2022年高考《数学》二轮复习讲义（空间几何体）.pdf

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1、2022年高考数学二轮复习讲义(空间几何体)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习解 密13 空 间 几 何 体考点热度 内容索引核心考点1空间几何体与三视图核心考点2空间几何体的表面积与体积核心考点3空间几何体与球的切、接问题J解 密 高 考高考考点三年高考探源预测空间几何体与三视图2021全国甲卷理62021全国甲卷文72021全国乙卷理162021全国乙卷文162019课标全国H 16从近三年的考查情况来看，空间几何体的三视图是高考的重点，多以三视图为背景考查几何体的结构特征,一般是选择题、填空题，难度中等.空间几何体的表面积与体积

2、2019课标全国川162019课标全国H 16(2)从近三年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积.与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等.空间几何体与球的切、接问题2021全国甲卷理11刍 再 对 点 解 密核心考点一空间几何体与三视图【考法斛密】考法空间几何体与三视图第1页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习【变式解密】变式一画空间几何体的三视图1、（2021新疆乌市八中高二阶段

3、练习）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视 图 为（）【分析】由正视图和俯视图可得几何体的宜观图，由直观图可得侧（左）视图.【详解】由 正（主）视图、俯视图可得几何体的宜观图如下图所示，侧（左）视图如下图所示,2、（2021全国高一课时练习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的主视图（如图所示）的面积为8,则左视图的面积为（）第2页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习主视图A.8 B.4 C.4币 D.

4、2G【答案】C【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽即可求出面积.【详解】设该:棱柱的侧校长为，则为=8,所以。=4.该:棱柱的左视图是个矩形，如图所示，一边长为4,其相邻边长等r三棱柱底面等边三角形的高，且高为6，所以左视图的面积为4G.故选C.变式二由几何体的三视图还原几何体的形状1、（2020浙江高三专题练习）如图，在矩形A8C。中，Afi=2.8c=3,沿8D将矩形A8C。折叠，连接A C,所得三棱锥A-8C正视图和俯视图如图，则三棱锥A-8CO侧视图的面积为【答案】B【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，并

5、求得侧视图面积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面A8D_L平面8CD.过 A作 AE_L8/）,交.BD于 E,过C作CF1BD,文BD于F，根据面面垂直的性质定理可知AEJ平面B C D,。/_1 _平面4股，又CF u平面BCD则AE _ L C尸.第3页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由于四边形A8CD是矩形，所以AE=CF,所以三梭锥A-BC。的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如下图所示，其中两条直角边的长度分别等于因为所以;xA8x

6、AO=；x8D xA E=A E =击，则 AE=CF=.所以侧视图的面积为g x 卡、木=故选：B【点睛】本题主要考查求几何体的侧视图的面积，解题的关键是根据主俯视图得到平面48_1平面8（7。，并利用面面垂线的性质定理进行推理和计算，属于中档题.2、（2020全国高三专题练习（理）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有 刍 下 广 三 丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3 丈、长 4 丈，上棱长2 丈，高 2丈，问：它的体积是多少？“已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周

7、长为A.3 丈 B.6 丈 C.8 丈 D.（5+啊 丈【答案】C【分析】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3 丈，高 2 丈的等腰三角形，再第4页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习求出其周长可得答案.【详解】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高 2丈的等腰三角形,如图所示:则 8 =，AB=y/AD2+B D2=-,故周长为+3 +3 =8 （丈）.2 2 2 2故选：C【点睛】本题考查了三视图，根据正视图和俯视图，画出侧视图是解决问题的关健，属于基

8、础题.技巧点拨1 .个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度样,侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等2 .要熟悉各种基本几何体的三视图.同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线.变式三由几何体的部分视图画出剩余部分的视图1、（2 0 1 9 全国高一课时练习）在正方体A8C0-A8cA中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则侧视图可能为（【答案】A【分析】根据正视图和俯视图在正方体中取三个顶点和-条

