2022学年高中数学题型分类专项（离散型随机变量的数字特征）练习(附答案).pdf

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1、2022学年高中数学题型分类专项（离散型随机变量的数字特征）练习题型一利用定义求离散型随机变量的均值例 1.（2 0 2 2 辽宁瓦房店市高级中学高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下:规律方法 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X=k）；（3）写出分布列；（4）利用E（出的计算公式计算E（A）.例 2.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）已知甲盒子中有3 个红球，1 个白球，乙盒子中有2个红球，2个臼球，同时从甲，乙两个盒子中取出，个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数白次（i =L 2）,则（）A.）=（/）B.Eg）E

2、（7）C.）=（%）D.E七）（%）例 3.（2 0 2 2 全国高二单元测试）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p （p r0）,发球次数为X,若 X的数学期望E （X）1.7 5,则p的取值范围是（）A-（*）B.导）C.陷 D.题型二离散型随机变量均值的性质例 4.（2 0 2 2 全国高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得。分，比赛进2 1行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为g,JJ且各局胜负相互独立，则比赛停

3、止时已打局数4的期望为（)241 266 厂 274 C 670-B.-C.-D.-81 81 81 243规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量y 与 X 的关系为Y=aX+b,a,b为常数，一般思路是先求出E（X）,再利用公式E（aX+6）=“E（+6 求（y）.也可以利用x 的分布列得到y 的分布列，关键是由x 的取值计算y 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（y）.例 5.（2022 全国高三专题练习）已知随机变量X 的分布列为:X1P0.4240.30.3则E（5X+4）等 于（）A.15 B.11C.2.2 D.2.3例 6.（2022全国高三专题练习）

4、林老师等概率地从13 中抽取一个数字，记为X,叶老师等概率地从15 中抽取一个数字，记 为Y,已知E（XT）=+2P2+15%，其中P*是XY=A的概率，其中1VZ415,则 E (XY)=()A.3 B.5 C.6 D.8例 7.（2022全国高二课时练习）若 X,丫是离散型随机变量，且 Y=aX+6,其中6 为常数，则有E（y）=aE（X）+b.利用这个公式计算 E（E（X）-X）=（）A.0 B.1 C.2 D.不确定题型三离散型随机变量均值的应用例 8.（2022广东佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项/8CZ）,其中至少两项、至多三项是符合

5、题目要求的.在每题中，如果考生全部选对得5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得2 分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜.假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为g.（1）写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2 个或3 个选项，求出小明这道题能得5 分的概率;（2）从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项?规律方法解答实际问题时，（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应均值.例 9.（2 0 2 2 山东日照青山学校高二期末）2

6、 0 2 0 年 1 2 月 4日，“直播带货”入 选 咬文嚼字2 0 2 0 年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪1 0 0 元，直播主持人每箱抽成3 元；乙直播间无底薪，8 0 箱 以 内（含 8 0 箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过8 0 箱的部分直播主持人每箱抽成6 元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其5 0 天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数607 08 09 01 0 0甲直播间天数51 51 01 55乙直播间天数51 01 51 28（1）从记录甲直播间售

7、货的5 0 天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于8 0 箱的概率；以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于8 0 箱的概率.（2）假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.例 1 0.（2 0 2 2 全国模拟预测）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“5 +2”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2 h,结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有

8、序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了 1 0 0 份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：（1）从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过2 0 0 m i n,求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过2 0 0 m i n 的概率；（2）为了进步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过1 8 0 m i n 的人中分层抽取1 0 人，再从这1 0 人中任取3人，记建议课后服务时长在 1 8 0,2 0 0）的人数为X,求 X的分布列与数学期望.题型四求离散型随机变量的方差例11.（2 0 2 2 浙江镇海

