2021-2022学年广东省广州市高二年级上册学期期末联考数学试题及答案.pdf

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1、2021-2022学 年 广 东 省 广 州 市 高 二 上 学 期 期 末 联 考 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合 A=xeN；2*+i 16),8=卜|/-4x+m=。,若 leA B,则 A B=()A.I,2,3 B.1,2,3,4 C.0,1,2 D.0,1,2,3【答 案】D【分 析】根 据 题 意，解 不 等 式 求 出 集 合 4=0,1,2，由 1 B,得 IwB,进 而 求 出 m=3,从 而 可 求 出 集 合 8=1,3,最 后 根 据 并 集 的 运 算 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：由 题 可 知，A=xeNg2，w16,而 32向 16

2、,即 2T 解 得：-2x2i)(l+2z)(l-2z)5-10/5=l-2z故 复 数 z的 虚 部 为-2.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 复 数 的 相 关 概 念 及 复 数 的 乘 除 运 算，按 照 复 数 的 运 算 法 则 化 简 计 算 即可，较 简 单.3.等 比 数 列%中，a+a2=1,a4+a5=S f 则-=()%+6A.-8 B.-4 C.2 D.4【答 案】D【分 析】利 用 等 比 数 列 的 下 标 特 点，即 可 得 到 结 果.【详 解】.。1+。2=1，4+。5=-8,5 rax+a2q=-2,.%+必 一 2 T%+0故 选：D4.王 昌 龄

3、是 盛 唐 著 名 的 边 塞 诗 人，被 誉 为“七 绝 圣 手”，其 从 军 行 传 诵 至 今“青 海 长 云 暗 雪 山，孤 城 遥 望 玉 门 关.黄 沙 百 战 穿 金 甲，不 破 楼 兰 终 不 还”，由 此 推 断，最 后 一 句“返 回 家 乡”是“攻 破 楼 兰”的()A.必 要 条 件 B.充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要【答 案】B【分 析】由 题 意，“不 破 楼 兰 可 以 推 出“不 还”，但 是 反 过 来“不 还”的 原 因 有 多 种，按 照 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 即 可 判 断【详 解】由 题 意

4、，“不 破 楼 兰 终 不 还”即“不 破 楼 兰”是“不 还”的 充 分 条 件，即“不 破 楼 兰”可 以 推 出“不 还”，但 是 反 过 来“不 还”的 原 因 有 多 种，比 如 战 死 沙 场；即 如 果 已 知“还”，一 定 是 已 经“破 楼 兰”，所 以 还 是 破 楼 兰 的 充 分 条 件 故 选：B5.饕 餐(taotie)纹，青 铜 器 上 常 见 的 花 纹 之 一，盛 行 于 商 代 至 西 周 早 期，最 早 出 现 在 距 今 五 千 年 前 长 江 下 游 地 区 的 良 渚 文 化 玉 器 上.有 人 将 饕 餐 纹 的 一 部 分 画 到 了 方 格 纸

5、 上，如 图 所 示，每 个 小 方 格 的 边 长 为 1,有 一 点 户 从 A 点 出 发 每 次 向 右 或 向 下 跳 一 个 单 位 长 度，且 向 右 或 向 下 跳 是 等 可 能 性 的，那 么 它 经 过 3次 跳 动 后 恰 好 是 沿 着 饕 餐 纹 的 路 线 到 达 点 8 的 概 率 为()A-AC 7B.D.28_5【答 案】B【分 析】本 题 首 先 可 根 据 题 意 列 出 3次 跳 动 的 所 有 基 本 事 件，然 后 找 出 沿 着 饕 餐 纹 的 路 线 到 达 点 B 的 事 件，最 后 根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 即 可

6、 得 出 结 果.【详 解】点 尸 从 A点 出 发，每 次 向 右 或 向 下 跳 一 个 单 位 长 度，3次 跳 动 的 所 有 基 本 事 件 有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下,右，下）、（下，下，右）、（下，下，下）,沿 着 饕 餐 纹 的 路 线 到 达 点 B的 事 件 有：（下，下，右）,故 到 达 点 8 的 概 率 P=J,O故 选：B.6.已 知 c o s a-.则 cos(2a+g 71卜 8-9一 D.8-9C7-9一 B.7-A.93)【答 案】A【解 析】利 用 换 元 法 令 e=a-。，再 利 用 诱

