2022年高考数学一轮复习空间几何体的外接球精练（解析版）.pdf

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1、7.7 空间几何体的外接球（精练）【题组一汉堡模型】1.（2021 西藏拉萨市高三二模（理）已 知 三 棱 锥 的 所 有 顶 点 都 在 球。的球面上，且 43_1平面 B C D,A B =2,C D =0，A C=A D =45 则球。的表面积为（）A.瓜兀B.2C.3%D.6兀【答案】D【解析】因为45 _L平面3 c 0,所以A 3 _ L 3 C,A B 上B D，所以5 c =1，在 B C D 中，CD?=2 =B C、B D 2,所以 如图所示：三棱锥A B C D的外接球即为长方体A G F H -B C E D的外接球，设球。的半径为R，则2 R=g片+Q+皿=+1 +、

2、=后 解得R=当，76所以球。的表面积为5=4 R-=4 万x-=6万.故选：D.2.（2021 四川省华荽中学高三其他模拟（理）已知边长为3 的正 A 6 C 的顶点和点。都在球O 的球面上.若A D =6,且 A O J_平面A B C,则球。的表面积为（）A.32岳B.48C.24D.12万【答案】B【解析】由题意知：球。为二棱锥。一A B C 的外接球，AABC为边长为3 的正三角形，“A B C 的外接圆半径r=2 x一 2 =6，又49,平面4 8。，A D =6，.球0的半径R =7 3 +9 =2 7 3 .球。的表面积S =4万/?2 =4 8万.故选：B.3.（2 02 1

3、 全国高三专题练习）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为“，高为，球的体积为8卡7，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（）A.4 8 7 2 B.240 C.9 6夜 D.1 2 7 2【答案】B【解析】设球的半径为R，则3%k=8遥 乃，解得R =.如图，正四棱柱底面对角线8。=8 a，在用心。7 5 8中，由（缶）2+2=（2/?）2=4后，（瓜）2+2=2 4 2 2缶 ，；.4/2工60，则侧面积5=4。/1240，即侧面积的最大值为240 .故选：B.4.（2 02 1 辽宁葫芦岛市高三二模）（多选）在四面体A 8 C O中，ABA.AC,A C V C D,直线A 3,CD

4、所成的角为6 0 ,AB=CD=4 6 AC=4,则四面体A B C O的外接球表面积为（）A 160 有-兀3B.52KC.80KD.208兀【答案】C D【解析】当四面体A5 C 3如下图示,过A作AE/C。且AE=C D,连接无、D E、CE，且AD与CE交 于。点，则 为 等 边 三 角 形,AC0E为矩形且。点为ACQE外接圆圆心，即A C L A E,又ABJ.AC，AB A E A,二 ACJ_面/WE,ACu面 A C D E,则面 AftE，面 ACDE,过厂为AE中点，连接BF、OF,若产 为面ABE外接圆圆心，。为四面体ABC。的外接球球心，则OF=(yF=2,BF=6,

5、有 BF=4,如下图示，:.四面体ABCD的外接球半径R=JOT?-+BM=275，则外接球表面积为4兀R?=80万.当四面体ABCO如下图示，过A作AE/CZ)且AE=C D,连接BE、D E、CE，且AD与CE交于。点，则为等腰三角形,ACOE为矩形且。点为ACDE外接圆圆心，即ACLAE,XAB1AC,AB AE=A,二 4(7_1_面4?：,ACu面 A C D E,则面 ABE_L面 ACDE,过厂为AE中点，连接O F,若尸 为面M E外接圆圆心，。为四面体A5C0的外接球球心，则O F =OF=2,BF=4 6 如下图示,四面体A5CZ）的外接球半径R=yJoF2+BF2=2V1

6、3-则外接球表面积为4万A?=108万.故选：C D5.（2 02 1 山西高三三模（理）已知四棱锥P-ABCZ）的五个顶点都在球。的球面上，平面ABC。,底面A8CO是高为5的等腰梯形，AD/BC,AO=Q4=1，B C =2,则球。的表面积为（）A.10）B.4 C.5 4 D.67r【答案】D【解析】取 的 中 点E，过A作A N,3 c面A C,如图，因为 AB=CD,ADI IBC,A D =,BC=2,A N =L2所以在MVA/VB中，AN=NB=L2所以 NABC=45,AB=交,2I/y由余弦定理可知，A C2 AB2+BC2-2AB BC COSB -+4-2X X2XV2

