2022-2023学年湖南省益阳市六校高二年级上册学期期末联考数学试题含答案.pdf

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1、益阳市2022-2023学年六校期末联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.（选择性必修1+选择性必修2数列部分）一、选 择 题（共40分）1,已知向量-2）3=（-3,-6,6）,c=（2,1,2）,则它们的位置关系是（）K.a/b,a/c B.alb,aleC.alb,b/C D,d/,hie【答案】D【解析】【分析】由向量坐标运算

2、即可判断共线和垂直.【详解】由题可知：b=-3a得 a/瓦 a-c=2 +2-4 =0=a l cA-c=6 6 +1 2 =0=A _L c故选：D.2.在三棱锥尸一46c中，C P、C 4、两两垂直，A C =C B =1,PC =2,如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面48的法向量的是（）A.%B.g）c（I）D I）【答案】A【解析】万 万=0【分析】设平面48的一个法向量为=（1）,利 用I万/8=0,求出X、，的值,可得出向量的坐标，然后选出与共线的向量坐标即可.【详解】P A）,（设平面尸48的 一个法向量为“=（/），n PA =0 卜-2 =0 卜=2由艮/8 =0则

3、j-x +y =0,解得j y =2,，=（2,2,1）又I 2）2,因此，平面尸Z 8的一个法向量为I 2人故选：A.【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3 .已知等比数列 的公比为夕，前项和为S,若q=2,$2=6,则&=（）A.8 B.1 0 C.1 2 D.1 4【答案】D【解析】【分析】由等比数列的基本量运算求得%后求得,从而易得s.3.【详解】由题意S 2=%+2 q =6,q=2,所以“3=2 x 2 2=8 S3=52+03=6 +8 =1 4故选：D.4.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外

4、作正三角形，并擦去中间一段，得 图（2）,如此继续下去，得 图（3），设第个图形的边长为,则数列%的通项公式为(1)1A,3t【答案】D【解析】1D.F【分析】观察得到从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以1 为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项写出“”即可.【详解】由题得，从第二个图形起，每一个三角形的边长组成了以I 为首项，以弓为公比的等比数列，所以第个图形的边长为/=.故选：D.5.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 8。的顶点“(2 )(9,若其欧拉线的方程为*7 +2=0,则顶点C 的坐标为A.(-4，。)B

5、.(-3，-1)，。)D.(-4,-2)【答案】A【解析】【分析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出A B 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标(2+m 4+叫【详解】设 C(m,n),由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为(3 3 代入欧拉2+加 4+-1-2=0线方程得：33整理得：mn+4=0AB的中点为(1,2),0-2 AB的中垂线方程为 2 ,x-2 y +3 =0 x =-1 (x-1)2+y2=1故选:C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.0 _白=1(0

6、/0)F F7.已知双曲线C：a 夕，巧，/分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点连接“与 交双曲线C左支于点N,若AMN玛是以修为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为()A.五 B.百 C.2 D.亚【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于。，的齐次方程，即可求出离心率【详解】设I用则|陷|=,MN卜耳 烟=-2a,MF=m-2 a +4 1 m 因为环 卜|同=2一 所以=2。，故加=2及。，在八阴6中，由余弦定理可知4 c2=(2y/2a-2a+8/-2 G缶-2a)2?一 也I 2 整理得41=1 2/,即f=3,所以e=故选：B8.已知,F

7、 2分别为双曲线C：2 6 的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限).设点H,G分别为A F F 2，B F F 2的内心，则|HG|的取值范围是r2蛔A.12啦,4)B.I 3 J【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可 知 ，G的横坐标都是。，得到G_Lx轴，设直线A B的倾斜角为夕，和R t G M F2分别表示H M和G M,根据。60。,901，将lG|表示为e的三角函数求最值【详解】刈6月内切圆与各边相切于点尸，有 ，M的横坐标相等，I I I 2 IAF-AF=2a=MF-MF=2a在双曲线上，即M是双曲线的顶点；G与双曲线相

8、切于顶点（如图），G的横坐标都是明/O F.G =-/H F,O =-设 直 线 的 倾 斜 角 为e阙=(c-M RG 中，sin2 +cos2-=d 2。Jsin cos 2 2C:二 一 片=1双曲线 2 6,HG=-可得 sin 6,602,的范围是,故选D.，那么 2,2 2(.e e/zj|sin_ cos a)tan+tan|-|=(c-a)-4 2 12 I 7 c o sf s i nfI 2 2 J=(c-a-l singa=屈,c=22f 0 90-)【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化

