2021-2022学年广东省广州市高二年级下册学期期中数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学 年 广 东 省 广 州 市 高 二 下 学 期 期 中 数 学 试 题 一、单 选 题,i.m/(l+2 A r)-/(l)1.已 知 函 数/(X)的 导 函 数 为/),且,0)=5,则 郡。Ar-(5A.2 B.2 C.5 D.10【答 案】D)【分 析】根 据 导 数 的 定 义 式 直 接 求 解.【详 解】因 为/)=5,|i m/(l+2 A x)-/(l)=2/(1+2)-/(1)=2/10所 以 AX TO 2 AX故 选：D.2.函 数 V=/（x）的 图 像 如 图 所 示，下 列 不 等 关 系 正 确 的 是（）A.0 八 2)八 3)3)-/(

2、2)B.0 八 2)3)-/(2)八 3)C,0 八 3)3)-/(2)八 2)D.0/(3)-/(2)r(2)r(3)【答 案】C【分 析】根 据 导 数 的 几 何 意 义 和 函 数 平 均 变 化 率 的 定 义，结 合 图 象，即 可 求 解.【详 解】如 图 所 示，根 据 导 数 的 儿 何 意 义，可 得，（2）表 示 切 线 人 斜 率 占/（3）表 示 切 线 4斜 率 3,/二/=/-/（2）,.又 由 平 均 变 化 率 的 定 义，可 得 3-2,表 示 割 线 4 的 斜 率 内,结 合 图 象，可 得*3 左，即。/（3）/（3）-/（2）八 2）故 选：C.3.

3、有 N 件 产 品，其 中 有 M 件 次 品，从 中 不 放 回 地 抽 件 产 品，抽 到 的 正 品 数 的 数 学 期 望 值 是()M N-M/八 M N-Mn-n-(1)-(-1)-A.N B.N C.N D.、)N【答 案】B【分 析】根 据 题 意,抽 到 正 品 数 X 服 从 超 几 何 分 布，结 合 超 几 何 分 布 的 期 望 公 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，有 件 产 品，其 中 有 M 件 次 品，从 中 不 放 回 地 抽 件 产 品，则 抽 到 正 品 数 X 服 从 超 几 何 分 布，D(X)=n-NM所 以 抽 到 的 正 品 数 的 数

4、 学 期 望 值 是 N.故 选：B.4.某 市 一 次 高 三 模 拟 考 试 一 共 有 3.2万 名 考 生 参 加，他 们 的 总 分 服 从 正 态 分 布 N(4 8 0,4),若 尸(4 3 0 4 4 4 530)=0.7 8,则 总 分 高 于 530分 的 考 生 人 数 为()A.2400 B.3520 C.8520 D.12480【答 案】B530)=-尸(430 530)=l07S=0.11根 据 正 态 分 布 曲 线 的 对 称 性，可 得 2,所 以 总 分 高 于 530分 的 考 生 人 数 为 32000 x0.11=3520.故 选：B.5.己 知 G

5、一/)0+2x)4的 展 开 式 中 含 v 的 项 的 系 数 为()A.56【答 案】AB.60 C.68 D.72【分 析】将 二 项 式 前 一 项 展 开 并 乘 入 后 面 的 多 项 式，根 据+2x)4展 开 式 的 通 项，分 别 求 得 各 项 中/的 系 数，相 加 即 可.【详 解】因 为 Q 一 x2+2人=2。+2X)4-X2(1+2x)4,其 中(+2)4展 开 式 的 通 项%=C,(2x)=C 2.,所 以/的 系 数 为：2仁-C：2=56.故 选：A.6.如 图 所 示 的 五 个 区 域 中，中 心 区 域 是 一 幅 图 画，现 在 要 求 在 其 余

6、 四 个 区 域 中 涂 色,现 有 四 种 颜 色 可 供 选 择 要 求 每 一 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色，相 邻 区 域 所 涂 颜 色 不 同，则 不【答 案】CC.84 D.96【分 析】根 据 题 意 可 知 每 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色，相 邻 区 域 颜 色 不 相 同，分 类 研 究，A.C 不 同 色；/、C 同 色 两 大 类，由 此 可 得 答 案.【详 解】由 题 意 知，分 两 种 情 况：(1)A、C不 同 色(注 意：B、。可 同 色、也 可 不 同 色，。只 要 不 与/、C 同 色，所 以。可 以 从 剩 余 的 2 种 颜 色 中 任

