2023人教A版高中数学三角函数的概念讲义.pdf

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1、第五章三角函数5.2三角函数的概念例题1 .求日的正弦、余弦和正切值.【答案】sin-=,cos”=:，tan”=一百3 2 3 2 3【解析】【分析】易知Z AO3的终边与单位圆的交点坐标为田、.5兀 5乃 1 .57/T所以，sm =，cos-=,ta n-=V3.3 2 3 2 3【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.2.如图，设&是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点。重合）的坐标为（x，y）,点 P 与原点的距离为r,求证：sin=,cosa=-,tana=）.r r x【答案】见解析【解析】【分析】设角a的终边与单位圆交于点功（事,%），分别过点P，作x轴的垂线PM,P

2、.M.,垂足分别为M，M）,利用，OMP 0M。4即可证明.【详解】如图，设角。的终边与单位圆交于点用（餐,先）.分别过点P,作x轴的垂线PM,P.M0,垂足分别为M,Mo,则|学叫|=|%|，P M H y,OM0=x0,OM=x,因为 0Mp OMnP0所以 园%1=3J,即|%|=1.因为y与 同号，所 以 为=2,即sina=2.1 r r r r【点睛】只要知道角a终边上任意一点P的坐标，就可以求得角a的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.3.求证角。为第三象限角的充要条件是sin8 0.(2)【答案】见解析【解析】【分析】根据象限角的定义以及三角函数在各个象限

3、中的符号证明即可【详解】因为角6为第三象限角所以 sin。0反过来：由 sin。0 得 2k 兀+兀 x 0得人万 xZ237r所以 2k7i+7i x 2k 兀+,k e Z2所 以 角6为第三象限角所 以 角e为第三象限角的充要条件是sin 8 0.(2)【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，象限角的定义以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.4.确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证:(1)cos250;(2)sin71；(3)tan(-672)；(4)tan3zr.71【答 案】cos2500；(2)sin 0；(4)t a n=0【解 析】【分析】判断出每

4、个角所在的象限即可【详 解】(1)因 为250是 第 三 象 限 角,所 以cos2500；(2)因 为 是 第 四 象 限 角，所 以sin-|0；(4)因 为tan3%=tan(乃+2%)=tan不，而左的终边在x轴 上，所 以tan乃=0.【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.5.求下列三角函数值：9乃 (1 1/T、(1)sinl48()l()(精确至10.001);(2)cos；(3)tan 一 一.4I 6 J【答 案】(I)0.645；(2)注；(3)巴2 3【解 析】【分析】由 sin 1480=10,=sin(4010+4x360)=sin 40109 (7

5、1 7 1cos =cos F 2乃 =cos 4(4 J 47 1=ta n 求出即可6【详解】(1)sinl48010r=sin(4010,+4x360)=sin40c10z 0.645；9TT(71 71 V2cos=cos=cos=;4 U J 4 2【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.36.已知 sina=-1，求 cos a,tan a 的值.【答案】见解析【解析】【分析】分角。为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解.【详解】因为sina0,sin a w-1,所以a是第三或第四象限角.4 3如果a是第四象限角，那么co sa=-,tan=.5

6、 44综上所述，当a是第三象限角时，cosa=-,3小=当是第四象限角时,coscif=,tana=.5 4【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.r 4丁 cos a 1 +sina7.求证：-=-1-sina cos a【答 案】证明见解析【解 析】【分 析】作差法，结合同角三角函数的平方关系，即得证.、乂 左八-口 cos(7 1 +sina cos2(2-(1-sin ez)(l+sin a)详 解 证明：-：-=-:-1 一 sin a cos a(1 sin a)cos acos2a-(l-sin2a)Cos2-cos2/L y=-i,6y OP|

7、=2,10.已知角。的终边过点尸点12,5）,求 角。的三角函数值.【答案】sin=-5 12 5;cos=-;tanO=-=13 13 12【解 析】【分 析】先算出 r=1 3,然后即得sinO=A5，cos -12,tan0=-5【详解】r=|OP|=(12)2+52=13所以 sin 6=，cos 6=-,tan0=-13 13 12【点睛】设1是一个任意角，它的终边上任意一点尸（不 与 原 点。重 合）的坐标为（x，y）,点P与原点的距离为r,则sina=）,cosa=-,tana=）.r r x11.已 知 点P在 半 径 为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角 速 度 为lra