9、中学高三开学考试）盒中有4 个球，其中1 个红球，1 个黄球，2 个蓝球，从盒中随机取球，每次取1 个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为4,则J的方差。（力.规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法（1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.（2）已知分布列是两点分布：直接套用公式。（=。（1 一。）求解.（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况.例12.（2 0 2 2 北京八中高二期末）随机变量X的取值为0,1,2,若尸（X=0）=/,E X =1 ,则。X =.例13.（2 0 2

10、 2 全国高二课时练习）随机变量彳的可能值1 23,且尸偌=l）=3 p-l,尸偌=3）=l-p,则0（。）的最大值为.题型五方差的性质的应用例 1 4.（2 0 2 2 辽宁高一期末）已知样本1 +%，1+，1 +x,的平均数为5,方差为3,则样本3 +2 国，3 +2，3 +2%的平均数与方差的和是规 律 方 法 求 随 机 变 量Y=a X+b方差的方法求随机变量y=x+b 的方差，一种方法是先求丫 的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（n X+/）=/（求解.例 15.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知入口8（3）,且 Y =5 X +2,则丫的方差为.例 1

11、6.（2 0 2 2 重庆市蜀都中学校高三阶段练习）已知随机变量J的分布列如下表，34）表示f的方差，则。3 +1)=.自012Pa-2 aj_4题型六均值与方差的综合应用例 17.（2 0 2 2 广东佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项N 8 C D,其中至少两项、至多三项是符合题目要求的.在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜.假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为g .（1）写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2 个或3个选项

12、，求出小明这道题能得5 分的概率；（2）从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？规 律 方 法（1）均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.（2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.例 18.（2 0 2 2 山东日照青山学校高二期末）2 0 2 0 年 1 2 月 4 日，“直播带货”入 选 咬文嚼字2 0 2 0 年度十大流

13、行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3 元：乙直播间无底薪，80箱以内(含80箱)的部分直播主持人每箱抽成4 元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6 元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数60708090100甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3 天，求这3 天的售货箱数都不小于80箱的概率；以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3 天中至少有2

14、 天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.例 19.(2022全国模拟预测)为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“5+2”模式，即学校每周5 天都要开展课后服务，每天至少开展2 h,结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了 100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取

15、2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过2 0 0 m i n,求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过2 0 0 m i n 的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过1 8 0 m i n 的人中分层抽取1 0 人，再从这1 0 人中任取3 人，记建议课后服务时长在 1 8 0,2 0 0)的人数为X,求 X的分布列与数学期望.例 20.(2 0 2 2 山东青岛二中高三开学考试)某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对5 0 0 位员工进行奖励，规定：每位员工

16、从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1 张面值为8 0 元，其余3张均为4 0 元，试比较员工获得8 0 元奖励额与获得1 2 0 元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值 2 0 元和2张面值1 0 0 元；第二方案是2张面值4 0 元和2张面值8 0 元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.例 21.(2 0 2 2 全国高三专题

17、练习)2 0 2 0 年 9月 2 2 日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2 0 3 0 年前达到峰值，努力争取 2 0 6 0 年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和.某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了2 0 0 名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.高中部初中部男生女生力:生女生清楚1282424不清楚28323834（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学

18、生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（2）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X 表示这2 人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X 的分布列和数学期望：（3）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用 表 示 该 男 生 清 楚 垃 圾 分 类 后 的 处 理 方 式，用“4=0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“=1”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差。4 和。的大小关系.（结论不要求证明）例 22.（2022全国模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了 100位业内人士，根据被访问者的问卷

19、得分（满分10分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观、尚可、乐观）.分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下:经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分456710频数101924174假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响)，根据经验，这 100位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下(正数表示赢利，负数表示亏损

20、)：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率()124-4人工智能项目年回报率()75-2根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.【同步练习】一、单选题1.（2022全国高二单元测试）已知随机变量X 的分布列为X012P1333设y=2X+3,则。等 于（）2.（2022全国高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如下，则。（3X-1）的最大值为（）X123Pab2baA.,B.3C.6 D.53.（2022浙江温州高三开学考试）已知随机变量X 的分布列是:X-101Pa_3b若 E（X）=0,则O（X）=（）A.0 B.-C.1 D.1334

