2022-2023学年湖南省株洲市高一年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年湖南省株洲市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题Af =J x l,x e N+1 .已知集合 I X J,则M 的 子 集 的 个 数 是()A.1 5 B.8 C.7 D.1 6【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.2 l -5 x=x A/=1 1,2,3,4 1【详解】因为XGN+,所以由X 12 .已知。，beR,则“6 ，是a 6，的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.a,1【详解】当 6 时，若6 ,则 故 充 分 性

2、 不 成 立.一a 6 时，若6 1所以“6 ”是 的 既 不 充 分 又 不 必 要 条 件.故选：D3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将以坐标原点O 为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函*y=x2-2x g y=cos x1.y=x C.y =s mx D.x【答案】c【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数

3、的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A,y =-2x不是奇函数，A选项错误；对 于B,V=c o s x不是奇函数，B选项错误；对于C,V=s i n x的定义域为R,且是奇函数，C项正确；对于D,一 .嚏 的 定 义 域 为 所 以 图 像 不 经 过 坐 标 原 点，D选项错误；故选：C.4 .已知函数（“一 ,则函数/（2-x）+x）的定义域为（）A.，+功 B.H C.B N D.，町【答案】C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由/（x）=4-xeon-24x42.j-2x 0 x 2故选：C5 .下列函数中，以兀为最小正周期且

4、在区间I 2 J上单调递减的是（）XA y =s i n 2 x B =lcosxl Q y=tan X p J-c o S【答案】B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.c 兀 r 0 X 一【详解】A选项，对于函数了=涧2，由 2得0 2 0,即/(x)0,排除 A故选：B.1.2兀7,若a =e 人=】叫3,b g2 s HiA.bc a B.b a c则。、6、c的大小关系为（）C.c a bD.ab c【答案】D【分析】借助中间量，1 比较大小即可.【详解】解：由题知”=e 7 e=l,分=嗨3 6 =l o g=1,1 2兀 J3 1 1 cc=

5、log2sin =c=log2 log2l=0所以C061 b c故选：D|2 s i n 7 i x（0 x l）,若“、b c 互不相等，且/=/）=/）,则a +6 +c 的取值范 围 是（）A 0,1 0 0）B.（L“）C.Q i%D.R i【答案】C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数“X）的图像，再利用图像数形结合即可发现。、人、。间的关系和范围，最后求得所求范围.【详解】函数“X）的图像如图所示：0 l gc 2,.,1 C 1 O O2 唾 3 则下列不等式一定成立的是（）八 1 1A.K C D.&四【答案】C D【分析】先求得凡6的关系式，然后对选项逐一

6、分析，从而确定正确答案.详解由于l g3a 1/3人，所以a00,0 1 50,所以 a b,所以A选项错误.B选项，当=21=1时，唾3（6）=唾31 =0,所以B选项错误.C选项，由于。友。-6 ,所以3“3 =1,所以C选项正确.D选项，在R上递减，a 。0,所以12J,所以口选项正确.故选：C D1 0.下列各式中，值为G的 是（）7兀 ，.兀 兀，兀.3兀）t a n 2 s i n c o s +c o s s i n A.3 B.（1 2 4 1 2 4 J1 +t a n l 5 C.l-t a n l 5 D.c o s l 5 0-G s i n l 5【答案】A B C【

7、分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.7 7 1 （c 兀、兀 二t a n =t a n 2兀 +=t a n =V3【详解】对于A,i 2 3 I 3J 3,故A正确；ic o s l 5 0 -V3s i n 1 5 0 =2 c o s l 5 0-s i n l 5 对于D,2 2=2（s i n 30 0 c o s l 5 0-c o s 30 s i n l 5）=2 s i n（30-1 5）=2 s i n 1 5。w 由 故 D 错误故选：A B C1 1.设函数/G）=2 s i n（2 x +o）（l5）o）=一色则下列叙述正确的是（）对于B

8、,故B正确:l +t a n l 5 0对于 C,l-t a n l 5-t-a-n-45-+-t-a-n l-5-=t a n（z4 5+1一5 八）=t a n 6 0/八 c=J3厂l-t a n 45 t a n l 5 0-,故 C 正确;A./(X)的最小正周期为兀7TC./(X)在1 _ 2 上的最小值为T_ 5 7 rB./(X)的图象关于直线“一五 对称x f,0 D.J U)的图象关于点I 3 J对称【答案】A B D【分析】根据正弦型函数的周期公式、对称性、最值逐一判断即可.【详解】.“g i n 展产。=-等,又同./(g in,、)；对于A,7(X)的最小正周期一万一

9、“，A正确；偿=2 s i n(2 x 2 =2 2对于B,因为 U 2 J =/（、）与歹二卜朗的部分图像，如图，因函数，=x）的最大值为1,而当x 1 0 时，*1,因此函数V=x）与尼M 图像的交点在（。）内，观察图像知，函数y =x）与 切 图 像 在（1 ）内只有6个交点，所以函数夕=/6）一口国有6个零点，D 正确；故选：A C D.三、填空题1 3.函数，=8 （2 -3）+8 的图象恒过定点p,尸在幕函数/G）的图象上，则4）=.【答案】6 4【分析】由题意可求得点尸，8）,求出基函数/（X）的解析式，从而求得，（4）.【详解】令=2,则故点P Q，8）；设暴函数/（x）=,则

