)=2/Isinxcosx+cos2x-sin2x 求/(

16、X)的最小正周期；(2)若“卜2 ，求函数/(x)的最值.【答案】、(2)最大值为2,最小值为T【分析】(1)将函数转化为f（x）=2 sin（2x+7,利用周期公式求解;c 71 71 71 171X G 0,2x+G,由L 2 ，得到 6 L6 6,再利用正弦函数的性质求解.f (x)=A/3 s i n 2x+c o s 2 x =2 s i n(2 x 4-【详解】（1）解：；T=7 T2/（X）的最小正周期为万.x w呜(2)C 冗2.X H-671 7 万6,6s i n f 2 x +1 G-p1,/（x）e-l,2.JG）的最大值为2,最小值为-1.1 7.己知等差数列“的前

17、项和为S ，且 必=-6,%=-3.（1）求 通项公式及S，的最小值；数 列 例 为等比数列，且4=%,4=即，求数列也 的前项和J数列也，满 足其前 项和为匕，请直接写出鸟。2 2 的 值（无需计算过程）.【答案】（1 产=3-2 4,最小值为S 7=$8=-8 4；（尸款。（3）30 33.【分析】（1）利用基本量代换求出q=-214=3,得到通项公式和前项和公式，利用函数求最值;（2）求出通项公式，进而得到数列出 的前“项和J（3）利用分组求和法求出匕，直接代入求解.【详解】（1）设等差数列何 的公差为因为牝=-6,%=-3,所以q+5 d =_ 6,q+6 d =_ 3,解得：q=_

18、2 1,d =3.所以4=6+(-1)=3 _24(15 Y 675 _(%+/)_(3-45)_ V；2)4所以 2.S-s =(3x8-45)8=.因为 e N,所以当 =7 或 =8时，最 小 值 为-8 2(2)由 可 得：4=%=3 也=%=9,q=%、=3所以等比数列也 的公比为 43,所以4=5=3 .5,(1-1)3(1-3-)T所以等比数列 的前项和“-q 1-32 1)（3）因为数列匕 满足c，=（T）。=（T）（3 2 4）.Pfl=-18)+(15-12)+3 +(-3 +27+3-2 4)=当 为偶数时，2.当 为奇数时，P =(21-18)+(15-12)+-+(-

19、3n+30+3n-27)-(3n-24)=3-(3-24)=2 4-3 +1P“=所以24 誓D,为奇数?为偶数所以尸,亨=3。331 8.如图，四边形4 8 c o 是正方形，尸 4,平面48cQ,EB/PA,AB=PA=4,EB=2,F为（2）求二面角D-P C-E 的大小.（3）在棱尸E上是否存在点用，使得直线。河 与平面 口所成角的正弦值为9?若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；5兀6 ；（3）监 后重合时,符合题意，PM=2店.【分析】（1）以A为原点，4 8，户分别为X，y Z轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量法证明；（2）利用向量法求出二面角-

20、尸C-E的余弦值，得到二面角。-PC-E的大小；（3）利用向量法判断出当与重合时，符合题意，进而求出【详解】（1）因为四边形488是正方形，/_ L平面/8CO,所以以A为原点，而，善,而分别为 方 丁 z轴正方向，建立空间直角坐标系.因为彳8 =尸4 =4,E B=2,/为 的中点，所以“（。，。，0），尸（。，。，4）,。（4,0,。）,。（4,4,0）,8（0,4,0）,E（0,4,2）,尸（2,0,2）所 以 定=（4,4，T）,=（2,0,2）因为 PC/尸=（2,0,2）=4X2 +0 +4X2 =0,所 以 定 J./，即 ZF _ L P C.（2）因 为 平 面Z8 C O,

21、C Z）u平面Z 8 C。，所以/M J.C D.又“尸_ L P C ,力尸C l P 4 =4,4尸u 平面P A D，尸4 u平面P A D,所以C D _ L平面尸/O.因为Z Fu平面产/。，所以Cdk.又ZE _ L P C,C Z）nPC=C CQu 平面P C D PCu平面P C D所以Z尸，平面P C。,即”=（2，2）为面尸。的一个法向量.n-P C=4 x +4 y 4 z =0设”=（%z）为面PCE的一个法向量,则卜P E =0 x +4 k 2 z =0不妨设y=L则=0，i，2）,由图示，二面角O-PC-E为钝角，设其为6,所以C S 0=尸j-I-.1=卜 卜