21、.（2022山东广饶一中高一阶段练习）如果数据x/,电，X”的平均值为1方差为S 2,则 3制+2、3打+2、3x+2的平均值和方差分别是（）A.1 和 s?B.37+2 和 9s2C.31+2 和 3s2 D.3嚏+2 和 9s?+25.（2022重庆一模）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合 1”混检，“

22、5合 1”混检，“1 0 合 1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0 0 0 5.若对该城市全体居民进行核酸检测,记采用“1 0 合 1”混检方式共需检测x次,采用“5 合 1”混检方式共需检测y 次，已知当0。0.0 0 1 时，（1 -p）=l-据此计算 E（X）:E（y）的近似值为（）A.；B.C.9 D.22 2 7 1 1 96.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）将 3只小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球落入盒子的概 率 相 等.记 X为分

23、配后所剩空盒的个数，丫为分配后不空盒子的个数，则（）A.E（X）=E（Y）,D X）=D Y）B.E（X）=E（Y）,c.E（X）WE（Y）,o（x）=o（y）D.,z）（x）w z（y）1.（2 0 2 2 浙江省义乌中学高三期末）随机变量。的分布列如下表：1a9Pb-2bb其中1 9,0 6；,则下列说法正确的是（）A.若a =5,贝幅0 6；时，E随 b 的增大而增大B.若a =5,则当0 6；时，E4）随人的增大而减小C.若b=；,则当。=5 时，有最小值D.若b=g,则当。=5 时，有最大值8.（2 0 2 2 河北高三阶段练习）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5

24、 分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1,2 题 的 概 率 都 是 答 对 第 3 题的概率是：，则小明答完这3道题的得分期望为（）二、多选题9.（2022山东模拟预测）己知?，均为正数，随机变量X 的分布列如下表:X012Pmnm则下列结论一定成立的是()A.尸(X=l)P(X w l)B.(%)=1C.mn D.DX+1)P2C.（x2）12.（2022江苏海安高三期末）一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2 倍关系，则称这次抛掷“漂 亮 规 定 一 次 抛 掷“漂亮”得分为3,否则得分为一1.若抛掷30次，记累计得分为，则（）A.抛掷一次，“漂亮”的概率为2B.1=2 时

25、,“漂亮”的次数必为8C.E（J）=-1 0三、填空题1 3.（2 0 2 2吉林东北师大附中高二期末）不透明袋中装有完全相同，标号分别为1,2,3,，8的八张卡片.从中随机取出3张.设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3,4,5,则有两组相邻的标号3、4和4、5,此时X的值是2）.则随机变量X的数学期望E（X）=.1 4.（2 0 2 2全国高二课时练习）一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X,Y,设4=丫-牙，则E管

26、）=.1 5.（2 0 2 2全国高三专题练习）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P,乙胜的概率为1-p,且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局晶得比赛的概率Q为白.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为1 6.（2 0 2 2 全国高二课时练习）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量XX 3 0(3 0 0%70(7 0 0 K x 90(X N 90(工期延误天数Y0261 0历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于3 0 0,70 0,9 0 0的概率分别为0.

27、3,0,7,0.9,则工期延误天数丫 的方差为.四、解答题1 7.（2 0 2 2全国高二单元测试）为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：里程计费：1元/公里；时间计费：0.1 2元/分.已知陈先生的家距离公司1 2公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为/（分），现统计了 5 0次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示.时间t 2 0,30)30,40)40,50)50,60)（分）次数122882将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为 20,60）.（1）估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时

28、间不低于30分钟的概率；（2）求陈先生一次路上开车所用的时间f（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）；（3）若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由.18.（2022 四川高三阶段练习（理）云南是我国野生菌菇资源丰富的省份，共有250多种可食用菌.每年雨季，许多云南的当地居民便进山采菇拿到菌菇市场售卖.若某市场调研员跟踪调查某居民每天的采菇数 量（单位：千克）及当天所采菌菇平均售价（元/千克），得到如下概率分布表：采菇数量（千克）56概率0.60.4菌菇平均售价（元/千克）150180概率0.80.

