2022-2023学年高一数学题型归纳与分阶培优练07函数：高中常见函数的单调性与值域、最值（人教A版2019必修第一册）（解析版）.pdf

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1、专 题 7 常 见 函 数 的 单 调 性 与 值 域、最 值 目 录【题 型 一】单 调 性 定 义.1【题 型 二】1：反 比 例 函 数.3【题 型 三】2：一 元 二 次 函 数.5【题 型 四】3：分 段 函 数.7【题 型 五】4：“对 勾”函 数.8【题 型 六】5：“双 刀”函 数（双 曲 函 数）.10【题 型 七】6：无 理 函 数.12【题 型 八】7：max 与 min 函 数.14【题 型 九】8：“放 大 镜”函 数.16【题 型 十】9：取 整 函 数（高 斯 函 数）.18培 优 第 一 阶 基 础 过 关 练.20培 优 第 二 阶 能 力 提 升 练.22培

2、 优 第 三 阶 培 优 拔 尖 练.26【题 型 一】单 调 性 定 义【典 例 分 析】下 列 说 法 错 误 的 是（）A.函 数“X）的 定 义 域 为（。,若 也,毛“,6）,当/与 时,/（x,）/（）,则 函 数/（x）是（力）上 的 减 函 数 B.函 数 尤）的 定 义 域 为（帖）,若 当，刍。力），当 时，%）%），则 函 数“X）不 是（。力）上 的 增 函 数 C.若 函 数 x）在,，句 上 是 增 函 数，在 S，c 上 也 是 增 函 数，则 函 数 在%c 上 是 增 函 数 D.若 函 数“X）在”,可 上 是 增 函 数，在 佐 c 上 也 是 增 函 数

3、，则 函 数/）在 o,c 上 是 增 函 数【答 案】C/、fx,Ox 1【分 析】根 据 函 数 单 调 性 定 义 知 A B 正 确，举 出 反 例/(x)=x _ u x 2 知 C 错 误，口 选 项 两 区 间 有 重 合 部 分，正 确，得 到 答 案.【详 解】由 减 函 数 的 定 义，知 A 说 法 正 确；对 于 B,ax,x2 e(a,/?),当 王/(%,),所 以 f(x)不 是(a,b)上 的 增 函 数，B说 法 正 确;对 于 C,若 x)=x,Ox 1x-l,lx2，则 在 2，1 和 2 上 均 是 增 函 数，但/(X)在 0,21上 不 是 增 函

4、数，C 说 法 错 误;对 比 C 选 项，D 选 项 两 区 间 有 重 合 部 分，正 确.故 选：C.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 单 调 性 的 运 算 关 系：一 般 认 为，一 4x)和 六 均 与 函 数 式 x)的 单 调 性 相 反；同 区 间，T+T=T,；+!=；，T-1=T，|-?=|；(2)单 调 性 的 定 义 的 等 价 形 式：设 可，及 6“，b,那 么 有:”为)_式*”。Xi c.fa)fxx)f(x2)0D./(办)*/(%)答 案 Q【分 析】根 据 函 数 单 调 性 的 等 价 条 件 进 行 判 断 即 可.【详 解】解：由 函 数 的 单

5、调 性 定 义 知，若 函 数 f(x)在 给 定 的 区 间 上 是 增 函 数，则 为 一%,与 同 号，由 此 可 知，选 项 A,B,D 都 正 确.若 内，则/(演)/(%)，故 选 项 C 不 正 确.故 选：C.2.下 列 有 关 函 数 单 调 性 的 说 法，不 正 确 的 是()A.B.C.D.若“X)为 增 函 数,若/(X)为 减 函 数,若/(X)为 增 函 数,若/(X)为 减 函 数,g(x)为 增 函 数,则/(x)+g(x)为 增 函 数 g(x)为 减 函 数，则/(x)+g(x)为 减 函 数 g(x)为 减 函 数，则/(x)+g(x)为 增 函 数 g

6、(x)为 增 函 数,则/(x)-g(x)为 减 函 数【答 案】C【解 析】根 据 函 数 的 单 调 性 定 义 及 性 质，可 判 断 选 项 A,B,D 选 项 正 确，选 项 C 可 结 合 具 体 函 数 说 明 其 不 正 确.【详 解】根 据 不 等 量 的 关 系，两 个 相 同 单 调 性 的 函 数 相 加 单 调 性 不 变，选 项 A,B正 确；选 项 D:g(x)为 增 函 数，则-g(x)为 减 函 数，/(X)为 减 函 数，/(x)+(-g(x)为 减 函 数，选 项 D 正 确；选 选 C:若 f(x)为 增 函 数，g(x)为 减 函 数，则 x)+g(x