22、 阴|l x 2 +0 x l+2 x 2|yfiV l2+l2+27x V 22+02 4-22 =T8 _ 5兀 5兀因为e e O,q所 以 一 6 ,即二面角O P C E为6 .V 6（3）假设在棱尸 石 上存在点，使得直线。M与平面PCE所成角的正弦值为9 .设 丽=4而=（0,4 2,-2 7）（0 2 /0）A Z _ n A2 0.已知 椭 圆。b2 的离心率为2,且过点外一2叼.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为左的直线/与椭圆交于不同两点历，N（都不同于点A）,且直线N ,/N的斜率之积等于 1.试问直线/是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由.2 2二+二1

23、【答案】4 3.直线/过定点（一 14）.【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；（2）不妨设直线/：了 =丘+?.设M国乂 *（七，）利用，设而不求法，表示出3 M -kAN=1,得到m=1必.即可得到直线/:y =Mx+14）过定点（一 14,0）【详解】(1)由题意可得:a=2c 1e=a 2解得:a=2%(%,必)联立得:X2/4-=14 3y=kx+m 消去廿得 g+4 K 卜？+8 AT H X+4犷-12=0所以二(8%)2 4 0 +4 左 2刈山2一 12)=4 8(4 无 2一 加 2+3)08km4 加 2一12所以当+2=一 彳 二 中 2=瓦 布%为=1因为直线

24、 V,N的斜率之积等于1,所以e=1,即项+2 X2+2所以（例+m）3+机）=（再 +2）（+2）,整理得：T卜$+（km-2）（x,+x?）+病 _ 4 =0所以(I)、含*(.-2)卜8km3+4 公+m2 4=0,整理得：*7 6 Z T M +28/=0,解得:加=2%或加=14 后当加=2左时，直线/：V =Mx+2)过定点(-2,0),不合题意，舍去;当加=1,4,/,时,，,代 入 A=4 8V(4*2-V(14 7)2+3)/0,解得：_?8 左 0 或 0k8n (因为,=0n时直线/:_ y =(x +2)与椭圆交于长轴顶点，不合题意)，直线/二人6+M)过定点(T 4,

25、0)符合题意.故直线/过定点(-4 ),使得直线Z M,NN的斜率之积等于i.2 1.设满足以下两个条件的有穷数列%,为(”=2,3,4,)阶“数列,，:q+%+/=0；同+同 +|a“|=l.(1)分别写出一个单调递增的3 阶和4阶“数列”;(2)若 2018 阶“数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式;记阶“0 数列”的前k项和为1(%=123,/),求证母设31 1_ 3 1 3【答案】三阶“。数列”：2,0,E；四阶，。数列，：8,8,8 3 十 五2而-20F1(9zCN、,*4 20I 8)(3)证明见解析【分析】(1)借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶 数

26、列”;(2)利用某2 0 1 8阶，。数列，是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可；(3)判断上时;2,然后证明时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.【详解】(1)不妨设其数列为等差数列，因为3阶 数 列”单调递增，则 由 同+同+同=1产+出+%=0可知:4 0，%且4+%+。3=3%=0,解得产2 =0,所以 +%=0,故同+|。2|+|包|=一。1+0 +色=1,a=_ 1a|解得:“一一于的一5,故三阶“0数列，：-2,0 j;同理，不妨设4阶“。数列”为等差数列，公差为，因为4阶“。数列”单调递增,由 q+的+/+%=0 可知:6+%=/+%即2（/+4）=出+%=。

27、所以“I。2 的 0,6+%+.+2 0 1 8=0 .6+2 0 1 8=0.0 0 9 +。1 0 1 0 =0 ,则“1 0 0 9 0 o,根据已知条件得：11a+2 +3+1 0 0 9 二一彳0 1 0+0 1 1 +%0 1 82，2,两式相减得：1 0 0 92 4=1,即一 1 0 0 92 ,“I。2 0 1 8-2 0 1 7J A 2 0 1 7 7 2 0 1 72 0 1 8a+-=0 a,=-d=-?根据 2 ，得 2 2.1 0 0 9-%+(-1)2 10092 y100922/7-2 0192 x l0092(nGN*,w 2 018)|S l =0 -(3)当人=时，显然 2成立;当 3 时,根据条件得&=%+/+%-3+1 +4+2 +/)即|1卜|4+%+4|=|/+怎+2+/|.，国卜同+见+4|+|。*+|+%+?+。,|4同 +同 +|。3|+|。*|+院+1|+|%+2*+|。|=1Js层.【点睛】关键点点睛：定义新数列,要将不熟悉的问题进行转化，转化为我们熟悉的问题，本题中将“数列”转化为等差数列，利用等差数列的性质进行求解较为简单，第三问的难点是利用绝对值三角不等式进行证明.