初中中考总复习数学《分式与二次根式》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

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1、中考总复习：分式与二次根式一巩固练习（基础）【巩 固 练 习】一、选择题1.下列各式与土相等的是（）y2.Ax2A.y+2B.-C.?D.3yx+2旷 2x(2 015 泰安)化简：（a+巫 二！）（1-）的结果等于（a-3a-2A.a -2B.a+2 C.a-2 0 a-3a-3 a-2)3 .若分式J的值是0,则*为(x+1A.0 B.1 C.-14.下列计算正确的是()A.5/8 2=C.(2+75)(2-75)=1D.1B其小3D6-V2=3725.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲

2、型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装5 0 个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）A1000010000 c i nA.1000010000一i n1J.1 uXx+50 x 50Xc1000010000-incnr 10000-10000一i1 UnXx-50 x+50X6.函数y =，2-x +-中自变量X的取值范围是()x 3A.x W 2B.产3 C.x 0,；.x W 2,3不 在 启2的范围内.二、填空题7.【答案】X,V,X,X,J；【解析】_=2；2 x x一算是最简分式；x2+l X-1二 _2 1 _；x

3、2-1 （X -1）（x+1）x+1公1 一 x 1X -12 2 三 士 是 最 简 分 式；a+b只有是最简分式.故答案为：X,V,X,X,V.28.【答案】m-3.【解析】找到最简公分母为（研3）（疗3）,再通分.9.【答案】4.8；【解析】平均速度=总路程+总时间，设从学校到家的路程为s,则 上2 s_ =上2 42s_ =竺2 4$=t2 4=4.8.s s 35+2 s 5 s 5-1-4 61 0.【答案】3；八 _【解析】加4万 是 最 简二次根式.21 1.【答案】T;【解析】根据题意得户3=3x+5,解得产T.1 2 .【答案】（1）；（2）3和4；3【解析】卑 叵 至 亘

4、 等 色 底V 2 7 V 2 7 V 2 7 3（2）&xJ+G =2 +百，因为 1百 2,，32 +百4.三、解答题1 3.【答案与解析】解：(。)+3a2-b2 a2 _ ab a+b:_2_-_1 _ x 9(a+b)(a-b)a(a-b)a.2a_a+b j 义 a+ba(a+b)(a-b)a(a+b)(a-b)a:2 a-(a+b)乂 a+ba(a+b)(a-b)a.11 4.【答案与解析】(1)V a2Ua+l 金a -a+1HI+/+Q-a，+d+1)/+Q，(6 f +1)原式二-A-二-工-二A=-A=(2)(7 2 5-x2-A/1 5-X2)(A/25-X2+(1 5

5、-炉)=1 0也5 4 +J15 J =W =5.215.【答案与解析】4设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款一X元.5根据题意，得3弁00=23吆2+2,解这个方程得x=5.x 4-X5经检验，x=5是原方程解.答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】4三0,由二次根式的定义及分式性质，得/2-214=V 14+-V 2-2V i4=-/2-V i4.2 2中考总复习：分式与二次根式一巩固练习（提高）【巩 固 练 习】一、选择题1.（2 0 1 5春合水县期末）二 次 根 式 谒、V 1 2 a、V x+2 d q o F、Jx 2 +y 2中，最简二次根式有2.3.)个.A.1

6、个 B.2个 C.3个分 式 史 上 自 有 意 义 的 条 件 是（%2）（%1）D.A.x W 2 B.x W l C.x W l 或 x W 2使 分 式x手+上 2等 于0的X的 值 是（）x2-4D.x W l 且 x W 2A.2B.-2C.2D.不存在()4个4.计 算（3+1）2 0 1 2（/2 一 I）?”?的结果是()A.1B.-1C.正+1D.V2-15.小玲每天骑自行车或步行上学，她 上 学 的 路 程 为2 80 0米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑 自行车比步行上学早到30分 钟.设 小 玲 步 行 的 平 均 速 度 为x米/分，根据题意，下面列出的

