2022-2023学年北京市房山区高二上学期诊断性评价数学试题（解析版）.pdf

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1、2022-2023学 年 北 京 市 房 山 区 高 二 上 学 期 诊 断 性 评 价 数 学 试 题 一、单 选 题 1.椭 圆 二+亡=1的 焦 距 是()16 25A.6 B.8 C.10 D.12【答 案】A【分 析】根 据 椭 圆 方 程 直 接 求 解 即 可.【详 解】由 二 十 丫=1得：c?=25 16=9,解 得：c=3,，焦 距 为 2c=6.16 25故 选：A.2.直 线 y=Mx+2)-3经 过 定 点()A.(2,3)B.(2-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)【答 案】D【分 析】令 x+2=0求 解.【详 解】解：令 x+2=O,得 x=-2,此 时 y

2、=-3,所 以 直 线 了=左(+2)3经 过 定 点(一 2,3),故 选：D3.已 知 以 点 A(2,-3)为 圆 心，半 径 长 等 于 5 的 圆。，则 点 M(5,-7)与 圆 O 的 位 置 关 系 是()A.在 圆 内 B.在 圆 上 C.在 圆 外 D.无 法 判 断【答 案】B【详 解】因 为|4徵=Ji1+4。=5=r,所 以 点 M 在 圆 上，选 B*4.“痴 0”是“方 程 上+=1表 示 的 曲 线 为 双 曲 线，的()m nA.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】C

3、【分 析】根 据 双 曲 线 的 方 程 以 及 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 即 可.【详 解】当 讥 0,则 加 0且 0或 加 0且 0,此 时 方 程+$=1表 示 的 曲 线 一 定 为 双 曲 线;则 充 分 性 成 立;若 方 程 式+反=1表 示 的 曲 线 为 双 曲 线，则 相 一 1=0与 直 线（。一+y+l=O垂 直，贝 心 的 值 是 A.-1 或 B.1 或，C.一,或 一 1 D.一，或 13 3 3 3【答 案】D2【详 解】因 为 直 线 3以 一 一 1=0与 直 线 3-）x+y+l=O垂 直，所 以 3a（4-g）-l

4、=0;.a=-；,l故 选 D.7.过 抛 物 线 V=8 x 的 焦 点，作 倾 斜 角 为 45。的 直 线，则 被 抛 物 线 截 得 的 弦 长 为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答 案】B【分 析】求 出 抛 物 线 的 焦 点 为 F（2,0）,直 线 的 斜 率 k=tan45Q=l,从 而 得 到 直 线 的 方 程 为 y=x-2.直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 解 消 去 y 得 x2-12x+4=0,利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 XI+X2=12,再 根 据 抛 物 线 的 定 义 加 以 计 算，即 可 得 到 直 线 被 抛 物 线

5、 截 得 的 弦 长.【详 解】抛 物 线 方 程 为 y2=8x,2P=8,勺 2,.抛 物 线 的 焦 点 是 F（2,0）.直 线 的 倾 斜 角 为 45。，.直 线 斜 率 为 k=tan45=l可 得 直 线 方 程 为:y=lx（x-2）,即 y=x-2.设 直 线 交 抛 物 线 于 点 A（xi，yi）,B（X2，y2）,y=x-2.联 解，o，消 去 y得 x2-12x+4=0,y=8x；.XI+X2=12,根 据 抛 物 线 的 定 义，可 得|AF|=X I+5=X I+2,|BF|=X2+y=X2+2,|AB|=xi+X2+4=12+4=16.即 直 线 被 抛 物

6、线 截 得 的 弦 长 为 16.故 选 B.【点 睛】本 题 给 出 经 过 抛 物 线 的 焦 点 的 直 线 倾 斜 角 为 45。，求 直 线 被 抛 物 线 截 得 的 弦 长.着 重 考 查 了 抛 物 线 的 定 义 与 标 准 方 程、一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 等 知 识，属 于 中 档 题.8.过 定 点 户(31)作 圆(x-l)2+V=i 的 切 线.则 切 线 的 方 程 为()A.4x-3y-9=0 B.4x-3y-3=0C.4x-3y-9=0或 y=l D.4x-3y-3=0或 y=l【答 案