7、)的 增 减 性 不 确 定.1 Y例 如 y(x)=x+2 为 R 上 的 增 函 数，当 g(x)=-X 时，”x)+g(x)=/+2在 R 上 为 增 函 数；当 g(x)=-3x时，”x)+g(x)=2x+2在 R 上 为 减 函 数，故 不 能 确 定/(x)+g(x)的 单 调 性.故 选:C3.下 列 函 数 中，满 足“对 任 意 不 吃 0,+8),且 占 2都 有/&)9)”的 是()2A./(x)=x B.f(-x)=xxC.f(.x)=x1+x2 D./(x)=x3【答 案】D【解 析】对 任 意 4，W(0,+8),且 王 都 有 不)“工 2),可 知 函 数/在(

8、0,+8)上 单 调 递 减，结 合 选 项 即 可 判 断.【详 解】“对 任 意 4，X,G(0,+O0),且 为/2021X-V2022-x-J2022 X-J2022此 函 数 是 由 反 比 例 函 数 旷=且 三 二 立 叵 向 右 平 移 J酝 个 单 位，再 向 上 平 移 1个 单 位 得 X到 的,所 以 f(x)在(F,而 可 和(7巧,+8)上 单 调 递 减,因 为 xeN*,44 J2022 45,所 以“X）取 得 最 大 值 时 的 X值 为 45.故 答 案 为：45【提 分 秘 籍】基 本 规 律 反 比 例 函 数 分 式 函 数 求 值 域：1.若 分

9、子 与 分 母 同 次 用：分 离 常 数 法，2.若 分 子 与 分 母 不 同 次 用：上 下 同 除 法【变 式 训 练】1.关 于 函 数 y_ 3 x-l2 x-5,下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 x wN,B.若 x w N,C.若 x e N,D.若 x e N,【答 案】D则 函 数 只 有 最 大 值 没 有 最 小 值 则 函 数 只 有 最 小 值 没 有 最 大 值 则 函 数 有 最 大 值 没 有 最 小 值 则 函 数 有 最 小 值 也 有 最 大 值【分 析】根 据 反 比 例 函 数 的 性 质 求 出 函 数 的 最 值 即 可.【详 解】函 数

10、 的 定 义 域 为 by=3/c-13Q i-(2x 5)H Q3x l _ 2、，2 _ 3 2 x-5 2 x-5 2132(2x-5)5 3由 反 比 例 函 数 的 性 质，得 了 在（1+8）单 调 递 减，此 时 y；5 3y 在（-8 至）单 调 递 减，此 时 y 1；若 R e N,则 Pmin在（一 8,g）上 取 到，所 以 乂 向=V|户 2=5，同 理，ymax在（|，+8）上 取 到，所 以 m ax=*=3=8,所 以 当 X N,函 数 有 最 大 值 和 最 小 值.故 选：D0 V-L 12.已 知 函 数/（x）=A f,其 定 义 域 是-8,T）,则

11、 下 列 说 法 正 确 的 是 X15 5 7A.”X）有 最 大 值：，无 最 小 值 B.f（x）有 最 大 值;，最 小 值:7 7c.“X）有 最 大 值（，无 最 小 值 D.“X）无 最 大 值，最 小 值；【答 案】A【分 析】先 化 简 函 数/（x）,再 根 据 反 比 例 函 数 单 调 性 确 定 函 数 最 值 取 法【详 解】因 为 函 数 x）=2=生 二 叱=2+3,所 以/（X）在 卜 8,Y）上 单 调 递 减,x-1 x-1 x-1则/l（X）在 x=-8处 取 得 最 大 值，最 大 值 为 g,x=T 取 不 到 函 数 值，即 最 小 值 取 不 到

12、.故 选A.3.已 知 函 数 f(x)=芈 二 1,其 定 义 域 是 T,-2),贝 I J()-x7 13A.7(x)有 最 大 值 一 1,最 小 值 一 7B.X)有 最 大 值 无 最 小 值 13 7C./(幻 有 最 大 值-最 小 值 D./(有 最 小 值-无 最 大 值【答 案】D【解 析】利 用 分 离 常 数 法 化 函 数/(X),求 出 x e l,-2)时/(X)的 取 值 范 围，即 可 得 出 结 论.3r-l 2【详 解】解：函 数 f(x)=f=-3+六，因 为-2),所 以-xe(2,4,所 以 l-xe(3,1-x-x51；所 以 士 2 e后 2

13、2 所 以-3+匕 2-13 所 7 以 f(x)w J,-1j3)7,13所 以 有 最 小 值 为 一 无 最 大 值.故 选：O.【题 型 三】2：一 元 二 次 函 数【典 例 分 析】若 函 数=/在 区 间 团,加 上 的 值 域 为 f+l(reR),则()A.有 最 大 值，但 无 最 小 值 B.既 有 最 大 值，也 有 最 小 值 C.无 最 大 值，但 有 最 小 值 D.既 无 最 大 值，也 无 最 小 值【答 案】A【分 析】取/(x)=V,判 断 b-a无 最 小 值；由 于&*=/(4)+/伊 卜 2 d 等)，故 结 合 题 意 得 2,进 而 得 答 案.

