2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）.pdf

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1、2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设集合 M=x 0 V x4,N=x|Wx W5,则 M A N=()3A.xIO V xW l j B.x|上W x 4 C.x 4W x 0,乙：S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.（5 分）20 20 年 1 2月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:?），三角高程测量法是珠峰

2、高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三 点,且 A,B,C 在同一水平面上的投影A ,B,。满足N A C8=4 5 ,Z A B C=6 0.由 C 点测得B 点的仰角为15 ,与 C C 的差为10（）；由 B 点测得A点的仰角为4 5 ,则 A,C 两 点 到 水 平 面 的 高 度 差 4 V -C C 约 为（）（愿 生_ 2 2-sinCl _ _A.2/l L B.匹 C.匹 D.15 5 3 310.（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（A.A B.2 C.2 D.A3 5 3 511.（5分）已知A,B,C是半径为1的球O

3、的球面上的三个点，S.AC L B C,A C=BC=1,则三棱锥O -A B C的体积为（）A.匹 B.返 C.匹 D.近12 12 4 412.（5分）设函数/（x）的定义域为R,/（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当加口，2时，f C x）=ax2+h.若/（0）+f（3）=6,则/（且）=（）2A.一9 B.-A C.1 D.立4 2 4 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5分）曲线），=丝 支 在 点（-1,-3）处 的 切 线 方 程 为.x+214.（5 分）已知向量2=（3,1）,b=（1，0）,c=a+%b.若 a，c，贝！.15.（5分

4、）已知F i,尸2为椭圆C：z+z=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对16 4称的两点，且|P Q=|F|F 2|,则四边形P R Q F 2的面积为.16.（5分）已知函数f （x）=2c o s（3x+（p）的部分图像如图所示，则满足条件（/（x）-f（-Z 2L）（/（A：）-/,（）o 的最小正整数x 为.4 3三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台

5、机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品 二级品 合计甲机床 15 0 5 0 200乙机床 120 80 200合计 270 130 400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：a=_ n(a d-b c)2_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(长2 2无)0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818.(12分)已知数列 所 的各项均为正数，记S”为 a”的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列

6、板 是等差数列；数列 何 是等差数列；”2=3G.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.(1 2分)已知直三棱柱A B C-A iB C i中，侧 面441812为正方形，AB=B C=2,E,F分别为AC和C G的中点，。为 棱 上 的 点，BFLAB.(1)证明：BFVDE-,(2)当81。为何值时，面BBC1C与面。尸E所成的二面角的正弦值最小？20.(12分)抛 物 线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，且O P L O Q.已知点M(2,0),且0 M与/相切.(1)求C,。的方程；(2)设4,A2,4 3是C上的三个点，直线AIA2

7、,4 A3均 与 相 切.判 断 直 线A M 3与。例 的位置关系，并说明理由.函数f (x)=a21.(12 分)已知 a0 且(x 0).(1)当。=2时，求f (x)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线)，=1有且仅有两个交点，求的取值范围.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2 .(1 0分)在直角坐标系X。)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&c o s。.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(1,

8、0),M为C上的动点，点P满足方=&近，写 出P的轨迹C i的参数方程，并判断C与C i是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3 .已知函数/(x)=x-2|,g(x)=|2 x+3|-2 x-1|.(1)画出y=/(x)和y=g (x)的图像；2021年四川高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）设集合 M=x|0 xV 4,N=x|2W xW 5,则 M C N=（）3A.x0 xW l B.x|Wx4 C.x|4Wx5 D.x0 x53 3【分析】直接利

9、用交集运算求解.【解答】解：集合 M=x|06.5 万元，故选项 C错误；对于D,家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间的频率为(0.1+0.1 4+0.2+0.2)X I=0.6 40.5,故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间，故选项D正确.故选：C.3.(5 分)己 知(1-i)2Z=3+2Z,则 z=()A.-1-MB.-1+3 iC.-3+i D.-3.-i222 2【分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可.【解答】解：因 为(1 -I)2z-3+2 6所以学军工多工二-1*-2i(-2i)-i 2 2故 选:B.4.(5