7、意 取 一 色)：有 4x3x2x2=48种：(2)A、C 同 色(注 意：B、。可 同 色、也 可 不 同 色，。只 要 不 与/、。同 色，所 以。可 以 从 剩 余 的 3 种 颜 色 中 任 意 取 一 色)：有 4x3x1x3=36种.共 有 48+36=84种，故 选：C.7.中 国 文 字 博 物 馆 荟 萃 历 代 中 国 文 字 样 本 精 华，用 详 尽 的 资 料 向 世 界 展 示 了 中 华 民 族 一 脉 相 承 的 文 字 和 辉 煌 灿 烂 的 文 明.该 博 物 馆 馆 藏 的 重 要 藏 品 主 要 分 为 铜 器、碑 碣、钱 币、陶 器、玉 石 器、甲 骨

8、、竹 木、纸 质、瓷 器 共 九 类.小 明 去 中 国 文 字 博 物 馆 参 观，并 任 意 选 取 了 三 类 重 要 藏 品 重 点 参 观，则 小 明 在 碑 碣、甲 骨、瓷 器 三 类 中 至 少 参 观 了 一 类 的 概 率 为()6 6 5A.7 B.21 C.，【答 案】BD.23【分 析】9 类 藏 品 中 选 取 3 类 藏 品 共 有 C；=84种 不 同 情 况，利 用 间 接 法 可 得 在 碑 碣、甲 骨、瓷 器 三 类 中 至 少 参 观 了 一 类 有=84-20=64种 不 同 情 况，由 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 即 可 求 解.【详

9、解】解：9 类 藏 品 中 选 取 3 类 藏 品 共 有 0；=84种 不 同 情 况,碑 碣、甲 骨、瓷 器 三 类 都 不 选 有=20种 不 同 情 况,p 84-20 16则 所 求 概 率 为-84 F故 选：B.8.已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y=/(x)的 导 函 数 为=/(%),当 x w O 时,A.acbC.abcB.bc aD.ca o【分 析】根 据.x 构 造 函 数 g(x)=MXx),利 用 函 数 g(x)的 奇 偶 性、单 调 性 比 较 大 小.【详 解】解：令 函 数 85)=科(对，则 g(x)=/(x)+V”(x),因 为 定 义

10、域 为 A 的 y=/a)是 奇 函 数，所 以 函 数 g(x)为 偶 函 数；盘=矿(x)+/(x)0当 x 0 时，因 为()x x,所 以 矿(x)+/(x)0,即 g(x)。，所 以 g(x)在(0,)上 为 单 调 递 增，a=/(l)=g(l),6=(噫|小*卜 g(bg3，g(-2)=g(2)小 升 卜 g)=g(叫 因 为 0.3 所 以 ln2l2,根 据 g(x)在(，+8)上 单 调 递 增，所 以 g(ln2)g(l)g(2).即 c b故 选：D.二、多 选 题9.设 函 数 3 的 导 函 数 为/O）,则（）A.,（1）=B,、=1是 函 数 x）的 极 值 点

11、 C./（X）存 在 两 个 零 点 D./G）在（1,+8）上 单 调 递 增【答 案】AD【分 析】首 先 求 函 数 的 导 数，利 用 导 数 和 函 数 的 关 系，即 可 判 断 选 项.【详 解】/（x）=x 2-2 x+l=（x 7）-4,所 以 函 数/（X）在 R上 单 调 递 增，所 以 函 数 不 存 在 极 值 点，故 B 错 误，D 正 确；/（1）二,故 A 正 确；/（x）=x-x+x=0,得 X（X2-3X+3）=0,W _ 3 X+3=0 中，A=9-1 2 恒 成 立，即 方 程 只 有 一 个 实 数 根，即 x=0,故 C 错 误.故 选：AD10.关

12、 于 他-3”的 说 法 正 确 的 是（）A.展 开 式 中 的 二 项 式 系 数 之 和 为 2048 B.展 开 式 中 只 有 第 6 项 的 二 项 式 系 数 最 大 C.展 开 式 中 第 6 项 和 第 7 项 的 二 项 式 系 数 最 大 D.展 开 式 中 仅 第 7 项 的 二 项 式 系 数 最 大【答 案】AC【分 析】根 据 二 项 式 系 数 的 性 质 即 可 判 断 选 项 A,由 为 奇 数 可 知，展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 项 为 中 间 两 项，据 此 即 可 判 断 选 项 BCD.【详 解】（一 姆 的 展 开 式 中 的 二