14、【详 解】解：/(x)=x2,不 妨 设 则“力=/在 小 以 上 的 值 域 为 下 方,由 于 函 数，(=/在 区 间 口 向 上 的 值 域 为 W+lQeR),所 以 从-/=i,故 匕 一。=一 二 无 最 小 值；因 为/(。)=标，f(b)=b2,/(幺 9)=(早 j,由 于 抛 物 线 开 口 向 上，故+所 以 2)=/()+)(b)-2/)4f+l+t+l-2f=2,2 k 2-1-k所 以 b-42,当 且 仅 当 人=书,=-三 时 取 得 最 大 值 2.故 选：A.【提 分 秘 籍】基 本 规 律二 次 函 数 求 值 域 用：1.配 方 法 2.对 称 轴 单

15、 调 性 法 二 次 函 数 基 础 知 识：一 般 式 顶 点 式：丫=。/+云+。=4（工+勃.顶 点 是（一 5，4。4 a b对 称 轴 是：x=一 5 方 程 ax2+bx+cnO lW O）求 根 公 式：x=:4a。【变 式 训 练 1.函 数 y=J+3 x 的 单 调 递 减 区 间 为（）A 1 8，一|）B-C.0,-KM）D.（-00,-3【答 案】D【分 析】先 考 虑 函 数 的 定 义 域，再 根 里 受 甘 1数 的 单 调 性 的 判 断 方 法 可 求 函 数 的 单 调 减 区 间.【详 解】错 解：令，=Y+3 X,=6+3 丘 是 有）=4/=+3多

16、而=在 口 内）上 单 调 递 增，r=x?+3x在 1 8,-g 上 单 调 递 减，在-g,+8）上 单 调 递 增，根 据 复 合 函 数 同 增 异 减 的 原 则 可 知：y=7 Z 存 在 上 单 调 递 减，即 其 减 区 间 为 1 8,-|故 选：A.错 因：没 有 考 虑 函 数 y=,+3 的 定 义 域.正 解：由 Y+3 X N 0可 得 x 4-3 或 x N O,故 函 数 的 定 义 域 为（7,-3 0,-H）.令 f=f+3 x，y-y j x2+3x y=4 t,t=X2+3X,而=在 0,E）上 单 调 递 增，=/+3 在（-,-3 上 单 调 递 减

17、，在 0+8）上 单 调 递 增，根 据 复 合 函 数 同 增 异 减 的 原 则 可 知：y=炉 工 在（,-3 上 单 调 递 减，即 其 减 区 间 为（f,-3.故 选：D2.已 知/（0=/-奴+在 区 间 o,1 上 的 最 大 值 为 g（“），则 g（“）的 最 小 值 为（）A.0 B.y C.1 D.2【答 案】B【解 析】由 已 知 结 合 对 称 轴 与 区 间 端 点 的 远 近 可 判 断 二 次 函 数 取 得 最 值 的 位 置，从 而 可 求.【详 解】解：因 为 f（x）=x 2-a r+5的 开 口 向 上，对 称 轴 x=g,今,3 即 知 1时，此

18、时 函 数 取 得 最 大 值 g（a）=l）=l-,当 即”1时，此 时 函 数 取 得 最 大 值 g(a)=O)=,f a1 不 4 1故 g()=，故 当=1时，g(。)取 得 最 小 值 故 选：8.1-29a l3.若 函 数/(x)=4f a+5在 区 间-1,转)上 是 增 函 数，则/(2)的 最 小 值 是 A.8B.-8C.37D.-37【答 案】C【详 解】试 题 分 析：由 题 意 得?二 一 1,/(2)=4x222 z+5,.加=包 一/,8 2 2八 n 2 3.故 选 C.【题 型 四】3：分 段 函 数【典 例 分 析】1 I 1-X i C.已 知 函 数