29、2假设该居民每天的采菇数量与每天的菌菇平均售价相互独立.（1）记该居民采菇一天所获得的收入为X 元，求 X 的分布列及数学期望；（2）求该居民连续采菇三天所获得的总收入不少于2500元的概率（小数点后保留一位有效数字）.参考数据：0.482*0.23,0.483 0.11.1 9.(2 0 2 2全国模拟预测)2 0 2 2年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了 关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见(简称 双减 政策).某校为了落实“双减”政策，安排了 2 5名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.O 2 3 4 5次数(1)求 这2

30、 5名教师在该星期参与课后服务的平均次数；(2)从 这2 5名教师中任选2人，设 这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.2 0.(2 0 2 2全国模拟预测)某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶2元，未售出的饮品降价处理，以每瓶1元的价格当天全部处理完.依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温T 2 3 5 C时，零售价为每瓶5元，日需求量为3 0 0瓶；当3(T C V T 3 5 C时，零售价为每瓶4元，日需求量为2 0 0瓶；当7 3 0 时，零售价为每瓶3元，日需求量为1 0 0瓶.已知七月份每天气温7235(的概率为0.6,3 0

31、 C T 3 5 C的概率为0.2,T 3 0 的概率为0.2 .(1)求七月份这种饮品一天的平均需求量；(2)若七月份某连续三天每天的气温均不低于3(r c,求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望.2 1.(2 0 2 2安徽安庆一中高三期末(理)1 9 7 1年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2 0 2 2年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁

32、判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王、小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比2 i I赛小王获胜的概率为2,小马与小张比赛小张获胜的概率为:，小马与小王比赛小马获胜的概率为:.S z 3(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X,求X的分布列和期望.22.(2022全国高三专题练习)甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖

33、金.已知每场比赛甲赢的概率为p(0 p l),乙赢的概率为l-p,且每场比赛相互独立.(1)当P=g时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量匕 求 丫的分布列：(2)当p 时，若已进行了 5场比赛，其中甲赢了 3场，乙赢了 2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；(3)规定：若随机事件发生的概率小于0.0 5,则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛p w 1,且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙 赢1场,请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.答案解析题 型 一 利 用 定 义 求 离

34、散 型 随 机 变 量 的 均 值例1.(2 0 2 2 辽宁瓦房店市高级中学高二期末)已知离散型随机变量X的分布列如下:X123P313 _3则 数 学 期 望 凤X)=()A.-B.v C.1 D.23 3【参考答案】D【答 案 解 析】【名师分析】利用已知条件，结合期望公式求解即可.【详 解】解：由题意可知：(A 1)=l x +2 xy+3 x=2 .故选：D.规律方法 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确 定X的可能取值；(2)计 算 出P(X=k)；(3)写出分布列：(4)利 用 双 的计 算 公 式 计 算E(.例2.(2 0 2 2浙江高三专题练习)已知甲盒

35、子中有3个红球，1个白球，乙 盒 子 中 有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出，个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数。闻 =1,2),则()A.E值)=E g)B.E g)1.7 5,则P的取值范围是（）*4A.B.C.D.【参考答案】c【答案解析】【名师分析】根据题意，首 先 求 出x=l、2、3时的概率，进 而 可 得EX的表达式，由 题 意E X 1.7 5,可 得p?-3p+31.7 5,解 可 得p的范围，结 合p的实际意义，对求得的范围可得参考答案.【详解】解：根据题意，学 生 发 球 次 数 为1即一次发球成功的概率为p,即P(X=1)=p,发 球 次

