北师大版八年级数学下册等腰三角形培优练习.pdf

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1、01-等腰三角形专题练习-北师大版八年级数学下册培优练一、单选题1.（2019秋 北京丰台八年级校联考期末）如图，三角形纸片ABC,A B=A C,将其折叠，如图，使点A 与点B 重合，折痕为EZ）,点 E,Z）分别在AB,AC上，如果NA=40。，那么NOBC的度数为（）2.（2018.北京丰台.八年级统考期末）如图，已 知 射 线 以。为圆心，任意长为半径画弧，与 射 线 交 于 点 A,再以点A 为圆心，A。长为半径画弧，两弧交于点B,画射线。8,那么N A O 8的度数是（）A.90 B.60 C.45 D.303.（2022秋 北京朝阳八年级统考期末）如图，O 是 射 线 上 一 点

2、，Z A O B =60,O C 6 c m,动点P 从点C 出发沿射线C 8 以2cm/s的速度运动，动点。从点。出 发 沿 射 线 以 lcm/s的速度运动，点 P,。同时出发，设运动时间为r（s）,当POQ是等腰三角形时，f 的 值 为（）A.2B.2 或 6 C.4 或 6D.2 或 4 或 64.（2022秋.北京海淀.八年级期末）如图，AfiC”OEC,点 E 在线段A 8上，NB=65。,则NACO的度数为（）A.2 0 B.3 0 C.4 0 D.50 5.（2 0 2 1 秋北京八年级期末）如图甲，直角三角形WC的三边a,b,c,满 足/+b2=c2的关系.利用这个关系，探究

3、下面的问题：如图乙，A 0 4 8 是腰长为1 的等腰直角三角形，Z O A B =9 0,延长Q 4 至 四，使 4 耳=。4,以。为底，在403外侧作等腰直角三角形。44，再延长0%至 层，使 4与=。4，以O B?为底，在 外 侧 作 等 腰 直角三角形04%,，按 此 规 律 作 等 腰 直 角 三 角 形 纥（2 1,为正整数），则A?修的长及A0 4O218X2I的面积分别是（）D.2,22 0 1 96.（2 0 2 2 秋.北京怀柔.八年级统考期末）在平面直角坐标系x O y 中，点 A的坐标为（0,2）,点 8的坐标为（26，0）,点 C在 x 轴 上.若“B C 为等腰三角

4、形时，N A B C=3 0。,则点C的坐标为（）A.（-2 7 3,0）,（空,0）,（2 /3-4,0）B.（-2 6，0）,（立，0）,（4+2 名，0）3 3C.（-2 G，0）,（友，0）,芯，0）D.（-2 G，0）,（1,0）,（4-2 6，0）3 37.（2 0 2 2 春.北京朝阳.八年级北京八十中校考期末）如图，动点P 在边长为2 的等边 ABC的边上.它从点A出发，沿A-CT8TA的方向以每秒1 个单位长度的速度运动.如果点户的运动时间为秒，点 P与点C之间的距离记为y,那么y 与，之间的函数关系用图像表示大致是（）试卷第2页，共 7页cD.8.（2022秋.北京昌平.八

5、年级统考期末）如图，R C 和 为 直 角 三 角 形,N B =N E =90,A C C D j l A C l C D,则下列说法不正确的是（）C.A B 8 M E DB.A D-A B+D ED.A B A C+Z C D E =9O9.（2022秋 北京平谷八年级统考期末）如图，等边A3。和等边A5CE中，A、B、C三点共线，AE和C。相交于点F,下列结论中正确的个数是（）DE AABE*DBC；B F平分 Z A F C；A F =D F+B F；ZAFD=60A.1B.2C.3D.4二、填空题1 0.（2 0 2 2 秋 北京房山 八年级统考期末）如图，正方形网格中，点 A,B

6、,C都在格点1 1.（2 0 2 2 秋北京朝阳八年级统考期末）如图，在 1 B C 中，8。平分ZABC,AB=BD=C D,则 NC=.1 2.（2 0 2 1 秋 北京丰台八年级统考期末）右图是4 x 4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1,点48均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系.如果点C也在此4 x 4 的正方形网格的格点上，且 是 等 腰 三 角 形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C 一共有 个.试卷第4页，共 7页1 3.（2 0 2 1 秋 北京东城 九年级统考期末）如 图 1,在 A 8 C 中，A B A C,。是边B C 上的动点.设8