8、d/s.求2 s时 点P所在的位置.【答 案】P(2cos(-2),2sin(-2)【解【分 析】设P点坐标为(x，y),r=2,由sin(-2)=)和cos(-2)=2即可得出答案.2 2【详解】设 P 点坐标为。，y),-=2.sin(-2)=)，.y=2sin(-2),2Y _cos(-2)=,：.x =2cos(-2),:.点 p 的坐标为(2cos(-2),2sin(-2).2【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.12.填表：练习a2兀13万-714T15万4sin acos atana【答案】见解析【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式填表即可【详解】a213不-714

9、T154sin a020B2_V22cos a1BV-12旦tana0T0-百-1【点睛】本题考查的是三角函数的定义及诱导公式，较简单.a13.设。是三角形的一个内角，在sine,cos a,tana,tan中,2负值？【答案】cos a和tan a有可能取负值【解析】【分析】直接根据角所在象限确定正负值.【详解】当。是钝角时，cos a和tana取负值，哪些有可能取a a当0 a 180时，0 0,sin 6 0,c o s6 0与tan60,选择恰当的关系式序号填空：(1)角e为 第 一 象 限 角 的 充 要 条 件 是；(2)角6为 第 二 象 限 角 的 充 要 条 件 是；(3)角

10、6为 第 三 象 限 角 的 充 要 条 件 是；(4)角8为 第 四 象 限 角 的 充 要 条 件 是.【答案】.或或或.或或或.或或或.或或或【解析】【分析】根据三角函数在各个象限中的符号即可填出答案【详解】角e为第一象限角的充要条件是或或或角e为第二象限角的充要条件是或或或角e为第三象限角的充要条件是或或或角e为第四象限角的充要条件是或或或故答案为：(1).或或或(2).或或或(3).或或或(4).或或或【点睛】本题考查的是三角函数在各个象限中的符号，较简单.16.求下列三角函数值(可用计算工具，第(1)题精确到0.0001)：(1)cosll09；(2)t a n；(3)sin(10

11、50)；(4)tan1 j.【答案】(1)0.8746；(2)y/3；(3)0.5；(4)1.【解析】【分析】利用诱导公式把每个角转化到(0,2。)即可【详解】cos 1109=cos(360 x3+29)=cos29=0.874619万 (.71/Ttan-=tan 6 +=tan=V33 I 3 J 3sin(-1050)=sin(-1080+30)=sin 30=0.5314、(o 万、71.ta n-=tan-8 d =tan =1I 4)I 4 j 4【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数值，较简单.5.2.2同角三角函数的基本关系练习417.已知cosa=-不，且

12、a为第三象限角，求sina,tan a的值.3 3【答案】sina=一 一 ,tan a=5 4【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可得解.4/-3【详 解】costz=-,且a为 第 三 象 限 角，.1.sinz=-Vl-cos2a=-,sin a 3tan a-=.cos a 4【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.18.已知 tane=-J i,求 sin。，cos。的值.【答案】见解析【解析】【分析】分角*为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关sin。和cos。的方程组，即可得出sin。，co

13、s。的值.【详解】tane=-6 (),二。为第二或第四象限角，又tan夕=/cose.代入sin?s +cos?=1,得cos。4当。为第二象限角时，COSQ=sin=孝；IC当。为第四象限角时，cos(p=-,sin(p=-二 综上所述，当。为第二象限角时，cos=-g,sine=乎；当e为第四象限角什 1 .G时，cos(p=-,sin(p=-.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关sin。和cos。的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.19.已知sin6=0.3 5,求cos。，tan。的值(精确到0.01).【答案】见解析【解析】【分析】分角。为第一和第二

