2022-2023学年吉林省吉林市高二年级上册学期期末数学试题2含答案.pdf

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1、2022-2023学年吉林省吉林市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .已知数列S J 是等比数列，且，=2,a3 a5=6 4,则公比g=（）A.历 B.2 或-2 C.-2 D.叵 或-叵【答案】B1【分析】根据等比数列的通项公式.”，代入解方程即可.【详解】因为等比数列S 的通项公式所以“2 =q p产,3=!r又因为%=2,a3 a5 =6 41%q=2即。q 2.q4 =3。“可 I,=6 4 所以夕=2故选：B2.已知直线小3 底+（附+2）尸 1 0,直线/2：（“-2 +5+2）y+2 0,且/则加的值为（）A.-2 B.-1 C.-2 或-1 D.2【答案】C 分析若两直线4

2、 x+8 j+G =o,HX+BL+G=0 平行，则=0 且 4 c 2-4 0|#0 或B -B 2 c 产 0,求解机的值 详解因为/所以 3，”5+2）-（加 +2）（2）=0 且 2x 3 m-（m-2）H0,解得：机=-2 或 T,且2加W-5,综上：机的值为-2或-1.故选：C3.己知直线x-2岛+3 加=和圆x 2+V-6 x +5 =相交，则实数机的取值范围为（）A.（-叫-3）B.（一 3 ）C.Hl D.O B）【答案】B【分析】求出圆心到宜线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.【详解】圆*+V-6x+5 =可化为（x-3f+/=4,圆心为（3,0）,半径为2d=-=+圆

3、心到直线的距离 3由直线与圆相交可知 十可 2,解得一3 机 2x V口 口 -H =1（4 6 0）A/C5.已知八 匕为椭圆a-b-的焦点，M 为椭圆上一点，叫垂直于X轴，且N 邛 吟=60,则椭圆的离心 率 为（）且 也 走A.2 B.2 c.3 D.2【答案】C【分析】在直角A“工耳中，由tan”百 叫 得 到。,仇c 的等量关系，结 合/=/+2计算即可得到离心率.【详解】由已知4 鸟=6 0。,得NMFE=3 0。,则t an/摩 片=了又在椭圆中通径的长度为MG=:，出 闾=2c生t anN A/月片=-=故 闺 周 2c 3,a2-c1 _ a c _ 1 e即 2ac 2c

4、2a 2e 2 3e-正解得e-7故选：C6.0为坐标原点，尸为抛物线C：V=4x的焦点，尸为C 上一点，若1 比 1 =4,则60尸的面积为A.亚 B.b C.2 D.3【答案】B【分析】由抛物线的标准方程=4 x 可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P（x,y）,由P F R以及抛物线的定义列式可得x-（T）=即x =3,再代入抛物线方程可得点尸的纵坐标，再由三角形的面积S=-1 y I O F公式 2 可得【详解】由V =4 x 可得抛物线的焦点厂（1,0）,准线方程为x=-）如图:过点P作准线=-1的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设尸（x，V）,则x-（T）=4,解

5、得x =3,将x =3代入/=4x可得y=2&M L-y-O F 1 x 2 6 x 1 =6所以APOF的面积为2=2故选B.-4-【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式，关键是利用抛物线的定义求P点的坐标;利用。尸为三角形的底，点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.土-二=17.已知双曲线/b2（。0,6 0）的右焦点为尸，若过点尸且倾斜角为6 0。的直线,与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A.2,+s）B.。乂）C,。，+8）D.0 2【答案】A【解析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近

6、线的斜率的关系，求得结果.江上=1【详解】已知双曲线/（。0,0）的右焦点为尸，若有且只有一个交点,b _则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ,-V 3 e?=z 4.a,离心率 a-,-,e 2故选：A.【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目.8.在直角坐标系内，已 知 是 以 点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-+l=和x+V-7=0,若圆c 上存在点P,使得NMPN=90。，其中点加（一见0）、N（m,O）,则机的最大值为A.7 B.