7、方程正确的是)“2800A.-X2800X(2800二304x理=3。5xn2800D.-4x 2800D.-5x幽=30X刎=30 x6.化 简甲，乙两同学的解法如下:甲：3（氏方）-jM +-商一(/+)(4 -K)=后一近35+及乙:1 =(而+/)(-&)=跖&对他们的解法，正 确 的 判 断 是（）A.甲、乙的解法都正确C.乙的解法正确，甲的解法不正确B.甲的解法正确，乙的解法不正确D.甲、乙的解法都不正确二、填空题7.若a?-6a+9与|b-1|互为相反数，则式子4-（a+b）的值为b a8.若,贝！|加5 一2加4一20 11利3的值是V 20 12-1=6a b（a 0,hO）

8、.其中正3。确的是（填序号）.1x 1-310.当尸_时，分 式 之 的值为0.x +311.（1）若 Jx-l-Jl-x =（x+,则x-y 的值为.（2）若x+y =5,盯=3,则 J j +J?的值为.12.（20 15科左中旗校级一模）观察下列等式：，=_VL2 _m-1&+1（V2+1）（V 2-1），_I_=_73 72_=7 3 -近V 3+V 2（V3+V2）（V 3-V 2）1=waV4+V3（V4+V3）（V4 V 3）=y -V3回答下列问题：（1）化简：1 =_；（n为正整数）Vn+1+7 n（2）利用上面所揭示的规律计算：1+1+1+_1_+_ 1_=1+V2 V2+

9、V3 V3+V4 V2008+V2009 42009+V2010 三、解答题1x213.（1）已知x +=3，求1-的值.X X X+1O 4 1（2）已知/一5 1+1=0和。0,求/+的值.14.（2015 春东莞期末）设 2=后,b=2,c=&.（1）当a有意义时，求x的取值范围.（2）若a、b、c为RS ABC三边长，求x的值.15.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独

10、完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我 们 有 时 会 碰 上 如 之 一样的3-3+1式子，其实我们可以将其进一步化简.5 5 x73V3；(一)Gx g32；（-）2 x(V 3-l)2(7 3-1)V3+r(V3+l)(-l)-(V3)2-l2以上这种化简的步骤叫做分母有理化.V3+1还可以用以下方法化简:3-1 (V3)2-!2(6 +1)(5 1)V3+1 -x/3+l-73+1V 3-1.(四)；百+1（1）请用不同的方法化简 参 照（三）式得V5+V3 参 照（四）式得V 5+V 3(2)化简-1=+广+/=7=+/,V3+1

11、 0,/.=A/.+A/.-y x xy 31 2 .【答案】J n+1 1【解析】（1）1 _ Vn+l -V nVn+1 -V n (Vn+1 -Vn)W n+1+4)=Vn+l _ Vn;故答案为：Vn+1 -V n：V2010 1.-，-T,/-T ,T /，一1+V2 V2+V3 V3+V4 V2 0 0 8+V2 0 0 9 V2 0 0 9+V2 0 1 0=V2 -1+V3-V2+V4-V3+.+V2 0 0 9 -V2 0 0 8+V2 0 1 0 -V2 0 0 9=V 2 0 1 0-l.三、解答题1 3.【答案与解析】(1)因为无。0,所以用X?除所求分式的分子、分母.

12、“1 1 1 1原式=-T-:-=f =?-l +4 (X+-)2-2-1 3-3 6X X01(2)由1 2一5犬+1 =0 和 尤。0，提x+=5,x所以 d+7=x2,+T 2x x)=(52-2)2-2二 52 71 4.【答案与解析】解：Ta有意义，.8-x2 0,xW8；(2)方法一：分三种情况：当 a2+b2=c 即 8-x+4=6,得 x=6,当 a2+c2=b2,即 8-x+6=4,得 x=1 0,当 b2+c2=a2,即 4+6=8-x,得 x=-2,又/.x=6 或-2；方法二：,直角三角形中斜边为最长的边，c b 存在两种情况，当 a2+b2=c2,即 8-x+4=6,

