2022-2023学年吉林省长春市高一年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学 年 吉 林 省 长 春 市 高 一 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 I.设 集 合 吨 Tx2,5=xeN|0 x 则 4 n B=（）Ax0 x2 B x|-lx4C.0,1 D.01，2【答 案】C【分 析】利 用 自 然 数 集 的 概 念 化 简 集 合 8,再 利 用 集 合 的 交 集 运 算 即 可 得 解.【详 解】因 为 8=X C N 0 X 4=0,1,2,3,又 4=XH X/2 也 A.2 B.2 C.2 D.1【答 案】B【分 析】根 据 诱 导 公 式 直 接 求 解.sin 225=sin（180+45）=-sin 45

2、0=-【详 解】V 7 2.故 选:B.3.函 数/（X）的 图 象 是 连 续 不 断 的 曲 线，在 用 二 分 法 求 方 程/（x）二 在（L2）内 近 似 解 的 过 程 中 可 得,/（1）0（/（1.5）0）”1.25）0,/（L5）,/。25）0,所 以 1）/（1.25）。，所 以/（x）在（I）上 存 在 零 点,即 方 程 的 解 所 在 区 间 为（LL25）.故 选：B4.已 知。=6，b=In0.5,c=0.56,则（）A.b c a B.a b cC.c ab D.a c b【答 案】D【分 析】利 用 指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 单 调 性，结 合

3、临 界 值 即 可 得 解.【详 解】因 为 y=6在 R 上 单 调 递 增，所 以。=6心 6=1,因 为 V=In x 在（，+09）上 单 调 递 增，所 以 6=In 0.5 恒 成 立，所 以 00.56 0.5=1,BP 0 c c6.故 选：D.y=log0 5（-x2+4x）6,w B/、5.函 数,5 0 5V，的 单 倜 递 增 区 间 是（）A.【2,4）B.2+8）c.（咽 D.（-a【答 案】A【分 析】讨 论 二 次 函 数 和 复 合 函 数 的 单 调 性 即 可.【详 解】令 7+4*解 得 0 x=既。5（一/+4乂）在（0,2）单 调 递 减，2,4）单

4、 调 递 增，故 选:A.6.某 引 进 的 外 来 水 生 植 物 在 水 面 的 蔓 延 速 度 极 快，对 当 地 的 生 态 造 成 极 大 的 破 坏.某 科 研 部 门 在 水 域 中 投 放 一 定 面 积 的 该 植 物，研 究 发 现 该 植 物 在 水 面 的 覆 盖 面 积 y（单 位：m 2）与 经 过 的 时 间t（单 位：月）的 关 系 式 为 J=a x l 3,当 投 放 一 定 面 积 的 该 植 物 后，经 过 1个 月 面 积 达 到 2.6m?.那 么 要 使 该 植 物 在 水 面 的 覆 盖 面 积 达 到 260m 至 少 要 经 过 的 时 间

5、约 为（）（参 考 数 据:1.3=0.114）A.16.54 个 月 B.17.54 个 月 C.18.54 个 月 D.19.54 个 月【答 案】C【分 析】先 根 据 1 个 月 面 积 达 到 2 6 m?,求 出 2,=2 x 1 3,得 到 2 x 1 3=2 6 0,求 出/=1+2lgL3 1+0.114 18.54【详 解】由 题 意 得：2.6=13。，解 得：。=2,故 9=2 x 1 3,令 y=2 6 0,即 2x1.3,=260,13=130,两 边 取 常 用 对 数 得：八 gL3=lgl30=2+lgl.3,f _ 2+lgL3f 2故 1g 1.3 lgl

6、.3“1+标 18.54故 至 少 要 经 过 的 时 间 约 为 18.54个 月.故 选：Csin a-+2cos（a+5兀）=2cos a+-sin（兀 一 a）7.已 知 I 2）I 2）,贝 ijtana=（）A.3 B.1 C.3 D.-1【答 案】B【分 析】利 用 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 及 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 即 可 求 解.【详 解】由 sin”扑 2 cos（。+5兀）=2 cos+7 1-sin（7t-a），得-cosa+2（-cos（z）=2（-sine?）-sin a 即 C0SZ=sjn（zsin a.tan a=-=1所 以