7、导 公 式 和 倍 角 公 式，即 可 计 算 得 到 答 案;【详 解】令 6=a-则 a=6+3，cos6=；,所 以 cos1 2 a+?=cos=cos(2 0+乃)=-c o s2 6故 选：A.【点 睛】利 用 三 角 恒 等 变 换 进 行 求 值 时，注 意 整 体 思 想 的 应 用.7.过 抛 物 线 V=2 p x（p 0）的 焦 点 尸 作 斜 率 大 于 0的 直 线/交 抛 物 线 于 A,8 两 点AF|（A 在 B 的 上 方），且/与 准 线 交 于 点 C,若 CB=4 B F,则 曷=B FA.-B.-C.3 D.23 2【答 案】A【分 析】【详 解】分

8、 别 过 A,B作 准 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为 M,N,设 怛 耳=x,|AF|=y,则,BN BF AM yBCBC AC y+x+4x1.AF_y_54 BF x 3故 选 A.8.设 数 列 叫 的 前“项 和 为 S，当 e N 时，4,n+g,。用 成 等 差 数 列，若 S,=2020,且 见 3,则”的 最 大 值 为（）A.63 B.64 C.65 D.66【答 案】A【分 析】根 据 等 差 中 项 写 出 式 子，由 递 推 式 及 求 和 公 式 写 出$62和 5”进 而 得 出 结 果.【详 解】解：由 n+g,%”成 等 差 数 列，可 得%+g“=2+

9、l,eN*贝 lj。+。2=3,。3+=7,火+=1 1，L可 得 数 列,中，每 隔 两 项 求 和 是 首 项 为 3,公 差 为 4 的 等 差 数 列.贝 西=3x31+1 x 4=1953 2020,则”的 最 大 值 可 能 为 63.由+勺+1=2九+1,/w N*,可 得%+4+2=2+3.$63=4+(%+4)+(%+4)+。63)=1+5+9+125_,U 31x30 彳 _=q+31x5+-x4=2015 4-67)因 为 q+2=3,ax=3-a2,tz2-3,所 以 4 0,则%=2015+4 2 0 1 5,当 且 仅 当=5时，S63=2 0 2 0,符 合 题

10、意，故 的 最 大 值 为 63.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 等 差 数 列 的 性 质 和 递 推 式 的 应 用，考 查 分 析 问 题 能 力，属 于 难 题.二、多 选 题 9.下 列 命 题 错 误 的 是（）A.命 题“*e R,与 2+13%”的 否 定 是“女 611,A+l 3 x”B.函 数“/（x）=c o s a r-s in o r的 最 小 正 周 期 为 万”是“a=2”的 必 要 不 充 分 条 件 C.x2+2 x a r lS x e l,2 时 有 解 o（%2+2 x%之（5）在 x e 1,2时 成 立 D.“平 面 向 量 与 人 的 夹

11、角 是 钝 角”的 充 分 必 要 条 件 是 0【答 案】ACD【分 析】A,命 题“现 e R,1+1 3%”的 否 定 是“心 11，X2+1 3 X,，;B,由 函 数/（x）=c o s a r-s in a r的 最 小 正 周 期 为 乃 n a=2；C,令。=2则 可 判 真 假；D,当“a/3%”的 否 定 是“也 14,X2+1 3 X,故 A 错 误；对 B：由 函 数 犬）=（：0$-$山 以=&8$（如+?）,则 7=子=1,贝 Ia=2,故 B正 确；对 C：a=2时，V+2x War 在 x e l,2 上 恒 成 立，而（Y+Z x%=3（2X）所”=4,故 C

12、错 误；对 D,当/0”时，平 面 向 量 与 万 的 夹 角 是 钝 角 或 平 角，,“平 面 向 量 a 与 匕 的 夹 角 是 钝 角”的 必 要 不 充 分 条 件 是“包 0，故 D 错 误.故 选：ACD.1 0.正 方 体 A B C D-A M G A的 棱 长 为 1，E,F,G 分 别 为 BC,CC,8月 的 中 点.则)A.直 线。与 直 线 A F垂 直 B.直 线 A G与 平 面 A E F平 行 9C.平 面 A E F截 正 方 体 所 得 的 截 面 面 积 为 弓 D.点 C 与 点 G 到 平 面 A E F的 距 离 相 等 O【答 案】BC【分 析