9、棱的中点进行验证可得.第5页，共15页2022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习【详解】根据已知条件得，三 棱 锥 在 正 方 体 中 的 位 置 如 图 中 所 示,故 选 A.【点晴】本题考查了根据几何体的正视图和俯视图作左视图,属于基础题.2,（2021全国高三专题练习（理）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C【分析】本题苜先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，

10、即可得出结果.【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，A 中的视图满足作图法则:8 中的视图满足作图法则:C 中的视图不满足锥体的顶点在左前方；。中的视图满足作图法则，故选C.【点贷】本题考查了三视图的相关性质，主要考查了三视图中的生视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现 基础性，是简单题.核心考点二空间几何体的表面积与体积工【考法解密】考法空间几何体的表面积与体积【变式解密】变 式 一 柱 体、锥体、台体的表面积与体积I、（2019云南丽江高一期末）若一个正三棱柱的三视图如下

11、图所示，则这个正三棱柱的体积 为（）第6页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习主视图 侧视图A.2 G B.4G C.6 8 D.8G【答案】D【分析】首先还原三棱柱，然后结合三视图求出所有棱长，即可求出体积.【详解】根据几何体还原三棱柱，如图：结合三视图可知：A l e 。：定=4 人=2,2故 SJSBC=x =4 石.所以体枳 V =2x SA A B C=8 /3 .故选：D2、（20 22全国高三专题练习）若某正方体被截去一部分后的空间几何体的三视图如图所示,根据图中数

12、据，可 得 该 几 何 体 的 表 面 积 是.【答案】4 8 +1 27 3【分析】由:.视图可知.该几何体是将一个棱长为4的正方体沿着如图1 所示的截面去之后剩卜的几何体如图2 所示，从而可求出其表面积【详解】由 三 视 图 知，该几何体是将个极长为4的正力体沿着如图1 所示的假面E F G H M N假去之后剩卜的几何体如图2 所示.第7页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习表面积为3.；）2+2x4+3*+6、乎（2匈=48+1 2 6所以该几何体的表面积为48+1

13、26.故答案为：48+12万图1图23、（2021全国高一课时练习）已 知 四 棱 锥ABC。的高为，其三视图如图所示，其中主视图为等腰三角形，左视图为直角三角形，俯视图是直角梯形.（1）求主视图的面积；（2）求四棱锥P-A 8 C D的侧面积.【答案】（D 7 2;（2）21也1空.2【分析】（D由三视图还原直观图，进而求棱锥的高，结合主视图即可求面积.（2）过A作AEC。交8 c于E,连接P E,易知是8 c的中点，且P4J.A8、PAJ.AD.P E 1 B C.P D L C D,进而求P-A8C。的侧面积.【详解】（1）将所给三视图还原为直观图，如图所示的四棱锥P-A 8 8,其高为

14、小,：.PA=0,故主视图的面积S=gx2x应=0.第8页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习(2)如图所示，过 A 作 任 8 交 BC于 E,连接PE,由 AO=EC=：8C=L E 4_L A E,则 E 是 BC的中点且 BE=CE=l,AE=CD=,BC1 AE,由(1)知：4_1_面 48。，AB,A R S u 面 ABC,则 E 4J.A 8,PAAD,PA LC D,由 C D _LA D,又 A c%=A,即 CO_L 面尸A。，P)u 面 PA。，有 CD

15、人 PD,:.AB=6.P D =6 y.PE2=PA2+AE2=3,得 PE=5四棱锥P-ABC。的侧面积S=S,8+S PAD+S PCD+S p B c=k 0 x&+k&l +L l x 6 +.x 2 x G=2+3z.rA D 二 ；.r.U.ro,22 2技巧点拨求解几何体的表面积或体积的方法：（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.变式二球的表面积和体积1、（2021全国高一课时

