2021-2022学年广东省广州市高二年级下册学期期中数学试题及答案.pdf

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1、2021-2022学年广东省广州市高二下学期期中数学试题一、单选题1 .已知函数“X)的导函数为尸(x),且/=5,则 l i m l+2A()As。AXA.2 B.-C.5 D.1 02【答案】D【分析】根据导数的定义式直接求解.【详解】因为(1)=5,所 以.2 +23-川)l i m 止2 例 二 期=2 八 1)=1。，A x A x-o 2 A.v故选：D.2 .函数y =/(幻的图像如图所示，下列不等关系正确的是()o/2 3 XA.0/(2)r(3)/(3)-/(2)B.0 /(2)八3)-八2)八 3)C.0 r(3)/(3)-/(2)r(2)D.0/(3)-/(2)(0,(3

2、)表 示 切 线 斜 率%0，又由平均变化率的定义，可得“2一(=/(3)-/,表示割线的斜率结合图象，可得0%心 4，即o r/(3)-2)530)=9 g p(430 4 g 4 5 3 0),即可求解.【详解】由题意，总分4 服从正态分布N(480,)，且 P(430444530)=0.78,1 _ Q *70根据正态分布曲线的对称性，可得产(4 530)=-=0.11,所以总分高于530分的考生人数为32000 x 0.11=3520.故选：B.5.己知(2-丁)(1 +2幻4的展开式中含V 的项的系数为()A.56 B.60 C.68 D.72【答案】A【分析】将二项式前一项展开并乘

3、入后面的多项式，根据（1 +2x）4展开式的通项，分别求得各项中/的系数，相加即可.【详解】因为（2-）（1+204=2（1+2x）4-1（1 +2x）4,其中（1 +2x）4展开式的通项&=C；（2x）=Q ./,所以V的系数为：2C；-C：2=56.故选：A.6.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）【答案】CC.84 D.96【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类，由此可得答案.【详解】由题意知，

4、分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，所以力可以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有4x3x2*2=48种；（2）A、C同色（注意：B、。可同色、也可不同色，。只要不与A、C同色，所 以。可以从剩余的3种颜色中任意取一色）：有4x3x1x3=36种.共有48+36=84种，故选：C.7.中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明.该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类.小明去中国文字博物馆参观，并任意选取了三类重要藏品重点参观，则小明在碑

5、碣、甲骨、瓷器三类中至少参观了一类的概率为()【答案】B【分析】9类藏品中选取3 类藏品共有C；=8 4 种不同情况，利用间接法可得在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观了一类有=8 4-2 0 =6 4 种不同情况，由古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：9类藏品中选取3类藏品共有C；=8 4 种不同情况，碑碣、甲骨、瓷器三类都不选有C：=2 0 种不同情况，则所求概率为2=出 清=.故选：B.8 .已知定义域为R的奇函数y =/(x)的导函数为y =/(x),当X W 0 时，/(x)+0,若a =/，b =(l og 3 J/(l og 3 J,c =则()A.acb B.b c aC.

6、a b c D.c a 0 构造函数g(x)=w),利用函数g(x)的奇偶性、单调性X比较大小.【详解】解：令函数g(解=令 函),则 g (x)=/(x)+W (x),因为定义域为R的y =/(x)是奇函数，所以函数g(x)为偶函数；当x 0 时，因为尸(x)+四=矿 +/*)0,所以4 (x)+/(x)0,即g (x)0,所以X Xg(x)在(0,+8)上为单调递增，a =l)=g ，b=(l og?/呜 J =g 1 g 3 J=g (-2)=g ，C =(lnl n=l n=(-l n 2)=(l n 2),因为。=l n l l n 2 In e =l,所以In 2 1 2,根据g(

7、x)在(0，M)上单调递增,所以g(1 n 2)g g .C a 0,所以函数/（x）在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；/（1）=0,故A正确；f（x）=x3-x2+x=0,得X（X2-3X+3）=0,2一3+3=0 中，=9-120恒成立，即方程只有一个实数根，即x=0,故C错误.故选：AD10.关 于 伍-与”的说法正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中仅第7项的二项式系数最大【答案】AC【分析】根据二项式系数的性质即可判断选项A,由为奇数可知，展开式中二项式系