13、】对 于 A,利 用 线 线 平 行，将 与 A尸 的 位 置 关 系 转 换 为 判 断 C C与 A尸 的 位 置 关 系；对 于 B,作 出 辅 助 线：取 4 G 的 中 点 N,连 接 A N、G N,然 后 利 用 面 面 平 行 判 断;对 于 C,把 截 面 A E F 补 形 为 四 边 形 AEFR,由 等 腰 梯 形 计 算 其 面 积 判 断；对 于 D,利 用 反 证 法 判 断.【详 解】对 于 A,因 为。Q C,C,若。O L A F,则 C C L A F，从 图 中 可 以 看 出，G C与 A尸 相 交，但 不 垂 直，所 以 A 错 误:对 于 B,如

14、图 所 示，取 8 c 的 中 点 N,连 接 A N、G N,则 有 GN 防，A,N/AE,:CN%N=N,EF AE=E,二 平 面 AGN 平 面 A M.又；A G u平 面 AG Q,；.A G 平 面 A q，故 选 项 B 正 确;对 于 C,如 图 所 示，连 接。|尸，D,A,延 长。|尸，A E交 于 点 S,：E,F 分 别 为 3 C,G C的 中 点，E/A%,:.A、E、F、仇 四 点 共 面，截 面 即 为 梯 形 AEFR.，：CF=C E,：.CF2+CS2=CE1+CS2,即 尸 S?=ES2,/.FS=ES又 D、F=AE,二 Q F+FS=AE+ES

15、即 R S=AS=石，AD、=0，等 腰 四 S的 高 刀=逑，梯 形 AE尸 2 的 高 为 4=还，2 2 4梯 形 A E F R的 面 积 为 护 尸+明 月=白(q+扬 x乎.，故 选 项 C 正 确；对 于 D,假 设 C 与 G 到 平 面 A F的 距 离 相 等，即 平 面 A F将 CG平 分，则 平 面 A F必 过 CG的 中 点，连 接 CG交 E F于 H,而，不 是 CG中 点，则 假 设 不 成 立，故 D 错.故 选：BC.冗 兀 已 知 函 数/(幻 小-2)5 小+2),则()A.函 数/*)的 图 象 关 于),轴 对 称 B.2,4 时，函 数/的 值

16、 域 为 1,四 C.函 数/(x)的 图 象 关 于 点(4,0)中 心 对 称 D.8 为 函 数/(x)的 周 期【答 案】ABD【分 析】对 于 A 选 项，通 过 诱 导 公 式 化 简 的 到 f(x)=/(-x),函 数 为 偶 函 数，故 A 正 确;对 于 B,将 函 数 化 简 为/(x)=Z i n 住 x-m,但 手，求 值 域 即 可；对 于(4 4八 4 4 J _4 4 _C,代 入 数 据 3 和 5 得 到/(3)+/(5)/0,故 选 项 错 误；对 于 D,/(%+8)=sin f J-cos f X/(x),根 据 周 期 性 的 定 义 得 到 选 项

17、 正 确.7 7 TT【详 解】/(x)=cos(x-2)-s in(x+2)=cos4 47 T n 7 T-x-4 2-sin7 1+7 1.汽=sin%47 1-co s X44 2满 足 工)=/(-外，函 数/(x)是 偶 函 数，图 像 关 于 y轴 对 称，故 A 正 确;7 1“2,4 时，XG47 15,7t.7 1 n Q.(兀 7c(乃 乃 3万 sin x 0,f X)=sin x_ cosx=v 2 sin x L x G,4 4 4(4 4八 4 14 4故 函 数/(x)的 值 域 为 1,夜,所 以 B 正 确;/(3)=sin-zr-c o s=V2,4 4的

18、=岭-c o s*亚 J(3)+5)WO,所 以 C 错 误；f(x+8)=sin x，-c o s Q x)=/(x),8 是 函 数/(x)的 周 期，所 以 D 正 确;故 选：ABD.1 2.已 知 函 数 x)=l n d，+l)x,则()A./(In 2)=l n|B.x)是 奇 函 数 c./(X)在(0,+8)上 单 调 递 增 D.f(x)的 最 小 值 为 ln2【答 案】ACD【分 析】代 入 可 得 I n 2)=l n|,即 可 判 断 A；根 据 奇 偶 函 数 的 定 义 即 可 判 断 B；根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 即 可 判 断 C；结 合 选