19、 X)=X,若/(X)值 域 为-了 2,则 实 数 C 的 范 围 是()X2 X,C X 2 L A.-1,-B.-00,-yj C.【答 案】A【分 析】由 函 数 的 解 析 式 确 定 区 间 端 点 处 函 数 值,围，即 得 答 案.【详 解】当 x=2时，2)=4-2=2J(x)=x2x 1-/(X)值 域 为-“2，当 x c 时，由/(%)二 一/(x)=x2-x=2,得 了 2一 尢 _2=0,得 户 2或 工=3 可 D.-1,田)结 合 函 数 图 象，数 形 结 合，确 定 参 数 的 范(1Y 1 11 2；4 4-=2,得 x=M，此 时 cS-4，由 1 2

20、2 1,此 时 14c4-,2即 实 数。的 取 值 范 围 是-L-；,故 选：AX【提 分 秘 籍】基 本 规 律 分 段 函 数 求 值 域 或 者 最 值，分 段 讨 论，数 形 结 合 画 图【变 式 训 练】1.已 知/(x)=3-2|4 g(x)=，-2 x,若 尸(x)=，g(x),f(x)g(x)f(x),f(x)g(x)则 尸(x)的 最 值 是()A.最 大 值 为 3,最 小 值-1 B.最 大 值 为 7-2 5，无 最 小 值 C.最 大 值 为 3,无 最 小 值 D.无 最 大 值，最 小 值 为-1【答 案】B【分 析】作 出 F(x)的 图 象，尸(x)其

21、实 表 示 的 是/(x),g(x)较 小 的 值.如 图 实 线 部 分，知 有 最 大 值 而 无 最 小 值，且 最 大 值 不 是 3,故 可 得 答 案.3+2x,x 4 2-7【详 解】解：根 据 已 知 条 件，可 以 求 出 产(力=f-2 x,2-x/3如 图 所 示，尸(x)在 A 处 取 得 最 大 值，没 有 最 小 值.由 3+2x=x2-2x 得/=2-47,:.%=3+2x八=7-2疗.所 以 有 最 大 值 7-2近，无 最 小 值.故 选：B.x2,xe-l,02.函 数/(x)=1 7 的 最 值 情 况 为().-,xe(O,l.xA.最 小 值 0,最

22、大 值 1 B.最 小 值 0,无 最 大 值 C.最 小 值 0,最 大 值 5 D.最 小 值 1,最 大 值 5【答 案】B【分 析】根 据 二 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】当 x e l,O时，函 数 y=x?单 调 递 减，所 以”0,1,当 x e(0,l时，函 数=!单 调 递 减，所 以 X综 上 所 述：所 以/(x)有 最 小 值 o,无 最 大 值.故 选：B.【题 型 五】4：“对 勾”函 数【典 例 分 析】4 1 一.函 数=x+在 区 间-万；上 的 最 大 值 为()A.B.C.3 D.43 2【答 案】B【

23、分 析】利 用 换 元 法 以 及 对 勾 函 数 的 单 调 性 求 解 即 可.4 1 一【详 解】设 x+1,则 问 题 转 化 为 求 函 数 g(f)=，+7-1在 区 间-,3上 的 最 大 值.根 据 时 勾 函 数 的 性 质，得 函 数 g(f)在 区 间 g,2 上 单 调 递 减，在 区 间 Z3 上 单 调 递 增，所 以 故 选：B【提 分 秘 籍】基 本 规 律 对 勾 函 数：y=ax+,(a,b0)图 像 特 征 x1.有“渐 近 线”:y=ax卜 2.“拐 点”：解 方 程 ax=-x(即 第 一 象 限 均 值 不 等 式 取 等 处)【变 式 训 练】1.

24、若 函 数/)的 值 域 是；，3,则 函 数 F(x)=/(x)+/缶 的 值 域 是()【答 案】B【分 析】令 x)=f，y=t+,贝 Ve；，3,然 后 由 对 勾 函 数)，=f+；的 单 调 性 可 求 出 函 数 的 值 域【详 解】解：令 x)=f,y=r+；,贝 e 1)3.当 小 寸，y=f+；单 调 递 减,当 时，y=f+；单 调 递 增，又 当 f 时、y=|,当 f=l时，y=2,当 r=3tl寸，y=y,所 以 函 数 尸(x)的 值 域 为 2,号，故 选：B.2.设 a 0,函 数/(x)=x+在 区 间(0M上 的 最 小 值 为 mi,在 区 间,+)上

25、的 最 小 值 为 xm2,若 叫%=2020,则 a 的 值 为()A.1 B.2 C.100 D.1 或 100【答 案】D【分 析】为 对 勾 函 数，可 以 根 据 其 图 像 知 道 其 在(0,+8)上 的 单 调 性，然 后 根 据 4 的 范 围 分 类 讨 论,求 出 味 的 值,代 入 网 网=2020求 解.【详 解】/(x)为 对 钩 函 数，在(0，10 上 单 调 递 减，在 口 0,+8)上 单 调 递 增.当 时，2 亍，牡 亍/1(10)：当 a e 10,+oo)时，町 m(10),tny=fa).因 此 总 有/()/(10)=町 n=2020,即(a+y

