2022-2023学年人教A版选择性必修第三册离散型随机变量及其分布列讲义.pdf

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1、7.2 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 新 课 程 标 准 新 学 法 解 读 1.理 解 取 有 限 值 的 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 的 概 念 与 性 质.2.理 解 两 点 分 布 的 定 义，并 能 简 单 的 运 用.1.通 过 学 习 离 散 型 随 机 变 量 及 两 点 分 布 的 概 念、表 示 及 性 质，体 会 数 学 抽 象 的 素 养.2.借 助 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 求 法，培 养 数 学 运 算 的 素 养.课 前 篇 自 主 学 习 固 基 础 笔 记 教 材 知 识 点 1 离 散 型 随 机 变

2、量 的 分 布 列(1)一 般 地，对 于 随 机 试 验 样 本 空 间。中 的 每 个 样 本 点，都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应，我 们 称 X为 随 机 变 量.(2)随 机 变 量 的 可 能 取 值 为 1,2,3,，有 无 限 个 取 值，但 可 以 一 一 列 举 出 来，像 这 样 的 随 机 变 量 我 们 称 为 离 散 型 随 机 变 量.(3)一 般 地，设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为”松，”，我 们 称 X 取 每 一 个 值 汨 的 概 率 尸(X=%,)=pi，i=l,2,，为 X 的 概 率 分 布 列，简 称 分

3、 布 列.离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 可 以 用 如 下 形 式 的 表 格 表 示,这 个 表 格 称 为 X 的 概 率 分 布 或 分 布 列.X X X2 PP P2 Pn根 据 概 率 的 性 质，离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 具 有 下 述 两 个 性 质:P i 2，i=l,2,n;Pi+p2 H-Hp=答 案：0 1知 识 点 2 两 点 分 布(1)一 般 地，如 果 随 机 变 量 X 的 分 布 列 能 写 成 如 下 表 格 的 形 式：X 1 0PP1 p则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 两 点 分 布.(2)一

4、 个 所 有 可 能 结 果 只 有 的 随 机 试 验，通 常 称 为 伯 努 利 试 验.不 难 看 出，如 果 将 伯 努 利 试 验 的 结 果 分 别 看 成“成 功”与“不 成 功”，并 设“成 功”出 现 的 概 率 为 p,一 次 伯 努 利 试 验 中“成 功”出 现 的 次 数 为 X,则 X 服 从 参 数 为 p 的 分 布，因 此 两 点 分 布 也 常 称 为 伯 努 利 分 布，两 点 分 布 中 的 _也 常 被 称 为 成 功 概 率.思 考：分 布 列 X 2 5P 0.3 0.7是 两 点 分 布 吗？答 案：(1)(2)两 种 两 点 p思 考：提 示：

5、不 是.因 为 X 的 取 值 不 是 0 和 1.重 点 理 解 1.求 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 时 应 注 意 的 问 题(1)确 定 离 散 型 随 机 变 量 4的 分 布 列 的 关 键 是 要 清 楚。取 每 一 个 值 对 应 的 随 机 事 件，进 一 步 利 用 排 列、组 合 知 识 求 出 4 取 每 一 个 值 的 概 率.(2)在 求 离 散 型 随 机 变 量 4 的 分 布 列 时，要 充 分 利 用 分 布 列 的 性 质，这 样 不 但 可 以 减 少 运 算 量，还 可 以 验 证 分 布 列 是 否 正 确.2.两 点 分 布 的 4 个

6、特 点(1)两 点 分 布 中 只 有 两 个 对 应 结 果，且 两 结 果 是 对 立 的；(2)两 点 分 布 中 的 两 个 结 果 一 个 对 应 1,另 一 个 对 应 0；(3)由 互 斥 事 件 的 概 率 求 法 可 知，已 知 尸(X=0)(或 尸(X=l),便 可 求 出 产(乂=1)(或 尸 侬=0).（4）在 有 多 个 结 果 的 随 机 试 验 中，如 果 我 们 只 关 心 一 个 随 机 事 件 是 否 发 生，就 可 以 利 用 两 点 分 布 来 研 究 它.自 我 排 查 1.（2021河 北 邢 台 高 二 月 考）若 随 机 变 量 4 的 分 布

7、列 如 下:-2 1 1 2 3P 0.2 0.1 2m 0.25 m则 P(匕 一 1|2)=()A.0.3 B.0.35C.0.45 D.0.55答 案：D 解 析：由 题 可 知，0.2+0.1+2m+0.25+根=1,解 得 m=0.15.由 匕 一 1|2,解 得 一 13,故 P（|-1|2）=2/w+0.25=0.55.故 选 D.2.设 某 项 试 验 成 功 的 概 率 是 失 败 概 率 的 2 倍，记 丫=0,试 验 失 败，1,试 验 成 功，则”=尸（)1 1 2A.0 B，2 C.g D.g答 案：c 解 析：由 题 意 知，可 设 p（y=i）=p,则 p（y=o