13、项 式 系 数 之 和 为 2=2 0 4 8,所 以 A 正 确；由 题 可 知（）”的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 九,因 为=1 1为 奇 数，所 以 展 开 式 中 有 12项，中 间 两 项（第 6 项 和 第 7 项）的 二 项 式 系 数 相 等 且 最 大，所 以 B，D不 正 确，C 正 确.故 选：AC.11.下 列 说 法 正 确 的 是（）彳 P（X=3）=A.设 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 1 2人 则 16B,已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N G。）且 尸（X 4）=0.9,则 P（0 X 2）=0.4E（2X+3）=2

14、 E（X）+3 O（2X+3）=2O（X）+3D.已 知 随 机 变 量 满 足 P（J=）P d）=I,若。-权 51 6,所 以 A 正 确;对 于 B 中，由 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 Q b）,且（X 4）=0.9,可 得 P（X 2 4）=0.1P（Q X 4）1=0.4根 据 正 态 分 布 曲 线 的 对 称 性，可 得 2,所 以 B 正 确;对 于 C 中，根 据 期 望 和 方 差 的 性 质，可 得 E（2 X+3）=2 E（X）+3,O（2X+,所 以 0 不 正 确；对 于 D 中，由 随 机 变 量 4 满 足 尸（&=）=x*（O I,可 得 E

15、（J）=I x，（g）=x-x2,根 据 一 次 函 数 与 二 次 函 数 的 性 质 可 知：当、5 时，偌）随 x 的 增 大 而 增 大，所 以 D 不 正 确.故 选：AB.1 2.甲 罐 中 有 5 个 红 球，2 个 白 球 和 3 个 黑 球，乙 罐 中 有 4 个 红 球，3 个 白 球 和 3 个 黑 球.先 从 甲 罐 中 随 机 取 出 一 球 放 入 乙 罐，分 别 以 4 4 和 4 表 示 由 甲 罐 取 出 的 球 是 红 球，白 球 和 黑 球 的 事 件：再 从 乙 罐 中 随 机 取 出 一 球，以 8 表 示 由 乙 罐 取 出 的 球 是 红 球 的

16、事 件，则（）尸（8）=2A.22B,尸 c.事 件 8 与 事 件 4 相 互 独 立 D.4,次 4 是 两 两 互 斥 的 事 件【答 案】ABD【分 析】根 据 每 次 取 一 球，易 得 4,4,4 是 两 两 互 斥 的 事 件，求 得 P（4），P（4），P（4）,然 后 由 条 件 概 率 求 得 出，P（B）=P（BAt）+P（BA2）+P（BAi）,再 逐 项 判 断.【详 解】解：因 为 每 次 取 一 球，所 以 4,4,4 是 两 两 互 斥 的 事 件 故 D 正 确;P(A=,P(A=,P(A=因 为 10 10 10,5 5所 以 尸 4）=P(g4)_ 10

17、11_ 5P（4）51011尸 网 4）=p(g4)_ioxn尸 24=石,尸（川 4）=p(g4)_ioxn _ 4同 理 10 10,故 B 正 确;2 4 3 4p 2 ii5 5 2 4 3 4 9P(B)=P(BA.)+P(BA,)+P(BA,)=x+x+x=所 以 10 11 10 II 10 11 2 2,故 A 正 确;5 5 5 9由 于 10 11 10 22，7,故 事 件 B 与 事 件 4 不 相 互 独 立，故 c 错 误.故 选：A B D三、填 空 题 13.曲 线）=4Inx+/在 x=1处 的 切 线 方 程 是.【答 案】6x-y-5=0【分 析】先 求

18、出 切 点 坐 标，利 用 导 数 求 出 切 线 的 斜 率，写 出 切 线 的 方 程.【详 解】.X,当 X=1时=1,所 以 切 点 坐 标 为（1,1）,W i=6,所 以 切 线 斜 率 为 6,所 以 切 线 方 程 为 P T=6（x-l）,即 6x-y-5=0.故 答 案 为：6x-y-5=014.将 4 名 实 习 老 师 分 配 到 3 个 班 级 任 课，每 班 至 少 1人，则 不 同 的 分 配 方 法 数 是.（用 数 字 作 答）【答 案】36【分 析】先 将 4 名 实 习 教 师 分 成 3 组，再 将 三 组 实 习 教 师 分 配 到 三 个 不 同 的