7、】C【分 析】根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 求 得 切 线 方 程，【详 解】依 题 意 可 知，切 线 的 斜 率 存 在，设 切 线 方 程 为 y l=&(x 3),即 京 一 y+l-3k=0,圆(x-l)2+y2=l的 圆 心 为(1,0),半 径 为 1,所 以 与“y/k2+l4解 得 攵=()或 2=5,4所 以 切 线 方 程 为 y=l或 x_y+l_4=0,即 y=l或 4x 3y 9=0.9.已 知 双 曲 线 c 过 点 卜,a)且 渐 近 线 为 y=*x，则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.双 曲 线 C 的 方 程 为:-y2=i

8、 B.双 曲 线 C 的 离 心 率 为 6C.曲 线/+9 一 2=0 经 过 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 D.直 线 x-&y-I=O 与 双 曲 线 C 有 两 个 不 同 交 点【答 案】A【分 析】根 据 待 定 系 数 法 求 得 双 曲 线 方 程，进 而 逐 项 求 解 判 断 即 可.【详 解】由 题 意 设 双 曲 线 方 程 为、-丁=,“5/0）,将 点（3,代 入-丁=廨 得 加=,所 以 双 曲 线 方 程 为 寸-产=1,A 正 确；3因 为/=3,b2=l,所 以 C 2=/+力 2=4,e=-=A=.B 错 误；a J3 3因 为 双 曲 线 的 焦

9、点 坐 标 为。2 0）,代 入 犬+9 _ 2=0 均 不 满 足，C 错 误;x-2 y-l=0,联 立 J 得/_ 2 0+2=0,=(2 也-4x 1 x 2=0,-y=1/3所 以 直 线 x-夜），-1=0 与 双 曲 线。仅 有 一 个 交 点，D 错 误；故 选：A9 210.已 知 片，鸟 是 双 曲 线*-方=1（。0,。0）的 左、右 焦 点，若 在 右 支 上 存 在 点 A,使 得 点 外 到 直 线 A 6 的 距 离 为 百”，则 双 曲 线 离 心 率 e 的 范 围 是（）A（用 B.困 C 怪 T，,怪 田【答 案】D【分 析】设 6（-c，0）,6（c,o

10、）,其 中 c 2=+b 2,设 直 线 M 方 程 为 y=M x+c）,其 中 利 用 点 骂 到 直 线 A 的 距 离 为 百 a,得 到 A 关 于 a,c表 达 式，再 利 用 公 勺 可 得 答 案.a【详 解】设 耳（-c，0）,4（c,0）,其 中 2=/+从，设 直 线 的 方 程 为 丁=%（%+。），则 0 陶,因 点 K 到 直 线 A耳 的 距 离 为 氐，则则 r.-t.i k.22=；-3-。-b c-a?/4 2 r27 c2 4c2-7矿 4c2-3a2 a2 a2 0=二=/a2 4则 e走.2故 选：D二、填 空 题 11.直 线 y=x+3的 倾 斜

11、角 是.【答 案】J 兀 分 析 根 据 斜 率 和 倾 斜 角 的 对 应 关 系 确 定 正 确 答 案.【详 解】直 线 y=x+3 的 斜 率 为 1,倾 斜 角 范 围 是 0,兀），所 以 倾 斜 角 为:兀.故 答 案 为：了 无 12.抛 物 线 V=x 的 准 线 方 程 为.【答 案】x=【详 解】抛 物 线 丁=的 准 线 方 程 为 x=-1;故 填 x=-1.4 413.圆 2:/+/+4 X=0 的 圆 心 到 直 线/:1+丫-2=0 的 距 离 是【答 案】2拒【分 析】将 圆 的 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程，找 出 圆 心，再 利 用 点 到 直

12、线 的 距 离 公 式 求 解 即 可.【详 解】由 圆 尸：/+产+4*=0有 圆 的 标 准 方 程 为：(x+2)-+y2=4,所 以 圆 心 为 P（-2,0）,则 P 到 直 线/：x+y-2=o 的 距 离 为:故 答 案 为：2应.14.已 知 双 曲 线 满 足 以 下 条 件：离 心 率 为 2；焦 点 在 坐 标 轴 上；对 称 轴 是 坐 标 轴 则 满 足上 述 条 件 的 双 曲 线 M 的 一 个 方 程 是.【答 案】v-=i（答 案 不 唯 一）3【分 析】根 据 条 件 写 出 一 个 双 曲 线 方 程 即 可.【详 解】由 双 曲 线 炉-=1中 a=l*