8、）=i/?,2又=2（1 p）,解 得 p=1,故 p（r=o）=1.3.（2021 辽 宁 建 平 高 二 期 中）已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 列 如 下：则 实 数。等 于()A.0.6 B.0.7X 0 1 2 3P 0.2 a 0.3 0.1C.0.1 D.0.4答 案：D 解 析：据 题 意 得 0.2+Q+0.3+0.1=1,所 以 a=0.4.故 选 D.4.若 随 机 变 量 X服 从 两 点 分 布，且 P(X=0)=0.8,P(X=l)=0.2,令 Y=3X2,则。(丫=-2)=.答 案：0.8 解 析：由 丫=-2 可 知 3 X-2=-2

9、,即 X=0,.P(y=-2)=P(X=0)=0 85.设 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 尸(X=A)=|,%=1,2,3,则 加 的 值 为 答 案：段 解 析：P(X=1)=券 P(X=2)=*30 D yP(X=3)=舞 由 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 知 产(X=l)+尸(X=2)+尸(X=3)=1,樽+粤+绊 1,27解 得 加=哀.Jo课 堂 篇 重 点 难 点 要 突 破 研 习 1 分 布 列 及 其 性 质 的 应 用 典 例 1 设 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P(X=i)=/=l,2,3,4),求:(1)尸(X=l 或 X

10、=2)；“x41 7思 路 点 拨：先 由 分 布 列 的 性 质 求。，再 根 据 X=1 或 X=2,/X的 含 义，利 用 分 布 列 求 概 率.4 1 2 3 4解：,.,p（x=i）=4+G+）+7=i,f C v v.,.a10,则 P(X=1 或 X=2)=P(X=1)+P(X=2)_1_ 2_3_=To+To=T o-(2)由 a=10,可 得=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=310 十 10 十 10 5-巧 归 纳 利 用 分 布 列 及 其 性 质 解 题 时 要 注 意 两 个 问 题 1.X 的 各 个 取 值 表 示 的 事 件 是 互 斥 的.2.不

11、仅 要 注 意 尸(X=i)=l,而 且 要 注 意“20,i=l,2,n.练 习 1(2021 陕 西 宝 鸡 高 二 期 末)设 随 机 变 量 1 的 分 布 列 为 4&=成(%=1，2,3,4)，贝!J 等 于()1 1 1 1A.g B.1 C.D，2答 案：D 解 析：随 机 变 量&的 分 布 列 为 p=ak(k=123,4),.。+2。+3。+4。=1,解 得 Q=0.1,彩&f|=d T+=2 X 0.1+3 义 0.T研 习 2 求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 典 例 2 口 袋 中 有 6 个 同 样 大 小 的 黑 球，编 号 为 1 2 3,4,5

12、,6,现 从 中 随 机 取 出 3 个 球，用 X表 示 取 出 的 最 大 号 码，求 X的 分 布 列.思 路 点 拨：X 的 可 能 取 值 为 3,4,5,6,是 离 散 型 随 机 变 量.可 以 利 用 组 合 数 公 式 与 古 典 概 型 概 率 公 式 求 各 种 取 值 的 概 率.解：随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 3,4,56从 袋 中 随 机 取 3个 球，包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 Cl，事 件“X=3”包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 0,事 件“X=4”包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C,1a，事 件“X=5”包 含 的

13、基 本 事 件 总 数 为 c l c i，事 件“X=6”包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C1Q.G 1从 何 有 尸(X=3)=丽,P(X=4)=320,P(X=5)=Cicic?3To,P(X=6)=1T所 以 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 X 3 4 5 6P1203203To2 巧 归 纳 1.求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 步 骤(1)找 出 随 机 变 量。的 所 有 可 能 的 取 值 M=l,2,，).(2)求 出 取 每 一 个 值 的 概 率 p(H i.(3)列 出 表 格.2.已 知 离 散 型 随 机 变 量 4 的 分 布 列

14、，求 离 散 型 随 机 变 量=/4)的 分 布 列 的 关 键 是 弄 清 楚 4取 每 一 个 值 时 对 应 的 的 值，再 把 Y 取 相 同 的 值 时 所 对 应 的 事 件 的 概 率 相 加，列 出 概 率 分 布 列 即 可.练 习 2 已 知 随 机 变 量 4 的 分 布 列 为分 别 求 出 随 机 变 量=g5 2=3 的 分 布 列.4-2-1 0 1 2 3P11 2141311216112解：由%=/知，当 4 取 不 同 的 值-2,10,1,2,3时，切 的 值 1 1 3分 别 为 一 1,2 0，/，1，2所 以 小 的 分 布 列 为 小-1 201

15、2132P112141311216112由 2=3 知，对 于 4 的 不 同 取 值 一 2,2及 一 1，伙 分 别 取 相 同 的 值 4 与 1,即 2取 4 这 个 值 的 概 率 应 是 取 一 2 与 2 的 概 率 的 和，即 上 与:的 和,2取 1这 个 值 的 概 率 应 是 4取 T 与 1的 概 率 的 和，即 上 与 七 的 和，所 以 2的 分 布 列 为 20 1 4 9P131314112研 习 3 两 点 分 布 典 例 3 袋 内 有 10个 白 球，5 个 红 球，从 中 摸 出 2 个 球，记 X0,两 球 全 红，1,两 球 非 全 红.求 X的 分