7、 _ 522V-2故 A C*.设 底 面 外 接 圆 半 径 为r,圆心为也 球。的半径为此由正弦定理知2r=ACsin Z.ABC-V5,故 r=-,2又因为OM _L平面ABCD,OA=OP,所以/?2=（）2+/=3.2 2所以球。的表面积为S=4万R2=6a故选：D6.（2021唾国高三其他模拟（理）在四棱锥P ABCD中，已知R4 J_底面ABCD,AB BC,AD1CD,且ZB 4）=12O,B4=AB=A=2,则该四棱锥外接球的体积为（）A.4信 B.誓 C.也，D.20#）兀3 3【答案】C【解析】如图所示,连接AC，设AC的中点为G因为所以AC是底面ABCD外接圆的宜径，又

8、 AB=AD=2，所以 Rt_AB8Rt_AD C，又/BAD=120,得 NBAC=ZDAC=60,又B4_L底面 ABC。，则 Q 4L A C,所以NR4c=90,即PC是球的直径，则PC的中点。为球心，连接OG,AO,PA易知O G/PA,所以OG=1,月.OGJ底面ABCZ2A.R在 R f ABC 中，A C=-=4,则 AG =2,c os6 00 2又在RhAOG 中，球半径Q4=GO G2 +A G 2=6,则该四棱锥外接球的体积V =d万（右）3 =乎 万.故选：C7.（2 02 1 南昌市八一中学高三三模（文）设直三棱柱ABC-A8 1 c l的所有顶点都在一个球面上，且

9、球的体积是4 而 兀,A B =A C=AA,ZR4 c =1 2 0,则 此 直 三 棱 柱 的 高 是 .3【答案】2历【解析】设 A B =AC=A 4,=2 机.1NBAC=1 2 0，.Z ACB=3 0，于是W；=2 r（r 是右ABC外接圆的半径），r =2m.sin 3 00又球心到平面A B C的距离等于侧棱长AA的一半，球的半径为J（2Z）2+M =5 m 二 球的体积为壮丁x（石3 =40/15万,3 3解得机=收.于是直三棱柱的高是A、=2 m=2 Pl.故答案为：2&.【题组 二 墙角模型】1.（2 02 1 沈阳市）（多选）一棱长等于1 且体积为1 的长方体的顶点都

10、在同一球的球面上，则该球的体积可 能 是（）A&R&乃 n石A.-兀 B.r e C.n D.J i2 2 2【答案】B C D【解析】设长方体未知的两棱长分别为a,b,则 访xl=l,a b =,设外接球半径为R，则2 R =,4 77 球体积为V =2乃&3=工（42+/+）2,a2+b2 2 ab2,当且仅当a =Z?=l时等号成立，3 6同所以K N上 万.故选：B C D.22.（2 02 1 黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考（文）长方体g的长、宽、高分别为2,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为_ _ _ _ _.【答案】9乃【解析】因为长方体的外接球。的直径为长方体的

11、体对角线，长方体的长、宽、高分别为2,2,1,所以长方体的外接球。的直径J 4 +4+1=3，3故长方体的外接球。的半径为r =一，2所以球。的表面积为5 =4万尸=9万.故答案为：9万3.（2 0 2 1 贵溪市实验中学高三其他模拟）棱 长 为 正 的 正 四 面 体 的 外 接 球 体 积 为.【答案】迫生2【解析】如图，棱长为 近 的 正四面体可以嵌入到梭长为1的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为H，则R =3,2所以立方体外接球的体积V =W乃=d乃正=且）.3 3 1 2 J 2故正四面体的外接球体积 为 走 .2故答案为：4 3万24

12、.（2 0 2 1 云南红河哈尼族彝族自治州高三 三 模（文）在三棱锥P A 5 c中，已知E 4，P B,P C两两垂直，且Q 4=l，P B =2,P C =3,则三棱锥。一A B C的外接球的表面积为【答案】14万【解析】以线段PA,分，先为相邻三条棱的长方体PABB-C A P C 被平面力勿所截的三棱锥P-A B C符合要求，如图：长方体P A B B-C A P C 与 三 棱 锥A B C有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线P P,长,设外接球的半径为 R，则（2 R）2 =PP2=P A2+P B2+P C2=l2+22+32=14,则所求表面积S=4兀R?=兀-（2 R