7、,。两点之间的距离为x,A,。两点之间的距离为y,表 示 y 与 x的函数关系的图象如图2所 示.线 段 AC的长为,线段AB的长为1 4.（2 0 2 2 秋.北京门头沟.八年级统考期末）如图，在 A 8/G 中，A C 尸 B Q,N J =2 0。，在 8/G 上取一点C 2，延长AS到点&,使得BIB 2=B/2,在&Q上取一点C，延长A B 2 到点&,使得B?B3=B2c3,在 8 3 G 上取一点C4,延长A B.,到点&,使得B3B4=B 3 c，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角N A B 2 c 2=；第个三角形的内角ZABnCn=.1 5.（2 0 2 2 秋.北京

8、昌平.八年级统考期末）已知一张三角形纸片A B C （如图甲），其中AB=A C,将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到A 8 边上的E点处，折痕为B O （如图乙），再将纸片沿过点E的直线折叠，点 A恰好与点。重合，折痕为E F （如图丙）.原三角形纸片A 8 C 中，N8AC的大小为.1 6.（2 0 2 2 秋.北京密云.八年级统考期末）如图，中，N A =9 0。，ZC3 0,。是4 c边上一点，将ABO沿8 0翻折后，点A恰好落在BC边上的点E处，再将AOEC沿翻折，点C落在点尸处.若AC=9,C D =5,则点。到8 c的距离是;a若NFDC的度数为a,/A B C的度数Q,则=.1

9、7.（2022秋 北京海淀八年级统考期末）如图，在AABC中，Z 4=30。，AB=B C,点、D.E分别在边AB,AC上，若沿直线O E折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6,则NEBC=,AC=.三、解答题18.（2022秋 北京大兴八年级统考期末）在平面直角坐标系x0），中，A,8为不重合的两个点，若点C到A,B两点的距离相等，则称点C是线段A B的“公 正 点 特 别 地，当60。4 4 4 8 4 1 8 0。时，称点C是 线 段 的“近公正点”.已知4（1,0）,8（3,0）,在点C（2,0）,（1,2）,（2,-2.3）,尸（0,4）中，线段A B的“公正点”为;（2）己知点M（0

10、,3）,作NOMN=60。，射线M N交x轴负半轴于点N.若点尸在y轴上，点P是线段M N的“公正点”，则点P的坐标是；若点。（。,与是线段M N的“近公正点”，直接写出b的取值范围是.19.（2022秋北京房山八年级统考期末）AABC是等边三角形，点。是直线A C上一动点，点E在B C的延长线上，且CE=A ,连接。8,D E.试卷第6页，共7页ADDB C E B C B C图I 图2 备用图(1)如 图1,若点 是线段A C的中点，则:(2)当点。在线段AC上运动时，依题意补全图2,用等式表示。8与D E的数量关系，并证明；(3)当点D在线段A C的延长线上运动时;请直接用等式表示D B

11、 与D E的数量关系.20.(2022秋.北京平谷.八年级统考期末)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在LBC中，A/)是8 c边上的中线，E是AO上一点，延 长 仍 交AC于点F,A F =E F,求证：A C =BE .小明发现，延长4。到点H,使。=4,连 结 构 造BDH，通过证明3归 与A S全等，为等腰三角形，使问题得以解决(如图2).请写出推导过程.图2图1参考答案:1.D【分析】依据三角形内角和定理，求出/4 B C的度数，再证明/O B A=N A=4 0。，即可得到N D 8C的度数.【详解】AB=AC,ZA=40,：.Z A B C=Z C=(180-40)=70

12、；由折叠可得：DA=DB,；.NOBA=NA=40,NDBC=70-40=30.故选D.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键.2.B【分析】由等边三角形的性质：三边相等，三个内角都是60。可作答.【详解】解：连接4 8,根据题意得：OB=OA=AB,.A4O8是等边三角形，ZAO8=60。.故选：B.【点睛】本题考查尺规作图和等边三角形的性质；掌握等边三角形的性质是解题关键.3.B【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：(1)当点尸在线段OC上时；(2)当点P在CO的延长线上时.分别列式计算即可求.【详解】解：分两种

