2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学-含解析.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考2 卷)数学题号一二三四总分得分一、单项选择题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.已知集合4=-1,124,B=x|x-l|1,则4 n B =()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1.4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算.【解答】解：方法一：通过解不等式可得集合B=x|0 W 尤W 2,则 A n B=1,2，故 8 正确.法二:代入排除法.=-1 代入集合B=x|x-l|1,x=-1,不满足，排除 A、D;x=4 代入集合 B=x|x-1|S 1,可得|x-l|=|4-l|=3 l,x=4,不满足，排 除 C,

2、故 8 正确.2.(2+2i)(l-21)=()A.-2+4i B.-2-4i C.6+2t D.6-2i【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，为基础题.【解答】解：(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=2-2t+4=6-2i.3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，力小,84,C C,帅是 桁，DDrCC,BBi，他是脊，。1，DC1，CB1，是相等的步，相邻桁的脊步的比分别 为 黑=0 5 争=自，警=0，箸=七，若自，k2,电是公差为0的等差数列，直线。4的斜率为0.7 2 5,则坛=()A.0.75【答 案】B.0.

3、8C.0.85D.0.9D【解 析】【分 析】本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题.【解 答】解：设。1 =DC=CB=BA1=1,则 CCi=七，BBI=k2,AAr=k3由题意得&=七+0-2,k3=k2+0.1,且DDi+CCi+BBi+441 0 7250。1 +。?1 +CB1+84解 得 电=0.9.4.已知向量 =(3,4),好=(1,0),L=W +t方，若五。=石兄，则实数t=()A.-6 B.-5 C.5 D.6【答 案】C【解 析】【分 析】第2页，共18页本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。【解答】解：由已知有 c=(3+t,4

4、),co s=cos ，故答=黄|，解 得t=5.5.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题.【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则 有 掰&戏=2 4种.6.若sin(a+/?)+cos(a+口)=2-/2cos(a+)sinj?,贝！|()A.tan(a+=-1 B.tan(a+S)=1C.tan(a /?)=-1 D.tan(a 一夕)=1【答案】C【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法

5、，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设/?=0则sina+cosa=0,取a=：兀，排 除B,D再取 Q=0 则 sin/?+cos/?=2sin/?,取 夕=?,排除 4;选 C.解 法 二：由 sin(a+6)+cos(a+0)=V2sin(a+0+=V2sin(a+，)+=V2sin(a+)cos/?+V2cos(a+个力也夕，故 V2sin(a+：)cos=V2cos(a+：)sin/?故 sin(a+F)cosS cos(a+?)sin.=0,即 sin(a+：G)=0,故 sin(a-/?+)=y sin(a-)+当 cos(a-)=0，故 s

6、in(a /?)=cos(a 0),故 tan(a /3)=1.7.已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为36和48，其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.100兀 B.1287r C.1447r D.1927T【答 案】【解 析】【分 析】本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用.【解 答】解：由题意如图所示，上 底 面 所 在 平面截球所得圆的半径是014=3,下 底 面 所 在 平 面 截 球 所 得 圆 的 半 径是O2A2=4,则 轴 截 面 中 由 几 何 知 识 可 得V/?2-32+V/?2-42=1，解 得 肥=25,因 此 球 的 表 面

7、积 是S=4兀 腔=4兀.25=100兀.第4页，共18页48.若函数/(x)的定义域为R,且/。+丫)+/0-丫)=/()，/=1，则X匿(幻=()A.-3 B.2 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】解:令 y =1 得 f(x +1)+f(x-1)=f(x)/(I)=/(%)=/(x +1)=/(x)-/(x-1)故 f(x +2)=f(x+1)-/(x),f(x+3)=/(x +2)-/(x +1),消去 f(x+2)和 f(x+1)得至ij f(x+3)=-/(%),故/(x)周期为 6;令 x =1 ,y =0 得/(I)+f(l)=/(I)-/(O)=f(0)=2,/=/-(

8、l)-/(0)=l-2=-l ,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1 =-2，/(4)=/(3)-/(2)=-2 -(-1)=-1,/=/(4)一/=一1一(2)=1，/(6)=/(5)-/(4)=1-(-1)=2，故 律=3/(1)+/(2)+-+/(6)+f(19)+/(20)+f(21)+f(22)=/(1)+=2)+=3)+=4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3即 E跄i(k)=-3 .【解答】本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用.二、多项选择题(本大题共4小题，共20.0分)9.已知函数/(x)=sin(2x+s)(0 w 兀)的图象关于点(小。)对称，则(