13、）2=14 7.5.（2 0 2 1 吉林长春市高三其他模拟（文）己知正四棱柱（底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱）的底面边长为3,侧棱长为4,则其外接球的表面积为【答案】3 4乃【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为d =+3?+4?=国,因此其外接球的半径为 =叵，则其表面积为5=4乃户=3 4 4，故选:反26.（2 0 2 1 河南高三三模（理）在四面体S-A B C中，A B C,三内角3,A,。成等差数列，S 4 =A C =2,4 5 =1,则该四面体的外接球的表面积为【答案】8兀【解析】由题意，内角氏A,C成等差数列，可得2 A=3+C,71因为A+8+C =，可得3 A=，

14、即A=3在，A 6C中，由余弦定理可得c o s 4 =1二+-=12b c 2Hn2 +1 (T 1 3,0 r 即-=，国 牛 得a=、/3，2 x 2 x 1 2所以k=c 2+，所以A3 _ L3 C,所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得（2/?）2=2 2+产+（百）2,解得尺2=2,所以该四面体的外接球的表面积为S =4万A?=8万.7.（2 0 2 1 贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高三三模（文）如图，在.A B C中，A B =A C=拒，c o s Z B A C =-,。是 棱 的 中 点，以A O为折痕把八4。折叠

15、，使点C到达点C的位置，则当三3棱锥C-A B。体积最大时，其外接球的表面积为A【答案】5 n【解析】在4 A B e中，因为A3 =AC=6，co s,ABAC =由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos A=3+3 2xx/3 xy/3x（）=8.P/r以 BC=2/2，当CD工B D,即C O,平面ABO，三棱锥C ABO体积最大，此时CO、OB、D 4两两垂直，可把三棱锥补形为个长方体，且长方体长、宽、高分别为：1,0，正，所 以 三 棱 锥A3。的外接球半径为：DyjBD2+AD2+C D2+（可+（血）=昱,222所以外接球的表面积为：S=4兀/?2 =4乃x（）

16、2 =5兀.8.（2021 南昌市八一中学高三三模（理）在三棱锥产一 ABC中，点A在平面PBC中的投影是一PBC的垂心，若一ABC是等腰直角三角形且AB=AC=1,PC=B 则三棱锥P-ABC的外接球表面积为【答案】4 解析】设PBC的垂心为H，连接BH,C H,AH则AH 平面P8C,如图所示：由垂心知，BH V PC,CH VPB.又 A H J.P C,BH A”=H 则 P C，平面所以。，4 3，又4 5 1.4 7 ,PC cA C =C，所以AB_L平面PAC，得A3_LR4同理AC，PA所以AR AB,A C两两垂直，则三棱锥。一 ABC的外接球是以ARAB,AC为长宽高的长

17、方体的外接球,故 2/?=AP2+AB2+AC2=JPC2-A C2+AB2+AC2=+1 =2所以R=l，三棱锥P ABC的外接球表面积为4万9.（2021 辽宁朝阳市 高三二模）已知三棱锥S-A B C的三条侧棱SA SB,SC两两互相垂直且AC=A,A B =B 此三棱锥的外接球的表面积为14不，则8C=【答案】M【解析】设SA=x,S3=y,SC=z,由题意可得：x2+z2=13,x2+/=5,y2+z2=fiC2,三棱锥的外接球的表面积为14%，三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径2K,所以 2R=yjx2+y2+z2，4兀R。=14，可得 J?+y2+z2=4

18、,解得 x=2,y=l,z=3,所以 5C=J v +z2=瓦.故答案为：Vio10.（2021 广西来宾市高三其他模拟（理）三棱锥尸一 ABC中，/%_!_ 平面ABC,直 线 与 平 面ABC所成角的大小为30。，AB=2 6 NACB=60。，则三棱锥P-A BC的 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】20万【解析】如图，设外接球的球心为。，设,A6C的外接圆圆心为。,因为B 4,平面A B C,所以NPBA为直线PB与平面ABC所成角，即NR4=30，所以tan Z.PBA=人 AB=20，所以 74=2，所以。1 =二PA=1，AB 3 2设，A 5C的外接圆半径为此则由正弦定理