14、象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系可求得cos。，tan。的值.【详解】.sine=0.350,.6为第一或第二象限角.当。为第一象限角时，COSe=Vl-sin26 0,94-tan。=处 二=0.37；cos，e当。为第二象限角时,cos0 Vlsin2 0 h-0.94.tan。=。一0.37.cos，综上所述，当。为第一象限角时，c o s 0.94,tan 0.3 7；当。为第二象限角时，cos。*-0.94,tan6 B-0.37.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，要注意对角。的象限分类讨论，考查计算能力，属于基础题.20.化简：(1)cos。tan。；/

15、八 2cos2 2一1(2)z-;1 -2sin a(3)(1+tan2 6z)cos2 a.【答案】（1）sin。；（2）1；（3）1.【解析】【分析】（1）由tan。=吗 代 入 化 简 即 可 得 解；（2）将等式1 =sin2+cos2 a代入分式化简计算即可；（3）由tan2a=W 14代入化简计算即可.cos aqjn 0 详解】（1）cos 8 tan 6=cos 0-=sin 8；cos。、2cos2 6Z-1 2cos a+cos_ a cos2sin2 a 1（2）=-=-=1.l-2sin2cif（sin2 a+cos2 cz）-2 sin2 a cos2 6Z-sin2

16、/997sin2 a）、）（3）（1 +tan-alcos-a-cos tzd-cos a-cos-a+sin-cr=1.7 cos-a【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简计算，考查计算能力，属于基础题.21.求 证:sin4 a+sin2 a cos2 a+cos2 a=1 【答案】证明见解析【解析】【分析】在等式左边提公因式，结合sin2c+cos2a=l化简计算即可证得所证等式成立.详解】左边=sin2 a(sin2 a+cos2 a)+cos2 a=sin2+cos2 a=1 =右边.【点睛】本题考查三角恒等式的证明，考查同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力与推理能力，属

17、于基础题.习 题5.2复习巩固22.用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）:,、17 冗（1）;（2）；4sin如一g小 组=-立，tan如=14 2 4 2 4（4）sin 1500=-,cosl500=1,tanl500=百【解 析】【分析】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可.【小问1详解】【小问2详解】2Utan-4.21 兀 41sin-4 _ 221 万 J2cos-4 2-1;【小问3 详解】(23万、(“乃)江 加c o s-|=cos|-A71+|=COS=I 6)I 6)6 2【小问4 详解】解：sinl 500=sin(

18、4x3600+60)=sin 60。=*;cos 1500=cos(4 x 3600+60。)=cos 600=；6tan 1500=m於。=*_ =6cos 15000 122 3.已知角a 的终边上有一点的坐标是P（3a,4a）,其中。（），求sin c,cos a,tan a .【答案】见解析【解析】【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.详解r=J（3a）-+4 i）2=5|a|.当 a0 时，r=5a,；.sin a=Y=普=?,cos a=r Sa S r1,s_y_4a_4tan a-.-二；*A a 4当 aVO 时，r=-5a,sin a=二,co sa=tana=1综上可知

19、，sin a=!,cos a=,tan a=sin a=【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点p(x,y)是角a终边上的任意的一点(原点除外),r代表点到原点的距离，r =&2 +寸贝!I sina=)cos=,tan=.v r r x24.计算：(1)6sin(-90)+3sinO 8sin270+12cos 180；(2)lOcos2700+4sin0+9tan0+15cos360；_ 兀 7T 3 2 兀.2 兀 37t(3)2cos-tan+tan-sin I-cos-l-cos；2 4 4 6 6 6 2/、.2万 4

20、3兀 27(4)sin Feos-tan 3 2 31 Q【答案】(1)-10；(2)15；(3)；(4)2 4【解析】【分析】(I)根据三角函数定义，分别求得sin(-90)新0飞山270,85180的值,代入即可求解.(2)根据三角函数定义，分别求得cos270,sin0,tan0,cos360的值，代入即可求解.7T 7T 7T 7T 7T 冗(3)根据三角函数定义，分别求得COStan 丁,1211工,豆1 1工,8 5二,8 5丁的值,代入2 4 6 6 6 2即可求解.T T 3 乃 7T(4)根据三角函数定义，分别求得sin ,co s,tan 的值，代入即可求解.【详解】(1)