9、)A.f(x)在(0,当单调递减B./(%)在(-方詈)有两个极值点C.直线x=?是曲线y=/Q)的一条对称轴OD.直线y=李一比是曲线y=/(x)的一条切线【答案】AD【解析】【分析】解：由题意得：/(y)=sin寻+0)=0,所 以 詈+P =/O T,即 0=等+/C7T,k G.Z,又0 s 兀，所 以k=2时，=y ,故/(x)=sin(2x+y).选项 A:xe(0,)时，+,由 y=sinu 图象知/(%)在(0靖)单调 递 减；选 项B：x e(?詈)时，2x+y G (p y),由y=s in a图 象 知/在第6页，共18页(一！詈)有 1 个极值点；选 项 C:由 于/管

10、)-sin3?r=0,故直线x=个 不 是/(x)的对称轴；选项 D:令 f(x)=2cos(2x+与)=-1 ,得 cos(2x+g)=-，解得 2x+作=斗+2kn 或 2x+g =曰+2kir,k&Z 从而得x=k兀 或 x=g+k7r,fc e Z,令 k=0,则(0,当)是斜率为一1 的直线与曲线的切点，从而切线方程为y-苧=一(”一0),即 y=苧-x.【解答】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心,函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.1 0.已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点尸的直线与C交于4 B两点,点A在第一象限

11、，点M(p,0),若|AF|=|4 M|,则()A.直线4 8 的斜率为2布 B.OB=OF C.AB 4OF D.LOAM+A O B M 0),所以 yA=P,故 kAB=邑=2巫.4P 2选 项 8：潦 i+言=/Q+高=出 产|=|p=XB+”XB巧 所 以蟾=2 P =手 所 以|0 8|=熄+据=?+需=誓 丹.选项 C:AB=：p+g+p=!|p 2 p =4|OF|.选 项D:由 选 项 A,B 知/p,p),B单 一g p)，所以O A -O B=p,当p）（,1p）=/p?=,p 2 c o，所以 Z-AOB 为 钝 角；又M A -M B=（一今苧P）,净=一g2 0 所

12、 以4 A M B为钝角,所以 Z.OAM+Z OB M 1 80 .1 1.如 图，四边形4B CD为正方形，ED J平血1 B CD,F B/ED,A B =E D =2F B,i己三棱锥E-A B C,E-A CF,F-4B C的体积分别为匕，吟，匕，则（A.%=2%B.匕=2%C.匕=匕+%D.2V3=3匕【答 案】C D【解 析】【分 析】本题主要考查三棱锥的体积，属于基础题.【解 答】解：设 4B =ED =2F8=2,贝I匕=x 2 x 2=g ,彩=g x 2 x 1 =|.连 结 B O交A C于M,连结 EM、F M ,则 F M =遮，E M =瓜，E F =3 ,故 S

13、 E M F=1 -V 3 -V 6 =3V2-,2匕=3 4 S AEMF X A C 2 ,匕=%+收,2%3匕.1 2.若实数X,y满足/+y 2 一 =1,则（）A.%+y -2 C.%2+y2 1 D.%2+y2 3悼y =sin0 (y =s i n 0故 x +y =V 3 sin0 +cos0=2 sin(0 +7)G 2,2,故 A 错，B 对；6x2 4-y2=(/sin。+co s0)2+(誓sin。)？=sin2 0 -；co s2 0 +=|sin(2 0 -p)+6 弓,2(其中 tancp=，故C对，D错.三、填 空 题(本 大 题 共4小 题，共2 0.0分)1

14、 3 .随机变量X服从正态分布N R,/),若p(2 X 2.5)=【答 案】0.1 4【解 析】【分 析】本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用.【解 答】解：由题意可知，P(X 2)=0.5 ,故 P(X 2.5)=P(X 2)P(2 0 时，点(X iJ nx J C%!0)上的切线为 y-l nx i若该切线经过原点，则nx1-1 =0,解 得x=e，此的切线方程为y =1 .当 X 0 时，点(x2J n(-x2)(X 2 0)上的切线为 y-I n(-X2)=rx(x -x2).2若该切线经过原点，则l n(-x2)-1 =0 ,解 得x=-e,此时切线方程为y =-；