19、可得2R=辿1_=4,解得R=2，sin ZACB sin 60则在口。4中，OA=d f+爰=#,，则三棱锥P ABC的外接球表面积为4 c（右门=20人故答案为：20%【题 组 三 斗 笠 模 型】1.（2021 黑龙江齐齐哈尔市高三二模（文）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为2%的扇形，则该3圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）243 128 128 256A.-B.-C.-D.-256 243 729 729【答案】C2【解析】设圆锥的母线长为/,则展开后扇形的弧长为一万/,32再设圆锥的底面圆半径为r,可得2万厂=一万/,即/=3r,3圆锥的高为h=殍/=的 产 元=2而，4(9r

20、 丫243兀，圆锥外接球的体积匕272、一丁 兀r 128.该圆锥的体积与它的外接球的体积之比 为 必-=故选：C.24 3兀/7 2932立2.（2021 全国高三其他模拟（文）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，圆锥的母线长为3,侧面展开图的面积为3万，则 球。的表面积等于（）12U812U2【答案】A【解析】设底面半径为r,圆锥母线为/=3,所以 =3 r =3，所以/*=1，如图，AABC是圆锥轴截面，外接圆。是球的大圆，。是圆锥底面的圆心，设球半径为 R，则 A 3=3,B D =1，所以 A Z）=，9 .1 =2近，如图 1，B O1=B D2+O D2,即&2=1+（4

21、0-4。）2=1+（/?-2立）2,由于圆锥的侧面展开图是半圆，则 加=2万 厂，可得/=2r =2j 5，.=一r 2 =3,由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，所以，R+，=R2,解得R=2,因此，该圆锥的外接球的表面枳为4万 代=16万.故选：B.4.（2021 河南高三月考（理）一圆台的两底面半径分别为2,4,高为4 ,则该圆台外接球的表面积为（）A.4 8万 B.6 4 7 r C.6 5乃 D.6 8万【答案】C【解析】设该圆台的外接球的球心为。，半径为小则-4 +/产-16 =4或一4=4+1,-16 1解得,所以该圆台的外接球的表面枳为4万户=6 5万.故选：C.

22、5.（2021淅江高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为胃,面积为3万，则球。的表面积等于（）8 U 8 1万 12UA.-B.-C.-8 2 8【答案】A12U2【解析】设圆锥母线为/,底面半径为r,27 1r 2 万则/37 r l2 x =3乃31 =3，解得,r -1如图，A ABC是圆锥轴截面，外接圆。是球的大圆，设球半价为R,cos ZABCr 1 2J 2-=s i nZABC =!I 3 3I _ 3 _ 9x/2sin ZABC 242 4，39后所以球表面积为S=4 R2=4*8br8)故选：A.6.（2021 天津南开区高三一模）已

23、知一个圆锥的底面半径为2,高为3,其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（）r-8百4万A.4四 B.巴二兀 C.47 D.3 3【答案】D解析设球的半径为R，圆锥的体积 为:万x2?x3=47，由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则447?2=4 乃，.R =1,4 4因此，该球的体积为V=一万x =乃.故选：D.3 332%7.（2021 天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为一，3两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）A.3兀 B.4）C.9兀 D.127r【答案】B【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。,设圆铢A

24、。和圆锥3。的高之比为3:1，即 AD=3BD,设球的半径为R,则 士 曳=%多，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4，3 3所以，B D=1，AO=3,CD LA B,则 NC4O+ZAC。=NBC。+ZAC。=9 0，所以，N CA D=/B CD，又因为 NAZ）C=NBC,所以，A A CD A C B D,所 以 =左,：CD7AD BD=5CD DU因 止 匕，这两个圆锥的体积之和 为:万、。2.（4。+8。）=；万*3*4=4万.故选：B.8（2021 全国高三专题练习（理）设圆锥的顶点为A,BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点（异于3、C）,若BC=4 8，三

25、棱锥A PBC的外接球表面积为64%，则圆锥的体积为.【答案】24万或8%【解析】设圆锥A。的外接球球心为M，则M在直线AO上，设球 的 半 径 为 则4 户=6 4 ,解得尸=4.由勾股定理得8例2=。用2+0 2,即42=（2 6+0加2,可得O河=2,即 OM=|AO-r|=|AO-4|=2,解得 AO=6或 AO=2.当AO=6时，圆锥4。的体积为丫=；乃x（2百 丁乂6=24万；当4 9 =2时，圆锥A。的体积为丫=$x（2 Gx2=8万.故答案为：8%或24乃.【题 组 四L模型】1.（2021 宁夏银川市贺兰县景博中学高三 二 模（理）如图所示，在三棱锥A-3C。中，平面ACD，