16、练习）已知A,8 是球。的球面上两点，ZAOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥。-A BC 体积的最大值为3 6,则球。的表面积为（）A.36T B.647r C.1281 D.144作【答案】D【分析】根据给定条件确定出：.校推O-A BC体枳最大时的点C 位置，卜求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为R，因4 0 8 =9 0 ,则AAOB的面 积 8而%，且AAOB面积为定值则.与点C 到平面AO8的距离最大时，力最大，于是，当C 是与球的大圆面AO8垂直的直径的端点时，：.棱锥0-ABC体积最大，最大值第9页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研

17、考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习为D=3 6,解得R=6.3 2所以球。的表面枳为4”*=4 1 x 6,=1 4 4”.故选：D2、（20 22全国高三专题练习）已知球。是正三棱锥4 田C O （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，8 c=3,AB=2右,点 E在线段8。上，且 8 D=3 8 E.过点 E作 球 O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A.2乃 B.3 n C.4 万 D.5 万【答案】A【分析】如图，。1 是 A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出。iE=l,当截面垂

18、直于0时，截面面积最小，求出假面圆的半径即得解.【详解】解：如图，。1 是 A在底面的射影，由正弦定理得，A8CO的外接圆半径弓=X =/3 ；1 sin 6 0 0 2由勾股定理得棱锥的高A OI =J（2后-6=3：设球。的半径为R 则 代=（3 R +J 5 2,解得R =2,所以。=1：/（8OE中，由余弦定理得 炉=l +3-2 xlx&x =l.所以。=1；所以在。1 中，O E=丘;当截面垂”于。时，截面面积最小，此时半径为麻 石 F =0，截面面枳为2万.故选：A技巧点拨有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中网的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R

19、及截面圆的半径/之间满足关系式：=核心考点三空间几何体与球的切、接问题C 考法解密考法空间几何体与球的切、接问题【变式解密】第1 0页，共1 5页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习变式一与球切、接求表面积与体积问题1、（2021黑龙江佳木斯一中高三阶段练习（理）九章算术是中国古代的一部数学著作,著作中记载：“刍亮者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.茏，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍登字面意思为茅草屋顶现有一个刍整如图所示，四边形4 8 c o是边长

20、为4的正方形，A AOE与 BCF是等边三角形，EFUAB,A B=2 E F,则该刍死的外接球的半径为（）.25/253 71014A.-B.-11 1124 254 n /|018II 11【答案】A【分析】连接AC B D交于点。,过。点作OOf _L平面A 8 O设O 为外接球的球心，取 皿 叱 的中点分别为G,H,证得BC_L平 面 历H G,求得。=闹口=而，设8=X,得 到 o，=J T i-x，结合求得截面性质，列出方程，即可求解.【详解】连接AC,B D交干点。，过。点H 3 JL平而ABCD.因 为 四 边 形 为 正 方 形，所 以 外 接 球 的 球 心 在 上，设O

21、为外接球的球心，取AD.8 c的|点分别为G,H,连接E G、F H ,因为夕 48,48 G”，可得 EF /GH,因为尸为等比:角形，所以E 7/L8C,W J B C L G H.E H AGH=H ,所以 B C L 平面 EFHG.因为AB=4=2 E F,所以AO=2忘.尸=2,所以 EW=1,EO，=AO，=R,因为尸，=2 6，所以MO=JFT，设 8=x，则。，=而 一,所以 W=4 O、OO*2 EO2=E M2+M O 2,所以/+8=1 +（而7）2,即9+X2 =1 +U-2 EX+X2,解得2折 =4,即*=当，所 以 内=AO2=A O2+OO2=8+=.所以 R

22、=怪=2 1.|11 V ii 11故 选:A.第1 1页，共1 5页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习2,（2021全国高三专题练习（理）已知在.ABC中，角人氏C所对的边分别为“也c,且a=2,A=J.又点4及C都在球。的球面上，且点。到平面A8C的距离为石，则球。的体6积 为（）A.12”【答案】C63乃C.36万D.45万【分析】设三角形4 8 c的外接圆的圆心为0.根据球的截面性质可知。平面ABC利用正弦定理求得A。：计算球的半径，进而求得体积【详解】设三角形ABC的外接圆的圆