13、得 x=6,当 b2+c2=a2,即 4+6=8-x,得 x=-2,/.x=6 或-2.1 5.【答案与解析】(1)设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程l.5x天,根据题意，得+-=-!-,解之得，x=2 0,x 1.5x 12经检验知x=2 0 是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要2 0 天，30 天.(2)设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费(y-1 50 0)元，根据题意,得 1 2 (y+y-1 50 0)=1 0 2 0 0 0,解 之 得,y=50 0 0.甲公司单独完成此工程所需施工费：2 0 X50 0 0=1

14、0 0 0 0 0 (元)，乙公司单独完成此工程所需施工费：30 X(50 0 0-1 50 0)=1 0 50 0 0 (元),故甲公司的施工费较少.1 6.【答案与解析】(1)2(75-V3)V5+V3-(/5+73)(75-73)V5-V3.2 5-3(V5)2-(V3)2(V5+V3)(V5-V3)G+g -6 +百一 石+Gyfs+3=5 /3.(2)j=-1产 7=+-I -=(3 1 +5/5-73+y f l V3+1 V5+V3 V7+V5 J 2 +1+J 2 1 275+V2 n+1 -V2 n-1)=-(V2 n+1 -1).2中考总复习：分式与二次根式一知识讲解（基础

15、）责编：常春芳【考纲要求】1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算.【知识网络】加诚法：最简二次根式，合并同类二次根式【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1 .分式设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子4就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则B分式没有意义.2 .分式的基本性质A _ AKM A _ A-MB3 .最简分式(M为不等于零的整式).

16、分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；A(2)分式三 中，力和8均为整式，4可含字母，也可不含字母，但8中必须含有字母且不为0；B(3)判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.A(4)分式有无意义的条件：在分式三 中，B 当 后0时，分式有意义；当分式有意义时，晓0.当庐0时，分式无意义；当分式无意义时，8=3 当 后0且1=0时，分式的值为零.考点二、分式的运算1 .基本运算法则分式

17、的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：(1)加减运算b c bc-+-=-a a a同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.a,c adibc=-；b d bd异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.(2)乘法运算 a c=工etc；o a bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.(3)除法运算b d b c be两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.(4)乘 方 运 算()=六(分式乘方)分式的乘方，把分子分母分别乘方.2.零指数 a =】(awO).3.负 整 数 指 数a =

18、#O.p为正整数)ar4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.5.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.6.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等：(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次基的积.通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为

19、各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次塞的积.(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幕的积.考点三、分式方程及其应用1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解

20、.4.分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.要点诠释：解分式方程注意事项：(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0.如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审一一仔细审题，找出等量关系；(2)设一一合理设未知数；(3)列一

21、一根据等量关系列出方程；(4)解一一解出方程；(5)验一一检验增根；(6)答一一答题.考点四、二次根式的主要性质1.4a 0 (a 0)；2.(G)=a a 0)；3.=|a|=a(a 0)a(a ()；5.商的算术平方根的性质:一=F(a NO,b 0).b /b6.若 a 。2 0,则 a b .要点诠释：(尸 与 的 异 同 点:(1)不同点：(J/尸与值表示的意义是不同的，(石尸表示一个正数a的算术平方根的平方，而 之。，用 之 0.因而它的运算的结果是有差别的，(指 尸=0 3 2 0),而 相 同 点：当被开方数都是非负数，即a20时，(J Z 尸=0；a/6=(2)多项式的乘法法

22、则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：便+血)(百 0)=(百 一(血=1,利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1.使代数式二有意义的X的取值范围是(A.x 0B.x w C.x NO且x w 2 2D.一切实数【答案】C；x 0 【解析】解不等式组4 得 XNO 且尤力一，故选C.21A0 2【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即 需 要 中 的 x N O；分母中的2 x-l W 0.举一反三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清I D 号：3 9

23、 9 3 4 7关联的位置名称（播放点名称）：例 1【变式】当 x 取何值时，分 式 某 心 一 有意义?值为零？X2-X-12【答案】当 2 一X一1 2。0时，分式 J,一9有 意 义,即 x w-3 且 rw 4时，分式 J,一9 有意义.X2-X-12 X2-X-12当f-9=0 且 d-x l Z#。时，分式-9 值为零,X2-X-12丫2 _。解得4 3,且xo-3,x w 4,即x=3 时，分 式，值为零.X2-X-12类型二、分式的性质2.已知x+=4,求下列各式的值.X（1）%2+A-；X2X4+X2+1【答案与解析】（1）因为%+工=4,所以X X即/+2 +二=1 6.所

