2022年新高考全国I卷数学真题试卷(含详解).pdf

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1、绝密启用前 试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作 答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再

2、写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.,若集合M=x&n C.3m+2n D.2m+3n4 .南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.己知该水库水位为海拔14 8.5 m时，相应水面的面积为O.O kn?；水位为海拔15 7.5 m时，相应水面的面积为I g O.O kn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔14 8.5 m上升到15 7.5

3、m时，增加的水量约为（7 7 a 2.6 5）（）A.1.0 x 109 m 3 B.I.2x l09m3 C.1.4 x l09m3 D.1.6 x l09m35.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.B.-C.；D.-6.记函数/(x)=s in6 3 2 3CO X d-4+优（y0）的最小正周期为T.若q T 兀,且y =/(x)的 图 象 关 于 点 层,2)中心对称，则/仁 卜()3 5A.1 B.-C.-D.32 27 .设a=0.1e ,8 =J,c =ln0.9,则()9A a b c B.c h a C.c a h D.a c0)上，过点仇0

4、,1)的直线交C于P,Q两点，则()A.C的准线为y =-l B.直线A B与C相切C O P -O Q|(9 A|2 D.BP -BQ BAc12.已知函数x)及其导函数,(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若/|-2 x),g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0B.g 1升 0 C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .(l -:)x+y)8 的展开式中x 2 y 6的系数为(用数字作答).1 4 .写出与圆Y+y 2=l 和(x _ 3)2+(y -4)2=1 6都相切的一条直线的方程.1 5 .若曲

5、线y =(x +a)e*有两条过坐标原点的切线，则”的取值范围是.2 21 6.已知椭圆。：与+方=l(a 8 0),C的上顶点为A,两 个 焦 点 为 F2 离 心 率 为 过 耳且垂直于A巴的直线与C交于，E两点，|O E|=6,则AAQE的周长是.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.f S 11 7 .记 S.为数列 4 的前项和，已知q =1 1。是公差为一的等差数列.a“3(1)求 凡 的通项公式;1 1 1 c(2)证明：1-+k)0.0 5 0 0.0 1 00.0 0 1k3.84 16.63 51 0.82 82 1.已知点A(2,

6、l)在双曲线C：5 J =1(Q 1)上，直线/交C 于 P,。两点，直线A P,A Q的斜率67 (1 1之和为0.(1)求/的斜率；(2)若 t a n/P A Q =2 正，求 P A Q 的面积.2 2.己知函数/(x)=e -双 和 g(x)=o x -l n x 有相同的最小值.(1)求 0；(2)证明：存在直线y =b,其与两条曲线y =/(x)和 y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.绝密启用前 试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用

7、黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每

8、小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.,若集合 用=x l4 4 ,N=X|3XN 1,则 p|N=()D.x-X3【答案】D【解析】【分析】求出集合M,N后可求M c N.【详解】M x 0 x ,故M c N =m+2n D.2m+3n【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA 所以8万=2立4，即CD-CB=2(C4-CD),所 以 而=3诙-2卞=3 1 2浣=-2历+3元.故选：B.4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1

9、48.5m时，相应水面的面积为O.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为ISOQkn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个楼台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(77 a 2.65)()A.1.0 x109 m3 B.1.2xl09m3 C.1.4xl09m3 D.1.6xl09m3【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5 148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S=140.0km2=140 xl06m 下底面积S=180.0km2=1

10、80 xl06m2，V =1/Z(S +S,+V 5 7)=1X9X(1 4 0X1 06+1 80X1 06+/1 4 0X1 80X1 01 2)=3X(3 2 0 +60 5/7)X1 06A(96+1 8X2.65)X1 07=1.437xl091.4xl09(m3).故选：C.B5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）11-A.61-3B.【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=2 1种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4