21、根据三角函数定义可得6 sin(-90)+3 sin 0-8 sin 2700+12cosl 80=6x(-l)+3x0-8x(-l)+12x(-l)=-10(2)根据三角函数定义可得10 cos 270 4-4 sin 0+9 tan 0 4-15 cos 360=10 x0+4x0+9x0+15x1=15(3)根据三角函数定义可得7L TC 3 2 1 .7C 2 冗 3 兀2 cos-tanI tan-sin I-cos-F cos 2 4 4 6 6 6 22=2x。-1 +，鸟+9+。4 I3 J 2 l2J 2(4)根据三角函数定义可得.2%4 3 万?T Csin+cos-tan

22、 3 2 3I 2 J 4【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值，属于基础题.25.化简：(1)asm0+Z?cos90 tan 180；(2)-p2 cos 1800+q2 sin90-2 pqcos0；2 _.2 3 4.7 .T C(3)a cos2-h sin-abcosTT-absm.2 21 3(4)mtanO+ncos/?sin-(7cos,/r-rsin2万.【答案】(1)0；(2)(p-q)2；(3)(a-b)2；(4)0【解析】【分析】(1)根据三角函数定义，分别求得sin 0,cos90,tan 180的值，代入即可求解.(2)根据三角函数定义，分别求得cosl80

23、,sin90,cos0的值，代入即可求解.37r 7t(3)根据三角函数定义，分别求得cos2肛sin3,cos肛s in,的值，代入即可求解.TT 37r(4)根据三角函数定义，分别求得tan 0,cos耳,sin%,cos丁,sin 2万的值，代入即可求解.【详解】(1)根据三角函数定义可得asinO+bcos90 4-ctan 180=a-0+0+c0=0（2）根据三角函数定义可得-p2 cos 180+q2 sin 90-2Pqcos 0=-p2 x(-l)+2 xl-2pxl=(p-)2.(3)根据三角函数定义可得a2 cos 2-b2 sin +ab cos 兀-absin 2 2

24、-a2 x -h2 x(-1)+abx(-1)-abx =(a-b)2.(4)根据三角函数定义可得1 3m tan0+rtcos -/?sin-cos rsin2=mxO+nxO-pxO-gxO rxO-O.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值，属于基础题.26.确定下列三角函数值的符号：(1)sin 186；(2)tan505；(3)sin7.6：/“、.23万、(4)tan()；(5)cos940；【答案】(1)负(2)负(3)负(4)正(5)负(6)负【解析】【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可.【小 问1详解】解：因为186。为第三象限角，所以sin 186

25、。为负；【小问2详解】解：因为505。为第二象限角，所以tan505。为负；【小问3详解】解：因为7.64=6乃+1.6为第四象限角，所以sin7.6万为负；【小问4详解】237r 237r解：因为-一1=-6万+丁为第一象限角，所以tan(-二)为正；【小问5详解】解：因为940。=720。+220。为第三象限角，所以cos940为负；【小问6详解】597r 97r(59 万、解：因 为-*=-4万+曾为第二象限角，所以cos1一西-J为负.27.(1)已知sina=-J,且a为第四象限角，求cosa,tanc的值；2(2)已知cosa=q,且a为第二象限角，求sin a,tan a的值；3

26、(3)已知 tana=一-,求sina,cosa 的值；4(4)已知cosa=0.6 8,求sinajana 的值(精确到 0.01).【答案】(1)cosa=-,tan a=-V3；2，八.12 12(2)sina=,tan a=-；13 54 3(3)当a为第二象限角时，cosa=g,sin a=：；当a为第四象限角时，4.3cos=,sinz；(4)当a为第一象限角时，sin 0.73,tan a 1.07；当a为第四象限角时,sin a -0.73,tan a*-1.07.【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，即可求解.(6丫【详解】(1)由sin?a+cos2a=

27、1,得cos2a=1-sin2a=1-=l 2 J 4Q a为第四象限角,1 sin a，cos a=,tan a=-2 cos a-且 x2=-g2(2)由 sin2 a+cos2 a=1,得 sin2 a=1 -cos2 aQ a为第二象限角.12 sina 12(13、12Sinar=,tan a=-=x-|=-13 cos a 13 I 5 J 53(3)tan a 0。为第一或第四象限角当a为第产象限角时,sin a b 0.73,tana*1.07；当a为第四象限角时,sin a y-0.73,tan a u-1.07.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，在使用时要特别注意