16、 布 列.思 路 点 拨：X只 有 两 个 可 能 取 值，属 于 两 点 分 布，应 用 概 率 知 识 求 出 x=o 的 概 率，最 后 列 出 表 格 的 形 式 即 可.解：由 题 设 可 知 X服 从 两 点 分 布.Cj 2P(X=0)号 亓 19P(X=1)=1-P(X=0)=亓.X的 分 布 列 为 X 0 1P2五 19五 巧 归 纳 两 步 法 判 断 一 个 分 布 是 否 为 两 点 分 布 1.看 取 值：随 机 变 量 只 取 两 个 值。和 1.2.验 概 率:尸(X=0)+P(X=l)=L如 果 一 个 分 布 满 足 以 上 两 点，则 该 分 布 是 两

17、点 分 布，否 则 不 是 两 点 分 布.练 习 3 一 批 产 品 的 次 品 率 为 5%,从 中 任 意 抽 取 一 个 进 行 检 验，用 随 机 变 量 X来 描 述 次 品 出 现 的 情 况，即 X=0表 示 抽 取 的 一 个 产 品 为 合 格 品，X=1表 示 抽 取 的 一 个 产 品 为 次 品，则 X 的 分 布 列 为 X 0 1P a b则 a-,h=.19 1答 案：20 2 0 解 析：X=0 表 示 抽 取 的 一 个 产 品 为 合 格 品，概率 为 9 5%,即“三%；X=1表 示 抽 取 的 一 个 产 品 为 次 品，概 率 为 5%,即 b=*课

18、 后 篇 基 础 达 标 延 伸 阅 读 1.(2021江 西 赣 州 高 二 期 中)随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 规 律 为 P(X=k)=a k(k=,2,，1 0),则 a=()1A.而 B.110C.D.55答 案：C 解 析：由 于 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 规 律 为 p(X=Z)=ak(k=1,2,，10),“.10X(1+10)所 以。(1+2+3+4H-H 0)=l,a X-；-=1,解 得 1=豆，故 选 C.2.(多 选 题)已 知 随 机 变 量 X 的 分 布 列 如 下 表(其 中 a 为 常 数):X 0 1 2 3 4p 0.1 0.2

19、 0.4 0.2 a则 下 列 计 算 结 果 正 确 的 有()A.a=0A B.P(X22)=0.7C.尸(X 23)=0.4 D.P(XWl)=0.3答 案：ABD 解 析：因 为 0.1+0.2+0.4+0.2+Q=1,解 得 a=0.1,故 A 正 确；由 分 布 列 知 P(X e2)=0.4+0.2+0.1=0.7,P(X23)=0.2+0.1=0.3,尸(XWl)=0.1+0.2=0.3,故 B D正 确，C 错 误.故 选 ABD.3.(2021山 西 长 治 高 二 期 中)已 知 随 机 变 量 X 的 分 布 列 如 下:X 1 0 1 2 3P 0.1 a 0.1 0

20、.3 0.3则 尸(0 W X 3)=.答 案：0.6 解 析：由 分 布 列 性 质 得 0.1+。+0.1+0.3+0.3=1,解 得。=0.2,所 以 尸(0WX0,b0,C1+,4厂 T寻 1,加 4)+份,=5h,4。a b2 5+2缥=9,a b2 1 4当 且 仅 当 b=2a=w时 取 等 号，即+另 的 最 小 值 为 9.5.某 射 手 有 5 发 子 弹，射 击 一 次 命 中 率 为 0.8,若 命 中 就 停 止 射 击，否 则 一 直 到 子 弹 用 尽，求 耗 用 子 弹 数 X 的 分 布 列.解：X 的 取 值 为 1,2,3,45当 X=1时，即 第 一 枪

21、 就 中 了，故 尸(X=l)=0.8；当 X=2时，即 第 一 枪 未 中，第 二 枪 中 了,故 P(X=2)=0.2X 0.8=0.16；同 理，P(X=3)=0.22X0.8=0.032；P(X=4)=0.23X 0.8=0.006 4；P(X=5)=0.24=0.001 6.则 耗 用 子 弹 X 的 分 布 列 为 X 1 2 3 4 5P 0.8 0.16 0.032 0.006 4 0.001 6课 后 自 读 方 案 误 区 警 示 忽 略 分 布 列 中 所 有 概 率 之 和 为 1致 误 示 例 若 随 机 变 量 X满 足 P(X=i)=滞 W=l,2,3,4),则 P(%小)错 解 因 为 P(X=i)=C+D，所 以 P(JCV5)=P(X=3)+P(X=4)a a_ _ 8a 2a=12+20=60=15-错 因 分 析 没 有 求 出。的 值.正 解 因 为 满 足 P(X=i)=涓 1y=1,2,3,4),a a a a 4Q所 以+公 石+必+而=3=1“，5所 以 4=不所 以 P(x)=P(X=3)+P(X=4)a a_ _ Sa 2a 1=12+20=60=15=6