24、以/+二=1 4.x x2XX4 x2 1 ,1 ,.,-r +-+-7 =X +-7 +1 =1 4+1 =1 5,X X X X1所以x4+x2+l 1 5【点评】观察（1）和已知条件可知，将已知等式两边分别平方再整理，即可求出（1）的值;对于（2）,直接求值很困难，根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出（2）的值.举一反三:【变式】已知+1=一,求幺+且 的值.a b a+b a b【答案】由+=得2=,a b 8 a b a +b所以(a+b)2 =a b,即合+尸=一 .a cr+b2-a b .所以一+-=-=一1.a b a b a b类型三、分式的运算C3.(2

25、 0 1 5眉山)计算：x 2-1 4-X2-2X+1 X-1【答案与解析】解.x2-l .x?+x_(x+l)(x-1).x-1 =IX2-2X+1 X-1(x-1 )2 x(x+l)x【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反三：【高清课程名称：分式与二次根式 高清T D号：3 9 9 3 4 7关联的位置名称(播放点名称)：例2】【变式】(2 0 1 5宁德)化简：9.x+3 x2-4X+4 答案解：原式=：

26、一 底+3)(二？.x+3 (x-2)2_ x-3-x-2 类型四、分式方程及应用Ct如 果 方 程 一1一+3 =上 土 有 增 根，那么增根是_.X 2 2 x【答案与解析】因为增根是使分式的分母为零的根，由分母x 2 =0或2 x=O可得x=2.所以增根是x=2.答案：x=2【点评】使分母为0的根是增根.C 5.为 创 建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须 在6 0天内完成工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25

27、天，甲、乙两队合作完成工程需要30 天，甲队每天的工程费用25 0 0 元，乙队每天的工程费用20 0 0元.(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用.【答案与解析】(1)设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.根据题意得：也30 +30=1.x x+，5方程两边同乘以 x(x+25),得 30 (x+25)+30 x=x(x+25),即 x -35 x-7 5 0=0.解之,得 X i=5 0,x2=-1 5.经检验，X i=5 0,xz=-1 5 都是原方程的解.但 刈=-1 5 不符合题意，应

28、舍去./.当 x=5 0 时，x+25=7 5.答：甲工程队单独完成该工程需5 0 天，则乙工程队单独完成该工程需7 5 天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.方案一：由甲工程队单独完成.(所需费用为：25 0 0 X 5 0=1 25 0 0 0 (元).方案二：由甲乙两队合作完成.所需费用为:(25 0 0+20 0 0)X30=1 35 0 0 0 (元).【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率X工作时间.(1)如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，那么由“乙队单独完成

29、此项工程的时间比甲队单独完成多用25 天”，得出乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.再 根 据“甲、乙两队合作完成工程需要30 天”，可知等量关系为：甲工程队30 天完成该工程的工作量+乙工程队30 天完成该工程的工作量=1.(2)首先根据(1)中的结果，排 除 在 6 0 天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成.针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用.举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜20 0 吨，计划采用批发和零售两种方式销售.经市场调查，批发每天售出6吨.(1)受天气、场地等

30、各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了 2 吨，结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出多少吨？(2)在(1)的条件下，若批发每吨获得利润为20 0 0 元，零售每吨获得利润为220 0 元，计算实际获得的总利润.【答案】(1)设原计划零售平均每天售出x 吨.旬 旧 丽 心，.20 0 20 0 根据题意，得-=5,6+x 6 +(x+2)解得 xi=2,x2=-16.经 检 验，x=2是原方程的根，x=-16不符合题意，舍去.答：原计划零售平均每天售出2吨.（2）2。=20（天）.6+2+2 7实际获得的总利润是：2