28、角的取值范围,属于基础题./(%)综合运用28.分别根据下列条件求函数的值:(I)T CX =;4(2)3兀x=.4【答 案】(1)1;(2)-1【解 析】7F【分 析】（1）直 接 将 代 入 计 算 即 可;4（2）直接将x=j34 代入计算即可.4【详 解】解：（1）当=:时，4JT=sin+2sin0-4cos+3sin=l.2 237r 当 户 彳 时，万、.(3TT/(T)=S1n t+714+2 sin3万 71万 一 I,3万-4cos 2x I 4+3sin3万43兀 3冗一 十 一4 4sinr+2sin-4 c o s -+3sin =2-3 =-12222 9.确定下列

29、式子的符号(I)tan 125 sin 273；(2)tan 108cos 305.54 44 1 TTsm cos tan；4 5 65 万 1 71cos tan-6 6.2 ,sin(4)3【答 案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）正【解 析】【分 析】根据角所在的象限,判断三角函数的符号，即可判断各自的符号.【详 解】(1).tan 125 0,sin2730 0，原式为正;(2)tan 108 0.原式为负；,八 5万 .4万 八 1 n.(3)sin 0,cos 0,tan-04 5 6原式为负；/,、5 八 11万八.2万 八(4)cos 0,tin-06 6 3，原式为正.

30、【点睛】本题考查了三角函数在四个象限的符号判断,属于基础题.3 0.求下列三角函数值(可用计算工具，第(1)(3)(4)题 精 确 到0.0001)；(1)sin157r(3)cos39813,;(4)tan766 15.【答 案】(1)0.9659；(2)1；(3)0.7857；(4)1.045.【解 析】【分 析】根据诱导公式将三角函数进行化简，借助计算器即可求解.【详 解】(1)sin由计算器可得sin x 0.9659(2)tan15兀=tan =14(3)cos398 13=cos(360+383)=cos38 13由计算器可得cos38134().7857(4)tan766 15=

31、tan(4x 180+4615)=tan4615.由计算器可得tan 4615a 1.045【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的化简，计算器计算三角函数值,属于基础题.31.求证：（1）角6为第二或第三象限角的充要条件是sin/an。0；（2）角6为第三或第四象限角的充要条件是cosetane 0；tan 0.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析【解析】【分析】根据角所在的象限，可得三角函数的符号;同理根据三角函数符号，可判断角所在的象限，结合充要条件的判定方法即可证明.【详解】（1）证明:当角。为第二象限角时,sin80,tane0,所以sin夕ta

32、n80；当角。为第三象限角时,5皿。0,所以411夕1领80.所以当角。为第二或第三象限角时,sin夕tan60.因为sin6.tan60,tan60；或sin80.当sin夕 0,tan 8 0时，角6为第二象限角当sin。0时，角。为第三象限角所以当sinPtanGcO时，角。为第二或第三象限角.综上所述，原命题成立（2）证明:当角8为第三象限角时,cose0,所以cos以tane0,tane0,所以cos夕tang0.所以当角。为第三或第四象限角时,cos夕tan60.因为costan0 0,所以cos。0；或cos（90,tan。0.当cos80时，。为第三象限角;当8 5。0311。

33、0时,。为第四象限角所 以 当cos9tane0时，角。为第三或第四象限角.综上所述,原命题成立.(3)证明:当角。为第一或第四象限角时,sinG与tan。同 号,所 以 当 0当 包 吆 0时,sin。与tan6同号tan 0；当sina cos 6 0时,sin 8与cos。同号所以角为第一或第三象限角，综上所述，原命题成立【点睛】本题考查了三角函数在四个想象符号的判断，充分必要条件的证明,属于基础题.3 2.已知 sinx=-,求 cosxjanx 的值.3【答 案】x为 第 三 象 限 角，cosx=-,tanx=；为 第 四 象 限 角，3 4272 V2cos x=-,tan x=