13、=G,C=2,故 离 心 率 为 2,且 焦 点 在 x 轴 上，曲 线 关 于 坐 标 轴 对 称，所 以 双 曲 线 V-f=1 满 足 题 设.3故 答 案 为：V-匕=1（答 案 不 唯 一）315.已 知 点 A（T-3）是 圆 C:f+y2-8x+砂=。上 一 点，给 出 下 列 结 论:。=6；圆 C 的 圆 心 为（4,一 3）；圆 C 的 半 径 为 25；点（1,1）也 是 圆 C 上 一 点.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案】【分 析】利 用 点 坐 标 求 得“，进 而 确 定 正 确 答 案.【详 解】由 于 点 A（-1,一 3）是 圆 C:f+y-

14、8%+7=0 上 一 点,所 以 1+9+8-3。=0,。=6,正 确，圆 的 方 程 为+/-8x+6y=0,即（x-4y+（y+3）2=25,故 圆 心 为（4,-3）,半 径 为 5,正 确，错 误.（1-4）2+0+3）2=2 5,所 以 点（1,1）也 是 圆 C 上 一 点，正 确.故 答 案 为：三、双 空 题 2 216.已 知 椭 圆 G:a+表=l（a 人 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 兄，尸 2，离 心 率 为。，椭 圆 G 的 上 顶 点 为 M.且 西 丽=0.双 曲 线 C?和 椭 圆 G 有 相 同 焦 点，且 双 曲 线 C?的 离 心 率 为 七，P 为

15、 曲 线 G 与 C?TT的 一 个 公 共 点，若/4 贝 lq=【答 案】显 2 2【分 析】根 据 西 近=0 可 得 b=c,a=c，由 此 可 得 4；假 设 在 第 一 象 限，由，PFt+PF2=2ajp耳 H 尸 闾=2q求 出 口 片 1=。+4,PF2=a-a,根 据 余 弦 定 理 得 cos=燮 鬻 若 生，将|尸/=。+4，3 2PFlP F22 Q 1|”|=4-4代 入 可 得；+浮=4,再 根 据 离 心 率 公 式 可 求 出 结 果.C C【详 解】在 椭 圆 G 中，因 为 上 顶 点 为 且 丽 胡 耳=0,所 以/再 M 七 二 90、所 以 Z?=c

16、,所 以=J/+C：=，所 以 q=.a 2X2 y2设 双 曲 线 方 程 为-7-2=1（40,伪 0）,假 设 点 P 在 第 一 象 限，*b 尸 甲+伊 川=2 则 由 得|P T=4+4,PF2=a-at,PFt-PF2=2a,在 尸 匕 工 中,JT由 余 弦 定 理 得 COS=|以 2+|叫|2|片 五 2PF-PF2所 以=（4+了+（“一 4 4 2 2（+4）（白-4）2 Q-整 理 得/+3。；=4。2,得 图+浮=4,c c 1 3 4所 以 点+=4,所 以 1+引=4,解 得 e2=*.故 答 案 为:冬 4-四、解 答 题 17.已 知 的 边 AC,A B

17、上 的 高 所 在 直 线 方 程 分 别 为 2x-3y+l=0,x+y=0,顶 点 A（l,2）.（1）求 顶 点 C 的 坐 标；（2）求 B C 边 所 在 的 直 线 方 程.【答 案】（1）C（7,7）（2）2x+3y+7=0【分 析】（1）根 据 B C 的 边 4 c 的 高 所 在 直 线 方 程 为 2x-3y+l=0 和 顶 点 A（l,2）,得 到 直 线 4 c 的 方 程，与 AA B C的 边 A B 上 的 高 所 在 直 线 方 程 联 立 求 解；（2）利 用（1）的 方 法，再 求 得 顶 点 8 的 坐 标，然 后 利 用 两 点 式 写 出 直 线 A