26、平面BCD,A A C 0是以C为斜边的等腰直角三角形，A B L B C,AC=2CB=4,则该三棱键的外接A.3 2万B.4()不C.叫3D.6472-713【答案】B 解析设C O中点为M，连接A M .因为AACD是以C D为斜边的等腰直角三角形，A C =2 C B =4所以 AM=O M=C M=2 0，A M L C D,过点M作M N，CD，因为平面A C D，平面B C D，平面ACDQ平面B C D =C D所以MN_L平面AC。，AM，平面BCD，所以三棱锥的外接球的球心在M N上，设外接球的半径为火,A则由 A B _ L B C 得 A B =2j L 由 AM，5

27、M 得 B M =2=B C,又因为 5M 2 +BC?=0 0 2,所以_ B CM为等腰直角三角形，设球心为O,C M中点为P,连接B P，则 M P =C P=B P =0，所以 O M =JR2 CM2=NOB2 -PM?-BP-即J/?2 _（2可=#_（2 五，解得/?=如,所以三棱锥的外接球的表面积为S =4 A?=4 0 4.故选：B2（20 21 安徽高三月考（文）已知三棱锥P-A B C的每个顶点都在球。的球面上，平面A B C J_ 平面PBC ,A C 1 B C,A C =6,A B =8,PC =PB=2/，则三棱锥。一A 3 C外接球的表面积为（）5 0A.一71

28、35 3B.713C.1 0 0 7D.3 2%【答案】c【解析】如图所示:取5c的中点“，连接P”，则尸_ L 8 C.因为；.A 5 C为直角三角形，所 以 其 外 接 圆 圆 心 为 的 中 点M，设四面体F 4 S C的外接球球心为。.则。平面ABC,易知点。，点P位于平面ABC同侧，又因为P _ L平面A3C,所以O M/P H ,连接M H，0P，故四边形0 M H p为直角梯形，过。作ON_ L P H于点N ,则四边形Q M E N为矩形，连接0 8,设四面体2钻。的外接球的半径为R,O M=d.在,ABC中，M H=A C =3,A B =8，所以A f f i =4，B C

29、 =ylAB2-A C2=2A/7在 0 MB 中，d=0 M =0B。-M B。=JR2_42=依-1 6，所以卡=/+1 6，在 APBC 中，P H =JPC2-C H2=7，在直角梯形 中，O N =M H =3,N H =O M =d,P N =1-d.在 P ON 中，O产=ON?+NP2,即&=3 2+（7 ）2.解组成的方程组，得d =3，所 以 片=3 2+1 6 =25,解得H=5（负值舍去）.所以四面体P A 3 C的外接球的表面积S=4兀R?=4万x 5 2=1 0 0万.故选：C3.（20 21 江西抚州市高三其他模拟（文）在三棱锥O A5C中，平面A B C_ L平

30、面A 8 D,AB AD,一 式A 3 =A D =4，Z A C B =,若三棱锥。ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为【答案】80%【解析】设的外心为。，半径，三棱锥O ABC的外接球球心O,半径R,过。作AO的平行线，过。作A。的平行线，两条直线交于E，:面ABC_L面 如，面ABC 面ABE）=AB，AB AD,AO u面4处，二A O,平面A B C,又0。1平面ABC，A O O J/A D.则四边形AOEO1为矩形，而即。为中点，即0 a=2,c AB 42r=-=-=o在，A 5C中，由正弦定理得：sinZ A C B .n,所以厂=4，sin 6R2=A O2=

31、r2+00：=16+4=20,S =4TTR2=80 -故答案为：80.4.（2021 辽宁沈阳市高三三模）在四面体46切中，BC。是边长为2的等边三角形，48。是以BO为斜边的等腰直角三角形，平面平面A6C,则四面体4比。的 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】6 兀【解析】因为A3。是以8。为斜边的等腰直角三角形，所以ZM L45，乂因为平面ABO_L平面ABC，平面ABDc平面A3C=AB,ZMu平面4 2，所 以 平 面ABC,ACu平面ABC，,所以八4J_AC，所以DA=B A =C A =x 2 =e，于是A 3 L A C,即0AA氏AC两两垂直，2以DA,AB,A C为棱