19、 班 级，按 分 步 乘 法 计 数 原 理 即 可 求 出 总 的 分 配 方 法 数.【详 解】先 将 4 名 实 习 教 师 分 成 3 组，共 0；=6 种 分 组 方 法，再 将 三 组 实 习 教 师 分 配 到 三 个 不 同 的 班 级，共 A；=6种 分 配 方 法,总 共 有 6 x 6=3 6种 分 配 方 法.故 答 案 为：36.(J 丫 1 41 5.设。0,b 0,且 I x 1 展 开 式 中 各 项 的 系 数 和 为 3 2,则 a 6 的 最 小 值 为 9【答 案】2 4.5+(a+h)【分 析】利 用 已 知 条 件 可 得 出+b=2,再 将。6 与

20、 2。目 乘，展 开 后 利 用 基 本 1 4T不 等 式 可 求 得。b 的 最 小 值.伍+打【详 解】因 为。0,6,则 a+6 0,所 以，I X)展 开 式 中 各 项 的 系 数 和 为(a+bf=321 4 I f l 4 V b 4八、1(J b 4一 9所 以，。+人=2,则。入 b)。J 2(a b j 21 4 9 I 当 且 仅 当 匕 二 2。时，等 号 成 立，故 a 8 的 最 小 值 为 2.9故 答 案 为：2.1 6.如 图，正 方 形 纸 片/8 C O 的 边 长 为 5 c m,在 纸 片 上 作 正 方 形 EFG”,剪 去 阴 影 部 分，再 分

21、 别 沿 E尸 G”的 四 边 将 剩 余 部 分 折 起.若 A、B、C、。四 点 恰 好 能 重 合 于 点 P,得 到 正 四 棱 锥 P-E F G”,则 P-E F G”体 积 的 最 大 值 为 cm3.ft【答 案】0 x-【分 析】设 正 方 形 E尸 G”的 边 长 为 2 x,分 析 可 得 4，求 出 正 四 棱 锥 P-E F G H 的 体 积 关 于 x 的 函 数 关 系 式，结 合 导 数 法 可 求 得 正 四 棱 锥 P-E F G”体 积 的 最 大 值.【详 解】设 正 方 形 4 8 8 的 中 心 为 点,则 点。也 为 正 方 形 EFG”的 中

22、心，连 接 尸，连 接/C 分 别 交 E H、尸 G于 点 M、N,易 知 M、N 分 别 为 E H、尸 G的 中 点,AO=-A C=设 正 方 形 成 7G 的 边 长 为 2 x,为 N C的 中 点，则 2 21 cO M=-E F=x AM=AO-OM=-x 0、分 别 为 m E 的 中 点，则 2,则 2-X X.2 八 5止 丫“0 X-T由 题 意 可 得,可 得 4如 下 图 所 示，在 正 四 棱 锥 尸-E F G 中，尸 _L平 面 E E G,0 u 平 面 EFG”,列 表 如 下:X(o,V2)菽 7小）+0-/(x)增 极 大 值 减 所 以，/()”/侬

23、)=|。，49 3-cm因 此，P-E F G H 体 积 的 最 大 值 为 34后 故 答 案 为：3.四、解 答 题 1 7.在 A 8 C 中，角 川 08 c 所 对 的 对 边 分 别 为 加 b c,且 防 cos/+acos8=b+c,求 4a=14,cos=若 7,求 A/8 C 的 面 积.,万 A【答 案】3.HABC 4 0 6【分 析】(1)边 角 转 换，再 利 用 三 角 恒 等 变 换 可 求 得 角 A；(2)利 用 正 弦 定 理 求 得 边 长 人，再 利 用 三 角 形 内 角 关 系 求 得 sinC.【详 解】(1)将 条 件 中 的 边 转 换 为

24、 角 度 的 正 弦 值 3 sin B cos Z+sin 4 cos 4=sin 8+sin C=sin8+sin(4+8)=sin B+sin A cos B+cos A sin B.2 sin B cos 4=sin 8cos A=2又.力(0,不)/=生.3D1.D 473 a bcos B=sinB=-=-由 7 得 7,又 s in/sinB 得 b=16,sinC=sin(4+8)=sin 4 c o s8+sin 8cos A=S型 ac=；absinC=g 4/6 等=40 6所 以 A/8 C 的 面 积 为 40力.18.已 知 等 差 数 列 S J 各 项 均 为