26、)(10+笔)=2020,解 得 a=1 或 a=100.故 选：D4 x3.函 数/(X)=X+、+y(X 0)的 最 小 值 为()A.2 I l W C.?D.生 3 4 5【答 案】C【解 析】令 r=x+：,利 用 基 本 不 等 式 求 得 9 4,构 造 函 数 g(f)=f+L 证 明 出 函 数 g(。在 4,内)上 为 增 函 数，由 此 可 求 得 函 数/(X)的 最 小 值.X _ 1 _ 1 1-【详 解】令 r=x+,贝!|/+4-4(0,所 以 f=x+92=4,x x+x xx4 x 1 1又 y=x+-+-；=/+-,令 g(f)=f+-,其 中 f,x 厂

27、+4 t t任 取、t2 e 4,-H)G，即 6 弓 24,则 8&)-8(4)=|+，)-,2+：)=&-幻+宁=-2 格-1),I*1 7 kl2)lr2“2-ttt24,：.tt-t2o,f也 i,，ga)-g(，j o,即 ga)g(%).i 17所 以，函 数 g 在 4,”)上 为 增 函 数，因 此，f(x)mM=g(4)=4+；=Y.故 选：C.4.函 数 y=X2+5yjx2+4的 最 小 值 为()A.2 B.1 C.1 D.不 存 在【答 案】B【解 析】令/7=(2 2),原 函 数 化 简 为 y=/+：,在 2,”)上 也 是 增 函 数，可 得 当 f=2,【详

28、 解】令 函 数 y=f+；在(1，y)上 是 增 函 数，二=.+；在 2,+00)上 也 是 增 函 数.；.当/=2,即 6+4=2,%=0 时，ymin=-|.故 选：B.【题 型 六】5：“双 刀”函 数(双 曲 函 数)【典 例 分 析】已 知 函 数/（x）=x+h,xe b,-Ka）,其 中/?O,aeR,记 M 为/（x）的 最 小 值，则 当 M=2x时，”的 取 值 范 围 为（）A.a-B.ci D.ci 0；.b=上 正 电，因 此 V0满 足 题 意；b 2 当。0 时，/（X）在 26,+00）上 单 调 递 增，在（0,2石）上 单 调 递 减 因 此 当 2

29、G 4 人 时，/（x）在 出,+8）上 单 调 递 增，所 以 fxin=f（b）=28+华=2 Q/-b+2a=0:.=l-8a 2 0,6=f 2&,2A/CI Z?0/.Z?2 h-4 2V 7 4 3 2=0 1、1 1 116=06?或 一 a:.0a16-8+1*16 16 9 9 当 2 6 6 时;f（x）在 2石,+8）上 单 调 递 增，在 屹,2 6）上 单 调 递 减,所 以/(x)1 1 1 b l=/(24)=4&+=2Q062-4&0.Ja 0）x x1.有“渐 近 线：y=ax与 y=-ax2.“零 点”：解 方 程 ax=2x（即 方 程 等。处）【变 式

30、训 练】1.函 数 y=x-L 在 1,2 上 的 最 大 值 为（）X3A.0 B.-C.2 D.32【答 案】B【分 析】依 题 意，函 数 y=x-1 在 1,2 上 是 增 函 数 即 可 求 出 最 大 值.X【详 解】解:函 数 y=x在 1,2 上 是 增 函 数，函 数 y=-L 在 1,2 上 是 增 函 数，X所 以 函 数=一,在 口，2 上 是 增 函 数.X当 x=2 时，vmax=2-v=-2 2故 选:B2.函 数 f(x)W-2 x 在 区 间 1,2 上 的 最 小 值 是()7 7A.B.-C.1 D.-12 2【答 案】A【分 析】由 题 意 结 合 函

31、数 的 单 调 性 可 得 函 数“X)在 口 a 上 为 减 函 数，即 可 得 解.【详 解】.函 数/(x)在 口,2 上 为 减 函 数，1 7&=2)=5-2、2=-2.故 选：A.3.已 知%0,则 b+/-3 1(%+5)的 最 小 值 为 793A.12后 B.48 C.D,6016【答 案】B【解 析】转 化 条 件 得 卜+/3)x+5=-?+4 8,根 据 函 数 单 调 性 确 定 X-?的 取 值 范 围 后 即 可 得 解.【详 解】由 题 意(X+.-3)(X+F+5)=Y+W+2X-+19令 f(x)=x-：,x 0,由 函 数 单 调 性 可 知/(X)(YO