7、COS a故 选：B./（x）=8.已 知 函 数|x+2|,x0,若 存 在 互 不 相 等 的 实 数”，h,c,d 满 足 a 6 c,J（a）=f（b）=f（c）=f（d）,则 c+万 的 最 小 值 是（）A.-4+&C.4+72B.-3D.3【答 案】A【分 析】画 出 函 数 图 象，数 形 结 合，得 到。+6=-4,cd=,结 合 基 本 不 等 式 求 出 最 小 值.【详 解】画 出 1 w 乂 0 的 图 象 如 下:由 对 称 性 可 得 到+6=T,且 T g c=l g,即 cd=l,c+襄 2、烂 地 c=c=J d=6故 2 r 2,当 且 仅 当 2,即 2

8、 时，等 号 成 立,7 da+/+c+故 2 的 最 小 值 为-4+J 2.故 选：A二、多 选 题 9.已 知 扇 形 的 周 长 是 1 0,面 积 是 6,则 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 可 能 是（）4A.4 B.3 C.3 D.2【答 案】BC【分 析】设 扇 形 的 半 径 为 r，圆 心 角 为 a,根 据 弧 长 和 扇 形 面 积 公 式 得 到 方 程 组，解 得 即 可.2r+a r=10 1 a r=6【详 解】解：设 扇 形 的 半 径 为，圆 心 角 为 a，则 2,r=3f=2解 得 卜=3或 10r 3.故 选：BC1 0.如 图 为 一 半 径

9、 为 3 m的 水 轮，水 轮 圆 心 距 水 面 2 m,已 知 水 轮 每 分 钟 转 6 圈，水 轮 上 的 点 尸 到水 面 距 离 m）与 时 间 的 满 足 关 系 式 y=/s in（0 x+a）+2（/0,。0）,则 有（）C.4=3 D.T=l0【答 案】ACD【分 析】由 点 P离 水 面 的 距 离 最 大 值 得 到 A,再 由 题 意 求 得 周 期，进 而 得 到 勿，由 此 逐 一 检 验 选 项 即 可.【详 解】依 题 意，结 合 图 像 外-=3+2=5,因 为 y=4sin（ox+e）+2（N 0）,所 以、四=/+2,则/+2=5,故 N=3,7=竺=1

10、0（s）r j=10 网 J又 因 为 该 函 数 的 最 小 正 周 期 为 6,则，故 5,因 为 所 以 5.故 选：ACD.1 1.函 数/G）=sin（0 x+9）（/0,0 0,倒 乃）的 部 分 图 像 如 图 所 示，则 下 列 选 项 正 确 的 是（）工+%肛 0C.该 函 数 图 像 的 对 称 中 心 为 12）,k ZD.函 数/（X）的 图 像 可 由 函 数 V=2sin x先 将 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（纵 坐 标 不冗 变），再 向 右 平 移 7 个 单 位 长 度 得 到【答 案】A BD【分 析】利 用 正

11、 弦 函 数 图 像 的 变 换 判 断 即 可.T _ 5 T T 4 _ 2乃【详 解】由 图 可 知：/=2,万 一 万 一 万 一”，所 以 7=4万.（v=-/（x）=2sin佶 x+夕 修，I故 2,所 以 12 人 又 因 为 图 像 过）所 以 14 J,因 为 网，所 以 4.所 以 A 正 确，B 正 确，所 以/(x)=2sin；x-(71.3 4一+K71=-令 k=l,2 2,显 然 不 是 函 数 图 像 的 对 称 中 心，所 以 C 错 误.函 数 y=2sinx先 将 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的?倍（纵 坐 标 不 变）,得