9、归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定 ，G的横坐标都是,2.设倾斜角为,将 表 示 为8的三角函数.二、多选题(共20分)9.已知点尸是平行四边形N8 C。所在的平面外一点，如果5(2,-1,-4),J Z)=(4,2,0),=(-1,2,-1)；下列结论正确的有()A.A P I4 5 B.A DC.1声是平面AB C D的一个法向量 D.AP/B D【答案】ABC【解析】【分析】由=可判定A正确：由=可判定B正确；由万J.万 且 万_ LN万，可判定C正确；由N是平面/8 C Z)的一个法向量，得到A P-L BD,可判定D不正确.【详解】由题意，向量4 5

10、=(2,-I),4。=(4,2,0),在 =(-1,2,-1),对于A中，由 P/8=2 x(_ l)+(_ l)x 2 +(4)x(l)=0,可 得 刀，而，所以人正确;对于B中，由 W=(T)X4 +2X2 +(-l)x =,所 以 万J.赤，所以B正确；对于C中，由万,方且万万，可得向量方是平面为8 8的一个法向量，所以C正确；对于D中，由 万 是 平 面2 8 C Q的一个法向量，可得而，所以D不正确.故选：ABC1 0,数列%的前项和为S.，%j%=2 S （e N ）,则 有（）A.S“=3”T B.S“为等比数列,n-%0 q4-2“C.a“=2-3T D.I），【答案】ABD【

11、解析】耳,=1a=2=11 得c =yla2+b2=2 ,2 _ 2 7 3 双曲线C的离心率为6 3,故8错误；取 x 2 =0,得 x =2,V =,曲线歹=e“I过定点(2,0),故 C正确:联立x-五y-1=0 2=.3,化简得一 J，+2&/_2=(),=0所以直线X一 岛 一 1 =与 C只有一个公共点，故。不正确.故选：4 c.1 2.定义点尸G J。）到直线/：+如+c =W+b ）的有向距离为d_ ax（）+byn+c.已知点片 鸟到直线/的有向距离分别是4 2.以下命题不正确的是（）A若4=4=1,则直线6 6 与直线/平行B,若4=1,4=T,则 直 线 与 直 线/垂

12、直c.若4+&=,则直线鸟与直线/垂直D.若2 ,则直线 2 与直线/相交【答案】BC D【解析】【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可【详解】设鸟（32）,选项A,若4=a=1,则6|+6弘+。=公2+勿2+c =,则点斗鸟在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线片巴 与直线/平行，所以正确；选项B,点4,鸟在直线/的两侧且到直线/的距离相等，直线4巴 不一定与/垂直，所以错误；选项C,若4=2=,满足4 +”2=0,即g+如+C =+奶+C =0,则点4 8都在直线/上，所以此时直线片鸟与直线/重合，所以错误；选

13、项D,若4 44o,即(叼+如+C)32+奶+c)o,所 以 点 分 别 位 于 直 线/的 两 侧 或 在 直 线/上，所以直线6 6与直线/相交或重合，所以错误.故选：BC D三、填空题(共20分)1 3 .如下图，以 长 方 体 一44GA的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若。片的坐标为(4,3 2),则8的坐标为【答案】(-4,-3,2)【解析】【分析】根据题意推导出D,B i的坐标，从而得出”8的坐标，进而得出结论【详解】因 为 的 坐 标 为(4,3 2),0(0,0,0),则4(4,3,2),所以 8(4,3,0),。(0,0,2),因 此

14、西=1，一3,2),故答案为i l-4,-3,2)【点睛】本题考查空间中向量的求法，属于基础题.1 4 .在平面直角坐标系中，经过 三 点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 答案x2+y2 x【解析】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为+夕2+m+尸=,圆 经 过 三 点(0,0),(1,1),(2,0),则：F=0 伊=-2 1 +1 +。+E +尸=0 0设I)，由NFMW是锐角得到 2 对 任 意 恒 成 立.令x=N，则 2 对任意 恨)恒成立，再通过分类讨论求出m的取值范围.【详解】设(*),可知/。/)，加0且mw l,所 以 标=(-

15、4/1 _ 4/)而7=(因为ZFNN是锐角，所 以 沛.两 0,即 1 6*+(1 -4 r x加-4/)0整理得1 6 +(1 2 -4加)+加 o,8/4+(6-2/?J)Z2+0等价于 2 对任意t e R恒成立;令x 2zo八,则/八(x)=8 x?+(I6-2加)x+竺2 0对任意vX_Hr0n，,+8x)恒成立;_ 3-/2 7因为/(x)的对称轴为 8 ,故分类讨论如下:-0(1)8 ，即0 /3时,/(x)min=/(0)=。所以0加4 3；(2)8 ,即？3 时，A =(6-2机 丫 4x8 x 0应有 2 ,得 3 9；综上所述：“G()U(1,9)【点睛】本题主要考查抛