13、情况：(1)当点P在线段OC上时，设t时后POQ是等腰三角形，ZAOB=60答案第1页，共17页，Z A O c=n o:.OP=O C-C P=O Q,即 6 2/=r,解得r=2；(2)当点尸在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s,当 尸。是等腰三角形时，:ZPOQ=60,/.P。是等边三角形，：.O P=OQ,即 2(f3)=r,解得，r=6,综上所述，当PO。是等腰三角形时，f的值为2或6.故选：B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点。的左侧还是在右侧是解答本题的关键.4.D【分析】由全等三角形的

14、性质可得NAC3=NOCE,BC=E C,可求得/B C E =N 4C D,NBEC=NB=6 5 ,由三角形的内角和可求得4 C E =5()。，从而得解.【详解】解：:.ZACB=NDCE,BC=EC,ZACB-ZACE=NDCE-ZACE,即=ZBEC=ZB=65,ZBCE=180。-ZB-ZBEC=50,/.ZACD=50.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.5.A答案第2页，共17页【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出4巴 的长，再进一步推出一般规律，利 用 规 律 求 解 邑 回 的

15、 面 积 即 可.【详解】由题意可得：0A =A 8=A 81=l,OB、=2,AOA瓦为等腰直角三角形，且“直角三角形 1 B C的三边a ,C,满 足/+从=,2的关系”,.根据题意可得：OB2=2 04,=2 7 2,；0A,=人8,=(1 7 )=2 ,L,二总结出0 4=(夜)”，5A 0A B=|x l x l =1,SAOAB、=X无x梃=1,5A O A S=1X2X2=2,归纳得出一般规律：S n=l x(V 2)，x(V 2)，=2 -,q _ 02020故选：A.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般

16、规律是解题关键.6.A【分析】分别以A 8为腰和底两种情况结合勾股定理求解即可.【详解】解：如图，答案第3页，共1 7页：.AO=2,BO=2y/3在 R f A A Q B 中，由勾股定理得：AB=lAO2+M O2=万+(2 6 9 =4当A B 为A A B C 的腰时，OC=B CB O =4-2yli，(2 6-4,0);O G =B O =2&/.C2(-2 ,0)当A B为底边时，AC=BC3,：Z A B O =30：.Z A C。=G O。?.ZOAC,=3 0/.A C3=2 0 G由勾股定理得，AO2+OC =AC22+O C32=4OC,2.nr 2 7 3.3=亍C3

17、(|AO)综上，点 C的坐标为(-2 6，0),(2 遮，0),(2 石-4,0)3故选A【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握线等腰三角形的性质是解题的关键.7.D【分析】分段求出函数表达式即可求解.【详解】解：(1)当点P在 AC上运动时，y=2-h(2)当点尸在BC上运动时，y=t-2；答案第4页，共 1 7 页(3)当点P 在 AB上运动时，过 点 C 作 CH L4B于点”，如图所示:ABC是等边三角形，边长为2,：.AH=,CH=lAC2 AH2=d展-1。=拒 当点P 在点H 右侧时，y=PC=-jPH2+CH2=yj(5-t)2+(V3)2

18、=-10/+28,该函数为一条曲线，当点P 在点H 左侧时，y=PC=y/PH2+CH2=-5)2+(可=-10f+2 8，该函数仍然为一条曲线，且当1 =5 时，PC最小，即y 的值最小；综上分析可知，y 与 r之间的函数关系可以用D 选项中的图来表示，故 D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，解答本题的关键是分段讨论y 与，的函数关系式.8.B【分析】根据等边对等角可证得NC4O=N C A,在利用同角的余角相等，可得NBAC=NECD,进而证明AABC经CE。，便可判断其余选项.【详解】解：AC=CD，ZCAD=ZCDA故 A 正确，：“R C 和CEO为直角三角

19、形N8=NE=90,:.N/MC+ZAC8=90,答案第5 页，共 17页又,:AC LCD：.ZACB+ZECD=90：.NBAC=NECD:.AABCHCED(AAS)A AB=CE,BC=DE：.AB+DE=BC+CE=BEAD故B错误，C正确，由ABCg/kCED 可知：ZACB=NCDE：.NBAC+NCDE=90。,故D正确，故选：B.【点睛】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的证明，熟练掌握证明三角形全等的条件是解题的关键.9.D【分析】根据等边ABD和等边ABCE可得BE=8C,AB=DB,ZABD=Z E B C,可得ZABE=/D B C,从而得到AABEMA。3c与 尸