12、 到 y=2sin x2再 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 得 到 D 正 确.故 选：A B D12.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数,（X）的 图 像 是 连 续 不 断 的，且 满 足 以 下 条 件:f 叫 X2 0,+8）,当 X尸 忆 时，都 有（占 一 看）/（）-1 6）0；VxeR,/（-x）=/（x）.则 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.4）/（-2）/（X）B.若 X,则 x-l,0）u（l,+8）c.若/（加 一 1）/（3）,贝 产 e（4，+8）D.VxeR,使 得【答 案】BD【分 析】由 已 知 条 件 知/G）在 R 上 为 偶 函 数

13、，且 在（，+8）上 单 调 递 减，即（，）上 单 调 递 增，且(-1,1)/(x)0(-00,-1)U(1,+00)/(X)0(xe(-co,-1)u(1,+oo)j_/(x)/(4),故 错 误；9 小)0 时，故 x 或 x；当 x0 时，故 gp-1 x 0.综 上 有 xe(-l,0)u(l,+8),故 正 确；对 于 C：由/(一)3)可 得，如-1|)3,解 得 加 4 或“0 且 时，函 数/()=屋 7+1 的 图 象 经 过 的 定 点 坐 标 为.【答 案】Q，2)【分 析】令 x-2=可 得 定 点 坐 标.【详 解】令-2=0,则 x=2,八 2)=1+1=2,定

14、 点 坐 标 为(2,2).故 答 案 为：(2,2).1 51sina=a=14.“2，是“6，的 条 件.(填“充 分 不 必 要”、“必 要 不 充 分”、“充 要”或“既 不 充 分 也 不 必 要”)【答 案】必 要 不 充 分 1sin a=【分 析】由 2 求 出 a 的 取 值，再 根 据 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 判 断 即 可.1 兀 c?57r _.sina=a=+2 E a=+2kn【详 解】解：由 2 可 得 6,k e Z 或 6,k w Z,1 5乃 sin a=a=所 以 由 2 推 不 出 6,即 充 分 性 不 成 立；5JT 1a=sm

15、a=由 6 可 以 推 出 2,故 必 要 性 成 立，sina=a=所 以“2”是，6”的 必 要 不 充 分 条 件.故 答 案 为：必 要 不 充 分 _ 215.若 函 数/（）=_2+3经 过 点（a,b）,q 0且/0,则 q+3 的 最 小 值 为 _.8 22【答 案】3#3【分 析】由 函 数/（*）=-2X+3经 过 点（。,6）可 知 2a+b=3,后 由 基 本 不 等 式 可 得 答 案.【详 解】由 函 数/（X）=+3经 过 点（。力）可 知%+=3,当 且 仅 当。即 4 2 时 取 等 号.883故 答 案 为：3四、双 空 题/(x)=sin|2tyx+2+

16、9 M(工 16.(1)已 知 函 数 I 6)(0,1 2)是 偶 函 数，则 8/,（x）=sin 2（ox+（d0）不 兀（2）函 数.I 在 L 2 上 单 调 递 增，则。的 最 大 值 为 n 2 1【答 案】3#3兀 6【分 析】（1）根 据 题 意，由 函 数/G）是 偶 函 数 列 出 方 程，即 可 得 到 结 果；XG(2)由 7 1弓，兀 2 得 到 八 兀 7 12a)x+G T ta)+7 16 6八 兀,2兀 0+一 6，结 合 正 弦 函 数 图 像 得 到 不 等 式 组，求 出 2 1+2k co+k3 6,k s Z,利 用 _23+2%06T t【详 解

17、】（1）因 为 函 数/（）是 偶 函 数，则+一 0 d?W,求 出 左=0,从 而 得 到 6,得 到 答 案.兀，7 1.+H,(p=+kit,2 k w Z,解 得 3,k e Z|同 又 因 为 7 1 兀 69=2,所 以 当=。时，3；x e(2)兀 不，兀 2，则 C 兀 兀7 1 C 兀7 1Z69X+G 兀。+,2兀/+一 6 6 6 6 6因 为 0 o,所 以 要 想/（X）在 L 5 上 单 调 递 增，7 C 7 T _.兀,兀 八,7 1 6 9+2 E 2 兀。+一+2 E,需 要 满 足 6 2 且 6 2,k w Z,2 1+2k（）+k解 得：3 6,k