23、心为C根据球的截而性质可知。平面A8C,如图所示，：a=2,A=,.ACy=-=2,6 2sinA/.OA=yAO2+OO2=4 F 7 5 =3,二球的体枳为 V=1乃R=36”,故选：C.3、（2021全国高一课时练习）已知A,8是球。的球面上两点，4 0 8 =90,C为该球面上的动点，若三棱锥0-A 8 C体积的最大值为3 6,则球。的表面积为（）A.36乃 B.64乃 C.1284 D.144乃【答案】D【分析】根据给定条件确定出：棱锥0-A 8 C体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为R.因NAO8=90。，则AAOB的面积5 2呢=3*,而%-ABC =

24、%-皿1.MAAOB面枳为定值，则当力（到r而AO8的距离最大时，力TSC最大,F是，当C是与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,瓒 锥。-A B C体积最大,最大值第12页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习为g x；R =3 6,解得R=6,所以球。的衣面积为4万7?2=4 6 =1 4 4小故选：D技巧点拨1 .解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.2.构造法在定几何体外接球

25、球心中的应用常见的构造条件及构造方法有：（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条校两两垂直的四面体、相对的棱相等的三极锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体：（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体：（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体.3 .性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O与截面圆圆心。的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.4 .记住几个常用的

26、结论：（1）正方体的棱长为小 球的半径为反对于正方体的外接球，2/?=小小对于正方体的内切球，2 R=a；对于球与正方体的各棱相切，2 R=皿.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,球的半径为R,则2）=7屏+6+理.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ：I.变式二与球切 接有关的几何体的最值问题1、（2 0 2 2四川泸州高二期末（理）一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）4 3 八A.-7 r B.-C.一加 D.13 2 2【答案】B【分析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时

27、，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.【详解】由题意得：此几何体为半径为I的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，第13页，共15页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习此时长方体的体对角线为球的直径,设长方体长为孙 宽 为 九 耳由题意得:V +7+i=2.解得：X2+/=3.而长方体体积为个4 4匚=之，当且仅当x=y =逅时等号成立，2 2 2故选：B2、（2022全国高三专题练习）三棱锥S-A 8 C的各个顶点都在球。的表面上，且.、A8

28、C是等边三角形，SA1底面ABC,SA=4,AB=6.若点O在线段8上，且A=3 S Q,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为（）A.34 B.4k C.8/r D.13乃【答案】A【分析】如图，设A的外接Ml的圆心为G,求出A G和外接球的修仝/?.取S4的中点E,求出。，即得解.【详解】如图，设AASC外接圆的阴心为G,则外接圆半径AG=g x 3 G =2 G，s设三棱锥S-A B C的外接球的球心为。，则外接球的半径R=J（2总尸+2?=4.1）_ E取 M 的中点 E，由 必=4,AD=3 S D,得E=1，.0=（2用+由=9.则过点。的平面核球。所得截而圆的最小步径为也、（呵

29、=751 过点。的平面截球。所得假面的最小面积为”（6）2 =3”.故选：A3、（2021河南商丘高二期末（文）棱长为8的正方体密闭容器内有一个半径为2的小球,小球可在正方体容器内任意运动，则在运动过程中，小球表面上的点与正方体表面上的点之间的最大距离为（）A.6 5 2 B.6 6 +2 C.8 6-1 D.8 G-2【答案】B【分析】根据题意可知，当小球位于正方体角且与三个相邻面相切时，球心所在的体对角线上的远端点与该体对角线与小球一个交点之间 X-的距离最大，即可求出.【详解】如图所示：当小球位于正方体一个角且与三个相邻面相切时小球表面上的点P与正方体衣面上的点G之间的距离最大,ClP=ACt-AO+R=-2 y f3 +2=6y/3+2.技巧点拨第1 4页，共1 5页1/152 0 2 2年高考数学二轮复习讲义（空间几何体）精 研 考 纲！）1纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积最值问题.求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解.第1 5页，共1 5页1/1 5