2022年高考数学一轮复习计数原理及排列组合精讲（解析版）.pdf

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1、思维导图8.4 计数原理及排列组合（精讲）概 念 八-O分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成T 糊有两类不同方案，在第1类方案中有E种不同的方法，在第2类方案中有“种不同的方法完成一件事褥要两个步野，做 第1步育E 种不同的方法，做第2步有“种不同的方法结论完成这件事共有N=E+”种不同的方法完成这件事共有N=/n”种不同的方法解 题 思 路 八-先 分 类 再 分 步 有 无 特 殊 条 件 的 限 制；检 验 是 否 有 重 复 或 遗 漏排列从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素按 照 一 定 的 顺 序 一 列组合合成一组优 先 安 排 特 殊 元 素 或 特 殊 位 置排

2、列数组合数定义从”个不同元素中取出/n（E S）个元素的所有不翻E列的个数从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 的所有不同组合的个数公式n!A=(n-m)!-rn-1)(/-2).(/-E+1)A%n(n-l)(n-2)(n-m +1)点=获=m!性质A=n!、0!=14=点 叫 Cjn+Cm l=Cm x排列常用方法计 算 公 式定 序 除 法间接 法相 邻 捆 绑 法入-相 邻 元 素 看 作 一 整 体 与 其 他 元 素 一 起 排 列，注 意 捆 绑元 素 的 内 部 排 列先 考 虑 不 受 限 制 的 元 素 的 排 列，再 将 不 相 邻 的 元 素插 在 前 面 元

3、 素 排 列 的 空 当 中2020有 顺 序 要 求 部 分 只 有 一 种 排 法，只 要 把 剩 下 部 分 排 列 即 可不 相 邻 插 空 法 八八 全 部 排 列 后 除 以 有 顺 序 要 求 的 排 列定 序 排 他 法 Qc 正面 分 类 太 多 从 反 面 入 手,9-直 排 法 八 分 排 问 题 直 排 处 理-TTT-Z 一组 合 常 见 题 型“含 有”或“不 含 有”某 些 元 素 的 组 合 题 型：“含”，则 先 将 这 些 元 素 取 出，再 由 另 外 元 素 补 足：“不 含”，则 先 将 这 些 元 素 剔 除，再 从 剩 下 的 元 素 中 去 选

4、取“至 少”或“至 多”含 有 几 个 元 素 的 组 合 题 型：用 直 接 法 和 间 接 法 都 可 以 求 解，通 常 直 接 法 分 类 复 杂 时，用 间 接 法处理.常见考法分 组 分 配解 题 思 路 Q 先 分 组 后 分 配，分 组 是 组 合 问 题，分 配 是 排 列 问 题一 完 全 均 匀 分 组，分 组 后 除 以 组 数 的 阶 乘分 组 方 法,部 分 均 匀 分 组，有m组 元 素 个 数 相 同，则 分 组 后 除 以m!ry 完 全 非 均 匀 分 组，只 要 分 组 即 可 相 同 元 素 的 分 配 问 题，常 用“挡 板 法”分 配/一 不 同 元

5、 素 的 分 配 问 职，分 步 乘 法 计 羲 最，先 分 组 后 分 配一 有 限 制 条 件 的 分 配 问 题，采 用 分 类 求 解.考 点 一 排列【例 1】（1）（江西省南昌市第十中学2 0 2 0-2 0 2 1 学年高二下学期第二次月考数学）A,B,C,D,E五人站成一排，如果A,8必须相邻且8在A的右边，那么不同的排法种数有（）A.2 4 种 B.3 6 种 C.4 8 种 D.6 0 种（2）（四川省成都市树德中学2 0 2 1-2 0 2 2 学年）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻，则排法共有（）A.4 8 种 B.9 6 种 C.2 4 0 种

6、 D.4 8 0 种【答案】（1）A （2）1）【解析】（1）A,8必须相邻且B在 A的右边，考虑A,B作为一个整体，所以不同的排法种数为A：=2 4 种.故选：A（2）特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有 A；种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有凡 父&=4 8 0（种）.故选：D【一隅三反】1 .（江苏省2 0 2 1 年对口高考单招一模数学试题）6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（）A.2 8 8 种 B.1 4 4 种 C.9 6 种 D.4 8 种【答案】B【解析】把甲乙两人捆绑成一个元素，有 8=2种排

7、法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有 A；=3 种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有 用=2 4 种排法，所以共有2 x3 x2 4 =1 4 4 种排法.故选:B.2 .（河北省邯郸市2 0 2 2 届高三上学期开学摸底数学试题）由 1,2,3,4,5,6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1 必须排在前两位，且 2,3,4必须排在一起，则这样的六位数共有（）A.4 8 个 B.6 0 个 C.7 2 个 D.8 4 个【答案】B【解析】把 2,3,4 捆绑在一起，作为一个元素排列，当 1 排 在 第 一 位时，有&-A；=3 6