31、000X 6X 20+2200X 4X 20=416000（元）.类 型 五、二次根式的定义及性质 6.当x取何值时，J9X+1+3的值最小？最小值是多少?【答案与解析】.*9 x+1 2 0,的 尤+1+3N39.当9AH4=0,即=一 时，J9x+1 +3有 最 小 值,最 小 值 为3.9【点 评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即&N 0 （a 2 0）.由二次根式的非负性可知J 9 x+1 2 0,即J9 x+1的 最 小 值 为0,因 为3是常数,所 以J 9 X+1+3的 最 小 值 为3.类 型 六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式 高 清ID号：399

32、347关 联 的 位 置 名 称（播放点名称）：例3】计 算：（4逐一*+3况）+2垃；【答案与解析】原 式=（476-2五+6叵）;2叵=2 6 +2.【点 评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.中考总复习：分式与二次根式一知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二

33、次根式的运算.【知识网络】加诚法：最简二次根式，合并同类二次根式【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1 .分式设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子4就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则B分式没有意义.2 .分式的基本性质A _ AKM A _ A-MB3 .最简分式(M为不等于零的整式).分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；A(2)分式三 中，力和8均为整式，4可含字母，也可不含字母，但8中必须含有字

34、母且不为0；B(3)判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.A(4)分式有无意义的条件：在分式三 中，B 当 后0时，分式有意义；当分式有意义时，晓0.当庐0时，分式无意义；当分式无意义时，8=3 当 后0且1=0时，分式的值为零.考点二、分式的运算1 .基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：(1)加减运算b c bc-+-=-a a a同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.a,c adibc=-；b d bd异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.(2)乘法运算 a c=工etc；

35、o a bd两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.(3)除法运算b d b c be两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.(4)乘 方 运 算()=六(分式乘方)分式的乘方，把分子分母分别乘方.2.零指数 a=】(awO).3.负 整 数 指 数a 为正整数)ar4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.5.约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分

36、母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次塞的积.6.通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次事的积.(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次基的积.要点诠释：分式运算的常用技巧(1)顺序可加法：有些异分母式可加，最简

37、公分母很复杂，如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减，顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时，一般情况下，常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常 用 分 式 一1=-一 一 进行裂项.(+1)n/?+1(4)分组运算法：当有三个以上的异分母分式相加减时，可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、

38、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简,再相加减.(6)倒数法求值(取倒数法).(7)活用分式变形求值.(8)设4求值法(参数法)(9)整体代换法.(1 0)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1 .分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3 .分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根-增根：(2

39、)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.4 .分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.要点诠释：解分式方程注意事项：(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，

40、看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审一一仔细审题，找出等量关系；(2)设一一合理设未知数；(3)列一一根据等量关系列出方程；(4)解一一解出方程；(5)验一一检验增根；(6)答一一答题.考点四、二次根式的主要性质1.4a 0 (0)；2.(G)=a (a 0)；3.=|。|=0)-a(a 0)；5.商的算术平方根的性质:a _ aa 0,/?0).6.若 a Z?之 0,则 4 a yb .要点诠释：与。的异同点:(1)不同点：(、仃 尸 与 表示的意义是不同的，(及)2表 示 一 个 正 数a的算术平方根的平方，而后表示一个 实 数

41、a的平方的算术平方根；在(能 尸 中 20,而 肝 中a可以是正实数，0,负实数.但G石 与 存都是非负数，即(布 尸2 0,FNO.因而它的运算的结果是有差别的,(&)2 =a(a N0)，而a(a0)(2)相同点：当被开方数都是非负数，即a NO时，(能 人 7；a 0,tz3 0,an 0)2 .二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3 .二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开 方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式

42、中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例 如:叵

43、+31x,没有必要先对、匹进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，桔+夜x V 6=x6 +72 6=1 +2 7 3-通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：(百+0)(百 一0)=(百 一(/=1,利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4.分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：(1)&与 互为有理化因式；(2)扬 与 新 互 为 有 理 化 因 式；一

44、般地+C扬 与a-c协互为有理化因式；(3)6+与 夜-后 互 为 有 理 化 因 式；一般地+与0打-16互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义C 1.若 分 式 三 匚 的 值 为0,则x的值等于_ _ _ _ _.x +1【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得f -1=0,广1W0,由X?-1=0,得4-1或 产1,由A+1 0,得 丘-1,.片1,故答案为1.【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分 子 为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.举一反三:3r2 _ 27【变 式 1】如果分式士-的值为0,则 x的值应为 _ _ _ _ _ _ _.x 3