10、 分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满 足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为()(1比1.2 5 9)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【分析】把乙=4.9代入乙=5+伙丫中，直接求解即可.【解答】解：在 L=5+/g V 中，L=4.9,所以 4.9=5+/g V,即/g V=-0.1,解得 V=1 0 01=_L _io0,1=0.8,1.259所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.5.(5 分)已 知 F

11、i,F2 是双曲线C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且NF1 PF2=6 O,|PFi|=3|PF2|,则 C 的离心率为()A.近 B.2 Z IS.C.V?D.A/132 2【分析】设出|PF1|=3?，|尸 尸2|=/，由双曲线的定义可得m=a,再通过NF1 PF2=6 O,由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率.【解答】解：Fi,尸2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，P F=3 P F2,设|PFl|=3 i,P F2=m,由双曲线的定义可得|P尸i|-|PF2|=2 n z=2 0,乙：S是递增数歹I J,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充

12、分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出.【解答解：若m=7,q=l,则S =i=-，则%是递减数列，不满足充分性；.$=-a 1L (1-qn),1-q则 S”+i=-(1-qn+1-q：.Sn+i -S =A J-W _ qn+i)=m g ,1-q若 S“是递增数列，_ Sn=Clief X)则 a i 0,q0,满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：B.8.(5分)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 48.8 6 (单位:n),三角高程测量法是珠峰

13、高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在 同 一 水 平 面 上 的 投 影B,。满足N4 Cg=45 ,ZAB C=60 .由C点测得8点的仰角为15 ,BB1与C C的差为100；由B点测得A点的仰角为45 ,则A,C两点到水平面W8C的高度差4 T-C C约 为()电%1.7 32)BC，cBA.346B.373C.446D.473【分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差.【解答】解：过C作C H 1.8 8 于H,过8作于M,则NBC，=15,84=100,NABM=45,C H=C B,B =B

14、 M=A M,BB=M A ,N C A B=75.tan/8cH=tanl5=tan（45-30）=t a n450-t a n300=9 _ ,sin75=sinl+t a n45 t a n30（45+30）=则在 RLBCH 中，CH=BHt a n/BCH=1 0 0（2+V 3）.:c B=1 0 0（2+V 3）在AA B C中，由正弦定理知，A B=-B，s i nNC Ah s i n/A C B =D100（V 3+1）,.,.A M=100（V S+D.：.AA-CC=AM+BH=100（V 3+1）+100=373,9.故选：B.72B.运5，贝ij tana2-s i

15、 nCL【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求 解sina,的关系可得tana的值.）D.运3进一步求得c o s a,再由商 解答解：由 tan2a=c o s。，得s i n2 a =c o s。，2-s i na c o s 2 a 2-s i nCl即2s i na c o s a 二 c o s al-2s i n2CL 2-s i na，VaG（0,3-）,.cosaWO,2则 2sina（2-sina）=1 -2sin2a.解得 sina=，4则 c o s a=h s j j a =工._ s i na 7 V 15 tana =/=z c o s CL V15 154

16、故选：A.10.（5 分）将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A.A B.2 c.2 D.A3 5 3 5【分析】分别计算出4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的种数以及2 个 0 不相邻的种数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【解答】解：6 个空位选2 两个放0,剩余4 个 放 1,故总的排放方法有（=1 5 种，利用插空法，4 个 1 有 5 个位置可以放0,故排放方法有,2 =10种，U所以所求概率为也上.15 3故选：C.11.（5 分）已知A,B,C 是半径为1 的球。的球面上的三个点，R A C 1 B C,A C=B C=1,则三