19、项 B、C 即 可 判 断 D.【详 解】A：/(In 2)=ln(e2ln2+l)-ln 2=l n|(故 A 正 确；B：/(%)=ln(e2 A+1)-%=ln(e2 A+l)-ln e=In-=ln(ev+eJ),所 以 T)=hi(e+eT),所 以 f(-x)=/(x),所 以 x)为 偶 函 数，故 B项 错 误;C：x 0时，=/+7在(0,+)上 单 调 递 增,因 此 y=ln(e*+eT)在(0,+e)上 单 调 递 增，故 C 项 正 确;D：由 于“X)在(0,+功 上 单 调 递 增，又“X)为 偶 函 数，所 以 在(3,0)上 单 调 递 减，所 以/(X)的

20、最 小 值 为 0)=l n 2,故 D 正 确.故 选：ACD.三、填 空 题 1 3.曲 线 尸 sinx+2cosx-l在 点 信 0)处 的 切 线 方 程 为.【答 案】2 x+y r=0【解 析】求 导，求 出 切 线 斜 率，用 点 斜 式 写 出 直 线 方 程，化 简 即 可.【详 解】V=c o sx-2 sin x,/f-J=-2,曲 线 y=sin x+2cosx-l在 点 停。)处 的 切 线方 程 为 V=-2(x-|J,即 2x+y“=0.故 答 案 为：2x+y-%=014.已 知 直 线 3=0 与 圆 与-ly+(y-2)2=4交 于 4,B两 点，过 4,

21、B分 别 做/的 垂 线 与 x 轴 交 于 C Q 两 点，若|AB|=4,则|C|=【答 案】4拒【解 析】先 求 出 圆 心 和 半 径，由 于 半 径 为 2,弦|AB|=4,所 以 可 知 直 线/：a+y-3=0 过 圆 心，从 而 得?+2-3=0,求 出 加=1,得 到 直 线 方 程 且 倾 斜 角 为 135。，进 而 可 求 出|C|【详 解】圆(x-1)?+(y-2猿=4,圆 心(1,2)泮 径 r=2,：|AB|=4,.直 线/：/nr+y-3=0 过 圆 心(1,2),*.777+2 3=0,m=1，直 线/：x+y 3=。,倾 斜 角 为 135,过 A.B分 别

22、 做 I 的 垂 线 与 x 轴 交 于 C Q 两 点,；.叱 黑=22故 答 案 为：472【点 睛】此 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，考 查 两 直 线 的 位 置 关 系，考 查 转 化 思 想 和 计 算 能 力，属 于 基 础 题(3-a)x+a-,x 0=av3；对 于 函 数 V=logJ%2-ax+?,xi,+8),（1）当 Ovavl 时，l时，外 函 数 y=log,为 定 义 域 内 的 增 函 数，要 使 函 数），=log1 f-ax+?）在 区 间 1,+oo）上 是 增 函 数，则 内 函 数“=-奴+口=（工 一 乡 2+口 在 1,+8）上

23、 也 是 增 函 数，且 对 数 函 数 真 数 大 于 0,即“=2村+3 0 在 1,+8）上 也 要 恒 成 立，-1 a22所 以 15=2,i2 11 八。0 44 i又。1,所 以 l a W 2,又 以 x）在 R 上 是 增 函 数 则 在 衔 接 点 处 函 数 值 应 满 足：C 11、2 15 人 3-a+a-6t+/2-0,5 3化 简 得 一 万 工。工 5，由 得，!这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，然 后 解 答 补 充 完 整 的 题 目.在 AfiC中，内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,设 一 A B

24、 C 的 面 积 为 S,已 知.（1）求 tan 8 的 值；（2）若 S=10,a=5,求 人 的 值.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【答 案】条 件 选 择 见 解 析；（1）1;（2）J 万.【解 析】（1）若 选 择 2 a-应 c=26cosC，先 利 用 正 弦 定 理 进 行 边 角 互 化，再 结 合 正 余 弦 的 和 差 角 公 式 化 简 可 得 COSB=Y 2,得 出 tan 8=l；若 选 择 一/=4S,利 2用 余 弦 定 理 及 面 积 公 式 可 得 2accosB=2csin B,得 tan8=1；（