15、.1 5.设点4(一2,3),B(0,a),直线4 B关于直线y =a的对称直线为，已知，与圆C:(x +3产+(y +2尸=1有公共点，则a的 取 值 范 围 为.【答案】1 33(2【解析】【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.【解答】解：因 为 人的=一，所 以A B关于直线y =a的对称直线为(3 -a)x -2y+2a=0 ,所 以 膘 弁 1，整理可得6 a 2 -1 1 a +3 4 0,解 得:W a 4|.4 4+1 3-。)，3 21 6.已知直线2与椭圆兰+4=1在第一象限交于4,B两点，与x轴y轴分别相交于M,6 3N两点，且

16、|M A|=|N B|,MN=2A/3,则 直 线/的 方 程 为.【答案】x+y/2y 2 V 2 =0【解析】【分析】第1 0页，共1 8页本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。【解答】解：取A B的中点为E,因 为MA=NB,所 以ME=NE,设 火勺）。，可 得 自 爰 X含 我 2,即kE,W 一条设 直 线ABy=kx+m ,k 0 ,令 x =0,y =m,令 y =0,%=-三，所以 E（一,）,所 以 及 *=-k2=i,V 2-/k=-,m2+2 m2=1 2 ,m =2,所以直线 AB:y=-y%+2 ,即 x +V 2 y -2A/2 =0 .四、解答题(本大题共6

17、小题，共 70.0分)1 7 .已知 册 为等差数列，4 为公比为2 的等比数列，且a 2%=仇=a4.(1)证 明:%=瓦；(2)求集合 川瓦=am+altl m 5 0 0 中元素个数.【答案】解：(1)设等差数列 an 公差为d由%b2n=a3 b3,知由+d 2bl=%+2 d 4 瓦，故d =2 瓦曲g -b2=b4-%，知%+d 2bl=8 bl -(%+3 d),故的+d -2bl=4 d -(a 1+3 d);故%+d-2 瓦=d-%,整理得的=b19 得证.(2)由(1)知d=2bl=2alf 由为=am+%知：瓦 2k1=%+(T H-1)d+的即瓦 2k-，=瓦+(m 1

18、)2 b l+b ,即2“一 1=2 m,因为 1 m 5 0 0,故2 2-1 1 0 0 0,解得2 f c 1 0,故集合 刈尻=am+alfl m 50 0 中元素的个数为9 个.【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题.1 8 .记 A B C 的三个内角分别为4 B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c 为边长的三个正三角形的面积依次为s S2,S 3,且S 1-S 2+S 3=*，s in F =(1)求 ABC的面积；(2)若sinZsinC=乎，求【答案】解：边长为a的正三角形的面积为?小，,Si-$2+S3=斗(a2

19、62+c2)=今，即accosB=1,由sinB=；得：cosB=：ac=3 3 COS B 4士b e 1-D 1、,3鱼、，1 V2改“以=-aesmo=-x x-=.2 24382(2)由正弦定理得：=/=，故b=|sin B =1sm2B smA sinC sin/lsmC 0 4 2 23【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得a c,继而利用面积公式求解(2)利用正弦定理进行变形，即可求解1 9.在某地区进行某种疾病调查，随机调查了 100位这种疾病患者的年龄，得到如下样(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄；(同一组数据用该区间的中点值作代表)

20、(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间 20,70)的概率；(3)己知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,50)的人口数占该地区总人口数的1 6%,从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间 40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【答案】第 12页，共 18页解：(1)平均年龄元=(5 x 0.001+15 x 0.002+25 x 0.012+35 x 0.017+45 x0.023+55 x 0.020+65 X 0.017+75 X 0.006+85 x 0.002)X 10=47.9(岁)(2)设4=一人患这种疾病的年龄在区间 20,

21、70),则P(4)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x 10=1-0.11=0.89(3)设8=任选一人年龄位于区间 40,50),C=任选一人患这种疾病,则由条件概率公式，得P(C|B)=嘿=。】%篙3xio=0.001x0.23=0 0014375-rD)Lbyo U.1 O0.0014.【解析】本题考查了平均数，概率的求法，考查频率分布直方图、条件概率等知识.2 0.如图，P。是三棱锥P-4 B C 的高，PA=PB,AB 1 AC,E是PB的中点.(1)证明：0E平面PAC;(2)若乙4B0=4CB。=30。，P0=3,PA=5,求二面角C-4E-B