17、棱锥O-ABC的体积为（）A.亚 B.四 C.亚 D.近12 12 4 4【分析】先确定ABC所在的截面圆的圆心01为斜边A B的中点，然后在RtAAfiC和AOO1中，利用勾股定理求出。|,再利用锥体的体积公式求解即可.【解答】解：因为ACL8C,A C=B C=,所以底面A8C为等腰直角三角形，所以A8C所在的截面圆的圆心O为斜边AB的中点，所 以 0。平面ABC,在 R 5 B C 中，ABAC2+BC2=V2则 AO 平，在 R t4400i 中，O O iN d-A O/u 喙，故三棱锥。-AB C的 体 积 为 SA A B C-O O X y X 1X1 X 挈O J 4 4 J

18、.乙1 2.(5分)设函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当花1,2时，f(x)=a+h.若/(0)+f(3)=6,则/()=()2A.-9 B.-3 C.工 D.立4 2 4 2【分析】由/(x+1)为奇函数，fC x+2)为偶函数，可求得了(x)的周期为4,由/(x+1)为奇函数，可得/(I)=0,结合/(0)4/(3)=6,可求得a,b的值，从而得到x e l,2时，/(X)的解析式，再利用周期性可得f(9)=/(1)=-/(-)进一步求出f(旦)2 2 2 2 的值.【解答】解：G+1)为奇函数，.(1)=0,且“x+D =-f(-x+1),:f(x+

19、2)偶函数，：.f(x+2)=f(-x+2),：.j(x+1)+1 =-./-(x+1)+1 =-f(-x),BP/(x+2)=-f(-x),：.f(-x+2)=/(x+2)=-f(-x).令 t=-x,则/(f+2)=-f(f),：.f(r+4)=-f(z+2)=f(z),：.f(x+4)=f(x).当 x C I,2时,f(x)=axi+b.f(0)(-1+1)-f(2)=-4 a-6,f(3)=/(1+2)=f(-1+2)(1)=a+b,又/(0)+f(3)=6,，-3 a=6,解得 a=-2,f(1)=a+6=0,:.b=-a=2,.当 xl,2时，f(x)=-2+2,(.)=f(A)

20、=-f(A)-(-2x9+2)=$.2 2 2 4 2故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.(5分)曲 线 丫=空 支 在 点(-1,-3)处的 切 线 方 程 为5x-y+2=0.x+2【分析】先求导，利用导数的儿何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.【解答】解：因 为)=红 工，(-I,-3)在曲线上，x+2所以 0),c=a+kb，由 a-L c，则Z 金+kE)=|Z|2+k；芯=32+12+4(3X 1 +1 X 0)=10+34=0,解得k=二旦.3故答案为：J I.315.(5分)己 知 为，尸2为椭圆C：/+1的两个焦点，P，。为C上关于

21、坐标原点对16 4称的两点，且|PQ|=|FIF 2|,则四边形PFIOF2的面积为 8.【分析】判断四边形P Q。放为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可.【解答】解：因为P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ=|F1 F2|,所以四边形PF|QF2为矩形，P F=m,P Fo=n,由椭圆的定义可得|PFi|+|PF2|=，+”=2a=8,所 以+2?+2=6 4,因为为+尸产2|2=尸1尸2|2=4。2=4 (a2-b2)=4 8,即 W2+/?2=48所以mn=S,所以四边形P F1Q F2的面积为|PFI|PF2|=/WJ=8.故答案为：8.1 6.(5分)已知函数f(x)=2

22、co s (o x+匹，即最小正整数为2.3 3【解答】解：由图像可得3 1卫兀工，即周期为T T,4 12 3,(f(x)-f)(f(x)-f(-)0 r=7 T,TTTT(f(x)-f()(f(x)-f)0观察图像可知当x 二,3/、/兀、/兀、f(x)f(x)+0 2 6(兀，-5兀、)且日 f,(5-兀)、=0八，3 6 6，x=2时最小，且满足题意,故答案为：2.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。1 7.(1 2 分)甲、乙两台机床生