32、,+O),所 以 当 一?=一 1时，(x+.-3)(x+5)取 最 小 值 48.故 选：B.【题 型 七】6：无 理 函 数【典 例 分 析】_若 切=/。-2+&-2。+4 的 最 小 值 与 g(x)=J x+a-J x-a(a。)的 最 大 值 相 等，则 的 值 为()A.1 B.72 C.2 D.2 0【答 案】C【分 析】山 x)在 2,户)递 增，可 得 2)为 最 小 值，由 g(机 在 a,y)递 增,可 得 g(a)取 得 最 大 值，解 方 程 可 得。的 值.【详 解】f(x)在 定 义 域 2,内)上 是 增 函 数,所 以“X)的 最 小 值 2)=2,又 g(

33、x)=/.2 a l 在 定 义 域 上 是 减 函 数,g(x)的 最 大 值 g(a)=V，所 以 7 x+a+A/X aY 2a=2,a=2.故 选 c.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 无 理 函 数，注 意 几 点：1.定 义 域；2.是 否 具 有 单 调 性 3.双 根 号，是 否 可 以“分 子 有 理 化”来 化 简。4.是 否 可 以 通 过“平 方”来 化 简 5.是 否 可 以 换 元：单 根 号 换 元 或 者 双 根 号 双 换 元【变 式 训 练】1.函 数 y=/x+-V l-x 的 值 域 为 A.-B.(0,亚 C.(-oo,应 D.卜 立,+8)答 案 A

34、【薪 析】求 出 该 函 数 的 定 义 域，分 析 该 函 数 的 单 调 性，利 用 单 调 性 即 可 求 出 该 函 数 的 值 域.1 NO-r 1【详 解】由 题 意 可 得，八，解 得-I V x M l,则 函 数 y=4 T 7-/r i 的 定 义 域 为 T 1,由 于 函 数 y=在 区 间 卜 1川 上 为 增 函 数，函 数%=工 4 在 区 间-?上 为 减 函 数，所 以，函 数 y=在 定 义 域 卜 1 上 为 增 函 数，当 x=-l 时，该 函 数 取 得 最 小 值，即 为 1M=-血；当 x=l 时，该 函 数 取 得 最 大 值，即 丫 2=0 因

35、 此，函 数 y=4 7 1-，的 值 域 为 卜 正,正.故 选:A.2.己 知 函 数/(x)=x+A M,则 函 数 X)有()A.最 小 值 1,无 最 大 值 B.最 大 值;，无 最 小 值 C.最 小 值 无 最 大 值 D.无 最 大 值，无 最 小 值【答 案】C【分 析】先 用 换 元 法 将 f(x)变 形 为 二 次 函 数 的 形 式，然 后 根 据 对 称 轴 求 解 出 二 次 函 数 的 最 值，则“X)的 最 值 情 况 可 知.【详 解】因 为 x)=x+j 2 x-3,令 j 2 x-3=f 0,”),所 以=审，所 以 f(x)=g(r)=号+f=g(r

36、+i)2+i(r e o,+8),因 为 g(r)的 对 称 轴 为 t=1,所 以 8)在 0,+)上 递 增，所 以 g(f)mM=g()=，无 最 大 值，所 以“X)的 最 小 值 为 5,无 最 大 值，故 选：C.3.关 于 函 数)，=万 1-/万 的 最 值 的 说 法 正 确 的 是()A.既 没 有 最 大 值 也 没 有 最 小 值 B.没 有 最 小 值，只 有 最 大 值 播 C.没 有 最 大 值，只 有 最 小 值 百 D.既 有 最 小 值 0,又 有 最 大 值 夜【答 案】B析】求 出 函 数 的 定 义 域，然 后 把 函 数 的 解 析 式 进 行 分

37、子 有 理 化，最 后 利 用 函 数 的 单 调 性 的 性 质 判 断 函 数 的 单 调 性,最 后 选 出 正 确 答 案.【详 解】函 数 的 定 义 域 为：布 训./I 7(Jx+1 Jxl)(Jx+l+Jx1)2y=yx+-Jx-=-j=-=.f=,，X+l+/x-1 yX4-l+v-1函 数 y=Jx+l,y=Jx-1 在 xN 1 时,都 是 增 函 数 旦 y=yjx+l y/2,y=Jx-1 W 0,因 此 函 数 y=/(x)=Jx+1-Jx-l=j x+i j J.在 xNl时，是 单 调 递 减 函 数 故 函 数 有 最 大 值，最 大 值 为 了=拒，函 数