32、构造正方体，正方体的外接球就是四面体A8C0的外接球，可得四面体A B C D的外接球半径R =L J（后+（伪?+（=V6,2 2所以表面积为4加g =6 兀.故答案为：6兀.【题组五矩形模型】1.（20 21 安徽合肥市高三 三 模（文）在三棱锥S ABC中，S A C =Z S B C =-,N A C B =,2 3A C=B C =1.若三棱锥S-A B C的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）377A.13万 B.C.49 D.5 2万3【答案】D7T【解析】因为NSAC=NS3C=,所以AASC和5SC为以S C为斜边的直角三角形，则S C的中点。到各个顶点的距离都相等，则。

33、为外接球的球心.即S C为直径.过S做 阳，平面A B C,垂足为H,连结“3，H A，则匕-ABC=；x SHx g x l x 1 x =1，解得：S H =4#）-71AC=3C=1,4 s A e =4 S B C =，S C =SC,:N S A C 今 S B C，则SA=SB2AH,B H分别为SA S B在平面ABC内的射影，所以有A/=由7,又AC=BC,C为公共边，所以Y A H C W B H C,则NC4=NHCB,所以在NA8C的角平分线上，Z H C A =60 A C L S A,A C 1 S H ,SA S H =S,所以有ACL平面SH4.A H u平面SH

34、4，则有ACLH4，因为AC=1，NCA=60，所以C=2,则5。=廊】涛=2屈，则/?=旧故外接球的表面积为S=4兀 R2=52乃.B故选：D.2.（20 21 甘肃酒泉市高三三模（文）已知三棱锥A 3。,4 3 =3,4。=1,3。=4,3。=2/，当三棱锥A-B C 的体积最大时，则 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】25 如图，在A 3。中，由 AB=3,A O =1,B D=2 0，可得：A D2+B D1=A B2所以A 3。为宜角三角形，由3 c =4,若要三棱锥A-BC D的体积最大，则8 C L平 面 加 时三棱锥4一8 8的体积最大，山 A B O为直角三角形，所以

35、A B O外接圆直径为A B,所以外接球直径27?=，筋2+3。2=5,/?=|,所以外接球的表面积5 =4万收=25万，故答案为：25%3.（20 21 江西南昌市高三二模（文）四面体 A 5 C O 中，Z A B C Z B C D =9 O,A B =B C =C D =2,AD =26则 该 四 面 体 的 外 接 球 表 面 积 为.【答案】1 2万【解析】由题意 NABC=ZBCZ）=9（）,AB=BC=CD=2,AE=2 6，则 AC=6O=2 血,所以钻2 +8。2=2，A B L B D，同理A CLCD,取A 0中点。，则。到A,5,C,。四点的距离相等，。即为4 3 8

36、外接球的球心，An l所以球半径为r=6 球表面积为S=4万/2=12万.2故答案为：12万.【题 组 六 怀 表 模 型】T T1.（2021 江西赣州市高三二模（文）如图，菱形ABCO的边长为6,NBAD=,将其沿着对角线3。折叠至直二面角A8 9 C,连接A C,得到四面体ABC。，则此四面体的外接球的表面积为（）A.56%B.72%C.36万 D.604【答案】D 解析】取BO的中点E，连接A E、CE，因为A3。、_CBO都是边长为6的等边三角形，且 为8。的中点，则CELBD，汽所以，二面角A BO C的平面角为NAEC，且NAC=一,2设F、G分别为A3。、_CB）的外心，过点F

37、作平面A3。的垂线R 9,过点G作平面CBO的垂线G O,设R9 GO=O,易知 =4AE=1x6sin2=J 5,同理可得EG=6，3 3 3AELBD,AECE,CE=二 短，平面CBO,.G O,平面CBD,;.A GO，同理可得OP C,所以，四边形OGEF是边长为6的正方形，ABG-U _ 2yj由 正 弦 定 理 可 得 一 短 无 一 ，：.OB=SG2 +BG2=岳，1 i因此，四面体ABCO的外接球的表面积为47x（Jj?=60%.故选：D.2.（2021 安徽高三月考（理）已知菱形A8CD的边长为4,对角线BD=4,将A3。沿着3。折叠,使得二面角A-3 O-C为120。，