23、产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床1 5 05 02 0 0乙机床1 2 0802 0 0合计2 7 01 3 04 0 0(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？2附：_ _ _ _ _ _ _ _ n(a d-b c)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(心?k)0.0 5 0 0.0 1 00.0 0 1k3.84 1 6.6 3 5

24、1 0.82 8【分析】(1)根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可;(2)根据2 义2列联表，求 出 再 将 K 的值与6.6 3 5 比较，即可得出结论；【解答】解：(1)由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为2 0 0 件，因为甲的一级品的频数为1 5 0,所以甲的一级品的频率为典=3；200 4因为乙的一级品的频数为1 2 0,所以乙的一级品的频率为侬=3；200 5(2)根据2 X 2 列联表，可 得 尤=?)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(150X 80-50 X 120)2 F0 2566.635.270X 130X200X 200所

25、以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.1 8.(1 2 分)已知数列 ”的各项均为正数，记 S 为“的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列“”)是等差数列；数列 屈 是等差数列；0 2 =3 0.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前 项和公式证明结论即可.【解答】解：选择为条件，结论.证明过程如下：由题意可得：a 2=“i+d=3 a i,，d=2 a i,数列的前 项和：sn=n a j d=n a 1+n（b X 2 a j =n2a f故 国-4 =诉 Y n-1诉二国（2

26、 2）,据 此 可 得 数 列 店）是等差数列.选择为条件，结论：设数列“的公差为d,则:V 2 的 +（a i +d）=2 a i +d ,+（a +d）+（a 1+2 d）=寸3 +d）数 列 肉）为等差数列，则：向+叵=2 y,即：（百+331+2V=（2户国）2,整理可得：”=2G,.a 2=m+d=3 m-选择为条件，结论：由题意可得：S2=m+a 2=4 m,，小m=2 5 7 则数列 肉 的公差为（1=后-何 =瓜，通项公式为：&=痼+（n-l）d=n 7 ，据此可得,当 2 时，a j Sn-Sn-i =n 2 a（n-1）2 a =（2 n-l ）a ，当=1时上式也成立，故

27、数列的通项公式为：an=（.I n-1）a,S cin+i-an=2（n+1）-lai-（2 n -1）ai=2 ai,可知数列 ”是等差数列.1 9.（1 2分）已知直三棱柱A B C-A i B i C i中，侧 面4 4出 山 为正方形，AB=B C=2,E,F分别为A C和C C 1的中点,。为棱A 1 81上的点，B FL AB.（1）证明：B FL DE；（2）当3 1。为何值时，面B B i C i C与面。F E所成的二面角的正弦值最小？【分析】(1)连接A F,易知C F=1,B F=娓,由8/UA i B i,B F L A B,再利用勾股定理求得A F和A C的长，从而证

28、明B A _ L B C,然后以8为原点建立空间直角坐标系，证得B f D E=O,即可;(2)易知平面881 c l e的一个法向量为0;(1,0,0),求得平面。E尸的法向量n，再 q 1由空间向量的数量积可得c o s ,从而知当tn时，得解./n /、2 27 2【解答】(1)证明：连接4F,:E,尸分别为直三棱柱A BC-4 8心 的棱A C和CC1的中点，且4B=8C=2,；.CF=1,BF=V 5-：BFAIBI,AB/AiB,：.B FL ABA FVAB2+BF2V 22+(A/5)23R A C=Y 卜产-C F 2 r 2_ 2=2A/2：.AC2 A B2+B C2,即

29、 B A1.B C,故以B为原点，B A,B C,BBi所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，贝I J A (2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1),设 81。=小，则 D(?，0,2),.,.丽=(0,2,1),D E=(1 -/n，1.-2),BF*DE=0,BP B FL DE.(2)解：平面 BBi Ci C,.平面 8B1 C1 C 的一个法向量为0=(1,0,0),由(1)知，D E=(1 -根，1.-2),E F=(-1,1,1),设平面。即 的法向量为。=(X,y,Z),则仍警即(l-m)x+y-2z=0,n-E