38、没 有 最 小 值.故 选：B【题 型 八】7：max与 min函 数【典 例 分 析】/(x)=x+l,g(x)=(x+l)2,xe R,M(x)=max/(x),g(x),则 函 数 M(x)的 最 小 值 是【答 案】0【分 析】根 据 函 数 定 义 得 出 函 数 解 析 式，确 定 函 数 的 单 调 性 可 得 最 小 值.【详 解】由(X+1)2 x+l 得 XV-1 或 X0,(x+l)2 x+l 得 一 lvx0,所 以 M(x)=+D 1或 0,所 以 M(x)在(-oo,-l)上 递 减，在(一 1,一)上 递 增，x+l,-lx,c表 示 a,b,c 三 个 数 中

39、的 最 小 值，则 f(x)的 最 大 值 为 A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】D【分 析】根 据 mina,6,c的 意 义，画 出 函 数 图 象，观 察 最 大 值 的 位 置，通 过 求 函 数 值，解 出 最 大 值./(x)=x2-8x+16,当 x 7 时(x)=1 6-x j(x)的 最 大 值 在 x=7时 取 得 为 9,故 选 D.2.对 V x e R,用 M(x)表 示/(x),g(x)中 较 大 者，记 为”(x)=max/(x),g(x),若 A/(x)=-x+3,(x-l)2),则 例(x)的 最 小 值 为()A.-1 B.0 C.1 D.4 答 案

40、C【箴 析】根 据 定 义 求 出 M(x)的 表 达 式，然 后 根 据 单 调 性 确 定 最 小 值.【详 解】由-x+3=(x-l)2解 得：x=l 或 x=2,(x-l)2 N-x+3的 解 集 为 x M T 或 x 4 2,(x-1)-x+3的 解 为-l _ r 2,(r-1)2 r 2，M(x)=：二-；，.x 4 2 时，M(x)是 减 函 数，x 2 时，M(x)是 增 函 数,-x+3,-l x 2，M(x)n“n=M(2)=l.故 选：C.3.已 知 maxa,Z?,c表 示“，h,c 中 的 最 大 值，例 如 maxl,2,3=3,若 函 数/(x)=max-V+

41、4,-x+2,x+3,则/(x)的 最 小 值 为()A.2.5 B.3 C.4 D.5【答 案】B【分 析】在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数 y=-f+4,)，=-x+2,y=x+3 的 图 象，根 据 函 数 的 新 定 义 可 得/(x)的 图 象，由 图 象 即 可 得 最 小 值.【详 解】如 图：在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数 y=-x 2+4,y=-x+2,y=x+3 的 图 象，因 为 f(x)=max 丁+4,-了+2/+3,所 以 f(x)的 图 象 如 图 实 线 所 示:由 y=-x2+4y=-x+2(x 0)可 得

42、 A(-l,3),由最 小 值 为 3,故 选:B.【题 型 九】8：“放 大 镜”函 数【典 例 分 析】定 义 域 为 R的 函 数/(X)满 足 f(x-2)=；x),且 当 x-2,0)时，/(X)=-X2-2 X,则 当%2,4)时，/(%)的 最 大 值 为()A.4 B.2 C.g D.一 2 4答 案 A【4 析】利 用 已 知 等 式，结 合 二 次 函 数 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 f(x2)=g/(x),所 以 有：/(x-2-2)=1/(x-2)=/(x-4)=l/(x-2),因 此 有：/(x-4)=g；f M=fx)=4/(x-4),当

43、xe2,4)时，2Wx4+4,因 此 当 x=3时，该 函 数 有 最 大 值 4,故 选：A【提 分 秘 籍】基 本 规 律 形 如 f(tx)=mf(x)等“似 周 期 函 数”或 者“类 周 期 函 数”，俗 称 放 大 镜 函 数，要 注 意以 下 几 点 辨 析：1.是 从 左 往 右 放 大,2.放 大(缩 小)时,3.放 大(缩 小)时,还 是 从 右 往 左 放 大。要 注 意 是 否 函 数 值 有 0。是 否 发 生 了 上 下 平 移。【变 式 训 练】1.定 义 域 为 R 的 函 数/(X)满 足/(x+D=3/(x),且 当 xw(O/时，/(x)=4x(x-l),

44、则 当 xe-2,-1)时，“X)的 最 小 值 是()C.D.09【答 案】C【分 析】先 求 得/(-2),然 后 将 xe(-2,-1)转 化 为 xe(O,l)来 求 得“X)的 解 析 式，由 此 求 得“X)的 最 小 值.【详 解】1)=0，/(0+1)=3/(0)/(0)=0,/(-2)=%(-2+1)=；止 1)=(-1+1)=(0)=0,J J y yx G 2,x+2w(0,1),依 题 意 f(x)=J(X+1)，且 当 X(0,l 时，/(x)=4x(x-l),所 以 f(x)=g x+l)=g x+2)=5x+2)(x+l),故 当 x=(-2)；(T)=-1 时,

