2021-2022学年重庆市北碚区高一年级下册学期第三次定时训练数学试题及答案.pdf

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1、2021-2022学年重庆市北陪区高一下学期第三次定时训练数学试题sincr=-一、单选题1.若1 3,且。为第四象限角，贝 ijtana的值等于12_12 5_A.5B.5 C.12【答案】D【详解】sina=13,且 为第四象限角，D.125c osa =a =13,sina 5ta na =-=-则 c osa 12,故选D.2.设备、/是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是()A.q+e?和 q B.乌 +2 ei 和 e2+2qC.3g _2e?和 4e?-6 勺 D e?和 e?+et【答案】C【分析】根据平面向量的基底的概念，判断各选项中的向量是否共

2、线，即可得答案.【详解】对于A,0+02和q-e?没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确;对于B,4+202和02+2。，没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；对于C,4e2-6el-2(3e,-2e2)二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底；对于D,和0+弓，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；故选：C7 13.在 A/8 c 中，B C=,A B=,C=3,则/=()工 5万 生 工 24 上A.6 或 6 B.6 c.3 或 3 D.3【答案】B【分析】由正弦定理求出 6或6 ,再检验即得解.s in力打 2【详解】由正弦定理得 了AA.

3、=兀 5 几因为“乃,所以 6或6,因为 BC=l A B=6,A C,:.A=-所以 6 .故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4.设Z,%是非零向量，贝，共线 是+W-W”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若向量,3是方向相反，则打一 卜同一W,再由充分必要条件的判定即可得答案.【详解】若向量,磁 线 且 反 向，贝/-也 同2+好-2耶H，%小 时+2|明，9邛|，=同2+林-2|啊所以B叫 叩 一 问，则不充分，若,B是非零向量，且1%卜 邛1,则B引=（汩 磅 即c

4、o s（哂=1解得（哂=0 ,则。，B共线且同向，所以“,B共线”是 卜W -W 的必要而不充分条件.故选：B.5 .如图，在平行四边形/8 C。中，是4 8的中点，D M 与 A C交于点、N ,设 方=&,AD=b,则 BN=（）【答案】A A l=-A C【分析】依题意可得A/MWD&CN D,即可得到 3,再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：依 题 意 在 平 行 四 边 形 中，A M H C D ,A M A N又M 是 的 中 点，D M 与4c交于点、N ,所以AZM/D K N D,所 以 正 一 石 15,AN=-AC所以 3,J N =JN-AB =-C-AB

5、 =-C AB +AD y AB =-AD-JB =-b-a所以 3 3、7 3 3 3 3故选：A6.一艘海轮从4 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达8处，在 C 处有一座灯塔，海轮在4 处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在 8 处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C 两点间的距离是（）A.1 0&海里 B.1 0 6 海里C.206 海里 D.20&海 里【答案】A【分析】先确定N C/8和乙4c8,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在A/8 C 中，AB=20,NC48=30。，4 c 8=45。，根据正弦定理得sin30=s

6、in451,解得8 c=10及（海里）.故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.7.设/(x)=sin,若函数y=恰好有三个不同的零点，分别为不、X?、工3（须 工2 毛），则玉+2工2+X 3的 值 为（）A.兀3兀B.43万C.574D.4【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.2x+=k7r+(k e Z)x=+(k e Z)【详解】由 4 2、,，得对称轴 2 8、XG 0,-8，由八,人 冗，9兀0+2 8 8,-k 2解 得47TX=当=0时，对 称 轴.8,%=1时,对称

7、轴5乃x=8由/(x)-a =O 得/(x)=a若函数夕=/（x）-0恰好有三个不同的零点,等价于函数 =/（）与夕=a的图象有三个交点,与 1V2作出函数/G）的图象如图，得八）2,则2y=aOX!产 X2：8J57T!8由图象可知，点（知/。）、&，/&）关于直线点&,/（与）、（小）关于直线5乃x=71X=8对称，则5兀7C玉+工2=彳X,+2x,+x,=X,+x,+x,+X,=因此，故选：C.8对称，则n 54 34 I-=4 4 2+3=彳【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.8.在平行四边形/8CO中

8、，AB=2,BC=,ZD/8=60。，点E为边4 8的中点，点尸为边8 c上的动点，则 诙 而 的取值范围是（）D.L 2【答案】B D E =AB -AD,D F =AB -xAD【分析】首先用基底4 8,NO表示 2，再利用向量数量积公式表示D E D F =+-x2,利用x 的范围求数量积的取值范围.【详解】因为在平行四边形N8CZ)中，AB =2,B C =,Z D A B =6 0,A D =B C =,所以D E =DA+AE=AB A D4 048 二以2、8560。=1.因 为 是 4 6 边的中点，所以 2.又点、F 在B C边上，设CF=XC6(0 x 1),贝 ij Z)