36、数 为2即二次 发 球 成 功 的 概 率 尸(X=2)=p(1 -p),发 球 次 数 为3的 概 率P (X=3)=(1 -p)2,贝ij E x=p+2 p(1 -p)+3(1 -p)2=p2 -3 p+3,依题意有 E X 1.7 5,则/-3p+3 i.7 5,解 可 得，或结 合p的实际意义，可 得OVp 4=3 2 0；当=90 时,X=320+10X6=380；当”=1 0 0 时，X=3 2 0+2 0 x6=4 4 0.所以X的分布列为：X2 4 02 8 03 2 03 8 04 4 0P1Io53W62 542 5E（X）=2 4 0 x*+2 8 0 x9+3 2 0

37、 x 余+3 8 0 x +4 4 0 x =3 3 7.6X J J J 4 J 4 J所以乙直播间支持人日平均工资为3 3 7.6 元因为3 3 7.6 X=(0-1)2X1+(1-1)2X|+(2-1)2X1=|2故参考答案为：j例13.(2022全国高二课时练习)随机变量J的可能值1,2,3,且尸(=1)=3夕-1,产器=3)=1-。，则。(外的最大值为.【参考答案】1【答案解析】【名师分析】由题意得到尸=2)=l-2 p,利用概率范围求得p的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量g的可能值有1，2,3,且尸管=l)=3p-l的 管=3)=l-p,所以尸(J=2)=l-

38、2 p,03/?-11 r1 1由 J 0 l-p l,得pe0 l-2p 颐Y)E(Z),所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选个选项.规 律 方 法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.例 18.(2 02 2 山东日照青山学校高二期末)2 02 0年 1 2 月 4日，“直播带货”入 选 咬文嚼字2 02

39、 0年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪1 0 0 元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80 箱以内(含80 箱)的部分直播主持人每箱抽成4元，超 过 80 箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其5 0 天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数6 07 0809 01 0 0甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3 天，求这3 天的售货箱数都不小于80箱的概率；以样本估计总体，视样本频率为概

40、率，估计甲直播间主持人3 天中至少有2 天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.【参考答案】(1)高；(2)小张应选择甲直播间应聘，理由见答案解析【答案解析】【名师分析】(1)由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，然后根据占典概型的概率公式求解，,设甲直播间主持人三天中恰有4 天售货箱数不小于80箱，则由题意可得4 从而可求得结果,(2)由题意直接求出甲直播间主持人的日平均工资，设乙直播间售货箱数为，日工资为X

41、 元，求出X的可能取值，列出分布列，从而可求出期望，然后比较可得结论(1)由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，记抽取的这3 天的售货箱数都不小于80箱事件4则尸(/)=3=含.甲直播间主持人某一天售货箱数不小于80箱的概率为汽产=,.设甲直播间主持人三天中恰有4天售货箱数不小于80箱，则 3,J 尸(g=2)+P(”3)=C；(|)2?+研|=翳(2)依题意，甲直播间主持人的H平均售货箱数为6 0 x=+70 x畜+8 0 9 9 0、4+100乂=80,所以甲直播间主持人的I I平均工资为100+3x80=340元,设乙直播间售货箱数为小日工资为X元，则当”=6 0 时

42、，X=6 0 x 4=2 4 0：当 a=7 0 时，X=7 0 4=2 80；当=80 时，X=80 x 4 =3 2 0；当=9 0 时,=3 2 0+1 0 x 6=3 80；当“=1 0 0 时，X=3 2 0+2 0 乂 6=4 4 0.所以X的分布列为：X2 4 02 803 2 03 804 4 0P11 0531 062 542 5E（X）=2 4 0 x*+2 80 x g +3 2 0 x /+3 80 x 提+4 4 0 x =3 3 7.6所以乙直播间支持人日平均工资为3 3 7.6 元因为3 3 7.6 Dn.例 2 2.（2 0 2 2 全国模拟预测）某财经杂志发起

43、一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了 10 0 位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分10 分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观、尚可、乐观）.分级标准及这10 0 位被访问者得分频数分布情况如下:经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分456710频数101924174假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这 10 0 位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.（1）该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；（2）某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种