20、 即 可 判 断 ，过B作B H V C D,易得/B G u Q B H,即可判断，根据三角形三边关系即可判断，即可得到答案.【详解】解：和ABCE是等边三角形，:.BE=BC,AB=DB,ZABD=ZEBC=(A),：ZABD+ZDBE=ZABE,ZDBE+NCBE=+ZCDB,ZABE=ZDBC,在 AABE 与)8C 中，AB=DB-ZABE=2DBC,BE=BC，/ABE ADBC(SAS),，NEAB=NCDB,：ZAFC=ZADF+ADAF=ZADB+ABDF+ZDAF,：.ZAFC=ZEAB+ZDAF+ZADB=120%答案第6页，共17页A ZAFD=6 0 ,故正确，在乙A

21、BK与中,过B作BG工AF,B H工CD,:.ZAGB=/DHB=90。,在“1BG与03”中，NAGB=NDHB NGAB=/HDB,AB=DB.ABGm AAS),：.BG=BH,V B G lA Ff BH LC D,:.BF平分Z A F C,故正确，:ZABD=ZEBC=60。,：.ZDB：=180o-ZABD-ZCB：=180-60-60=60,在AABK与ADBJ中，NKAB=4JDB=1时，4）=,当4 7时，）=x/T5,B|J BD=1时，C、。重合，此时产A O=A C=g,则C O=6,即当8。=1时，D C为以点A为顶点腰长为而的等腰三角形，进而求解.【详解】解：从图

22、象看，当x=l时，y=屈,即8 0=1时，A D=屈,当户7时，尸 而，即8。=7时，C、。重合，此时 y=AD=AC=/13,则 CD-6,即当BD=1时，AAOC为以点A为顶点腰长为旧的等腰三角形，如下图：过点A作AaJ_BC于点H,在放“C 中，A C =y/i3,CH=D H =-C D =3,2则 A7/=4 A C2-C H2=V13-9=2-在 R m A B H 中，AB=JA?+BH=7（l+3）2+22=2旧,故答案为：J F,2卮【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.8014.40 声【分析】先根据等腰三角

23、形的性质求出N G 8/A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三答案第10页，共17页角形的性质分别求出/B/B 2c2，NC3B3B2及NCB3B2的度数，找出规律即可得出/A 即 C的度数.【详解】解：AB/G中，A C 尸 B Q,NC/=20,ZC1B1A180-NC 1800-20：BIB2=BIC2,ZC1B1A 是小 BiB2c2 的外角,=40；同理可得，ZCJBJB220,10,80。/.A A B n C n=n r.on故答案为：4 0,亍寸.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出NC3B3B2及NQB3B2的度数，找出规律是解答此题的关键.

24、15.36#36 度【分析】由折叠的性质可得：Z A Z A D E,N E D B =NCDB,Z A B D =N C B D,由等腰三角形的性质可得，Z C=Z A B C,求解即可.【详解】解：由等腰三角形的性质可得，Z C =ZABC,由折叠的性质可得：Z A =ZADE,4 E D B =NCDB,A A B D =ZCBD,则/.DBC=-ZABC=-Z C,ZA=Z A D E=180-2ZC=180-4 N D B C ,2 24 E D B =A B D C=180-Z C-Z D B C=180-3 Z D B C,：Z A D E+2 N E D B=180。,1800

25、-4 Z D B C+2(180-3ZD3C)=180,解得 N)BC=36。，ZA=180-4ZDBC=36故答案为：36【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关犍是熟练掌握相关基础知识.16.4 2【分析】根 据 折 叠 的 性 质 得 出=根据4)=AC-CZ)即可求解；答案第I I 页，共 17页根据折叠的性质得出/C =90。-,根据三角形内角和定理得出NA5C+NC=90。，代入可得？=即可求解.【详解】解：依题意，D E =DA,A C=9,C D =5,：.A D =A C-C D =9-5=4,故答案为：4；将 OEC沿 O E翻折，点C 落