9、/7=DC+C77=+=/8 1力。，所以D E-D F =A B-A b -4 B-x A b =A B2+x A D2-AB-AD xAB-A D=x4+x-l-x=l+x 11+x _ _2 2 2 2.X 0 x l,所以 2 2,故。尸。尸的取值范围是H故选:反【点睛】关键点点睛：本题关键点是对动点厂引入参数X,设 炉=x G （OX 0 3D选项：=（3,1），心=（加-1,加），若/B A C为锐角,则上加*m-1 ,解得“丁，D选项正确；故选：AD./（x）=J s i n （cox+A 0,（y 0,|=2 s i n 2 x的图像【答案】A B D【分析】根据函数图像可确定

10、参数A的值以及最小正周期，判断A,利用特殊点坐标可求得巴即5兀2兀 兀 Tl r 1x =-x w -2 x +e -7 1,0 1得函数解析式，将 1 2代入验证可判断B；根据 L 3 6，3 ，结合正弦函数的单调性，可判断C；根据三角函数的图像平移可得平移后的函数解析式，判断D.f(x)=Asn(cox+(p A 0,6 0,|将12代入函数解析式可得 I 1 2 九兀 兀 兀2 x +0 =+2la i,k Z,，0 =+2kn,k G Z即 1 2 *2 3由 于 阳2,兀(p=故 3 ,则f(x)=2 s i n(2 x+yx=-/()=2 s i n(2 x+&/f-1 =2 s

11、i n f-+1 =-2将、1 2 代入I)I 3；I 12)I 6 3j5 nx _即函数V =/（x）的图像关于直线 一 1 2对称，B正确;2 7 1 7 1 兀2 x+-7 1,0 1当L 3 6 时，3 L，71,-,U由于正弦函数、=s i n x在L 2 上递减，在L 2 递增,x）=2 s i n（2 x+。-1-故 I 3）在3 1 2 上递减，在1 2 6_|递增，c错误;/(x)=2 s i n 2 x+I y =2 s i n 2(x-)+=2 s i n 2x将 I 3 J的图像向右平移6个单位可得 6 3 的图像，D正确,故选：A B D1 1.八卦是中国文化的基本

12、哲学概念，如 图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形A B C D E F G H,其中1 0旬=2,A.O A-O D =-14 i图2B.O B +OH =-W EC AH-FH=24 2+4 2 -V-2 OBD.在上的 投 影 向 量 为2【答案】A C D【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项.场 砺=|刀|比|cosNZOO=2 x 2 x c o s =-2VI【详解】1 1 1 1 4,A正确；由向量加法的平行四边形法则知丽+而 是 以 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 对 应 的 向 量，起点是,易

13、知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即 丽+丽 片 2次，而 方=一赤，因此 B 错误；22+22-2x2x2xcos =22+724,C 正确;OE-Og=2x2xcos =-2A/24,瓦.砺 _ _ 2代 _ *乐 在 丽 上 的 投 影 为 画 一 2 一 ，又 网=2,二砺在而上的投影向量为一 那=一 9无D 正确.故选：ACD.1 2.在一 BC中，角 小B、C 所对的边分别为“、b、c,且弘cosC+3ccos5=/,则下列说法正确 的 是（）A.若 5+C=2/l,则 8 c 的外接圆的面积为37tB.若 二，且 8 C 有两解，则 6 的取值范围为口3血 C.若 C=2/,

14、且“8 C 为锐角三角形，则 c 的取值范围为G及，3百）3-3D.若力=2 C,且sin8=2 s in C,。为A/3 C 的内心，则 工。8 的面积为 4【答案】ACD【分析】根据条件劝csC+3ccsB求出a=3.选项A：根据条件8+C=2 4 求角/根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B：由余弦定理得9=+。2-&防，将此式看作关于c 的二次方程，由题意得此方程有两个正解，求得6 的取值范围：选项C：根据正弦定理把边。表示为6 c o s/l,利用小8 c 为锐角三角形求角工的范围，从而求边c 的范围：选项D：利用正弦定理求出角C,从而判断出“8 C 是直角三角形，利

15、用直角三角形内切圆半径公式求 8 C 的内切圆半径，从 而 求 的 面 积.【详解】因为3bcosC+3ccos8=a2,所以由正弦定理，得3sin5cosc+3sinCcos5=asin4,即 3sin(+C)=asin J因为1+8+C=*所以$出(8+C)=s i n ,且s in/w O,所以a=3.A=-选项A：若8+C=2 4,则 3,27?=-=2 G _ r：所以 8 C 的外接圆的直径 sin J ，所以R=J3,所以“8 C 的 外 接 圆 的 面 积 为 即)=3兀，选项人正确；选项B：由余弦定理片=/+C2-2 6CCOS/得9=+C2-C,将此式看作关于c 的二次方程