18、w Z,-+2 k 0-k 所 以 16,解 得：6 6,因 为 k w Z,所 以 无=0,0a）因 为。所 以 6,的 最 大 值 是 6.7 1 1故 答 案 为：3；6五、解 答 题 1 7.解 方 程:logi(x-5)=log,(x-2)+2 5 2【答 案 L 1(2产=6【分 析】(1)根 据 指 数 基 的 运 算 法 则 化 简 可 得 2&=2 4，即 可 得 到-6x=4-2 x,解 得 即 可；logi(x-5)=l o g/；x _：x-5=-x-(2)根 据 对 数 的 运 算 法 则 可 得 八 4 2人 即 可 得 到 4 2,解 得 即 可.【详 解】解：因

19、 为 0 4,所 以&)=2,即 2=2。所 以-6x=4-2 x,解 得 x=-l.log,(x-5)=log,(x-2)+2(2)解：因 为 2 2,log,(x-5)=log,(x-2)+log,所 以 5 I 24,log)(x-5)=log,所 以 22所 以-4V 2,解 得 x=6,经 检 验 得 x=6.4sincr=1 8.已 知 5,且 a 为 第 二 象 限 角，(1)求 cosa,tana 的 值；若 求 3n(2a+Z 0 的 值.3 4cos a-tana=【答 案】5,3.2【分 析】（1）根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 解；（2）根 据

20、正 切 的 两 角 和 公 式 求 解.4sina=一【详 解】(1)因 为 5,且&为 第 二 象 限 角,cos a=-Vl-sin2 a=所 以 5,sin a 4tan a=-=所 以 COS a 3.(2)tan(2a+/)=tana+(a+/7)=tan a+tan(a+/7)1-tan a tan(a+/?)4 1-1 3 2f4 11+x 3 221 9.已 知 函 数/（x）=（2）优+2-b o,且 a x l）是 指 数 函 数.求 左,人 的 值；求 解 不 等 式/3-5）/,（3x-1）.【答 案】（1）%=T,6=2（2）答 案 见 解 析【分 析】（1）根 据

21、指 数 函 数 的 定 义 列 出 方 程，解 之 即 可；（2）分 和 两 种 情 况 讨 论，结 合 指 数 函 数 的 单 调 性 即 可 得 解.【详 解】因 为/（x）=G+2）/+2-a 0,且 a w l）是 指 数 函 数,所 以 4+2=1,2-6=0,所 以 无=-1,6=2.(2)由(1)得/(x)=a(0,且 1),当。1时，/(x)=在 R 上 单 调 递 增，则 由“2X-5)/(3X-1),可 得 2X-53X-1,解 得 X-4；当 0/(3X-1),可 得 2X-5-4；综 上：当。1时，原 不 等 式 的 解 集 为 M V _4；当 0。-4 2 0.已

22、知 t a n Q-a)=2.求 tan 2 a的 值；1-sin 2a(2)求 c o s 2 a 的 值._ 4【答 案】5-3【分 析】(1)利 用 诱 导 公 式 及 二 倍 角 的 正 切 公 式 即 可 求 解；(2)根 据(1)的 结 论 及 二 倍 角 的 正 弦、余 弦 公 式，再 利 用 三 角 函 数 的 齐 次 式 的 特 点 即 可 求 解.【详 解】(1)由 tan(兀-a)=2,得 _ ta n a=2,即 tan a=-2,2 tan a 2x(-2)4tan 2a=-=-7=所 以 1-ta ira 1+(-2)5.(2)由(1)知，ta n a-2,1-si

23、n 2 a _ l-2 s in a c o s a _ cos2 7+sin2 a-2 s in c c o s a _ 1+tan2 a-2 tan crcos 2 a cos2 a-s i n2 a cos2 a-s i n2 a 1-tan2 a=1+(-2)-2 义(_2)=31-(-2 丫 2 1.已 知 函 数/(x)=lgX(0 且 1)的 图 像 过 点(8 3),若 g(x)=/0-x)+/(l+x).(I)求 g(x)的 解 析 式 及 定 义 域；(2)判 断 函 数 g(x)的 奇 偶 性 并 证 明；(3)是 否 存 在 正 整 数?，使 得 不 等 式 g(x”T