7、6 C.5 D.4【答案】B【详解】由题意，4 3 3）是0。上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x-y+i=和x+v-7=,圆上不相同的两点为B（2 4），A 4 4 ,-C4 3B,BA 1 D A B D的中点为圆心C（3 4），半径为 1,的方程为。7 3+y-4 2=1 过尸，mN 的圆的方程为/+V =加，两圆外切时，的最大值为-+3?+1=6,故选B.二、多选题9.下列说法错误的是（）A,直线2（徵+1 口+（加-3）y+7-5加=必过定点,3）B.过点“（一 2，一 3）且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为+卜=-5C.经

8、过点P ），倾斜角为夕的直线方程为7 =tan（x-l）D.已知直线6-V-T =和以收（-3，1）,M U）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为-匕二2 2【答案】BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段MN与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.j2x+y-5 =0【详解】A 选项，直线方程变形为（2x+y-5）?+2x-3y+7=0,令12x-3y+7=0,解得X=1J=3,即原直线必过定点（1，3）,A 正确；B 选项，当直线/过原点时，也满足

9、在两坐标轴上的截距相等，此时直线/的方程为3x-27=0,B不正确;C 选项，当 2 时，tan。无意义，故 C 不正确；._ 一（T）.1D 选项，直线履-V-左 T =经过定点（L T）,当直线经过“时，斜率为一-3-1-5,当直线心辽、.-1经过N 点时，斜率为 3-1 2,由 于 线 段 与 y 轴相交，故实数的取值范围为 2 或小2,D 不正确.故选：BCD.1 0.设 助 是等差数列，为其前”项和，且 S75”，则下列结论正确的是（）A.d S7 D.Sg、Sg均为 的最大值【答案】ABD【分析】由题意可得数列的前8 项为正数，第 9 项为0,从 第 10项开始为负数，各个选项验证

10、可得答案.【详解】解：7Vs8,9 0,SsS9,a90,则（Z（r4I（/0,故选项A,B 正确；s s,1r1x10 八）（+7x6卜；=a i+5 5 d-la-2 d=4 al+34d0,，劭=/+8d=0,（!/=-8d 4a/+34d=32d+34d=2dV0.S,1S7,故 c 错误.易知数列的前8 项为正数，第 9 项为0,从 第 10项开始为负数，故选项D 正确;故选：ABD.1 1.下列结论正确的是（）A.若圆 G：x2+y2+2x+3y+=0 圆 G：x?+/+4x+3y+2=0,则圆 G 与圆的公共 弦 所 在1X 直线的方程是 2B.圆/+/=4 上有且仅有3 个点到

11、直线/：*+&=0 的距离都等于1C.曲线G：x?+V+2x=与曲线G：V+V-4 x-8 y +z=恰有三条公切线，则加=3y百D.若实数x，N满足V+V+2 x =,则二二的最大值为行【答案】A B D【分析】将两圆的方程相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程，进而判断选项A；根据直线与圆心的距离与半径的大小关系即可判断选项B；根据两圆的的位置关系求得参数的值即可判断选项yC；X-1可看作圆x2+V+2 x =上的点和点。，）连线的斜率，利用直线和圆相切求得直线斜率，即可判断选项D.3 0 2 2 c l i c （工+1）+（V-尸=一 详解对于 A,圆 G：X+y+2 x +3 y +l

12、 =0 即-2 4 ,/3、2 1 7圆。2：2+/+4工 +3夕 +2 =0即（,+）+2,V1 7-3 ,V1 7+3故两圆圆心距满足 2 2 ,两圆相交，将两方程相减可得：2 x+l =0,也即圆G与圆G的 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 是2,故A正确；对 于B,圆x2+V=4的圆心到直线/：x-y +&=0的距离 V2 2 ,所以圆V+V =4上有且仅有3个点到直线/：+&=的距离都等于1,故B正确；对于C,曲线G：/+/+2*=0可化为（+1）2+/=1,曲线 G：/+1/-4*一8+加=可化为（x-2）2+8-4）2 =2 0-”，若曲线G表示圆，则有机 2 0,因为曲线

13、J f+V+2 x =0与曲线G：/+/一 以-8严?=0恰有三条公切线，所以两圆相外切,则|C C|=J。+2）2 +a=5 =1 +J 2 0-,解得：?=4,满足切 2 0,故 C 错误；y y对于D,设二，即 二i可看作圆V+/+2 x =上的点和点（1,0）连线的斜率，整理为丘_左=,当直线丘_y_左=0与圆x 2+V+2 x =0相切时，1-2 幻.圆心C（T，）到该直线的距离”=/，即Ji*,k=+立可得弘I,解得 3 ,y上 一走，走 上 更 也所以x-l L 3 31，即 工 最大值为T,最小值为 3 ,D正确,故选：A B D3=11 2.双曲线C的方程为 2 ,左、右焦点

