2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A=-2,-1,0,1

2、,2,8=|0”无 9，则 AD3=（）A.0,1,2 B.-2,-1,0 C.0,1 D.1,2 2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取1 0位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1 0位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于7 0%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若 z=l+i.贝”i z +3 z-|=（）A .4-J 5 B .4-J2 C

3、.2-J 5 D .2-J14.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1.则该多面体的体积为（）mA.8 B.1 2 C.1 6 D.2 05.将函数/（x）=s i n（&+匹,0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若I 3 J 2C关于y轴对称，则M 的最小值是（）6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）7.函数/（无）=（3 -3-v）c o s x在区间土 的图像大致为（L 2 2)8.当x=l时，函数/1（）=。1 1 1+2 取得最大值-2,则/=（）XA.-1 B.-C.D.

4、12 29.在长方体ABCD-A5GA中，已知3。与平面A B C。和平面A 4乃乃所成的角均为30。，则（）A.AB=2AD B.A B与平面AgCQ所成的角为30。C.A C=C Bt D.坊。与平面B8CC所成的角为4 5。1 0.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为和吃.若 申=2,则-中=（）%匕.A.-Js B.2-J1 C.-JlQ D 241 1.已知椭圆c：之+4=i（a 0）的离心率为1，A，4 分别为c 的左、右顶点，a b 3B为C 的 上 顶 点.若 丽;BA2=-,则 C 的方程为（）A.4-2.=1 B.+2

5、 1 =1 C.+21=1 D.18 16 9 8 3 2+V-=121 2.已知 9 =10,。=10 _ 1 1,=8 m _ 9,则（）A.a O b B.a h 0 C.b a 0 D.h O a二、填空题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 20分。13.已知向量。=（加,3）,6=（1,?+1）.若 a 上 b,贝 ij.14.设 点 M 在直线2 r+y _ 1 =0 上，点（3,0）和（0,1）均在初以上，则盟M 的方程为15.记双曲线。：与 一 彳=1（。0,0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与 C b无公共点”的 e 的一个值_ _ _ _ _ _ _

6、_ _ _ _ _ _ _.AC16.已知ABC 中，点。在边 8 c 上，ZADB=120,AO=2,CD=2BD.当 取AB得最小值时，BD=.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 6 0 分。17.（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A 和 B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能 否 有 90%的把握认为

7、甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?准点班次数未准点班次数A24020B21030(a+b)(c 4-d)(a+c)(b+d)P(K2.k)0.1000.0500.010k|2.7 0 6 3.8 4 1 6.6 351 8.(1 2 分)记 为 数 列 4 的 前 几 项和.已知 生一.9t(1)证明：4 是等差数列；若 久,%,偈 成等比数列，求 S,的最小值.1 9.(1 2 分)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底 面 A B C。是边 长 为 8 (单位：cm)的正方形，盅,F B C,GCD,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面A3

8、 CO垂直.(1)证明：E 尸 平 面 A8CO；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).2 0.(1 2 分)已知函数/(x)=-x,g(x)=x:+a ,曲 线y=/(x)在点(七)处的切线也是曲线y =g(x)的切线.(1)若无=-1 ,求 a：(2)求 a的取值范围.2 1 .(1 2 分)设抛物线C:，=2 p x(p 0)的焦点为F,点 (p,0),过 尸 的 直 线 交 C于 M,N两点.当 直 线 MQ垂直于x 轴时，|加耳=3 .(1)求 C的方程：(2)设 直 线MD,N D 与C的另一个交点分别为A,B,记 直 线 M N,A3的倾斜角分别为a，A .当 -f 取

9、得最大值时，求直线A B 的方程.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2 2 .选 修 4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)f 2.1X=在 直 角 坐 标 系 中，曲 线 G 的参数方程为 6(，为参数)，曲 线 的 参 数 方 程X=为 6(s为参数).y=Js(i)写 出G的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 的 极 坐 标 方 程 为2cose-s in =0,求G与C交点的直角坐标，及G与C?交点的直角坐标.23.选 修4-5：不等式选讲(10分)已知a,b,c均为正数，且 +护+4(?

10、2=3,证明：(1)a+b+2c 3(2)若。=2 c,则1 .3.a c2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)数学(文科)参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给

11、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分._ 313.4#0.7514.(X-1)2+U+1)2=51 5.2 （满足l e（石 皆可）1 6.小 叫#-1+石三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 6 0 分.12 J1 7.（1）A,B 两家公司长途客车准点的概率分别为1 3,8（2）有1 8.（1）证明见解析；（

12、2）78 .1 9.（1）如图所示:分别取AB 的中点，N,连接 N ,因为AEA氏A F3C为全等的正三角形，所以E M A.AB,F N B C t E M =F N ,又平面E48_L 平面ABC。，平面EABc 平面A B C D =A B ,EML平面E A 5,所以EM L平面ABC。，同理可得fNJ平面A B C D ,根据线面垂直的性质定理可知 /小，而E M =FN,所以四边形E M N F为平行四边形，所以EF/M N ,又平面ABC。，M N u平面A 8co,所以EF/平面ABC。.32 0.3 卜1+8)2 1.(1)=4 x；A B :x=Jly+4（二）选考题：共

13、10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选 修4-4：坐标系与参数方程2 2 .V=6 v-2。含（）；A C 3，C 1的交点坐标为 2）（152）。3c的交点坐标为I 2人（-1,-2）选 修4-5：不等式选讲份 “2 c)2,2 4-l24-l2V (+/?+2c)22 3 .(1)证明：由柯西不等式有L 1所以0 +0 +2 c 3 ,当且仅当a=2 c=1时，取等号，所以a+力+2 c 0 ,Z?0 ,co,由()得 a+b+2 c =a+4c 3,二加即0 v a+4 c 3 ,所以 a+4c 3 ,1 1 12 22 f 1+2 f9 _+-=+N1-1=-2 3由权方和不等式知a c a 4c a+4c a+4c,1=2_ 6.J当且仅当a 4 c,即a=l ,2时取等号，1 1 c一+一 N 3所 以a c .