22、正弦值.【答案】解：(1)法一：连接。4、0B,因为P0是三棱锥P-4 B C 的高，所以P0 1平面4 B C,所以POJ.OA,P0 1 0B,所以NP04=乙POB=90,又PA=PB,PO=P 0,所以 POA 三 4 POB,所以。4=0B,作4B中点。，连接。、D E,则有又4 B 1 4 C,所以0D4C,又因为0 0 C 平面PAC,4C u平面P A C,所以0。平面P4C,又。、E分别为4B、PB的中点，所以，在ABPA中，DE/PA又因为D E 笈平面R4C,PAu平面P 4 C,所以DE平面P4C,又OD、D Eu平面。DE,ODCDE=D,所以平面ODE平面P4C,又

23、OEu平面O D E,所以0E平面P4C;法二：(1)连接。4、0B,因为P0是三棱锥P-4 B C 的高，所以P0 1平面4 B C,所以POJ.OA,P0 1 0B,所以4Poz=4POB=9 0,又P4=PB,P0=P 0,所以POA 三APOB,所以。4=0B,y.AB 1 A C,在R tA A B F,。为BF中点，延长8。，交4c于 凡 连 接 PF,所以在APBF中，。、E分别为BF、PB的中点，所以EOPF,因为EOC平面P4C,P Fu平面P A C,所以E0平面P4C;(2)法一：过点。作DF OP,以DB为x轴，。为y轴，。尸为z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.因为P

24、0=3,PA=5,由(1)。4=。8=4,又N4B。=NCB。=30。，所以。=2,DB=2V3.所以P(0,2,3),B(23,0,0),4(-273,0,0),E(返设4C=a,则C(一 2百,40),平面/E B 的法向量设为方=(xi，%,z。，直线48的方向向量可设为己=(1,0,0),直线DP u 平面A E B,直线DP的方向向量为B=(0,2,3)股/所以 之 工 所以1 =0,设yi=3,则Zi=-2,所以五=(0,3,2);平面4EC的法向量设为运=(%2，%，22),A C=(0,a,0)AE=(38,1,|)管.二:所以偌:2+法=所以先=。，法 2 3则Z2=-所以五

25、=(百,0,-6);所以cos=而 两=五 两 羽=五 后=/，二面角C 4E B的平面角为。，则sinJ=-cos2/=所以二面角C 一 AE B的正弦值为技法二：(2)过点4作AF OP,以AB为%轴，AC为y轴，4F为z轴建立所示的空间直角坐标系.因为P0=3,PA=5,由(1)。4=。8=4,第1 4页，共1 8页又N 4 B。=B。=3 0。，所以，AB=4 V 3,所以P(2 5/5,2,3)，5(4 73,0,0).4(0,0,。)，F(3V 3,1,|)设4 C=a,贝 l C(0,a,0),平面A E B 的法向量设为方=(X i，%,Z i),AB=(4 V 3,0,0).

26、AE=(373,1,|)(AB-n 7=0 (4 V 3%i =0竺 2，所 以。行，3 所以与=0设z】=2,则y1=3,所以若=(0,3,-2);平面A E C 的法向量设为我=(%,y,z),A C=(O.a.O),同=(3百,1,|)网？荻=0 旷 以 产 2 =0l F-n J=o (3 岛2 +纥+声2 =O所 以=0，设%2 =8，则Z 2 =-6,所以五=(75,0,-6);所以cos=看 除=募 房=蛊=萼二面角C-A E-B 的平面角为。，则s i n。=V l -c o s20 =费，所以二面角C 4 E 8 的正弦值为段.【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生

27、的空间想象与计算能力，有一定的难度.2 1.设双曲线。圣一5=1(1 0,6 0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=遮 x.(1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于4,B 两点，点P(X i，y D，Q(X 2，y2)在C上,且X i 小 0,丫 1 0.过P 且斜率为一百的直线与过Q 且斜率为旧的直线交于点M,从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立：M 在4 B 上;P Q/AB-,14 Ml =BM.【答案】解：(1)由题意可得、=V 5,7a2+炉=2,故a =1,b =b.因此。的方程为%2 一?=1.(2)设直线P Q 的方程为y=kx+m(f