14、分别为耳玛，过点名作直线与双曲线C的右半支交于点4 ,B,使得 A B =9 0。，则（）A.以 周=6+1y/15B.点/的 横 坐 标 为 亍3+亚 3 +V5C.直线4 8的斜率为方-或一1 D.A/?写的内切圆半径是右一【答案】B C D【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出同、即可判断A,再由等面积法求出2力,代入双曲线方程求出乙，即可判断B,再求出直线的斜率，即可判断C,利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D；|力 用 一|力用=2 a=2“耳段=2 c=2百 口/=石+【详解】解：如图所示，由 题 意 知 卜 用 二|巴|,解 得 玛 卜 石 7,故A不正确;在R t阳尸2中

15、，由 等 面 积 法 知 力 内 网=5忸 段 也 解 得 叼=亍，X2 =1 +Z=5 x =巫代入双曲线方程得“2 3,又因为点/在双曲右支上，故”3 ,故B正确：k,AF 0,/?0）【详解】由题意得：双曲线的焦点在）轴上，设双曲线方程为。,因为MT 啕=2a =6,故 一，又双曲线的上、下焦点分别为百。书，&（0，-4）,故c =4,故/=c2-a2=1 6 9 =7 ,故双曲线的标准方程为：9 7 ,1 4 .过点尸（L2）且与C：x 2+/+6 x _ 4 y _ 3 =0 相切的直线方程为【答案】=1【解析】点 P 2）在圆C上，利用圆心到直线距离等于半径求解.详解0 C：/+j

16、，+6x _ 4 y _ 3=0 化为标准方程为（x +3）-+（y _ 2）-=1 6,圆心为C（-3,2）,半径为 4.由 1,+22+6X1-4X2-3=0,所以 H L 2)在圆 c 上.由直线xT,则圆心C（T2）到直线x =l 的距离为4 ，所以直线x =l 满足条件.故答案为：=1a=31 5 .已知数列也 满足“一子，-一。,=2 +1,则数列储 的 前 1 00项和$o o=4 00【答案】20?【分析】叠加法求解对，再裂项相消法求和即可.详解】一向一。“=2 +1,.*2时，3,=（凡一勺-1）+.一 +（的-6）+4 =（2n-l）+-+（2x 2-l）+-=n2a,=_

17、 3 ci=_ n 2 1*当 =1 时 4也满足上式，.4 （zze N ）4 （N2）,导1 =2（七一（M=2f l，=I 2n+）2n+（w N,）J l 4 00 4 00所以数列|M z,J的 前 1 00项和 a.=-2-0-0-+-1 =-2-0-1-.4 00故答案为：201 .X2 V2 X2 V2=+=1（。6 0）-1（0,/?0）万尸1 6.已知椭圆。b-和 双 曲 线 犷 有相同的焦点片，心，。为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为%三,-5,且 夜，6,则的 最 小 值 为.扣1 7 3【答案】3#3【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到

18、n1=3-b2,m2-a-3b 1,利 用e与 2 求8出 一3 20 倒，进而得到目的最小值.【详解】由题意尸为椭圆与双曲线的一个公共点，不妨设点P在双曲线右支上,耳为左焦点，鸟为右焦点，则 附 卜 忸 闾=2加，附 卜|因=2 _|耳玛|=2c,病+2=,2解得：附1=。+勺 附 卜”小，N F P F,J四 匕 屿由 3，得2PFt-PF22a22m2-4c2 12a2-2 m22解得：/+3/=4/,因 为/一/=?2 +麓2=c2rr-b2,m23a2-b23a2 bz 0,必满足 3e2=因为 m1,a2.3 5 4所 以 1 1 +3,才，仔3G解得：7寸e35a23 52,3,