25、正 数，公 差 d 3,若 分 别 从 下 表 第 一、二、三 行 中 各 取 一 个 数，依 次 作 为%,%,%,且%,%,如 中 任 何 两 个 数 都 不 在 同 一 列.第 一 列 第 一 行 3第 二 行 7第 三 行 11第 二 列 第 三 列 5 64 812 9 求 数 列 g 的 通 项 公 式；bn=_ _-T 3 设”+1）Z+3）,数 列 也 的 前”项 和 为 求 证：2.【答 案】=2 T（2）证 明 见 解 析【分 析】（1）由 等 差 数 列 的 性 质 和 定 义 即 可 求 出；（2）求 出“，利 用 裂 项 相 消 法 求 出 Z，,即 可 证 明.【详

26、 解】（1）由 题 意 可 知，数 列 S,为 递 增 数 列，又 公 差 3,所 以%=5,4=7,%=9,则 可 求 出=皿=2,/.al t=2n-l2 n+1+2,=3 _ _ 1 12 n+1+2：.Tn-2.19.如 图 所 示，正 方 形 所 在 平 面 与 梯 形 5 M N 所 在 平 面 垂 直，AN!IBM,AB AN=2,B M=4,CN=2百c(1)证 明：/N,平 面“8 8；且(2)在 线 段 C M 上 是 否 存 在 一 点 E,使 得 平 面 E 8 N,平 面 的 夹 角 的 余 弦 值 为 3,CE若 存 在 求 出 而 的 值，若 不 存 在，请 说

27、明 理 由.【答 案】(1)证 明 见 解 析；万【分 析】(1)证 得 8 C 1 4 N 和 力 结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 出 结 论：(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 即 可 求 解.【详 解】(1)月 2=/N=2,B M=4,CN=2也,四 边 形 B M N 是 梯 形，四 边 形 4 8 8 是 正 方 形，故 5 c l z 8,BC=2,又 平 面 ABCD _L平 面 A B M N,且 平 面 ABCD A 平 面 ABMN=AB,8C J_ 平 面 且 AN u 平 面 4 B M N,：.BC 上 4N,B

28、C2 B N2=C N2 f BN=2 6,AB V AN f:.BCc4B=B,4N_L 平 面 Z8CD,(2)如 图，以 8 为 原 点，84BM,8c所 在 直 线 分 别 为 x/,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 N(2,2,0),M(0,4,0),C(0,0,CE设 石 7 一，则 七(0,今,2-2),丽=(2,2,0),屁=(0,4/,2-21),设 平 面 E 8 N 的 一 个 法 向 量 为=(xj，z),2x+2y=014夕+(2-2/)z=0故 平 面 E B N 的 一 个 法 向 量 为 i=0，T，20,易 得 平 面 8 M 0 的 一 个 法

29、向 量 为 叼=(，0，1)回 认 0|一 一 由 题 意 得 旧 对(1)2+-1)2+4J 33+21=0,解 得 一 3CE=1 CE _ 1故 C M-3,EM220.2022年 冬 奥 会 在 北 京 举 行，冬 奥 会 吉 祥 物“冰 墩 墩”自 亮 相 以 来 就 好 评 不 断，出 现 了“一 墩 难 求”的 现 象.主 办 方 现 委 托 某 公 司 推 出 一 款 以“冰 墩 墩”为 原 型 的 纪 念 品 在 专 卖 店 进 行 售 卖.已 知 这 款 纪 念 品 的 生 产 成 本 为 80元/件，为 了 确 定 其 销 售 价 格，调 查 了 对 这 款 纪 念 品

30、有 购 买 意 向 的 消 费 者（以 下 把 对 该 纪 念 品 有 购 买 意 向 的 消 费 者 简 称 为 消 费 者）的 心 理 价 位，并 将 收 集 的 100名 消 费 者 的 心 理 价 位 整 理 如 下：心 理 价 位（元/件）90 100 110 120人 数 10 20 50 20假 设 当 且 仅 当 这 款 纪 念 品 的 销 售 价 格 小 于 或 等 于 某 位 消 费 者 的 心 理 价 位 时，该 消 费 者 就 会 购 买 该 纪 念 品.公 司 为 了 满 足 更 多 消 费 者 的 需 求，规 定 每 位 消 费 者 最 多 只 能 购 买 一 件