10、 2:8,贝 Ij 6 =3 ；故 6 4；故答案为：64.5 2 十 1 4.若正实数。、b,满足lga+3=l,则a 6的 最 小 值 为.【答案】2【分析】求得 力的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.详解正 数 满 足lga+=lgM =l,时=10,1+1 2 1-2 2=2 4=56=2所以。6 N a b,当且仅当 b”时等号成立.故答案为：2【答案】0【分析】根据诱导公式进行求解即可.、sin（弓 +a）+c o s+a）=sin-y +cosn-y +=cosy-a j -cosy-=0,故答案为：0四、双空题区.1 6.已知函数/（s in Q x +o）（。0,C e

11、 R）在区间（12 6 J上单调，且满足倨=陪）则函数/（X）的最小正周期为.（2）若函数/G）在区间-2 兀 13KT,-F上恰有5个零点，则”的取值范围为8 八-co3【答案】兀3【分析】（1）由题可得/G）对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断。的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到”的值从而得出最小正周期；（2）根据函数的对称中心及。的大概取值范围，结合三角函数的图象可得生+2 7 包4 互+力3 6 3 2,从而解出.【详解】因为函数/（*）=内（妹+0）在区间 12 6 J上单调,且满足喧卜借）,./（X）对称中心为2兀 ,+（p=km i 7代入可得3,2,位,2

12、竺o/（）在区间（12 6 J上单调，且/（X）对称中心为I 3 人5兀 2兀兀 2兀 7i _ 7i 7 KXVT-T 6,T 6 212,（兀 5瓦./（X）在区间12,6 J上单调,T 5兀 兀 兀 N-=2 6 2 3,.0 69 一 3,即。一 3,(1)5兀 5兀 兀 ,./(X)关于 一万对称，代入可得正 十 一万+尹，&e Z,71(0 7 1 .-+K T C一可得 4 2,k w Z,即。=-2+必，kwZ,又 0 。43,-2nT=-=7T.=2,co.（2）.J。）对称中心为=02兀 13兀T,-T上恰有5 个零点,/G）在区间-T57/（X）相邻两个零点之间的距离为耳

13、，五个零点之间即2 7,六个零点之间即5,生+27 生4 型+力 只 需 3 6 3 2即可，8,10-（v 所以33,又.()3,-y cos210+cos(-300)-sinl 505【答案】(1*1.【分析】（1）根据指数塞的运算性质，结合对数换底公式进行求解即可;（2）根据诱导公式，结合两角和正弦公式进行求解即可.【详解】（1）+2小噫3 3 8 =+2 常噜=$2 一 3 1sin(-120)-cos2100+cos(-300)-sin 150=-sin60 (-cos30)+cos60-sin30=sin(60+30)=sin90(2)=1/=卜；2旬 81 8.已知全集0 =区，

14、集合B=x|3a-2 Vx 2a+当 a=l 时，求”叫（2）若“门8=8,求。的取值范围.【答案】#2 或a=3,+)【分析】（1）先求出集合A、B,进而求出I*,再根据集合间的并集运算即可;（2）由/口8=8 可得8=/,分 8=0 和8 工0 两种情况讨论即可求解.【详解】由 2T 2,”2 3,所以-l x +l 3,即-2 x 2,所以“=X1-2X2,当”=1 时，8=X1X 3 ,全集 =R,所 以=收 1或 笆 3,所以2 G)=x|x 2 或x 2 3.(2)因为1 口8=8,所以B q/,当8=0 时，满足8 勺“，所以3 a-2 2 2 4 +l,解得。2 3；3。-2

15、2。+1-2 当8 W 0 时，则以”+142,解得5.0,1lu3,+co)综上所述，。的取值范围是L 2A（兀）.（兀 6cos a+sin a+/、I I=_8 J。工1 9已知 2cosQ _a）_3sin（7 i:+a）,求 tan a的值：yffefo,-1 cosf +,=若I 2）,且 4 J 5,求a +4 的值.1tana=【答案】2a+p =-4【分析】(1)根据诱导公式化简整理，上下同除c o s a,计算即可得答案.sin(巳+尸(2)根据题意及 的范围，可求得 14 1 的值，根据两角差的余弦公式,可得c o s/的值，进而可得tan#的值，根据两角和的正切公式，可

16、得tan(a+/)的值，即可得答案.2cos（兀 一 a 3sin（兀 +a ）【详解】(1)V6sina+cosa 6tana+l n 八 1-=-=-8 tana=.-2cosa+3sina-2+3tana,解得 2兀 兀 -3兀 +/?Z?sin(j+力cos岭 小 仔+卜旦也+也逆=亚|_(4 J 45 2 5 2 10sin即画10tan4=-则 3tan(a+/Q J a n a +tan夕1 -tanatan/?1 1+-=2 3=i,1 11 x 2 3a+e(0,又:I 4O 兀2 0.已知函数人)二 cos2x-cos 2x+1I 3)(1)求函数/G)的最小正周期、单调增