19、解得2故马的最小值为3,昱故答案为：3四、解答题1 7.已知等差数列S 的前项和为S“，59=-27,S1 0=-4 0.(1)求数列“的通项公式；(2)设“=a +2”,求 数 列 也 的前项和I.【答案】(1产=7-2；(2)+6 +2n+l 2【分析】(1)设 得 公差为，根据$9=27,百。=-4 列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求”；（2）利用分组求和法求7，即可.9 a,+r f =-27,21 0“+!2r 2d=一 4 0 1 4=5【详解】（1）设 公差为d,由Sg=-27,%=-40 得，+丁 一 ，解 得 卜=-2,a=5-2（-1）=

20、7 2,;由=%+2 得”=7-2+2,7；=S“+2（1 一 2）=“+（“_ 1）x （_ 2）+2向-2=f 2+6“+2川 21-2 21 8.已知圆C的圆心在第一象限且在直线3x-J =。上，点（L 6）、点 8（1，0）均在圆0 上.求 圆 C的方程；（2）由直线x +V +4 =上一点尸向圆。引切线，4,B 是 切 点,求四边形aC8面积的最小值.【答案】G T）*）:3叵【分析】（1）由题可得月8的垂直平分线方程，进而可得圆心坐标，即得；先 求 得,心=|叫 r =通过求附|的最小值可得得与心的最小值.【详解】（1）由 O ）,8（1，0）,可得Z 8的垂直平分线为=3,又点

21、6）、点BQ。）均在圆c 上，圆 C的圆心在直线3x-y =。上，（y =3由 3x-y =0,可得x =l,y =3,即圆心。（中），又|。|=3,所以圆C的方程为（x-lY+d）*；（2）由（1）得，圆。的圆心为0（1 3）,半径-3,所以四边形尸/C B 的面积为S/MCB=归/|厂=M l。.,，所以当户0 最小时，S p g 最小，又C（L 3）到直线x +y +4 =。的 距 离 为 72,即归q 的最小值为4&,所以四边形收 -3?x3=3而4 c 8 面积的最小值为1 9.已知点耳（T ）,圆 心（x T）-+=1 6,点。在圆用上运动，巧的垂直平分线交凿于点P.（1）求动点尸

22、的轨迹C 的方程；（2）直线/与曲线C 交 于、N 两点，且MN中点为 ），求直线/的方程.x2 y2+=1【答案】（1）4 3（2）3x+4y-7 =0【分析】（1）由椭圆的定义求解，（2）由点差法得直线斜率后求解，【详解】由 题 可 知，忸周二忸1则 附 1+附|=|尸。|+附 1 =1。6|=4 2 忸 闾=2由椭圆定义知产的轨迹是以耳、行为焦点，且长轴长为4 的椭圆，.a=2,c=1,b2=a2 c2=3二+广 =.P的轨迹方程为C：4 3-x2 _y2 _ j（2）设“（x”M），NG?,乃）,.M,N 都在椭圆 4+3-上，i+2L=1 K+21=I&-X2）（+）（%一%）（/+

23、必）0.4 3,4 3 ,相减可得 4 3 一，又MN中点为 1），.芭+=2,必+%=2,必 f=3 _3玉-4,即直线/的斜率为一,二直线/的方程为 4,即3x+4 y-7 =0,因为点0 ）在椭圆内，所以直线3x+4y-7 =与椭圆相交于两点，满足条件故直线/的方程为3x+-7 =0.2 0.已知等差数列“的 前 项 和 为 且 S6=4S3，%,=2%+1 数 列 也 的前项和7；满足%=2 1 +2,且 4 =2,eN*(1)求数列%和 也 的通项公式;(2)设q =a，,求数列匕 的前项和忆【答案=2_ 1,2=2-3T 乩=(2-2 3+2,1=1【分析】(1)设等差数列 的公差

24、为4,根据题意列出方程组，求得1 =2,可 得%=2-1；利用%=2 1+2 可得=2 乙+2,(2 2),相 减 可 得 加=3也,，说明数列为等比数列，即可求得4=2-3(2)利 用(1)的结论求得1=%”的表达式，利用错位相减法即可求得数列的前项和【详解】(1)设等差数列 的公差为，6a,+1=4(3q +3d).W =4 5 3，出“=2a“+1,则%+L l)d=2q+2(-l)d+l ,g=l解得 1 =2,.%=1 +2(*-1)=2-1 ；数列也 的前项和7“满足“川=27；+2,且=2,“w N*,故。=2%+2,(2),则 -4 =2(T-T,),-.bn+l=3b”,由4