31、该 纪 念 品.设 这 款 纪 念 品 的 销 售 价 格 为 x（单 位：元/件），9 0 X 1 2 0,且 每 位 消 费 者 是 否 购 买 该 纪 念 品 相 互 独 立.用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 的 分 布，频 率 视 为 概 率.（1）若 x=100,试 估 计 消 费 者 购 买 该 纪 念 品 的 概 率；（2）在（1）的 前 提 下，某 时 段 有 4 名 消 费 者 进 店，X 为 这 一 时 段 该 纪 念 品 的 购 买 人 数，试 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E（X）；（3）假 设 共 有 M 名 消 费 者，设 该 公 司 售

32、 卖 这 款 纪 念 品 所 得 总 利 润 为 丫（单 位：元），当 该 纪 念 品 的 销 售 价 格 X 定 为 多 少 时，y 的 数 学 期 望 E。）达 到 最 大 值？【答 案】（1）0.9（2）分 布 列 见 详 解，E（X）=3.6（3）当 该 纪 念 品 的 销 售 价 格 定 为 110元 时，E（Y）达 到 最 大 值 21”.【分 析】（1）由 调 查 表 直 接 可 得；(2)由 二 项 分 布 计 算 概 率 得 分 布 列，由 二 项 分 布 的 期 望 公 式 得 期 望;(3)利 用 二 项 分 布 的 期 望 公 式 求 出=10，11()，12()时 的

33、 期 望 后(丫)，比 较 得 最 大 值.尸=里=0.9【详 解】(l)x=10时，消 费 者 购 买 该 纪 念 品 的 概 率 100 由 题 意 丫 8(4,0.9),P(X=i)=C：O.9(l-O.9)i,i=o,i,2,3,4P(X=O)=O141-10000,P(X=1)=同 理 92500P(X=2)=2435000尸(X=3)=7292500656110000P(X=4)=E(X)=4x0.9=3.6E(Y)=M x x(x-80)18A/(3)由(2)知 90 x100时，100(X=100时 等 号 成 立)，70c E(Y)=M X x(x-80)21MlOOcxVU

34、O 时，100(x=U0 时 等 号 成 立)，八：(n=M X X(x-80)8 MU 0 x 0,因 此 双 丫)=2 1 最 大，此 时 x=U0.所 以 当 该 纪 念 品 的 销 售 价 格 定 为 110元 时，y 的 数 学 期 望)达 到 最 大 值 21M.2 1.已 知 定 点 尸 8),圆。:G+=16,N 为 圆。上 的 动 点，线 段 N尸 的 垂 直 平 分 线 和 半 径 相 交 于 点.求 点 的 轨 迹 的 方 程；(2)直 线 与 曲 线 相 交 于 4 8 两 点，且 以 线 段 4 5 为 直 径 的 圆 经 过 点 C(2,0),求 面 积 的 最 大

35、 值.X2 2 1+V=1【答 案】(1)4 16 2 5【分 析】(1)利 用 定 义 法 求 轨 迹 方 程；（2）用“设 而 不 求 法”表 示 出 否 e=0 整 理 化 简 可 得（5-6）（-2）=0,解 得：“一 二，或=2,由 直 线”处+不 过 点（2，）,得 到”，判 断 出 直 线/恒 过 点 8（25（4+A2）-36表 示 出 L c 2 5 1（4+/），设+利 用 单 调 性 求 出 最 大 值，即 可 得 到 A/2 C 的 面 积 的 最 大 值.【详 解】（1）因 为 N 为 圆。上 的 动 点，线 段 稗 的 垂 直 平 分 线 和 半 径 N O 相 交

36、 于 点，所 以 由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得：1 加 百 引 用 明，所 以+MP=阿 0|+|w|=4|P0|=2/3故 点”的 轨 迹 是 以 P、0 为 焦 点 的 椭 圆.其 中 a=2,c=G,b2=a2-c2=4-3=,二+2=1故 点 M 的 轨 迹 的 方 程 为 4+,-.（2）由 题 意，设 乂），8（2，%），fx2 2,+V=1,4联 立 卜=如+，整 理 可 得：（4+公 2+2左 他+/_ 4=0,所 以=4公/4（42+4）（2-4）=1642-16 2+64 02kn n2-4乂 十%万 工 叩 2=亦 因 为 以 线 段 4 8 为 直