25、2）由（1）可 知 sinB=等，由$=34118及。=5得，c=4近，再 根 据 余 弦 定 理 求 解 力 的 值.【详 解】解 析：（1）选 择 条 件.2a-&c=2bcosC，2sin A-V 2 sin C=2sin BcosC/.2sin cosC+2cosBsin C-V 2 sin C=2sin 8 c o s c，得 cosB=,.tanB=12选 择 条 件，由 余 弦 定 理 及 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得：2accosB=2acsinBf加-sin B 1得 tan B=-=1.cos 3（2）由 tan8=1 得 sin8=立，V 5=1 0,。=5,2

26、*-S=6 zc sin B=x 5c x=1 0，解 得 c=4人.2 2 2由 余 弦 定 理 得：b=Ja2+c2-2accosB=25+3 2-2 x 5 x 4/2=V17-【点 睛】本 题 考 查 解 三 角 形，难 度 一 般.解 答 的 关 键 在 于 根 据 题 目 中 边 角 关 系，运 用 正 弦 定 理 进 行 边 角 互 化、再 根 据 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 进 行 化 简 是 关 键.一 般 地，当 等 式 中 含 有。力,c 的 关 系 式，且 全 为 二 次 时，可 利 用 余 弦 定 理 进 行 化 简；当 含 有 内 角 的 正 弦 值 及

27、 边 的 关 系，且 为 一 次 式 时，可 考 虑 采 用 正 弦 定 理 进 行 边 角 互 化.四、双 空 题 1 7.已 知 点 P 为 双 曲 线 C：二。）右 支 上 一 点，小 尸 2为 双 曲 线 的 左、a2 b右 焦 点，点。为 线 段 尸 耳 上 一 点，/耳 尸 用 的 角 平 分 线 与 线 段 6。交 于 点 加，且 满 足 4 3 DMP M=-P D+-P F 则 扁=_;若。为 线 段 班 的 中 点 且 4 P 6=60。，则 双 7 7 Mr；曲 线 C 的 离 心 率 为.【答 案】4 币 4【分 析】过 M 作 M N/P Z/交 P K于 点 N,作

28、 M G/V 交?用 于 点 G,由 向 量 共 线 DM定 理 可 得 右；再 由 角 平 分 线 性 质 定 理 和 双 曲 线 的 定 义、结 合 余 弦 定 理 和 离 心 率 公 式,|M g|可 得 所 求 值.【详 解】解：过 M 作 仞 V/迟 交 P”于 点 N,作 片 交 尸 马 于 点 G,4 3 D M D N 3由 0 1/=二 尸。+三 尸 凡，得 赤=诋=彳，7 7 MF】NP 4由 角 平 分 线 定 理 腐=需 小 PF.6因 为。为 尸”的 中 点，所 以 谓=1，由 双 曲 线 的 定 义,PF-PF=2a,所 以 尸 耳=6a,PF?=4a,大 6=2。

29、，在 耳 鸟 中，由 余 弦 定 理 cos60。=36+1 6,-4 L,2x6ax4a所 以 e=S.【点 睛】本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义、方 程 和 性 质，以 及 角 平 分 线 的 性 质 定 理 和 余 弦 定 理 的 运 用，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题.五、解 答 题 1 8.比 知 数 列%满 足：4川-2a“=0,%=8(1)求 数 列 凡 的 通 项 公 式;(2)设 2=丁 数 列 的 前 项 和 为 若 27；机-2021对 G”恒 成 立.求 正 整 数 tn的 最 大 值.【答 案】(1)a=2；(2)2021.【分

30、析】(D 求 出 公 比 和 首 项 即 可.M _1_ O(2)利 用 错 位 相 减 法，求 出(=2-变，再 作 差 求 出 1,递 增，即 可 求 解.【详 解】(1)因 为 数 列“满 足：41M-2。“=0,4=8,所 以&”=2为，设 q 的 公 比 为 q,可 得 q=2,又 出=8,即 4%=8,解 得 4=2,所 以 4=2”；,n n(2)b=.an 2 丁 1 2 3 nT，i=2+F+2r+*1,1 2 3 n疗 齐+牙+及+尸 ln_x1 1 n o y)n上 面 两 式 相 减 可 得=-+y+m 一 而=-j-西，1 1-2+2化 简 可 北=2-亍，因 为 却