8、数最大项为中间两项，据此即可判断选项BCD.【详解】（-3”的展开式中的二项式系数之和为2=2048,所以A正确；由题可知（a f）”的展开式的通项公式为 小=/1（-,因 为 为 奇 数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B,D不正确，C正确.故选：AC.11.下列说法正确的是（）A.设随机变量X服从二项分布,则 P（X=3）=,16B.已知随机变量X服从正态分布N（2,），且P（X4）=0.9,贝iJP（0X 2）=0.4C.E（2X+3）=2E（X）+3；Q（2X+3）=2Q（X）+3D.已知随机变量J满足尸R =0）=x,P（4=l）=l x,

9、若0 x g,则。（J）随着x的增大而减小【答案】AB【分析】结合正态分布的对称性和数学期望与方差计算公式和运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由随机变量X服从二项分布则 P（X=3）=C：（2）3（l-：）3=2,所以 A 正确；对于B中，由随机变量X服从正态分布N（2,），且P（X 4）=0.1,根据正态分布曲线的对称性，可得尸（0X 2）=J l-2 P（XN4）=0.4,所以B正确；对于C中，根据期望和方差的性质,可得E（2X+3）=2E（X）+3,D（2X+3）=2?.短（X）,所以C不正确；对于D中，由随机变量J满足P（4=0）=x,尸伤=1）=1一万，可得 E（J）=

10、1 -x,0（?=x-x2,根据一次函数与二次函数的性质可知：当0 x =4 1 +/在 =1处的切线方程是.【答案】6 x-y-5 =0【分析】先求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率，写出切线的方程.4【详解】y =-+2 x,当X=1时 y=l,所以切点坐标为（1,1）,XM l=6,所以切线斜率为6,所以切线方程为y-l=6（x-l）,即6 x-y-5 =0.故答案为：6 x-y-5 =014.将 4 名实习老师分配到3 个班级任课，每班至少1 人，则不同的分配方法数是.（用数字作答）【答案】36【分析】先将4 名实习教师分成3 组，再将三组实习教师分配到三个不同的班级，按分步乘法计数原

11、理即可求出总的分配方法数.【详解】先将4 名实习教师分成3 组，共C；=6 种分组方法，再将三组实习教师分配到三个不同的班级，共A；=6种分配方法，总共有6x6=36种分配方法.故答案为：36.15.设a 0,b 0,且jo r+K）展开式中各项的系数和为3 2,则：的最小值为I 厂 J a b【答案】|94.51 4 1【分析】利用已知条件可得出。+方=2,再将与+相乘，展开后利用基本不等式可求得上1 +:4的最小值.a b【详解】因为。0,b0,则4+匕 0,所以，(分+卷，展开式中各项的系数和为(+4=3 2,c r,n l 1 4 I f l 4 1 b 4a V 1(c c m 4

12、1 9所以，a+b=2,则一+工=彳+7 (a+6)=彳 5+丁 2 彳 5+2-=-,a b 2a bJ 2v a b j 2 y a b)21 4 Q当且仅当b=2 a时，等号成立，故人 +?的最小值为)a b 2-9故答案为：.1 6.如图，正方形纸片ABC。的边长为5 c m,在 纸 片 上 作 正 方 形，剪去阴影部分,再分别沿EFGH的四边将剩余部分折起.若A、8、C、。四点恰好能重合于点P,得到正四棱锥P-E F G/,则尸-FG”体积的最大值为【答案】而3 3【分析】设正方形E F G 的边长为2 x,分析可得0 述，求出正四棱锥P-R 汨4的体积关于x 的函数关系式，结合导数

13、法可求得正四棱锥尸-EFG”体积的最大值.【详解】设正方形ABCD的中心为点。，则点O 也为正方形EFGH的中心，连接连接AC分别交E H、FG于点M、N,易知、N分别为EH、FG的中点，G设正方形EFG”的边长为2 x,。为AC的中点，则AO=，AC=拽22。、分别为尸、HE的中点，则OM=1E =X,则AM=AO-OM=述-工,22由题意可得乎 一x x,可得0 x0 4如下图所示，在正四棱锥P-EFG”中，POJ_平面EFG”，OM u平面“G ，列表如下:X（0,匈场K)尸+0/（X）增极大值减所以，“UMM，因此，尸-EFG”体积的最大值为生叵cn?.3故答案为：生叵.3四、解答题1

14、 7.在 _ABC中，角 A&C 所对的对边分别为a 权c,且3反osA+a8sB=b+c,求 4;（2）若 a=14,cosB=g,求3 ABe 的面积.【答案】（1）A=（.（2）5小肥=40百【分析】（1）边角转换，再利用三角恒等变换可求得角A；（2）利用正弦定理求得边长b,再利用三角形内角关系求得sinC.【详解】（1）将条件中的边转换为角度的正弦值3sin Bcos A+sin Acos 5=sin 3 +sin C=sinB+sin（A+B）=sinB+sin Acos B+cos Asin B又丁2sinBcosA=sinBcos A=2AG(0,冗)A=713(2)由cosB=