17、区间及对称中心；求函数/(“)在上的值域.7 1.兀 (阮兀J【答案】兀；L 3 6，k e Z.2 12),k Z吴f(x/(x)=sin 2x+-J+1【分析】(I)先 化 简 函 数 人 可 得 I 6，再结合正弦函数的性质求解即可；(2)根据正弦函数的性质求解即可.f (x)=cos2x-cos(2x+2 =cos2x-cos2xcos +sin2xsin-=cos 2x+sin2x+1【详解】(1)13J 3 3 2 2即f (x)=sin(2x+j+l所以函数/(X)的最小正周期7=万IT T T 7T JT T T2lai 2x+2 ZTT4-ku x +令 2 6 2,k$Z,

18、即 3 6,k Z所以/(x)的单调递增区间1.n.兀KJl-,Kit H-3 6k E Z2x+=ku令 6ku 7 1x=-%dZ,解得 2 1 2 ,如,1所以对称中心为I 2 12人 k e Z.（2）由（1）知:/(x)=s i n 2 x +2)+1所以“x）在I%）上的值域为5/（X）=4 +-2 1.已知函数 2、+1 为奇函数，a e R.求。的值；（2）判断函数/（X）的单调性，并用单调性的定义证明：若存在臼一2,-口，不等式有解，求实数f 的取值范围.【答案】（l）a =T;（2）/（X）在 R上单调递减，证明见解析；.【分析】（1）根据奇函数的性质/（）二,求出参数。的

19、值，再代入检验即可；（2）根据指数函数的单调性结合条件可得函数的单调性，再利用定义法证明即得；（3）根据函数的奇偶性与单调性得到C-X+1 在x w -2,-l 有解，然后根据二次函数的性质即得.2【详解】（1）因为6）一 ”+万 的定义域为R,又/（X）为奇函数，所以/（o）=o,即-2。+1 一,解得a =T,所以2 +1 2、+1,则（”Er岩f（x）,/（x）=-l +-所以 2、+1 为奇函数，故=-1：(2)/(X)在R上单调递减，证明：设任意的多，x?e R且王 x?,“、2 J 2 1 2 2 2(27)所以 3 尸 g,一FT T (F T T )FT T-FT T一(2、，

20、+i)(2 J i)又因为再*2,v=2、在R上单调递增，所以2*,0,且0+1)0 +1),所以/(国)-/&)。，即/(占)/()，所以/(X)在R上单调递减；(3)因为/(X)是定义在R上的奇函数，所以/G 7)+/(+)0 =/(+)/7),因为函数/(X)在R上单调递减，所以因为存在X 2,-1,不等式/(x-l)+/(f+f)l+e f-1,1 1因为 I 2)4 L，所以，-l,即实数，的取值范围为(7+).2 2,函 数 小)=1&(4,+1),g(x)=(M 记尸(x)=/(x)-g(x),且尸(x)为偶函数.(1)求常数上的值；F(a m(2)若对一切。!,不等式 2恒成立

21、，求实数机的取值范围；M(x=l og4|a-2x-a(3)设 I 3 A若函数(町与 的 图 象 有 且 只 有 一 个 公 共 点，求实数a的取值范围.k 二【答案】(1)2 用 -1（3）-3 u （l,+oo）【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数上的值：,4 x 1 w l og4-3-F（a）-m（4 +1丫（2）将不等式 2恒成立，转化为 0,依 题 意W 7 3 只有一个正实根，分类讨论“的不同情况，即可求出实数机的取值范围.【详解】由题意可知,尸（x）=l g4（4*+（I）x,x e R,尸（X）为偶函数，.尸”尸（X）,即 1叫（4一*+1）+（%-1 ）x=l o

22、g&（4 +1）-（1 ）x,l og4（4*+1）-x+（左-1）x=l og4（4 +1）_（左 一 1 ）x，（2 3）x=0,x e R,2.F（x）=l og4（4x+1）-（2）由（1）得 7 2,条件 FL（a -2 m,即：l og4（4a+1）7-2 -2 m,m a-l og4（4 +=l og4（：设 =44eR）,0八嘀过篇=嘀土.1=7令1，_ 1当且仅当一乙 即，=1时等式成立，。皿=7,即机 T；V (x)-尸 (+1 5=l og伞2 j(3)依题意：一 ，即、2仅有一解,4 +1 4-=4 2 a.2X 3。2-0(-1)(2、)-a-2x-1=0即1 3 ，

23、故(八J 34h(t=(a t2 a/1 =0设，=2、,依题意 3 只有一个正实根.4h(t)=t-l=O1。当 a =l 时，3 ,3:.t=一 一4 (舍)/?(/)=(0(0)=-1 1.3。当a 时，方程4 at=03 有两个相等的正根.由a -1 0A =a2+4(a-l)=09,得a 14 a 2 +9。-9=0即(4 a-3)(a +3)=0,t=_3其中，当a =-3时，-5符合题意；当“一时，=-2不符合题意.综上所述，实数。的取值范围是-3。，+8)【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.