30、F=0 I-x+y+z=0令无=3,则 y=m+l,z=2-m,，口=(3,z+l,2-wz),c os =_P F _ =-/-=/3IP I I n i l X V 9+(m+l)2+(2-m)2 V 2m2-2m+1 43V2 (mT)万当机=2时，面8B1 C1 C与面。F E所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，2故当Bi O=工时，面881 c l e与面O F E所成的二面角的正弦值最小.220.(1 2分)抛 物 线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，J i OP OQ.已知点M(2,0),且。M与/相切.(1)求C,OM的方程；(2)设4,

31、42,43是C上的三个点，直线AIA2,4 A 3均与。M相切.判断直线A M 3与OM的位置关系，并说明理由.【分析】(1)由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；(2)分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切.【解答】解：(1)因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：/=2 px(p0),令 x=l,贝i J y=V，根 据 抛 物 线 的 对 称 性，不 妨 设P在x轴 上 方，。在

32、x轴 下 方，故P(l,扬)，Q(l,-V ),因为。P_L。，故 l+V 2P X(-V 2P)=0=抛物线C的方程为：），2=x,因为O例与/相切，故其半径为1,故OM：（X-2）2+/=1-另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得N P Q x=N Q O x=45 ,因此点P,。的坐标为（1,1）,由题意可设抛物线C的方程为：y2=2px（p 0）,可得p=工,因此抛物线C的方程为），2=工而圆M的半径为圆心M到直线I的距离为1,可 得 的 方 程 为（,X-2）2+y2l.（2）很明显，对于4 A 2或 者4 4 3斜率不存在的情况以及A M 3斜率为0的情况满足题意.否 则：设4

33、 （xi,yi）,A2（短，中）,A 3（X 3,2）.当A i,A 2,A 3其中某一个为坐标原点时（假设4为坐标原点时），设直线A 1 A 2方程为丘-y=0,根据点M（2,0）到直线距离为1可得j 2 LL=1,解得 仁 士 返,一 3联立直线A1A2与抛物线方程可得x=3,此时直线A M 3与。M的位置关系为相切，当A i,Ai,A 3都不是坐标原点时，即xi W x2W x3,直线A 1 A 2的方程为x-（yi+）2）y+yi=0,此时有，/1 2 2=1（y?-1）yo+2y.yo+S-y?=0fV1+（yl+y2）同理，由对称性可得，（yj-1）yg+2yl y3+3-y；=0

34、 所以”是方程（yj-i）t2+2yjt+3-Y i =0的两根，-2y1依题意有，直线A 2A 3的方程为x-(+*)y+y2y3=0,2(2+y2y3)2令 M 到直线A 2A 3 的距离为d,则有d =1+。2+丫3)2 23-yf(2/o2-2 y.1 +(-5-)=1,此时直线4 M 3 与0M的位置关系也为相切,综上，直线A M 3 与OM相切.(2)另解：设 4(V 2,)，i=l,2,3,J i由直线的两点式可知，直线4 A2 的方程为(y -y 22)(y.y 2)=(y l_y 2)(x_化简可得 x-(y i+”)y+y i y 2=0,I 2+y i y9I因为直线A1

35、 A2 与 圆/相 切，所 以 =1=(2+y i)2=1+(y +”)2,V1+(yl+y2)2整理得(y 2-l)y 2+2yiy2+3-y 2=0-同理有(y 2-l)y 2+2yiy3+3-y 2=0-所以”，3是关于y的方程(y：_l)y 2+2 y y+3_y；=0的两个根，-2y1 3-YI则 了 2+y 3=丁;，y 2 y 3 T V yl依题意有，直线A2 A3的方程为x-(*+*)y+y 2”=0,2令 M 到直线A M 3 的距离为d,则有d =,y 2 y 3产(2+-1+臼 2+了3)21+(-2 2空)等)此时直线A M 3 与0M的位置关系也为相切,综上，直线A