45、【答案】由分式的值为零的条件得3X2-27=0且 x-3 0,由 3x 2-27=0,得 3(x+3)(x-3)=0,/.x=-3 或 x=3,由 X-3 W 0,得 x W3.3r2-27综上，得 x=-3,分式下一 巴 的 值 为 0.故答案为：-3.x-3【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID 号：399347关联的位置名称(播放点名称)：例 1】【变式2】若分式1 不论x 取何实数总有意义，则力的取值范围是一X-2 x +z【答案】若分式!-不论x 取何实数总有意义，则分母/-2 x+%#0,x-2x +m设 y =Y-2 x+机，当 V 0 即可，4 4 m .答案m l.类型二、

46、分式的性质b +c c+a a +b -a b c._V 2.已知=-=，求7际 v7 的值abc(Q +Z?)(+c)(c +a)【答案与解析】“b +c c+a设-=-ba +h.-=k,c所以 b+c =a k,c+a =b k,a +b =ck所以 Z?+c +c +a+Z?=+/?&+。左,所以 2(Q+/?+C)=%(。+/?+。),(。+人 +。)(2&)=0,即k=2 或(a +b +c)=O,当k =2,所求代数式=悬_8当a +Z?+c =O,所求代数式=1.即所求代数式等于1 或一1.8【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设“法求解.举一反三:【变 式】已4知.一1

47、 +一1 =一1 ,一1 十 1 二 一1 ,一1 十 1 =一1,求、-a-h-c-的值4.a b 6 b c 9 a c 5 ab+bc+ac【答 案】因 为 F-=+=F=,ab6bc 9ac 5f 妨，1 1 c 1 1 1各式可加得 I-1 x2=I-1-,a b c)6 9 15所 以 LL卫a b c ISO所以ahca。+be+acabc-r-(ahc)(ab+be+ac)+(abc)1 _180ii r二 寸 c a b类型三、分式的运算Cs.已知上+上+=1,且x+y+z rO,求 江 一+上+一:一的值.y+z z+x x+y y+z x+z x+y【答 案与解析】因为

48、x+y+z7O,所以原等式两边同时乘以x+y+z,得：x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z)=x+y+zy+z z+x x+y即/x(y+z)V y(z+x)z2 z(x+y)y+z y+z z+x z+x x+y x+y=x+y+z,“犬 y z 、所 以-+-+-+(x+y+z)=x+y+z,y+z z+x x+y2 2 2所 以 上 一+工+二 一=0.y+z z+x x+y【总 结 升 华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三:V.IA 工 y、

49、Z L 7 li.C l h C N 上【变 式1】已知-ci.=b,-=c，且 必cw。，求-+-+-的值.y+z 犬+z x+y a+1 b+1 c+1【答 案】由已知得工=二，a x所以 L l=2 +l=x+V +z,即四=x+y+za x x a xQ+1 犬+y+z同 理 士方+l x+y+z c+1 x+y+zll-a b c x y z所以 +=-+-。+1 /7+1 c+1 x+y+z x+y+z x+y+zx+y+zx+y+z【高清课程名称：分式与二次根式 高清ID号：399347关联的位置名称(播放点名称)：例2】【变式2】已知x+尸一4,灯 一12,求上口+上立的值.x

50、+1 y +1【答案】原式=(y+1尸 +(x+1尸 _ y +2y+1 +厂+2x+1(x+l)(y+l)xy+工+y+1(尢 +y)2-2xy+2(x+y)+2W+(x+y)+l将x+y=4,xy=-12代入上式,原式=(-4)2+2 4 +2 x(-4)+2 _-1 2-4 +13 4类型四、分式方程及应用0 4.a何值时，关于x的方程 二 一+4-=二 一会产生增根?x 2 x 4 x+2【答案与解析】方程两边都乘以(x+2)(%2),得2(x+2)+双=3(x-2).整理得(a l)x=10.当a=1时,方程无解.当 a w 1 时，x=ULa-1如果方程有增根，那么(尤+2)(%-