16、物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（共70分）1 7.如图，在三棱柱N B C-4 8 1 G中，/4 J底面/8 C,N C 4 5 =90 ,AB =A C =2,A A1=6,M为8C的中点，尸为侧棱台 片上的动点.（1）求证：平面4 P M，平面88CC；（2）试判断直线8G与N 尸是否能够垂直.若能垂直，求P 8的长；若不能垂直，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不能垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）利用“B e,84推 出/河 工 平 面88,即可证明面面垂直;（2）建系,写出&G，/的坐标，设8尸=，石）,利用

17、直线 G与4 P能垂直,4百 ，4百 DD数量积为零，求出 3 ,3 ,不能垂直.【小 问1详解】因为在三棱柱中，底面/8 C,N C A B =90、AB =A C =2,AA ,M为6 C的中点，P为侧棱84上的动点.所以/A/_ L 8 C,A M 工 B B,因为 B O A 8 5 =B ,B C,B B、u 平面 BB C所 以/平 面5 8 C C,因为4 W u 平面Z P M ,所以平面A P M 平面BB C【小问2详解】以A为原点，为x轴，Z8为歹轴，4 4为z轴，建立空间直角坐标系,5(0,2 0)6,0,G)4(0,0 0),L5 P=/(0 /陷=百解得因为所以直线

18、8G与/尸不能垂直.18.设数列 满足 =2,%=%+3 2-(n e N+)(1)求附和%的值.(2)求数列 4 的通项公式.(3)令，=,求数列也，的前项和5,2 、e _(3-1)x2叫2【答案】%=8,%=3 2；?=2 (e N)-9【解析】【分析】(1)根据递推公式，逐项计算，即可求解；(2)由%+i=%+3。2 I,结合叠加法，利用等比数列的求和公式，即可求解；(3)根据可广明广*?”，结合乘公比错位相减求和，即可求解.详解 当 =1 时，+3。21=8,当=2时，%=%+3,2=32,所以。2 =8,%=32 由 数 列 满足 =2,a“+i =%+3 可得见一卬=3-23-4

19、 2=3 x 23,4一%=3*2 ，_%_=3 x 227,3X2.(1-4T)相加可得/一%=3 x 2i+3 x 23+3 x 25 +3 x 227=22-2所 以=22n-2+ai=22 -2 +2=22n-所以数列S 的通项公式为a =2 (e M)(3)由4=a“=x 22 T,=l x 2l+2x 23+3 x 25+-+(/7-l)x 22n-3+/7 x 22fl-1则 4 S“=1 x 23 +2 x 25 +3 x 2,+(-1)x 221+X22 T两式相减，可得-3 S,=21+2,+2,+22-x 22n+,12x 0-4”)22,+1 2=-n x 22,+|=

20、-n x 22n+l1-4 3 3。(3-l)x 22fl+l+20 =-所 以 91 9.已知各项都为正数的等比数列%的前“项和为S,数列”的通项公式h=,.a =+1 =7,+=7,.也是。2和包的等比中项，.d=。2。4=2=1 6,解得%=4闻2 =4,_ _ 2由 得 时 也 一4 =0,解 得 夕=2或9 3 (舍去)，.旧=1,%=2 二【小问2详解】人 2工为偶数/、C(+1)2 为奇数1 )当 为偶数时，7；=(l +l)x 2+2x 21(3 +1)x 22+4X23 +(5 +1)x 24+1)+1 X2 2+X2=(2+2 x 2+3 X 22+4 X 23+x 2,_

21、|)+(2+22+-+2n-2)设“=2 +2x 2i+3 x 22+4 x 23+.+x 2 T 贝 i j 2“=2+2 x 22+3 x 23 +4 x 2,+x 2 1 _ 减 ，得-Hn=2+2+22+23+-+2-1-nx2 1-2 MX2 =V 72H-1n z a,1=(_1)义2+匕 竺/_ 斗2“+2,“=(-l)x 2+l,)1-4 I 3)3当为奇数，且N 3时，T =%+(+1 )x 2 T=(-1)x 2T+1 +(+1 )X 2T=0 -J x 2-+1经检验，i=4曲=2符合上式，j x 2+匕为偶数TI 3 J 3 zT=(2y 2 3)(2-卜2-1+,为奇