44、投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率（）124-4人工智能项目年回报率（）75-2根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.【参考答案】0.3 6(2)见答案解析【答案解析】【名师分析】(1)得预期为“乐观”的人数为20,结合独立重复实验的概率公式即可得解.(2)分别计算各等级概率，再利用期望公式与方差公式直接计算.(I)山题意可知1 00名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为9 +7 +4 =2 0人，概率为0.2,若又随机访问了两

45、名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为P=0.22+C；0.2 (1 -0.2)=0.3 6.(2)由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率 为2士0=0.2 ,预测中国经济前景为“尚可”的概率为1喘4+17=0 7,预测中国经济前景为“悲观”的概率为 怨 着=0设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为(%),E(X2),方差分别为。(乂)，。(丫2)，则 E(xJ =0.2 x 1 2%+0.7 x 4%+0.1 x(-4%)=4.8%,(X2)=0.2 x7%+0.7 x5%+0.1 x(-2%)=4.7%,O(X j =0.2 x(1 2%-4.8%)2+0.

46、7 x(4%-4.8%)2+0.1 x(-4%-4.8%)2=0.001 8 5 6,(X2)=0.2 x(7%-4.7%)2+0.7 x(5%-4.7%)2+0.1 x(-2%-4.7%)2=0.0005 61 ,则 E(XJ E(X 2),投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大.。(乂)。(莅)，投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小,建议投资人工智能项目.【同步练习】一、单选题1.(2022全国高二单元测试)已知随机变量X 的分布列为X012P13313设y=2X+3,则力(丫)等 于()A.|B.|C.|D.1【参考答案】A【答案解析】【

47、名师分析】根据分布列求出K(X),D(X),再根据条件得。(丫)=4。(力，计算参考答案即可.【详解】由 X 的分布列得E(X)=0 xg+lxg+2x；=l,Z)()=(O-1)2X1 +(1-1)2X|+(2-1)2X|=|,因为 y=2X+3,Qpiijp(r)=4z)(x)=-故选：A.2.(2022 全国高三专题练习)已知随机变量X 的分布列如下，则。(3 X-1)的最大值为()23X123Pab2b-aA.B.3C.6 D.5【参考答案】C【答案解析】【名师分析】根据概率和为1得到求得6,根据分布列求得E（X）,Q（X）,求。（X）的最大值，再 求。（3X-1）的最大值即可.【详

48、解】因为分布列中概率和为1，故 可 得4+b+2b-a=l,解 得b=；,；+2a2I X-2”,3 92 2又0（工1,0 =可，E(X)=-a +b =O 3因此，z)()=1 (-i-o)2+(o-o)2+(i-o)2 =|.故选：C.4.(2 02 2 山东广饶一中高一阶段练习)如果数据X”打，X 的平均值为1方差为/，则 3 打+2、3 右+2、3 x+2 的平均值和方差分别是()A.嚏和/B.3 嚏+2和 9 sC.3 1+2 和 3 s 2 D.3 1+2 和 9 5?+2【参考答案】B【答案解析】【名师分析】利用均值、方差的性质求新数据的均值和方差.【详解】由题设，E(3 x.

49、+2)=3 (x,.)+2 =3 x+2 ,D(3 xi+2)=9 D(x.)=9 s2,故选：B5.(2 02 2 重庆一模)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合 1”混检，“5合 1”混检，“1 0 合 1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测

50、成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0 0 0 5.若对该城市全体居民进行核酸检测,记采用“1 0 合 1”混检方式共需检测X次,采用“5 合 I”混检方式共需检测丫 次，已知当0 0.0 0 1 时，(1 -p)屋 1-叨据此计算E(x):(y)的近似值为()A.；B.C.D.-2 2 7 1 1 9【参考答案】B【答案解析】【名师分析】由 题 意 可 知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次 和11次，概率分别为和从而可求出E(x),同样的方法uj.求出E(y),进而可求出比值【详 解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个