45、故 选：C2.定 义 域 为 R 的 函 数/(x)满 足 x+l)=2f(x),且 当*(0,1 时，/(x)=x2-x,则 当 xe(-2,-l 时,“X)的 最 小 值 为()A.-B.C.D.016 8 4【答 案】A【分 析】根 据/(x+l)=2f(x),结 合 当 xw(0,l 时 函 数 的 解 析 式 求 出 当 xw(-2,-1 的 解 析 式,然 后 根 据 二 次 函 数 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】由/(x+1)=2f(x)n f(x+2)=2/(x+l)f(x)=；/(x+2).i i i 3 i 3当 xe(_2,l 时，/(x)=-/(x+2)

46、=-(x+2)2-(x+2)=-(%+-)2-,当 x=一；时，函 4 4 4 2 16 2数 的 最 小 值 为 一.16故 选：A3.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y=f(x)满 足/(x)=2/(x+l),且 当 xe(0,l 时，f M=x2-x,则 当 xe(-l,0 时，函 数 y=/(x)的 最 小 值 为().【答 案】C【分 析】求 出 函 数 在 上 的 解 析 式，再 由 二 次 函 数 性 质 得 最 小 值.【详 解】：xw(-1,0时，x+le(0,l./(x)=2/(x+1)=2 x(x+1)2-(x+1)=2(x2+x),由 二 次 函 数 的 最 值

47、 易 知 最 小 值 为 了 J-2故 选：C.【题 型 十】9：取 整 函 数(高 斯 函 数)【典 例 分 析】世 界 公 认 的 三 大 著 名 数 学 家 为 阿 基 米 德、牛 顿、高 斯，其 中 享 有“数 学 王 子”美 誉 的 高 斯 提 出 了 取 整 函 数 y=x,x表 示 不 超 过 X 的 最 大 整 数，例 如 0.I=M-1.1=-2.己 知 2 K 1-X)=-,xe(-8,-3)32,+8),则 函 数/(X)的 值 域 为()A.0,1,2 B.1,2,3 C.2,3,4 D.2,3【答 案】B【分 析】根 据 题 意，设 g(x)=,将 g(x)解 析 式

48、 变 形，分 析 g(x)的 取 值 范 围，结 合 取 整 X+1函 数 y=x的 定 义，分 析 可 得 答 案.【详 解】解：根 据 题 意，设 g(x)=,则 g(x)=2(x+?-3=2一 义,X+1 x+x+x+13 7在 区 间(-8,-3)上，0,且 g(x)为 增 函 数，则 有 2以%)0,且 区)为 增 函 数,则 有 lg(x)2,x+17综 合 可 得：g(x)的 取 值 范 围 为 lg(x)2或 2g(x)/,又 由 x)=型 则 Ax)的 值 域 为 1,2,3).故 选：B.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 取 整 函 数=可，可 表 示 不 超 过 x 的

49、最 大 整 数，又 叫 做“高 斯 函 数”，可 参 考 图 像 如 下 图。【变 式 训 练】1.高 斯 是 德 国 著 名 的 数 学 家，近 代 数 学 奠 基 者 之 一，用 他 的 名 字 命 名 了“高 斯 函 数.设 x e R，用 3 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数，则 卜=幻 称 为 高 斯 函 数.例 如：0.5=0,1.4=1,已 知 函 数 f(x)=x-x,A.B.C.D./（x）区 间 0,/（*）区 间 0,/（x）区 间 0,A x）区 间 0,则 下 列 选 项 中，正 确 的 是（2 上 的 值 域 为 0,1）2 上 的 值 域 为 0,1 2

50、 上 的 值 域 为（0,1 21上 的 值 域 为（0,1）【答 案】A【分 析】根 据 高 斯 函 数 的 定 义，可 得 函 数/（x）=x-x 的 图 象，即 可 的 解.【详 解】由 高 斯 函 数 的 定 义 可 得:当 0,x l 时，=0,当 L,x 2时,W=l,当 2户 3时，3=2,当 3,x=可 称 为 高 斯 函 数.例 如：句=3,-5,1=-6,已 知 函 数/（力=舍,则 函 数 y=x）的 值 域 为（）A.-1,1 B.-1,0 C.1,0 D.-1,0,1【答 案】D【分 析】利 用 基 本 不 等 式 可 求 得 函 数 f（x）的 值 域，由 此 可