31、 北=2 竽-2+争=资 0，所 以 1 递 增，刀 最 小，且 为 g 所 以 2xg,-2021,解 得 加 2022,则 m 的 最 大 值 为 2021.19.2020年 8 月，习 近 平 总 书 记 对 制 止 餐 饮 浪 费 行 为 作 出 重 要 指 示，要 求 进 一 步 加 强 宣 传 教 育，切 实 培 养 节 约 习 惯，在 全 社 会 营 造 浪 费 可 耻、节 约 光 荣 的 氛 围.为 贯 彻 总 书 记 指 示，大 庆 市 某 学 校 食 堂 从 学 生 中 招 募 志 愿 者，协 助 食 堂 宣 传 节 约 粮 食 的 相 关 活 动.现 已 有 高 一 63

32、人、高 二 42人，高 三 21人 报 名 参 加 志 愿 活 动.根 据 活 动 安 排，拟 采 用 分 层 抽 样 的 方 法，从 已 报 名 的 志 愿 者 中 抽 取 12名 志 愿 者，参 加 为 期 20天 的 第 一 期 志 愿 活 动.(1)第 一 期 志 愿 活 动 需 从 高 一、高 二、高 三 报 名 的 学 生 中 各 抽 取 多 少 人？(2)现 在 要 从 第 一 期 志 愿 者 中 的 高 二、高 三 学 生 中 抽 取 2 人 粘 贴 宣 传 标 语，求 抽 出 两 人 都 是 高 二 学 生 的 概 率 是 多 少？(3)食 堂 每 天 约 有 400人 就

33、餐，其 中 一 组 志 愿 者 的 任 务 是 记 录 学 生 每 天 倒 掉 的 剩 菜 剩饭 的 重 量(单 位：公 斤)，以 10天 为 单 位 来 衡 量 宣 传 节 约 粮 食 的 效 果.在 一 个 周 期 内，这 组 志 愿 者 记 录 的 数 据 如 下：前 10天 剩 菜 剩 饭 的 重 量 为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2后 10天 剩 菜 剩 饭 的 重 量 为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3借 助 统 计 中 的 图、表、数 字 特

34、征 等 知 识，分 析 宣 传 节 约 粮 食 活 动 的 效 果(选 择 一 种 方 法 进 行 说 明 即 可).2 _【答 案】(1)6,4,2；(2)y；(3)答 案 见 解 析.【分 析】(1)先 求 出 抽 样 比，然 后 每 次 按 比 例 抽 取 即 可 求 出；(2)先 求 出 抽 出 两 人 的 基 本 事 件，再 求 出 两 人 都 是 高 二 学 生 包 含 的 基 本 事 件，即 可 求 出 概 率；(3)可 求 出 平 均 值 进 行 判 断；也 可 画 出 茎 叶 图 观 察 判 断.【详 解】解：(D 报 名 的 学 生 共 有 126人，抽 取 的 比 例 为

35、=三，126 21所 以 高 一 抽 取 63x2=6人，高 二 抽 取 42x”2=4 人，高 三 抽 取 21x2g=2 人.21 21 21(2)记 高 二 四 个 学 生 为 1,2,3,4,高 三 两 个 学 生 为 5,6,抽 出 两 人 表 示 为(x,y),则 抽 出 两 人 的 基 本 事 件 为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15个 基 本 事 件，其 中 高 二 学 生 都 在 同 一 组 包 含(1,2),(1,3),(1

36、,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 个 基 本 事 件.记 抽 出 两 人 都 是 高 二 学 生 为 事 件 A,则 尸(A)=|,所 以 高 二 学 生 都 在 同 一 组 的 概 率 是(3)法 一：(数 字 特 征)前 10天 的 平 均 值 为 23.5,后 10天 的 平 均 值 为 20.5,因 为 20.523.5,所 以 宣 传 节 约 粮 食 活 动 的 效 果 很 好.法 二：(茎 叶 图)画 出 茎 叶 图M 10 A ki 10 X2 2S5 1 2 24R 6 5 4 23 25 2 21 3 520 2 4 6 819 3 418 3因 为 前 1

37、0天 的 重 量 集 中 在 23、24附 近，而 后 10天 的 重 量 集 中 在 20附 近，所 以 节 约 宣 传 后 剩 饭 剩 菜 明 显 减 少，宣 传 效 果 很 好.20.如 图 甲 是 由 正 方 形 ABCZ),等 边 ABE和 等 边 8CF组 成 的 一 个 平 面 图 形，其 中 AB=6,将 其 沿 AB,BC,AC 折 起 得 三 棱 锥 P-A B C,如 图 乙.(1)求 证：平 面 尸 AC_L平 面 A8C；(2)过 棱 A C 作 平 面 A C M 交 棱 尸 8 于 点 且 三 棱 锥 P-A C M 和 3-A C M 的 体 积 比 为 1:2