28、c 40),将直线P Q 的方程代入C 的方程得(3-k2)x2 2kmx-m2 3=0,r n.i ,2km m2+3则/+%2=立，X1X2=,Xi-x2=7(XI+X2)2-4X1X2=2 j3(7 n 2+3 H)3-k2不段点M的坐标为（XMJM），则yM-y i =-V 3(XM-x jJM-=V 3(XM-x2)两式相减，得yi y2=2 aXM V 3(%1 +%2)，而 y2=+m)(k x2+m)=A(%1-2)，故2次式M=k Qi x2)+V 3(%i +%2)，解得两式相加，得2 y M (71+y2)=V 3(%i -%2)，而yi +=(kxi+m)+(f c x

29、2+m)=f c(%i +x2)+2m,故2 y M =k(x1+x2)+-x2)+2m,解得=外1yH2+：y+3m3工XM因此，点M的轨迹为直线y=g x,其中k为直线PQ的斜率.若 选 择 ：设直线AB的方程为丫=/（%-2）,并设4 的坐标为（打，力），B的坐标为（4,均）.m则.,（yA 葭=K=M 应-2），解 得 以=2口k%=2近k同理可得出=岛，如=一 餐 此 时/+XB=%+丫 8=而点M的坐标满足I(yM_=3k(X M -2),(VM 一解得=2k2k2-3-x-A-+-x-B，26k、“=目%+如2 ，故M为48的中点，即|M4|=|MB|.若 选 择 ：当直线4B的

30、斜率不存在时，点M即为点F（2,0）,此时M不在直线y=*x 上，矛盾.故直线4B的斜率存在，设直线AB的方程为y=p（x -2）（p丰0）,并设A的坐标为（乙,力）,B的坐标为（X B/B）m则.（y鼠A=P为（.XA-2），解 由 L_ 不2p 力=不2 75P同理可得“岛，y=-3-此时X”-_-XA+XB _ 2 P 2 一%+yB _ _ 6 p _ -咫，y”_ 2 _ p Z _ 3,由于点M同时在直线y=1x上，故6P=，2 p 2,解得k=p.因此PQ/IB.若 选 择 ：设直线4B的方程为丫=九。一2）,并设4 的坐标为（乙,%）,B的坐标为（知，犯）.第 16页，共 18

31、页m 依-KXA-2)如“耳 _ 2k 2 叫 治=3人解得以一 百 以=口.同理可得 出=品，、B=-符，设A B 的中点为C(x yc)，则标=空=六，=署=由于|M*=|MB|,故M 在A B 的垂直平分线上，即点M 在直线y-%=-0-吟 上.将该直线与y 屋 x 联立，解得知 =六=和，VM=yc，即点M 恰为4 B 中点，故点而在直线4 8 上.【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题.2 2.已知函数/(x)=x e eL(1)当Q =1 时，讨论f(%)的单调性；(2)当x0时，/(%)/(x)=xex ex=(x l

32、)ex=/(%)=xex当 无 (-8,0)时，/(%)0,/(%)单调递增.(2)令g(%)=/(%)4-1 =xeax-e+1(%0)=g(x)0 恒成立又g (%)=e g (0)=0令九(%)=g (%)=hf(x)=aeax+a(eax+axeax)ex a(2eax+axeax)ex,则1(0)=2 a-l若(0)=2 a -1 0,g|Ja h(0)=l im。-f()=l im 四 02 V 7 XT0+X-0%TO+x所以 0,使得当 6 (0,&)时，有史詈 0 =g (x)0 =g(x)单调递增=g(x0)g(0)=0,矛盾若/I(0)=2Q-1 W0,即aW况寸，gf(x)=eax+axe-ex=eax+ln(1+ax)-/+皿 岭)_ ex +)-ex=0 =g(%)在 0,+8)上单调递减，5(x)2 1成 1)令t =l n(l +-)辰 nn n=/一 1.l n(-7 1-+-1 )=j.1.Q l n(-,yjn2 4-n 九 V/c2+k Jk=l k=l,/c +1)=ln(_._)=ln(n+1)2 3 n +1即 舟+高+品ln S+l)，证毕【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解(证明)不等式,属于难题。第1 8页，共1 8页