16、%2-901-&历+/-9 =0,由题意得此方程有两个正解，故 曲)2-4 0-9)，解 得/G),所以选项B 错误；选项 C：由正弦定理，得 sin sin2J,即c=2acos/=6cos/,因为“8 C 为锐角三角形，所以0 J -0 A 220 B -0 兀 一 34-20 C -TT0 2 J -2,即 271271,兀 A，所以6 4,l l-c =6cos4 。/,3月)山 3 丁 6所以 1)、故选项C 正确;选项D：因为sin8=2 s in C,所以6=2c,因为4=2 C,所以sin8=sin(4+C)=sin3C,b _ c 2c _ c所以由正弦定理 sinB sin

17、C,得 sin3c sinC,即sin3c=2sinC,所以sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC,即 2 sin Ceos2 C 4-2 cos2 CsinC-sinC=2sinC,所以 2cos?C+2cos2 C=3,cos2 C=C=A=B=.rz rr所以 4,又因为力=2 C,所以 6,3,2,b=2y/3,c=yl3 f即 48C 是直角三角形,所以内切圆的半径为=(a+c-b)=-八 S=x辰2W所 以 的 面 积 为 2 2 2 4,选项D 正确.故选：ACD.【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:若已知一个角数，则另两角的范围不能是（，），如8 =兀 A /八2

18、 兀、-A G（0,）3,则 3，特别是在求值域问题时会用到.T T 7T4 5,C e（0,-）（不兀）在锐角三角形中，不要只考虑 2 ,还要想到另外两角之和在2 内,若再知其中一兀 .2 兀 八 兀 7 t H 兀 A=-C C 角,要考虑其它角的范围，如8=3,则 3 2,所以6 3；若知其中两角关系，也要考虑角 0n-3A 20 2/A 9-)=cos(兀-2(3)=-cos203)3 6=2sin2/7-1=2x-1 =故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.乙4=三 _ _ AQ=-AC1 6.在 春 8 c 中，3,48=6,N C=4,点尸、0

19、 满足N 尸=2尸 8,2,直线C P与 80交于点,M 为线段4 的中点，则线段CM的长等于V37【答案】F【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得C/0的长.【详解】根据题意，以A 点为原点，力 8 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于力 8 的直线为夕轴建立平面直角坐标系，根据题意求得 ),/G O),。(2,2石)，尸(4,0),。(1,灼，RC 广 且 x_6)y=_ (x _ 6)则3 0 所在的直线方程为1-6 即 5。产所 在 的 直 线 方 程 为 2-4 ),即N=-6(x-4)；*y=-6)联立3所在的直线方程与8Q 所在的直线方程得2 =一 6 6

20、一 4),解得737故答案为：F.四、解答题1 7.已知向量*与石的夹角为1 2 0 ,-2,W=l.求 2 1；求 -2 6 与否的夹角.【答案】（1）2 8 1 5 0。【分析】（I）先完全平方，然后代入数据，最后开平方即可；（2）直接套用夹角公式，代入数据即可求出答案.C a-2b =a2-4 a-b+4 b2=22+4 x2xlx-+4 2【详解】（1）由 7 2 ,得人 2*2 打A b（a-2b）b-a-2-1-2 乖）（2）设台与。一 2 b 的夹角为夕，则 I I I I I I I I ,又 0”1 8 0。,即 6 =1 50.1 8.“B C 中，内角 4 8,C 的对边

21、分别为a 也 c,已知 =4,b +4 c o s/（a c o s C +c c o s N）=0（1）求 28 C外接圆的直径：若 Z B/C=-3,求A/8 C 的周长.1 6 后【答案】1 5 VS +4.1 .,V15，一cos A=sin A=-【分析】（1）先利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求得 4,进而可得 4,再利用力8 c 外接圆的直径 sin力求解即可；（2）由向量数量积的定义可得加=1 2,再利用余弦定理求b+c 的值即可.【详解】（1）由+4cos（acosC+c c o s）=及正弦定理可得，sin 8+4 cos A（sin A cos C+sinC cos

22、4）=sin 8+4 cos 4 sin（4+C）=0因为/8 C,A+C=n-B f 且 sinBwO,所以sin 8+4 cos/sin(兀-8)=sin 8+4 cos 力 sin 8=0cosJ=-所以 4T t,A 0)1 9.已知函数 I 6J71其图像与X轴相邻两个交点间的距离为2.求函数/（X）图像的对称轴:7C兀判断/（X）在1%5 上的单调性.x=+（k e Z【答案】（1）对称轴为 2 12、n 兀（2）/。）在L 12 上单调递增,兀 K在卜2 5 上单调递减【分析】（1）由三角恒等变换得/(x)=V 3sin 269X+I 3再结合题意，根据周期性得=1,进而整体代换