38、,求 直 线 A M 与 平 面 P8C所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)叵.7【分 析】(1)取 A C 的 中 点 为 O,连 接 8。，PO,证 明 尸 O_LAC,P O 1 O B,即 证 尸。工 平 面 A 8 C,即 证 得 面 面 垂 直；(2)建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系，写 出 对 应 点 的 坐 标 和 向 量 A M 的 坐 标，再 计 算 平 面 P8CI.uuu*r、I法 向 量，利 用 所 求 角 的 正 弦 为 卜。s(A,即 得 结 果.【详 解】(1)证 明：如 图，取 A C 的 中 点 为。，连 接 80

39、,PO.V PAPC,：.POL AC.V PA=PC=6,ZAPC=90,PO=AC=3y/2,同 理 80=3收.又 依=6,PO2+OB2=PB1,：.POrOB.,：AC OB=O,AC,O 8 u 平 面 ABC,二 PO J平 面 ABC.又 P O u 平 面 PAC,，平 面 R4C_L平 面 ABC；（2）解：如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，根 据 边 长 关 系 可 知，A（3应,0,0）,C（-3V 2,0,0）,8（0,3夜,0）,P（O,O,30）,ACB=（3,3 7 2,0）,多=（3&,0,3 0）.,三 棱 锥 P-A C M 和 8 ACM的 体

40、 积 比 为 1:2,P M:B M=1:2,”(0,也 2旬，.瑞=1 3也&,2勾 设 平 面 P B C 的 法 向 量 为=（x,y,2）,|3 国+3岳=0.1 7则 r-r-令 X=l,得 3V2x+3V2z=0设 直 线 A 与 平 面 PB C所 成 角 为。，/LOT r,则 sin 0=cos(A M,n-6 7422互 6-7直 线 A M 与 平 面 P 8 C所 成 角 的 正 弦 值 为 叵.7【点 睛】方 法 点 睛：求 空 间 中 直 线 与 平 面 所 成 角 的 常 见 方 法 为:（1）定 义 法：直 接 作 平 面 的 垂 线，找 到 线 面 成 角；（

41、2）等 体 积 法：不 作 垂 线，通 过 等 体 积 法 间 接 求 点 到 面 的 距 离，距 离 与 斜 线 长 的 比 值 即 线 面 成 角 的 正 弦 值；（3）向 量 法：利 用 平 面 法 向 量 与 斜 线 方 向 向 量 所 成 的 余 弦 值 的 绝 对 值，即 是 线 面 成 角 的 正 弦 值.21.已 知 椭 圆 C：，+1=1（。60）的 长 轴 长 为 6,离 心 率 为：，长 轴 的 左，右 顶 点 c i b 3分 别 为 A,B.求 椭 圆 C 的 方 程；（2）已 知 过 点 0（0,-3）的 直 线/交 椭 圆 C 于 例、N 两 个 不 同 的 点，

42、直 线 AM,A N 分 别 交 轴 于 点 S、T,记 S=NO,DT=RD0（。为 坐 标 原 点），当 直 线/的 倾 斜 角。为 锐 角 时,求 彳+的 取 值 范 围.【答 案】卷+二=1陪 2）【分 析】（1）根 据 椭 圆 的 长 轴 和 离 心 率，可 求 得 病,从，进 而 得 椭 圆 方 程：（2）先 判 断 直 线 斜 率 为 正，然 后 设 出 直 线 方 程，和 椭 圆 方 程 联 立，整 理 得 根 与 系 数 的 关 系，利 用 直 线 方 程 求 出 点 S、T 的 坐 标，再 根 据 QS=200,07=。确 定 入 的 表 达 式，将 根 与 系 数 的 关

43、 系 式 代 入 化 简，求 得 结 果.（1）由 题 意 可 得：2a=6 f 2 ncr=9,=|解 得：从=5,所 以 椭 圆 C 的 方 程：+=1“3 2 9 5a2 b2+c2 lC-4（2）当 直 线/的 倾 斜 角。为 锐 角 时，设”（冷 乂），N,%），设 直 线/：尸 h-3,伙 0）,y=kx-3由 小 犬 2 2 得(5+9公)/-54日+36=0,+=19 52从 而 A=(54&)2-4X 36X(5+9Z?)0,又 女 0,得 所 以 X+/54k 36 5,xx9=-I9k2+5 1 9k2+5又 直 线 A 的 方 程 是：y=U 3（x+3），令 x=0.