26、在点尸处，/.Z D F E =Z C =-(S0-ZFDC=90-a,中，ZA=90,ZABC+ZC=90,二6 +90-5 a =90,故答案为：2.【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键.17.90 9【分析】由等腰三角形的性质求出NC=30。，Z A B C =120,进而可得NC8E=90。，再利用含 30度角的直角三角形的性质求出BE的长，即可求解.【详解】VZA=30,AB=BC,NC=ZA=30,Z A B C =20.由折叠的性质得BE=AE，么 BE=N BAE=30,：.ZCBE=90.：CE=6,：.AE=BE=-

27、C E =3,：.AC=3+6=9.故答案为：90,9.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，以及折叠的性质,答案第12页，共 17页求出ZCBE=900是解答本题的关键.18.(1)C,P(0,-3)-3 0 4 6【分析】根据定义可以知道“公正点 在线段的垂直平分线上，即可解题；（2）根据题意可得APMN是等边三角形，由根据等边三角形的性质即可求出产的坐标；点Q（a,6）是线段M N的“近公正点”，即形成的三角形是等边三角形，计算求出取值范围即可.【详解】（1）由于垂直平分线上的点到线段两端距离相等，A（l,0）,8（3,0）,所以AB垂直平分线为x=2,即点C

28、（2,0）和 醺2,-2.3）为线段AB的“公正点”.故答案为：C,E（2）如图，连接P N,则 点 尸 在 的 垂 直 平 分 线 上，:.PN=PM,NO暇N=60。，.PMN是等边三角形，:.PM=MN=2OM=6,:.OP=3,即 P（0,-3）.故答案为尸（0,一 3）如图，由可知。点在尸点时的纵坐标人最小，当点。在尸 时，。点的纵坐标方最大，这时/PMW=60。,又 NMN0=30,.NPM9=90,答案第13页，共17页:.PN=NM=6,：.-3b6,故答案为：-3bC=90,CE=C D,推出NCDE=N E,由三角形的外角得出NCDE=ZE=30。,即可得出答案；(2)过点

29、。作。尸 48 交 BC 于 凡 得 出/CDF=NA=60。，ZDFC=ZABC=60,A D=B F,可知ACDF是等边三角形，再证明AOFBZAOCE(SAS),即可得出(3)过点。作。尸 A8交 于 尸，得出NCD尸=NA=60,ZDFC=ZABC=60,可知 8 尸是等边三角形，再证明8c=AC=E/，进 而 证 明 丝AEED(SAS),即可得出DB=DE.【详解】(1)解：“s c是等边三角形，A AB=BC=AC,ZA=ZABC=ZACB=60,.点。是线段AC的中点，二 AD=CD,8。_ L AC 即 ZBDC=9Q,CE=AD,：.CE=CD,：.NCDE=NE,ZBCA

30、=ZE+ZCDE=60答案第14页，共17页:.ZCDE=ZE=30,/BDE=ZBDC+ZCDE=120,故答案为：120；(2)DB=DE,证明：过点。作D尸 AA交Z?C于凡/.ZCDF=ZA=60,NDFC=ZABC=60。.,CD尸是等边三角形，：CE=AD,：.BF=CE,V ZDFB=ZDCE=120,DF=CD,：.ADFBADCE(SAS),:.DB=DE;(3)DB=DE,AD=BF,证明：过点。作。尸 A8交3。于F,/.ZCDF=ZA=60,ZDFC=ZABC=60.CO尸是等边三角形，:CD=DF=CF,:CE=AD,：.CE-CF=AD-CD,B P AC=EFf：

31、.BC=AC=EF,答案第15页，共17页V ZBCD=ZDFC=120 f CD=DF,：.BC D AEFD(SAS),DB=DE.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键.2 0.见解析【分析】由“SAS”可证 ADC丝可得5 =AC,ZCAD=ZH f由等腰三角形的性质可得3石=5=AC.【详解】证明：延长AO到点，使=,。为 8 c 中点/.BD=DC在 A 0C 和N D B中BD=CD NBDH=ZADCDH=AD:AADC丝AHDB(SAS)，AC=BH,ZH=ZDAC:AF=EF：.ZAEF=ZDAC：.ZH =ZAEF,:ZBEH=ZAEF:/BEH=AH BE=BH答案第16页，共 17页，BE=AC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.答案第17页，共17页