36、 M 3 与0M相切.a2 1.(1 2 分)已知 a 0 且 aW l,函数/(x)=2-(x 0).Xa(1)当 a=2时，求/(x)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线)，=1有且仅有两个交点，求。的取值范围.【分析】(1)求出=2时/(x)的解析式，求导，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)将已知转化为/(x)=1在(0,+8)有两个不等实根，变 形 可 得 型=应，令x ag(x)=迎，利用导数求出g (x)的单调性及g (x)的大致图象，即可求解a的取值X范围.2【解答】解：(1)=2时，/(x)=工-,2X2 八 2 x-2x-2xl n 2-x2 x (2-x l n

37、2)l n 2，X X)当x e (0,-?_)时，f(x)0,当x e (二-,+8)时，/(x)o,l n 2 l n 2故/(X)的单调递增区间为(0,单调递减区间为(_a _,+8).I n 2 l n 2(2)由题知/(x)=1在(0,+8)有两个不等实根，f(x)x a令g (x)=上更，g(x)=1-1空-,g(X)在(0,e)上单调递增，在(e,+)上x x2单调递减，又当无VI 时，g(x)l 时 g(x)0,e即。的取值范围是(1,e)U (e,+8).(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参

38、数方程（10分）2 2.（1 0 分）在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&c o s。.（1）将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1,0）,M 为 C上的动点，点 P满 足 方=&京，写 出 P的轨迹。的参数方程，并判断C与 C i 是否有公共点.【分析】（1）把极坐标方程化为p 2=2&p c o s。，写出直角坐标方程即可；（2）【解 法 1 根据点P的轨迹是以A 为中心，血 为缩放比例将圆C i 作位似变换得到的，得出圆C内含于圆C 1,圆 C与圆C 1 没有公共点.【解法2】设点P的直角坐标

39、为（x,y）,M（x i,y i）,利用屈=加 近 求 出 点 M 的坐标，代 入 C的方程化简得出点尸的轨迹方程，再化为参数方程，计算|C C i|的值即可判断C与。是否有公共点.【解答】解：（1）由极坐标方程为p=2&c o s。，得 p 2=2&p c o s。，化为直角坐标方程是7+）,2 =2&X,即（x M）*=2,表示圆心为C（加,0）,半径为&的圆.（2）解 法 1 根据题意知，点 P的轨迹是以A 为中心，加为缩放比例将圆。作位似变换得到的，因此。的圆心为（3-&,0）,半径差为2-所以圆C内含于圆。，圆 C与圆C l 没有公共点.【解法2】设点P的直角坐标为（x,y）,M（x

40、 i,y i）,因为A（1,0）,所以 AP=（x-1,y）,A M=（x i -1,y i）,由即4xl=V2(x -1)y=V2y1解得y2x1=2-(x-l)+1V2yi Ty所以 M(亚(x-1)+1,2，代入C的方程得(x-l)+I-V2=2,化简得点P的轨迹方程是(X-3+历)2+y 2=4,表示圆心为。(3-0),半径为2的圆；化为参数方程是 x=3-&+2 c o s 8 ,。为参数；y=2 s i n 9计算|C C i|=|(3-弧)-7 2 1=3-2 7 2?【解答】解：函 数f(x)=lx-2|=j 产,2-x,x y3 g(x)=|2 r+3|-|2 x-1|=|4X+2,-y x y.-4,画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)由图像可得：f(6)=4,g()=4,2若2 g(x),说明把函数/(x)的图像向左或向右平移单位以后，f(X)的图像不在g(X)的下方，由图像观察可得：”26-2=包2 2的取值范围为I迫，+8).2 y