22、数20.已知直线/：kx-y+1+2*=0 (无G R).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线/不经过第四象限，求的取值范围：(3)若直线/交x轴负半轴于点4交y轴正半轴于点8,。为坐标原点，设NOB的面积为S,求S的最小值及此时直线/的方程.【答案】(1)证明见解析；(2)1 ，+8)；(3)S的最小值为4,直线/的方程为x2y-4=0.【解析】【分析】(1)直线方程化为y=A(x+2)+1,可以得出直线/总过定点；(2)考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；(3)利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】(1)证明

23、：直线/的方程可化为了=无(x+2)+1,故无论上取何值，直线/总过定点(一2,1).(2)直线/的方程为夕=h+2%+1,则直线/在y轴上的截距为”+1,要使直线/不经过第四象限，则U +2后N 0解得后o,故人的取值范围是 ，+8).1 +2左(3)依题意，直线/在X轴上的截距为 k，在了轴上的截距为1+2%,./展。).八 K 8 (0,1+2 A).1+2左 八-0,:.k0.,J +2k J4左+,+4 2.4 A：x 故S=5|O/|Q 2|=5X k x(1+2 A)k J 2 x(4+,)=4,1 j_当且仅当4%=%,即k=5时，取等号.故S的最小值为4,此时直线I的方程为x

24、-2y+4=o.2 1.已知圆C过点 一2),N(3 1),且圆心c在直线彳+2丁 +1 =上.(1)求圆C的标准方程.(2)设直线6一歹+1 =与圆C交于不同的两点Z,B,是否存在实数,使得过点尸（2,0）的直线/垂直平分弦/8?若存在，求出实数的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）（x 3）一+&+2）-=9（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设圆的方程/+V+OX+或+尸=。，由题意列出方程组，解方程组求得答案；（2）假设存在符合条件的实数,可判断圆心。（3，-2）必在直线/上，结合直线/垂直平分弦4 B,求 得 再 利 用 直 线 以 一 +1 =交圆C于4 B两 点,结

25、合判别式求得a的范围，即可得出结论.【小 问1详解】设圆c的 方程为一+必+“+/=,-+1 =024-2E+F=0 p =-6IO+3D+E+F=O 怕=4则 有I,解 得I,所以圆C的方程为/+/-6x+4y+4=0,化为标准方程，得（X 一 3）+&+2）=9.【小问2详解】假设存在符合条件的实数a,由于直线/垂直平分弦kp=2 _ _2故圆心。（3,一2）必在直线/上，所以直线/的斜率K 2-3,_ _ 1 1kA B =a=T a=-又 勺c,所以 2.将ax-y+l=与圆C的方程联立，整理得（+l +6（”l）x+9=0,由于直 线 仁.+1=0交圆C于4 B两点,故A=36（”l

26、）36（?+l）O o,与矛盾,故不存在实数a，使得过点尸（2,0）的直线/垂直平分弦N3.7322.已知椭圆C的离心率为2,长轴的两个端点分别为（）,（）.（1）求椭圆C的方程；（2）过点O。）的直线与椭圆C交于M,N （不与N,8重合）两点，直线4 与直线“网x=4交于点,求证：忸0|X2 2 1+y=【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得。=2,再根据离心率求出。，最后根据求出6,即可求出椭圆方程；（2）设直线/的方程为“=殴+1,“（士，乂），”（，必），联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线2河的方程，即可求出。点坐标，再表示出尢丫8、%,即可

27、得到“g=原2,即N、B、。三点共线，即可得证；【小 问1详解】解：由长轴的两个端点分别为（）,（），可得”2,后 c _ 石由离心率为2 ,可得。2 ,所以c=G,又/=+/,解得6=1,X2 2 .-F y=1所以椭圆C的标准方程为4 ;【小问2详解】解：设直线/的方程为=叩+1,x=my+1 x2 2由 匕+=1 得+4”+2 叩 一3 =02m-3设 （内，必），N G 2,%）,则加2+4,弘乃 加2+4/X kAM=7 5 y =（x+2）Q 4,-所以 项+2,直 线 的 方 程 为 芯+2 ,所 以I玉k所以N B6 乂 0 6.%-0 y2 7.玉+2%+2 3yX2-2 X2-2 Q 4-2 2 x,+2左 M B 一所以_%_ 3y _ 8（X+2）-3%（-2）_%（加M+3）-3%T）c x2 2%+2（工2 -2）（X 1 +2）（*2-2）（再 +2）-2孙%+3(乂+%)(X2-2)(XI+2),即%N B=G,SdMB N=忸M所以N、B,。三点共线，所以SMB。BQ .