18、 B 所 在 的 直 线 方 程.【详 解】(1)解：因 为 的 边 A C 的 高 所 在 直 线 方 程 为 2x-3y+l=0,3所 以 怎 c=-$，又 顶 点 A(l,2),所 以 直 线 A C 的 方 程 为 _2=_ 1 口 _1),即 3x+2y_7=0,又 闻 丫 的 边 4 8 上 的 高 所 在 直 线 方 程 为 x+y=O,f3x+2y-7=0(x=7由 工 c-解 得 1，x+y=O y=-7所 以 顶 点 C(7,-7)；(2)由 的 边 A B 上 的 高 所 在 直 线 方 程 为 x+y=O,得 斯=1，又 顶 点 A(l,2),所 以 直 线 A B 的

19、 方 程 为 y-2=x-l,即 x-y+l=O,又 W C 的 边 4 c 的 高 所 在 直 线 方 程 分 别 为 2x-3y+l=0,由 2x-3y+l=0+1=0，解 得 x=-2y 二 T所 以 顶 点 矶 2,1)；所 以 8 C 边 所 在 的 直 线 方 程 丝=上 匚，即 2x+3y+7=0.x-7 x+218.已 知 圆 C:x2+y2-6x-8)，+21=0,点 A(-l,(),8(l,().P 是 圆 C 上 的 任 意 一 点.(1)求 圆 C 的 圆 心 坐 标 与 半 径 大 小；(2)求|尸 厂+|尸 却,的 最 大 值 与 最 小 值.【答 案】圆 心 为(

20、3,4),半 径 r=2(2)最 大 值、最 小 值 分 别 为 小、8.【分 析】(1)写 出 圆 C 的 标 准 方 程，即 可 确 定 圆 心 和 半 径；(2)设 尸(x,y),则 有|箕?+|P靖=2(炉+.)+2,问 题 转 化 为 求 f+)，2的 范 围，即 圆 C 上 点 P(x,y)到 原 点。距 离 平 方 的 范 围，即 可 得 结 果.【详 解】(1)由 题 设 C:(X-3)2+()，-4)2=4,故 圆 心 为 C(3,4),半 径 r=2；(2)令 尸(苍 田，则|PA|2+|p8=(x+l)2+y2+(x_l)2+y2=2(x2+y2)+2,而 9+t 为 圆

21、 c 上 点 尸(x,y)到 原 点。距 离 的 平 方,所 以，只 需 确 定 f+y2的 范 围,即 可 确 定 归 1+归 砰 的 最 值,因 为 炉+V 口 oc|一,|OC|+r=3,7,故|+|印 屋 8,16,所 以 1PAl2+俨 砰 的 最 大 值、最 小 值 分 别 为 16、8.19.圆 过 点 A(l,-2),8(-1,4),求：(1)周 长 最 小 的 圆 的 方 程；(2)圆 心 在 直 线 2xy4=0 上 的 圆 的 方 程.【答 案】(1)+(y-l)2=10；(2)。-3)2+()-2下=20.【分 析】(1)根 据 当 A B 为 直 径 时，过 A,8

22、的 圆 的 半 径 最 小 进 行 求 解 即 可；(2)根 据 垂 径 定 理，通 过 解 方 程 组 求 出 圆 心 坐 标，进 而 可 以 求 出 圆 的 方 程.【详 解】解：(1)当 A B 为 直 径 时，过 A,B 的 圆 的 半 径 最 小，从 而 周 长 最 小，即 A 8 中 点(0,1)为 圆 心，半 径 rAB回.故 圆 的 方 程 为 f+(y1)2=10；(2)由 于 A B 的 斜 率 为 k=3,则 A B 的 垂 直 平 分 线 的 斜 率 为:，A B 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 是)1=I，即 x3y+3=0.,fx-3y+3=0,j,x=3,由,

23、n 解 得 92x-y-4=0,y=2,即 圆 心 坐 标 是 C(3,2).又 r=HC|=J(3-1尸+(2+23=2 亚.所 以 圆 的 方 程 是(x3)2+(y2)2=20.20.已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 在 原 点，对 称 轴 是 y 轴，焦 点 F 在 y 轴 正 半 轴，直 线/与 抛 物 线 C 交 于 A,B 两 点,线 段 A 8 的 中 点 M 的 纵 坐 标 为 2,且|4尸|+怛 尸|=6.(1)求 抛 物 线 C 的 标 准 方 程；(2)若 直 线/经 过 焦 点 凡 求 直 线/的 方 程【答 案】x 4 y(2)y-x+1【分 析】(1)首 先 根