44、解 得 了=三，所 以 点 S 为 0,%；%+3（x,+3j直 线 A N 的 方 程 是：V=T K（X+3）,同 理 点 T 为 1o,三 工 2+3（工 2+3所 以 OS=0,+3,OT=o,-+3,O0=(O,3),、阳+3 J x2+3)因 为 DS=2DO,DT=DO,所 以 5+3=3 4+3=3，所 以 2kxyx2+3(左 一 1)(百+x2)-18XyX2+3(%+X2)+94+=人+上+2=+2=%1+3 x2+3%+3 X2+3T+3x9公+510*(%+1)9(%+1)254k9记+554%9/+5-18 10 4+1 c+2=x-+29 攵？+2Z+l2 k-乎

45、+3(i)9&2+5 1+9.彳+c Q,2）,综 上，所 以 几+的 范 围 是（*2）.22.设 二 次 函 数/。）=2+以+1（。0）.若 占,占 是 函 数/（x）的 两 个 零 点（为 x2）,且 f（x）最 小 值 为-a.求 证：%=2；当 且 仅 当“在 什 么 范 围 内 时，函 数 g（x）=x）+2x在 区 间（不 士）上 存 在 最 小 值？若 任 意 实 数 r,在 闭 区 间-2+2 上 总 存 在 两 实 数 胆，n,使 得|“?）-（）|22021成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【答 案】证 明 见 解 析；（1,一）【分 析】（1）根 据 二 次

46、 函 数 的 性 质 和 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式，求 得，为，即 可 证 得”占=2；由 知,区 间（2）=（-导-导 1），根 据 二 次 函 数 的 性 质，即 可 求 解.(2)存 在 两 实 数 不 赴/-2,f+2,使 得|fa)-xJ|22021成 立，转 化 为 在 区 间 卜 2/+2上，有%/(x)1n/2 0 2 1 成 立,设 砌=x)0b x)由，结 合 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质，分 类 讨 论，即 可 求 解.(1)解：由 题 意，函 数 二 次 函 数/5)=以 2+版+1(0),因 为/(x)最 小 值 为 一。，可 得/(-2)

47、=1 _ 2=_“，即。2_44=4。2,2a 4。因 为。0,所 以 根 据 求 根 公 式 得 占=上 应=上 网,占=土 网 2a 2a 2a所 以-X|=2.b h 由 知，区 间(与 式)=(一；L 1)2a 2a因 为 g(x)=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+,对 称 轴 x=-,且 函 数 g a)在 区 间 a,)上 存 在 最 小 值，所 以，2a2a-2 _a1一+2tz2a_一 0,所 以 解 得”，所 以。1,即 a 的 取 值 范 围 为(1次).1 解：存 在 两 实 数 不 W f 2,f+2,使 得/()-/优)性 2021成 立，则 在 区 间 卜-2

48、J+2上，有/(X)11ax-力 由 了 2021成 立，设(，)=/(司 2 一/揄，函 数/(*)对 称 轴 为 巾=-5”上-21+2 当 r+2 4-2 即 4-2-2 时，”X)在 卜 2J+2上 单 调 减，(X)M-/min=/a-2)-/(r+2)=-Sat-4b,此 时 人()=-&d-4b2/?(-2)=167；2a 当 f 4-f+2 即-2 f 4-时，2a 2a 2a f Mmin=f(f-2)-/(-)=2a(t-2)+b2,2a 4。此 时 h(t)=1 r2 a(t-2)+bi2 e 4a,16a)b 1./(x)四-=f(t+2)-/(-)=2a(t+2)+b2,2a 4a止 匕 时)=2a(f+2)+Z?2e(4a,16 a)；h h 当 一 二 4 f-2 即 f N-=+2时，2a 2a/(x)而 一=f(t+2)-f(t-2)=Sat+4b,h此 时 h(t)=8at+4b/?(-+2)=16。；2a综 合 得，力(/)=，-Sat-4 byt+)2 _ _ L _ 2/-4a 2a/2(Z+2)+，(1-+22a2+2aA2且 力 最 小 值 为 4 a,因 为 对 任 意 实 数 r,都 有 力 N2021,2021 2021所 以 只 需 4/2。2 1,即 心 十，所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 丁 E