8、种排法；当 1 排在第二位时，2,3,4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位，故共有2 A；-6=2 4 种排法.由分类加法计数原理得，共有6 0 种排法.故选：B.3.（湖北省九师联盟2 0 2 1-2 0 2 2 学年高三上学期8月开学考数学试题）高 三（2）班某天安排 6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A.4 2 种 B.9 6 种 C.1 2 0 种 D.1 4 4 种【答案】C【解析】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所 以 课 程 编 排 方 案 共 有=1 2 0 种，

9、故选：C.4 .（2 0 2 1 届高三数学临考冲刺原创卷（四）一只口袋内装有4个白球，5 个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次 摸 出 的 是 白 球 的 概 率 为.【答案】2【解析】将4 个白球和5 个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为A；,其中第4个球是白球的排法数为A；A；,A1 A8 4 4故所求概率为尸=+=x,故答案为：?A；9 95 .（江西省智学联盟体（南昌市第二中学等）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将1 0 条不同灯谜分别装在了如图所示的1 0 个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能

10、任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则 这 1 0 条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为.（用数字作答）【答案】2 5 2 0 0【解析】一共有1 0 条灯谜，共 有 维 种方法，由题意可知而其中按2,3,3,2组成的4列绷相对位置不变,所以结合倍缩法可知共有=2 5 2 0 0 种，也即是这1 0 条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有2 5 2 0 0 种故答案为：2 5 2 0 0.考 点 二 组 合【例江苏省南通市海安市2 0 2 1-2 0 2 2 学年高三上学期期初学业质量监测数学试题）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1 人，则不同

11、的选取方案数为（）A.1 0 B.2 0 C.5 4 0 D.1 0 8 0（2）（内蒙古包头市2 0 2 1-2 0 2 2 学年高三上学期起点调研考试数学（理科）试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1 个村的脱贫工作，甲村安排1 名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有 种.【答案】（1）A （2）6 0【解析】（1）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1 人，即 6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1 个，等价于6个相同的小球分成3 组，每组至少1 个，将 6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有废=1 0

12、 （种）方法,即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1 人，不同的选取方案数为1 0.故选：A（2）先选一个人安排到甲村，有优种方法；再从剩下的5个人中选2 个人安排到乙村，有C；,最后把剩下的3个人安排到丙村，有C；种方法，根 据 乘 法 分 步 原 理 共 有=6 0 种方法.故答案为：6 0【一隅三反】1.（宁夏大学附属中学2 0 2 1 届高三三模数学）从 2名教师和5名学生中，选 出 3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是()A.2 0B.5 5C.3 0 D.2 5【答案】B【解析】根据题意，从 2名教师和5名学生中，选

13、出3人，有仁=3 5 种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有G =1。种，则有3 5-1 0 =2 5 种不同的选取方案，故选：B.2.（广东省茂名市2 0 2 1 届五校联盟高三下学期第三次联考数学试题）国外新冠肺炎不断扩散蔓延，2 0 2 1 年元月在我国本土疫情呈零星散发与聚集性疫情交织叠加态势，本 着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”精神，某地8名防疫工作人员到从B、a 四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1 个社区、力社区安排1 名、6 社区安排2 名、C 社区安排3 名，剩下的人员到社区，则不同的安排方法共有（）A.39 种 B.1 6 8 种C.1 26 8 种 D.

14、1 6 8 0 种【答案】D【解析】首先从8名工作人员中选1 名去/社区，方法数有C；然后从其余7 名工作人员中选2 名去4 社区，方法数有C；再从其余5 名工作人员中选3 名 去 社区，方 法 数 有；最后剩下的2 名工作人员去社区，故 不 同 的 安 排 方 法 共 有=1 6 8 0 种.故选：D.3.（黑龙江省哈尔滨市第九中学20 21 届高三第三次模拟考试理科数学试题）从将标号为1,2,3,9的 9个球放入标号为1,2,3,9的 9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A.8 4 B.1 6 8 C.240 D.252【答案】B【

15、解析】根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3 个球，即从9个球中取出3 个，有C；种，而这3 个球的排法有2X 1 X 1=2种，则共有2第=1 6 8 种,故选:B.4.（浙江省嘉兴市20 21-20 22学年高三上学期9月基础测试数学试题）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1,2,，9,从盒中任取3 个球，则取出的3 个球的标号之和能被3整除的概率是；记彳为取出的3 个球的标号之和被3 除的余数，则随机变量彳的数学期望 E（J）=【解析】从 9个球中任取3 个 球 有=8 4种不同的方法,1-9 中能被3 整除的有3,6,9,除 3 余 1 的有1,4,7,除 3 余 2 的有2

16、,5,8,故 将 1-9 划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3 的倍数，每个类别抽1 个的三个数和也为3 的 倍 数（其余数为0+1+2=3为 3 的倍数），所以在其中取出的3 个球的标号之和能被3 整除的情况有3+=30 种，所以取出的3 个球的标号之和能被3 整除的概率p=30=28 4 1 4,由题意知的所有可能取值为0,1,2,取出的3 个球的标号之和被3 除 余 1 的情况有：标号被3 除余数为1 的球1 个和标号被3 整除的球2 个；标号被3 除余数为1 的球2 个和标号被3 除余数为2 的 球 1 个；标号被3 除余数为2 的球2 个和标号被3 整除的球1 个.则（）=坐