34、-3 4【解 析】【分 析】讨论x为第三象限角或第四象限角.结合同角三角函数关系式即可求解.【详 解】sinx=-1 0 x为第三或第四象限角.由 sin2 x+cos2 x=1 可得cosx=vl-sin2 x=,工2&I -COSX当x为第三象限角时,cosx=-2 ,ta n龙=3 4当X为第四象限角时,cosx=迪,tanx=-立3 4【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用，注意讨论角所在的象限，属于基础题.333.已知 tana=G,4/3,n a+s i r?，=c o s2 -2 c o s/7 +l +s i n2 0=2-2 c o s 尸而右边=2-2 c o s

35、用原式得证(4)证明:由同角三角函数关系式可知.4 4s i n x+c o s x=s i n4 x +c o s4 x +2 s i n2 x c o s2 x-2 s i n2 x c o s2 x=(s i n2 x+c o s2-2 s i n 2 x c o s2 x=l-2 s i n2 x c o s2 x而右边=l-2 s i n 2 x c o s2 x原式得证【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.3 6.已知tan2=2,，、.sin a+cos。求1-sin a-cos a的值.【答 案】3【解 析】【分 析】根据同角三角函数关系式及齐次

36、式的化简，即可求解.【详 解】tana=2.sin a+cos asin a-cosatan a+1 3.=-=3tan a-1 1【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，齐次式形式的化简，属于基础题.拓广探索37.化 简J山皿V 1-sinarj i n。,其 中。为第二象限角1 +sina【答 案】-2tane【解 析】【分析】根据角。为第二象限角，结合同角三角函数关系式，化简即可得解.【详 解】Q a为第二象限角，1 +sina1 -sin aI-sin a1 +sin a(1+sin a)2(l-sina)(l+sina)(1-sina)2(l+sina)(l-sina)/(l+s

37、ina)2V cos2 a1(1-sin 6Z)2v cos2 a1 +sina l-sina 八-+-=-2 tan acos a cosa【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用，注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题.38.cos x 1 +sinx1-sinxCOSX是sin2 x+cos2尤=1的一个变形.你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？【答案】见解析【解析】【分析】根据s i n 2 x+c o s 2 _ x =l,两边同时平方可得变形式;同时除以c o s 2 x 可得变形式.【详解】由s i n2 x+c o s?x =l,两边同

38、时平方可得s i n x+2 s i n2 x-c o s2 x c o s4x =l所以 s i n4 x+c o s4x =l-2 s i n2x-c o s2%是s i n?x +c o s2 x=l 的一个变形;由s i n 2 x+c o s 2 x =l,等式两边同时除以c o s 2%,可得所以c o s XIC 1 Y一=l +t a n?x 是 s i n 2%+c o s 2 x =l 和一 一=t a n x 的变形.C O S X c o s x【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的变形应用,属于基础题.3 9.(1)分别计算s i i/q-c o s?和的值，你有什么

39、发现？(2)任取一1 a 的值，分别计算s i n*。-c o s a,s i n?a-c o s?。，你又有什么发现？(3)证明：V x e R,s i n2 x-c o s2 x =s i n4 x-c o s4 x.【答 案】(1 )s i n4 -c o s4 =-,s i n2-c o s2 =1 ,发现：3 3 2 3 3 2.4 71 4 71.2万 2 万s i n-c o s =s m-cos.3 3 3 3(2)sin4-cos4=-,sin2-cos2=-,发现：6 6 2 6 6 2.4 71 4 71.?71 2 s m-cos =s m-cos.6 6 6 6(3)证明见解析【解析】【分析】根据特殊角三角函数值求法，可解(1)(2);根据同角三角函数式关系式，可证明(3).【详解】(1)根据特殊角三角函数值计算可知所以S呜-泡在嗯-c。吒7T(2)取a=一6所以 sin-cos =sm-cos.6 6 6 6(3)证明：X/x R.sinx-cos九=(sin2 x+cos2 祖 sin?x-cos2 x)2 C2=sin x cos x所以 sin2 x-cos2 x=sin4 x cos4 x【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的求法，三角函数式的简单证明,属于基础题.