15、:得sin8=生叵，又三得人=16,7 7 sin A sin Bsin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=,5Azisc=；a%sinC=；1 4/6 誓=40 6，所 以 4 8 c 的面积为40G.1 8.已知等差数列 ,各项均为正数，公差d 3,若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为由,%，%，且%，4，%中任何两个数都不在同一列.第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行1 1129 求数列加“的通项公式；设。=Q+).(.|+3)，数列 2 的前 项和为力 求证：T-.【答案】见=2-1(2)证明见解析【分析】(1)由等差数列的性质和

16、定义即可求出；(2)求出/，利用裂项相消法求出7；,即可证明.【详解】(1)由题意可知，数列 ,为递增数列，又公差d3,所以为=5,4=7,%=9,则可求出a|=l,d=2,a=2n-l.2+1 n+2n+23 _1 12 n 4-1 +21 9.如图所示，正方形A BC。所 在 平 面 与 梯 形 所 在 平 面 垂 直，AN!IBM,(1)证明：ANJ 平面A BC。；(2)在线段CM上是否存在一点E,使得平面E3N,平面B NM的夹角的余弦值为也,3若存在求出C岁E的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；【分析】(1)证得8CL 4V和AB L4V,结合线面垂直的判定定理即

17、可得出结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】(1)A B=A V =2,B M=4,C N =2百，四 边 形 是 梯 形，四边形A 8 C 是正方形，故8 C 1.A B,B C =2,又平面A B C D1平面A B M N，且平面A B C。；平面ABMN=A B,，BC _ L平面AB MV,且AVu平面AB M/V,二皮;上四，B C2+B N2=C N2,B N =2五，.4 V J平面 ABCD,(2)如图，以B为原点，8 A B M,8 C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 N(2,2,0),M(0,4,0),C(0,0,2),设C三E二g

18、 则七(0,4,2-2/),C MB N =(2,2,0),BE =(0,4 r,2-2 z),设平面E B N的一个法向量为“=(x,y,z),(2x+2y=0 .1八 _ 2/)z =0故平面EB N的一个法向量为4 =(1 1 2)，易得平面B MW的一个法向量为2 =(0,0,1)I2M 上由 题 意 得用=/2 22=Tl i l l 2l+(r-l)+4/33产+2，-1 =0，解得，=g,C E 1 CE 1故-=-，=一C M 3 E M 22 0.2 0 2 2 年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物冰墩墩 自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款

19、以“冰墩墩 为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为8 0 元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的1 0 0 名消费者的心理价位整理如下：心理 价 位（元/件）9 01 0 01 1 01 2 0人数1 0 2 05 02 0假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x （单位：元/件），9 0 x 1 2 0,且每位消费者是否购买该纪念

20、品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.（1）若x =l（X）,试估计消费者购买该纪念品的概率；（2）在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E（X）；（3）假设共有“名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为丫（单位：元），当该纪念品的销售价格X定为多少时，y 的数学期望E（Y）达到最大值？【答案】（1）0.9 分布列见详解，E（X）=3.6（3）当该纪念品的销售价格定为1 1 0 元时，E（y）达到最大值2 1 例.【分析】（1）由调查表直接可得；（2）由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（3

21、）利用二项分布的期望公式求出*=1 0 0,1 1 0 2 0 时的期望4丫），比较得最大值.9 0【详解】（l）x =l（X）时，消费者购买该纪念品的概率尸=卬=0.9(2)由题意 X 3(4,0.9),P(X=i)=C；0.9 (l-0.9)i,/=0,1,2,3,4 ,p(X=0)=0.14=11 0 0 0 09同理P(X =1)=2 5 0 0,P(X =2)=2 4 35 0 0 0，P(X=3)=7 2 92 5 0 0尸(X=4)=6 5 6 11 0 0 0 0X的分布列为:X01234P1 0 0 0 092 5 0 02 4 35 0 0 07 2 92 5 0 06 5