38、则三棱锥A-BCD的 外 接 球 的 表 面 积 为.【解析】如图所示:将ABO沿8D折起后，取3。中点为E，连接A E，C E，则A E L B D，C E 上B D，所以Z A E C即为二面角A-B O C的平面角，所以Z A E C=120。；A8D与BCD是边长为4的等边三角形.分别记三角形A3。与BCD的重心为G、F，则 EG=1EA=，E F =-E C =-；即 EF=EG；3 3 3 3因为A3。与BCD都是边长为4的等边三角形，所以点G是ABO的外心，点F是A B C D的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为0,连接OF,0 G，根据球的性质，可得0尸_1_平面8。，OG

39、J平面45。，所 以OGE与OEE都是直角三角形，且0 E为公共边，所以 R t L O G E 与 Rt O F E 全.等,因此 NOEG=N。瓦 =，NAEC=60,2所以 O E =4 ；3因为 A E L B D，C E 1 B D,A E C E =E,且 4 E u 平面 AEC,C E u 平面 AC，所以3 0 J_平面AC；又O E u平面A E C,所以B D 上O E,连接O B.则外接球半径O B =yjOE2+B E2=2旦，31121 112万所以外接球表面积为.故答案为：.3 3【题组七其他模型外接球】1.（2021 全国高三其他模拟）在四面体ABCD中，A C

40、 =B D 2,AO=BC=后，A B =C D =行,则其外接球的表面积为【答案】8万【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别为。，b，c j a2+b2=2,则=0,解得a1+b2=4,b2+c2=5,/c2+a2=V 7,c2+a2=1,所以a?+从+。2=8，即 J q 2+0 2+0 2=2 0，从而其外接球的半径 为&，其外接球的表面积为4万x（、历了=8%.故答案为：8%.2.（20 21 贵州高三期末（理）在三棱锥S-A 8 C中，Z S B A =Z S C A =9 0,底面A B C是等边三角形,三棱锥S-A B C的体积为 百，则三棱锥S-A

41、B C的外接球表面积的最小值是（）A.12兀 B.24 C.6兀 D.1 0%【答案】A 解析】设三棱锥外接球的球心为0,三棱锥底面边长和高分别为a,k底面A B C的外接圆半径为，,则 邛由题意可知必是三棱锥S-A B C的外接球的一条直径，则匕“s c =g x-cr h-j 3 t P a2/i =1 2.4h设三棱锥S -A B C的外接球半径为R，球心到底面A B C的距离为d=一 .则23 4 h 4 h h 4故二棱锥S A B C的外接球表面积为4万R2 n 1 2%.故 选:A.3.（20 21 安徽安庆市安庆一中高三三模（文）已知球。的半径为凡4B,C 三点在球。的球面上,

42、球 心。到平面ABC的距离为AB=AC=3,NB4C=120,则球。的表面积为（）2A.48 B.16万 C.64%D.36%【答案】A【解析】.ABC中，A B =A C =3,ZR4c=120,二平面ABC截球所得圆的半径（即AABC的外接圆半径）为r=3又 球心到平面ABC的距离d=R,2球。的半径R=9+,/?2,解得R2=12，故球0的表面积S=4兀代-48万，故选：A.4.（20 21 黑龙江大庆市铁人中学高三一模（文）已知四面体ABCD中，Z B A D =60,Z B C D 90,A B =A D =2,是8。的中点，C H 1 B D,ZAHC=120,则四面体的外接球的表

43、面积为（）【答案】D如图，四面体ABCO的外接球为球。，连接OH，O A.因为NBCD=90,则为，BDC所在小圆的直径.又因为 4 4 ）=60。，且 AB=A=2，则 8D=2.又H是 的 中 点，所以4”=百.又因为 NA77C=1 2 0,则 NA/O=150或30.设球的半径为R ,则 上。彳=1.在，4 7 0中，由余弦定理知，G O H2+（-R2cos 150=-=-12 2xO/7xV32则OH=-一（不合题意，舍去）.3,n w+（扃_R2 2又 cos 30=-二 则 =可，2 2XO HXG J4/i-7 52则R2 一一=1,解得R=*U,则球的表面积为一万.9 3

44、9故选：D5.（2021 云南红河哈尼族彝族自治州高三三模（理）在棱长为8的正方体 中，尸为棱。上一点，且P到G A的距离与到A C的距离相等，则四面体P A C P的外接球的表面积为（）A.128 B.132 万 C.133 万 D.164 万【答案】B【解析】连接8。交AC于点。，连接/%、P C、P O、P B，如下图所示，在正方体ABC。一A 4 G o i中，四边形A5CD为止方形，W A C B D O,则。为A C的中点,因为B4=P C,所以PO_LAC.设=则P =8-X,易知0 Q =（AC =4夜，P O n J p i f+O b2=6+32 ,P DJCB，由已知可得