37、 径 的 圆 过 椭 圆 的 右 顶 点 C Q，0）,所 以 5.荏=0由。=（演-2,乂），CB=（x2-2,y2则（占 一 2）&-2）+%=0将 x=ky+n x2=ky2-Jt-n代 入 上 式 并 整 理 得（1+公）乂%+-2）（必+力）+（-2）2=0空 当-4）+3 2（-2）二 0则 4+%2 4+左 2）=6化 简 可 得 0 一 6）（2）=0,解 得:一 或=2,因 为 直 线 x=+不 过 点 C Q，）,_ 6所 以*2,故”一，所 以 直 线/恒 过 点 喑 08 125（4+公）-36同（4+公）5C月 5则 上 单 调 递 增,设 1Qt=-2当 4 时，A

38、BC825”1 1 16-36 x+2 5 x-=16 4 2516所 以 A/8 C 的 面 积 的 最 大 值 为 五【点 睛】(1)待 定 系 数 法、定 义 法、代 入 法、参 数 方 程 法 等 方 法 可 以 用 求 二 次 曲 线 的 标 准 方 程;(2)“设 而 不 求 法”是 一 种 在 解 析 几 何 中 常 见 的 解 题 方 法，可 以 解 决 直 线 与 二 次 曲 线 相 交 的 问 题.f(x)=-x+a nx2 2.已 知 函 数 x(1)讨 论 X)的 单 调 性：(2)若 函 数 有 两 个 极 值 点 X1、又 2且 占 三，求 证：a 2x2-21nx

39、2【答 案】(1)答 案 见 解 析(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)首 先 确 定 函 数 的 定 义 域，之 后 对 函 数 求 导，之 后 对“进 行 分 类 讨 论，从 而 确 定 出 导 数 在 相 应 区 间 上 的 符 号，从 而 求 得 函 数 对 应 的 单 调 区 间；(2)根 据/G)存 在 两 个 极 值 点，结 合 第 一 问 的 结 论，可 以 确 定。2,令/”(x)=0,得 到 两 个 极 值 点 芭 也 是 方 程-+1=0的 两 个 不 等 的 正 实 根，利 用 韦 达 定 理 将 其 转 换,构 造 新 函 数 证 得 结 果.1 a _ x2-a

40、 r+1 详 解 解：/3 的 定 义 域 为 色+司，.7 一+嚏 一 设 g（X）=x2_X+,当 aWO时,g（x）恒 成 立，即/（x）恒 成 立，此 时 函 数/（X）在（，+00）上 是 减 函 数,当。0 时，判 别 式 A=/-4,当 0 g 2时，A W O,即 g（x）0,即/（x）W0恒 成 立，当 且 仅 当。=2,x=l时/（X）=,此 时 函 数/（X）在（，+8）上 是 减 函 数，a-la2-4 _ Q+da2-4 若 a 2,令 g G）=O 得，x=2 或、=Tx,/（X）,/（X）的 变 化 如 下 表：X/a yja2 4(0,)a-，q2 42a-yl

41、a2-41 2,a+ja2-42)a+42a+Jr，-42,+8)/（X）-0+0-/（X）单 调 递 减 单 调 递 增 单 调 递 减 练 上 当 时，/（X）在（，+00）上 单 调 递 减,（a-la2-4）a+a2-4当。2时，在 I 2）和（-2,+8）上 单 调 递 减,a-Ja2-4在 2 2)上 单 调 递 增.（2）解：由（1）知，/（X）存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当 2由 于/（X）的 两 个 极 值 点 对 覆 满 足-+1=0,因 为 玉 Z,则 占 1、2,玉 乙=1,xt+x2=a 则 一,x+x2 2X2-In x2 In x2=2x2 In x2 In=2x2-In x2+In 玉 要 证 a x(-则 不 X|,lnX|+lnX|X|_ 即 再2 In Xj 玉-即 证 再 在（，1）上 恒 成 立,3)=2-+；(0 x D,其 中 都)=0,2 1=X2-2 X+1（x-1）2所 以 _,一 一 7 一 一 丁/?(1)=0 12 In x x 故,21nx x H 0即 入,xe(，l),则 2 2-21nx2成 立