24、 据 中 点 坐 标，得)1+*=4,再 根 据 焦 半 径 公 式 求 P,即 可 求 抛 物 线 方 程；(2)首 先 设 直 线/的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 求 女，即 可 求 抛 物 线 方 程.【详 解】（1）设 抛 物 线 方 程 X 2=2 0，（O）,A（A,y,）,以 与 力），由 条 件 可 知，%+必=4,恒 目+忸 目=%+：+%+券=4+p=6,得 0=2,所 以 抛 物 线 C的 标 准 方 程 是 x2=4），；（2）由（1）可 知,直 线/的 斜 率 存 在，且 焦 点 尸（0,1）,设 直 线/：丫=区+1,联 立 得

25、V（4公+2）y+l=0X+%=4/+2=4,得=也，2所 以 直 线/的 方 程 是 y=*x+L2 1.已 知 椭 圆 C:，+/=l（a 匕 0）过 点 A（O,T）.离 心 率 为 右 焦 点 为 F，过 户 的 直 线/与 椭 圆 C交 于 A,8 两 点，点 的 坐 标 为（2,0）.（1）求 椭 圆 C 的 方 程；设。为 坐 标 原 点.证 明：Z O M A=ZOMB.【答 案】（1）、+/=1；（2）证 明 见 解 析.【分 析】（1）根 据 由 题 意，列 关 于 G”c的 方 程 组 求 解，即 可 得 桶 圆 的 方 程；（2）讨 论 直 线/与 x 轴 重 合 以

26、及 垂 直 的 情 况 可 得 NOM4=N O M 3,然 后 讨 论 直 线/与 彳 轴 不 重 合 也 不 垂 直 的 情 况，设 直 线 方 程，联 立 方 程 组，写 出 韦 达 定 理，表 示 出 直 线 和 直 线 MB的 斜 率 之 和，从 而 代 入 韦 达 定 理 计 算，可 得 输+%=0，从 而 得 直 线 M A 和 直 线 M B 的 倾 斜 角 互 补，即 可 证 明 Z.OMA=N O M B.b=【详 解】（1）由 题 意，列 式 得=坐 a 2a2=b2+c2解 得 b=lc=1所 以 椭 圆 C 的 方 程 为%（2）当 直 线/与 x 轴 重 合 时，Z

27、OMA=ZOMB=0,当 直 线/与 x轴 垂 直 时，直 线。”为 A B的 垂 直 平 分 线,所 以 NOM4=NQW8.当 直 线/与 X 轴 不 重 合 也 不 垂 直 时，由 题 意，F（l,o）,设 直 线/的 方 程 为 y=M x 1）化 工 0），人 公 乂），则 兰,2=12+y,得(2/+1卜 2_4心+2%2-2=0.y=A：(x-l)4川 所 以+当=而 节,为=2H-22k2+1由 题 意，直 线 和 直 线 M B 的 斜 率 之 和 为+仁 0=巫+必）1（-2）+）#|-2）X 2 x2 2(x)2)(X2 2)（3-%）（工 2 2）+（如 一 人）（内

28、一 2）2kxi“一 3Mxi+%）+4攵&-2）（犬 2-2）（为 一 2）（9-2）代 入 韦 达 定 理 得，2kXX _3/（芭+/）+4 k=4：3 4.第：；8&3+4k=0,所 以+怎 w=。，故 直 线 M 4 和 直 线 的 倾 斜 角 互 补，所 以/O M 4=NOM3.综 上，N O M 4=N O M 8 得 证.【点 睛】思 路 点 睛：（1）解 答 直 线 与 椭 圆 的 题 目 时，时 常 把 两 个 曲 线 的 方 程 联 立，消 去 x（或，）建 立 一 元 二 次 方 程，然 后 借 助 根 与 系 数 的 关 系，并 结 合 题 设 条 件 建 立 有 关 参 变 量 的 等 量 关 系；（2）涉 及 到 直 线 方 程 的 设 法 时，务 必 考 虑 全 面，不 要 忽 略 直 线 斜 率 为 0或 不 存 在 等 特 殊 情 形.