23、求解即可;兀 兀（2）先根据整体代换方法求得函数的单调增减区间，再与 求交集即可./(x)=sin|2cox-|-4sin2 a)x+2【详解】(1)解：.1 6J百.C 1 c 4 1-COS2Gx c=sin 2cox cos 2cox-4 x-+22 2 2石 c 3 c=sin 2cox+cos 2a)x2 2=V3 sin26x+y j7 1因为图像与x 轴相邻两个交点间的距离为5,2万_所以，函数/(“)的最小正周期7=兀，即 2/一”，解得。=1,/(%)=百 sin(2x+所以 13人2%+=H +x=+（k G Z）由 3 2 得 2 12、）,所以，/（X）的对称轴为、=万

24、+丘 G*z）f (x)=V3sin|2x+I(2)解：由(1)得 l 3A2/CK-2x+2kn+(k e Z)k n-x kn+(k e Z)所以，由 2 3 2 ,得 12 12,2kn+2x+2kn+(k e Z)kit+x=3 x,B D=2x,在及)中由正弦定理得 3 x ,2x,在中用正弦定理求得a ,6的值，从而求得A/IBC的面积.1-t a n,32b2=(b2+c2-a2【详解】由,b2c2-a2c o s 力 _及余弦定理-2 6 c 得,2(6)(2b=2bc c osA 1-ta n A=b=c c osA-33b(百s i n 8=s i n C c o s A-

25、s i n A3又由正弦定理s i n 8 s i n C 得且i n 3s i n(/t +C)=s i n C c o s A-由 s i n B=s i n(n -A-C)=s i n(4 +C)得、s i n A c o s C+c o s 4 s i n C =s i n Cc o s A-s i n A s i n C即3Gs i n A c o s C =-s i n/s i n C即 3由s i n/w O得 t a n C =V i ,c =因为0 C 7 T,则 3 .(2)设AD=3x,B D=2x,A D C D 3x 2在AC。中由正弦定理得，s i nZ A C D

26、 s i n%s i n 6 0 s i n 4 ,一百s i n A=则 3 x ,在 B C。中由正弦定理得,_B_D_ _ C D s _2_x_ _ _2_ _s i n Z B C D s i n 3 _ s i n 6 0 s i n 5,s i n 8=则 2 x ,AB B Csin A C B s i n A在“8 C中由正弦定理得，则“3 ,b=5,所以S b s i n C =22 6A C l Ox _ a hs i n B V 3 V 3 5/33 x 2x,2 2.如图，A,8 是单位圆上的相异两定点（为圆心），W A O B =9（。为锐角），点 C为单位圆上的动

27、点，线段4C交线段0 8 于点河（点“异于点、B）求 方 荔（结果用6 表示）；若8=60 求 归 酝 的取值范围；AM_ _ _ _=f（/）设 0 M =/。8（0，1）,记A C,求/（）的最小值.【答案】（l）c os-l （百）；26-3【分析】(1)由 方=砺-两，再结合平面向量的数量积，得解；a e j 区,兀 G4 -C S=-s in f a +|(2)设/=a,1 3 人化简可得 2 1 3人再根据正弦函数的图象与性质，得解；设 前 7=彳 项 0/1 1),由 两=/历，结 合|卜 1,推出/)=%=2 T ,再利用分离常数法和基本不等式，得解.【详解】(1)解:04-A

28、B=04-(03-04)=O4-0B-O42=cos0-l(2)解：设 N Z O C =a,T TZBO C=a-则 3,=(p-O C)(pB-OC)OA.OB_a4.OC_OC.OB+OC2=c os -c os a-c os|a-四+1 =-V 3 s in a +-|a|3 I 3；2 I 3)f U J7 1a +一 又32兀4兀T?T,则 瓦 3e(O,3)设/M =/L4 C(0/l l),贝=因为。面=1而,所以 O M =Q4 +/M =Q 4 +/l 4 C =Q +/l(OC C U)=(l 4)O/+/l OC =fO8 t-1-2 OC=-O B-OA所以 4 2|oc|=i -rOB-OA=1 ()2-2-c os +(-)2=1因为 ,所 以“，即，i 3 A,t2-Z +lX =-化简得，2 T ,/(0=(2T)2-3(2T)+32 T所以=(2-Z)+-3 4 2 6-32 t当且仅当2 一 一三7 一，即，=2-百 时，等号成立,故/)的最小值为2 G-3.