17、上，.V Cl 8 4 28取出的3 个球的标号之和被3 除余2 的情况有：标号被3 除余数为1 的球2 个和标号被3 整除的球I 个；标号被3 除余数为1 的球1 个和标号被3 除余数为2 的球2 个；标号被3 除余数为2 的球1 个和标号被3 整除的球2 个，则P =2）=空卫=2,V 7 C；8 4 285 9所以 E（J）=0 x +l x 二I ,1 4 2839 27+2 x =28 285 27故答案为：1 7;痴.考点三排列组合综合运用【例 3】（1）（重庆市第十一中学20 22届高三上学期9月月考数学试题）重 庆 1 1 中本学期接收了 5 名西藏学生，学校准备把他们分配到4

18、 B,。三个班级，每个班级至少分配1 人,则其中学生甲不分配到4 班的分配方案种数是（）A.7 20 B.1 0 0 C.1 50 D.345（2）.（河北省唐山市20 22届高三上学期开学摸底数学试题）现有4 份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1 份，则不同的分法共有（）A.1 0 种 B.1 4 种 C.20 种 D.28 种【答案】（1）B （2）B【解析】（1）根据题意，分 2 步进行分析:将 5名学生分为3 组，若分为3,1 的三组，有C；=1 0 种分组方法,若分为2,2,1 的三组，有CC1 5 种分组方法,则有1 0 +1 5 =25 种分组方法，将甲所在

19、的组安排在B或 C班，剩下2 组任意安排，有2 x 2=4 种安排方法,则有25 x 4=1 0 0 种分配方案：故 选:B.（2）4 份不同的礼物分成两组有两种情况：1 份和3 份；2 份和2 份;r 2r 2 所以不同的分法有C；C；A；+卡A；=4x l x 2+、x 2=1 4种,故 选:B.【一隅三反】1.（20 21 年高考最后一卷理科 数 学（第六模拟）20 21 年1 月1 8日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共1 0 个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某

20、同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4 个依次进行分析,若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情 况 有（）A.470 4种 B.280 0 种 C.2688 种 D.3868 种【答案】A【解析】同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8 个初选名字中选出2 个，再进行排列即可，有C；&用=336种情况；哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8 个初选名字中选出3 个，再进行排列，有C；C；A：=2688 种情况；哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8 个初选名字中选出4 个，再进行排列，有 人=1 680 种情况；二 不同的分析情况共有336+2688

21、+1 680 =470 4种.故选：A.2.（上海市静安区20 21 届高三二模数学试题）在 1,2,3,4,5,6,7 中任取6 个不同的数作为一个3 行 2 列矩阵的元素，要求矩阵的第2 行的两个数字之和等于5,而矩阵的第1行和第3 行的两个数字之和都不等于5,则可组成不同矩阵的个数为（）.A.20 4 B.260 C.384 D.480【答案】C【解析】两个数字之和等于5 的情形只有两种：2+3=1+4=5.下面先考虑第二行选取1，4 作为元素，有 C；种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2,3 中 的 一 个 有 种 方 法，若 2,3 都选取，则有C：C；用种方法.由乘法原理可得:

22、C；（C；.A；+C：C；1）方法.同理可得：第二行选取2,3 作为元素，也有C；（G C：A；+C：G 由）方法.利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2xC；（C；.C：.A；+C：C；&）=384种方法.故选：C3.（山东省临沂市沂水一中2021届高三二轮复习联考（一）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门 选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.60种

23、 B.78种 C.84种 D.144种【答案】B【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为U,2 或0,3 或0,2,2若是U,2,则先将4 门学科分成三组共c：c；c；A；种不同方式.再分配到三个学年共有A；种不同分配方式，由乘法原理可得共有A；=36 种,若是0/，3,则先将4 门学科分成三Cc；c；6组 共 种 不 同 方 式，再分配到三个学年共有用种不同分配方式，由乘法原理可得共有C：CA；=24 种,若是0,2,c：c；2,则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有用种不同分配方式,由乘法原理可得共有=18 种所以每位同学的不同选修方式有36+24+1

24、8=78种,故选：B.4.（山 东 省（新高考）2021届高三模拟冲关押题卷（二）数学试题）2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊 5 名医生到湖北的A,B,C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1 名医生，则 城市恰好只有医生甲去支援的概率为【答案】点7【解析】分两步，第一步，把 5 名医生分成三组，有 1,1,3 和 1,2,2 两种分法,当分成1,1,3时，有C；=10种情况，当分成1,2,2时、有;C；C：=15种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有25国=150种

25、情况.A城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有&=14（种），因此所求概率尸=苣14=京7.故答案为：得5.（江西省南昌市第三中学2021届高三下学期第八次月考试数学（理）试题）南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有一 种.【答案】156【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有=6种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C；=5种情况，最后C2C2将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有竿=6种情况，所以小李和小王不受限制的排法有6x5x6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C；=4种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C；=3种情况，最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2x4x3=24利所以小李和小不在一起的排法有180-24=156种，故答案为：156