24、 成 立？若 存 在，求 出 切 的 值，若 不 存 在，请 说 明 理由.【答 案】g（x）=bg式 1）+10氏 0+“）定 义 域 为（T O（2产（*）为 偶 函 数，证 明 见 解 析（3）存 在，=1【分 析】（1）根 据 对 数 函 数 过 点（8 3）,代 入 求 出。的 值，即 可 求 出/G）的 解 析 式，从 而 求 出 g（x）的 解 析 式，再 根 据 对 数 函 数 的 真 数 大 于 0,得 到 不 等 式 组，解 得 即 可 求 出 函 数 的 定 义 域；（2）根 据 奇 偶 性 的 定 义 判 断 即 可；（3）根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 判 断

25、 8（X）的 单 调 性，从 而 求 出 的 值 域，即 可 求 出 参 数 加 的 值.【详 解】（1）解：因 为 函 数/G）=bg“x（。0且。中 1）的 图 像 过 点 弓 乡），所 以/（8）=bg“8=3,则/=8,解 得 a=2,所 以/卜 且?，又 g（x）=/（l-x）+/（l+x）,所 以 g（x）=log2（l-x）+log2（l+x）,Jl-x0则 l+x 0,解 得 即 函 数 g G）的 定 义 域 为（7 1）；（2）解：8（*）为 偶 函 数，证 明：因 为 g（x）=bg2（1 7）+lg2（l+x）,定 义 域 关 于 原 点 对 称，且 g（-X）=log

26、2（l+x）+log,（l-x）=g（x）所 以 g（x）为 偶 函 数.（3）解：因 为 g（x）=bg2（l-x）+log2（l+x）=bg2（l-x）因 为 y=l-x2在（-1,0）上 单 调 递 增，在（0,1）上 单 调 递 减，且 y=log?X 在 定 义 域 上 单 调 递 增，所 以 g（x）在（T，0）上 单 调 递 增，在（，1）上 单 调 递 减，又 1-3（0,1,所 以 g（x）e（7,0所 以，存 在 当 加=1时 不 等 式 g（x）*7 成 立.2 2.已 知 函 数/（x）=2#sinxcsx+2cs2x+l 求/（X）的 最 小 正 周 期；求/(X)的

27、 单 调 递 增 区 间；兀 兀(3)若 对 任 意 的“为 22，不 等 式 X)4 L 4恒 成 立，求 实 数，的 最 小 值.【答 案】兀 花，兀，+做 一+%兀(2)13 6R w Z)8【分 析】(1)(2)先 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简/G),再 利 用 三 角 函 数 的 性 质 求 解 即 可;(3)利 用 恒 成 立 问 题 的 解 决 方 法，结 合 正 弦 函 数 的 最 值 即 可 得 解.【详 解】(1)因 为 x)=2Gsinxcsx+2cs2x+l=V3 sin 2x+cos 2尢+2=2 sin 12x+e J+27=空=兀 所 以/(x)的 最

28、小 正 周 期 为=T=K(2)因 为 V=sinx的 单 调 递 增 区 间 为 _JT 7 T-+2Z：7i,y+2far(k G Z)jr TT I T T T T C+2kn 2x+2kn,k e Z+kTt x+kn.k E.Z令 2 6 2，得 3 6-+7l k G Z)所 以/(x)的 单 调 递 增 区 间 为-3 6x e(3)因 为 7C 7 1T292_ 712x+一,所 以 6It 771396sinf2x+IG-,1 l2sin|2x+|+24所 以 I 2，故 I 6),即 l/a)W4,因 为 恒 成 立，所 以 4 m-4,解 得?N8,故 实 数 用 的 最 小 值 为 8.【点 睛】结 论 点 睛：对 于 恒 成 立 问 题，常 用 到 以 下 两 个 结 论:(1)心/(X)恒 成 立(2)()恒 成 立.