22、 6 11 0 0 0 0E(X)=4 x O.9 =3.6.(3)由(2)知9 0 x 4 l(X)时，E(y)=Mx x(x-8 0)1 8 M (=1 0 0时等号成立),7 01 0 0 x 1 1 0 ,E(r)=Mx-x(x-8 0)2 1 M (x =1 1 0时等号成立)，1 0 02 0H O x 1 2 O 0 f,E(y)=Mx x(x-8 0)0,因此4 y)=2 1 M最大，此时x =U 0.所以当该纪念品的销售价格定为no元时，y的数学期望双丫）达到最大值2 1例.2 1.已知定点尸（后0）,圆。:（x +6 +y 2=1 6,N为圆。上的动点，线段NP的垂直平分线

23、和半径NQ相交于点（1）求点M的轨迹的方程;（2）直线/：x =Q+”与曲线相交于A,8两点，且以线段AB为直径的圆经过点C （2,0）,求二ABC面积的最大值.【答案】三+V=14”2 5【分析】（1）利用定义法求轨迹方程;（2）用“设而不求法”表示出C4C8 =0整理化简可得（5-6）（-2）=0,解得:=1,或=2,由直线x =B+”不过点C（2,0）,得到=4，判断出直线/恒过点刖）.表示出S ABC=五2 5(4 +用-3 6(4 +可设利用单调性求出最大值，即可得到,ABC的面积的最大值.【详解】（1）因为N为圆Q上的动点，线段NP的垂直平分线和半径NQ相交于点例,所以由线段垂直平

24、分线的性质可得：MP=MN,所以M（+MP=|M +|M N|=4|P 0 =2 名，故点M的轨迹是以尸、Q为焦点的椭圆.其中a=2,c =6,*-b2=a2 c2=4 3 =1 ,故点M的轨迹r 的方程为+y2=l.4（2）由题意，设 A（x，y J,8（孙 冉），V 2联 立 了+，,整理可得:（4+小2 +2 切y+“2 _4 =0,x=ky+n所以=软、2 _4（4 2+4）（2 _4）=1 6r_1 62+64 0,2kn tv-4）什 必=一 在 F,.=心因为以线段A3为直径的圆过椭圆的右顶点C（2,0）,所以C 4 C B =0.由 C 4 =（X 1-2,y J ,CB=（x

25、2-2,y2）,则（司-2）（电-2）+%=0.将 看=心 +，x2=ky2+n代入上式并整理得。+女2）必必+必-2）（凹 +%）+（-2=0则（1+/）（、4）厂 2 炉 （一 2）4 +公 4+公+（-2）2=0化简可得（5 一 6）（-2）=0,解得:,或=2,因为直线=处+”不过点C（2,0）,所以“工2,故 =，所以直线/恒过点故SZMSC=g（2 _ g）+必-4 y%82 5（4 +二）-3 62 5（4 +。设,=4+k2则S 由=V J-3 6r+2 6 在f e (0,；上单调递增,当t=1时，S482 5J-3 6x +2 5 x 1V 1 6 41 62 5所 以 A

26、 B C 的面积的最大值为77【点睛】(1)待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；(2)“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2 2.已知函数f(x)=L-x+a l n x.讨论/(x)的单调性:(2)若函数有两个极值点看、演且占 x?,求证：a2,令/。)=0,得到两个极值点斗超是方程*2-如+i =o 的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.【详解】解：的定义域为(0,+巧，/(x)=-1 +-=-%2-?+1.X X X设 g(x)=x 2-a r+1 ,当4,0时，g(x)0恒成立，即

27、f(x)0 时，判别式A =/-4,当0 2,令 g(x)=0 得，“七 用i或犬=”日 三.x,/(X),f(x)的变化如下表：X；4)a-yja2-42a-yJa2-42,a+/a2-42a+Ja2-42+8)a+Ja2-42f,M0+0fM单调递减单调递增单调递减综上当4,2时，/(x)在(0,”)上单调递减，当a 2时，在(0,竺 咚 二1)和(竺 孚 三，+动上单调递减，在 竺 近 三 史 正 三 上单调递增.2 2解：由(1)知，x)存在两个极值点当且仅当a 2.由于/(x)的两个极值点飞多满足x 2-a r+l=0,因为玉v x?,则0玉1。2，x2=1 ,xi+x2=a,则X要证2x,-21nx?,即 x,+x2 内x2,则 I n Xj iI n1 x1-,玉 Ett1即 In x,+In x,x,王即证2 In玉 ,在(0,1)上恒成立，X=21nx-x+,(0 x 1),其中(1)=0,所以/r(x)=-i-4=-寸 卓 比=_ A(l)=0,Hp21nx-x-f-0,xi 2 n x x-,X G(0,1),则。2九2-2卜 工2成立.