45、P 0=P O,可得8_1=&+32,解得X=2,将三棱锥。一 A C D补成长方体Q M NP-ABC D,设三棱锥P A C D的外接球半径为R,则2R =P B 7+8 z+8 2=2/，则/?=屈，因此，:棱锥P-A C D的外接球的表面积为S =4 R2=1 3 2%.故选：B.6.（20 21 辽宁丹东市高三二模）球。的两个相互垂直的截面圆。|与。2的公共弦A 6的长度为2,若 G AB是直角三角形，A QA B是等边三角形，则球。的表面 积 为（）A.9兀 B.1 2 7 1 C.1 6兀 D.2 0K【答案】D【解析】如图，过。2作直线4,平面A OZB,过&作直线4，平面A

46、O石，则4与4相交于O，。即为球心，连接A。，则AO为该球的半径，取4 B的中点C，连接Q C，Q C,因为 QA 3是直角三角形，A B =2，所以0 0 =3 4 8=1,因为A B是等边三角形，所以A B,0 2 A =2 ,因为平面Q AB_ L平面。A B,平面0 2 A B 平面q A B =A B,所以0 2 c，平面Q AB,所以a。，。，因 为 平 面G AB,所以O 0 o?c,同理Q OOC，所以四边形。2为矩形，所以 O Q =O C=1,因为。2,平面。2 4 8,所以O O z，。?4，所以QA =JocV+o.=彳淳=也,所以球的表面积为4万x（行 了=2 0 万

47、，故选：Da7.（2021 山东高三其他模拟）如图是一个由6 个正方形和8 个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球。的球面上，若十四面体的棱长为1,则球。的表面积为（）A.2万 B.4万 C.6兀 D.8万【答案】B【解析】根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示,十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同,建立空间直角坐标系，.该十四面体的棱长为i,故正方体的棱长为J 5,、.该正方体的外接球球心的坐标为0 /2 2 V 2 2 2 27设十四面体上一点为。，则。所以十四面体的外接球半径R =O D=故外接球的表面积为5=4万/?2=4万.故选：B.8.（2 0

48、 2 1 湖南高三月考）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为R的球面上，且N 8A C=g,B C =2,若三棱锥P-ABC体积的最大值为走R,则该球的表面积为（）26 4%B.汪6 4 1 6%9【答案】A【解析】如图，AABC外接圆的半径为 =2叵，当3c为正三角形（ABC的面积最大）2 s i n A B A C 3且P,0，。|三点共线时，三棱锥的体积最大.因为kB C=g s械伊+。|）=?伊+。I）=当8所以在放。0小 中，由心=。；+（）,得R 2=,故该球的表面积为 等.故选：A.【题组 八 内 切 球】1.（2 0 2 1 河 南 高 三（文）已知球。是棱长为2 4的正四

49、面体A B C D的内切球，球。与球。外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球。的表面积为（）A.24K B.12n C.8兀 D.6n【答案】A【解析】如图，设球。的半径为R，球。半径为，由正四面体的性质，取CZ）中点E，连接EA E8,AG是棱锥的高，且与两球分别切于点H,F,AO交B E于G,则AG与底面垂苴，G是底面中心.记止四面体 棱 长 为 则GE=，AE-与,3 2 6 2在 A B E中,AG=yjAE2-G E2=a,3由 /A O F A A E GV6-C L -KOF AO R 3 -=所以j=-7=-,解得 R GE AE V 3 V 3a6 a2V6a)1 2又由Q

50、H 。F（它们在平面4 5E内都与A E垂直）得 也 =4 0,OF AO即=A G 2R r a =2 4,代入解得，=木，R AR R所以球的表面积为S=4 尸=4 x（V 6）2=2 4%.故选：A.2.（2 0 2 1 江苏南京田家炳高级中学高三期末）已知直三棱柱A B C-A AG的底面力力为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A.2 5：1B.2 GlC.5：1D.75：1【答案】c【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球内切于正三棱柱时，球的半径R 等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以4=且“11 6故正三棱柱的高为2 x 正=