25、 =2 射+2,(2 2)可得4=2 4+2=6,可知6“片0,如=3,”22=3故“，而”适合该式，故 也 为等比数列，则 由 得，=2=2(2-1 3,故”“=2x 1 x 30+2x 3x 3+2x 5 x 3?+2(2-1 3T则3/7n=2x 1 X3+2 X 3 X 32+2 X 5 X 33+.+2(2/J-1)-3两式相减得-2”=2+4（3+3、+3i）-2（2-1）.3=2+I：；I _ 2（2一 ）*3=（4 一4n）-3-4故/=伽-2）3+2.32 1.已知抛物线C：V=3 x的焦点为凡 斜率为5 的直线/与c 的交点为/、8（/在第一象限）,与 x 轴的交点为P.如

26、图 若 网+网=5,求/的方程;15 4后 受 若卜丁，求PB3 1 3y=X-【答案】2 8；(2)3.7%+x2=-【分析】（1）根据抛物线的定义可得 一 2,设直线的方程，联立抛物线的方程，利用韦达定理结合条件即得；（2）利用韦达定理及弦长公式结合条件可得必=3,外=-1,进而即得.【详解】心。（1）由题可得,设 4（%必）,8（/2）,再0,必03AF+BF|=%+为+所以 2,7X.+X)=所以 2,3ly=-x +t设直线 2,3y=x+t 2由 卜=3 x,可得9/+1 2(-l)x+4/2=0则=-中1 2(1)=7 1从而 9 5,得1 3官,3 1 3y=x-所以/的方程为

27、 2 8.3y=x+t，2(2)由 卜=3X,可得/-2 y +2f =0,所以+%=2.|/例=因为+%)2-防_ _ 3所以 一 一 5,丁-2 3=0,可解得必=3,先=-1囹=3所 以 附2 2E:=+4 =l(a 6 0)2 2.已 知 椭 圆或b-1的离心率为5,依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为4 G.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点尸为E的右焦点，（一 2，）,直线/交E于 P,。（均不与点4 重合）两点，直线/,Z P,/Q 的斜率分别为匕左修，若 的+凝2+3 =0,求AFP。的周长+J 1【答案】（1）4+3 -.8【分析】（1）由题设可得基本量的方程组，求出

28、其解后可得椭圆的方程；（2）设 直 线/=区+加，由题设条件可证明该直线过定点（-L）,根据椭圆的定义可求周长.1 正_/2 _ 正【详解】（1）因为椭圆的离心率为万，故。-5,故。一 2,/T Lx2ax2b=4也因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为4力，故 2,所以 ab=2 石，故 a=2,b=g,3=1故椭圆方程为：4 3（2）设直线/i=履+加，0（冷必），。（工2，乃）%人 人上=_ +_=如 上+竺!竺则 玉 +2,工2+2,故 再 +2 工2+2 x,+2 x2+2(占+攵2 )+3=4故(g +7)&+2)+(监+加)(X +2)(“1+2)(超 +2)+32A x

29、lJr?+Qk+m)(x+x2)+4mx,x2+2(X +x2)+4+3由 y=kx+m 可得(3+4 K+8%加x+4?2 12=0故 A=64左2加2-4 0 +4/)(4加2-12)=144-48m2+192k2 0整理得至lj3一 加？+4%2 0,4 3 1 2X.X,=-,x,+工2=又 1-3+4 左 2 1 2-8km3+4左 2k(k1+h)+3=k故c,4”厂一12.、8km,2kx z-+(2K+w)x 、+4in3+4左2 3+4左24m2-12 -8kni.一,+2x+43+4公 3+4公+3：（?一 ）（?-2左）04nr-16km+l6k2,故机=或?=2后，此时均满足A0.若m=2%,则直线/：y=H+2 A,此时直线恒过（一2,0）,与题设矛盾,若机=3则直线/4=米+4此时直线恒过（7）,而（T，）为椭圆的左焦点，设为耳，故AP尸。的 周 长 为 阳+|图+|尸。|=附+|世|+附|+|/=4x2=8