11、,6）,（4,8）,（6,8）,共 7 种，2 1-7 2故所求概率尸=一.2 1 3故选：D.6.记函数/（x）=s i n（公r +b（00）的最小正周期为T.若 乎 丁%，且y =f（x）的图象关于点中心对称,则/仁 卜（)A.1【答案】A3B.一2C ID.3【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满 足 上T万，得 上 ，解得2。3,3 3 co又因为函数图象关于点（至,2 对称，所以 四。+工=女肛Z e Z,且b=2,所以1 2 ）2 41 2 5a)=+k,keZ,所以0 =一,6 3 2/(x)=sin

12、I x+I+2 ,故选：A7 .设a=0.1e,b=,，c=-ln0.9,贝i j()9A.a b c B.c h a C.c a hD.a c-l),因为 f(x)=1 =一,l+x 1+x当 X G(-1,0)时，f(x)0,当 X G(0,+Q O)时/”(x)0,所以函数/(=山(1+X)X在(0,+8)单调递减，在(一 1,0)上单调递增，所以/(!)/(0)=0,所以l n W J _1 113=ln0.9,即/?c,1 9 1 9-1 1所以/()-0)=0,所以 故？_ ei。，所以L e i。10 10 10 10 101-9故a 人，设g(x)=x e*+ln(l x)(0

13、 x l),则 g，(x)=(x+l)e*+(x2-l)e+lx 1令 h(x)=ev(x2-1)+1,h(x)=e(x2+2 x-l),当0 x(血 1时，。)，函数/i(x)=e*(x 2-1)+1单调递减,当 血 一1%0,函数(x)=e、，1)+1单调递增,又(0)=0,所以当0 c xe近一 1时，所x)0.所以当0 x 0,函数g(x)=x e +ln(l x)单调递增，所以g(0.1)g(0)=0,即O.le01-I n0.9.所以a c故选：C.方法二：比较法解：a=O,le0 1，-,c-ln(l-O.l),1-0.1 lna ln/?=0.1+ln(l 0.1),令 f(x

14、)=ln(l x),x e(0,0.1 ,1 x则 rw=i-=。，I x X故f M在(0,0.1上单调递减,可得/(0.1)/(0)=0,即 lnainb 0,所以 a 0,所 以k(x)在(0,0.1上单调递增，可 得k(x)k(0)0,即g(x)0,所 以g(x)在(0,0 上单调递增，可 得g(0.1)g(0)=0,即a-c Q，所 以a c.故 c ab.8.已知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6乃，且3 4/0,当2#3百 时，V 0,所以当/=2遥 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为三,.2 7 r-8 1又/=3 时，V=一，/=36 时，

15、V=,4 42 7所以正四棱锥的体积V的最小值为一，4所以该正四棱锥体枳的取值范围是故选：C.方法二：基本不等式法：由方法一故所以 V=a2/?=-（6h-h2）h=-（l2-2li）hxh,-x（1 2-2/7）+/7 +/73=（当且仅当3 3 3 3 3 3 =4取到），当力=?时，得=萃，则 嗑=/力=1（萃）2 x 3 =2；当/=3百 时，球心在正四棱锥高线上，2 及 m m 3 3 拒 24,3 9此时 h=F 3 =，2 2正a=萃，正四棱锥体积v =2 =.（芈）2 乂2 =所成的角为4 5【答案】A B D【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，

16、连接与c、BCt,因为。A/B C，所以直线BG与 耳。所成的角即为直线BG与。A所成的角，因为四边形BBCC为正方形，则BC_LBG，故直线BG与 所 成 的 角 为90,A正确；连接4。，因为A 4 L平面B B g C ,B q u平面B B C ,则 BC1,因为 8 C，BG，4 旦 n&C =4,所以 BC|_L 平面 ABC，又A C u平面AB。，所以B G L C 4，故B正确；连接A G，设a a n用。=。，连接3 0,因为_L平面A 4 G 2，。=平面4 4。1，则G O J用B,因为G O J-8Q,B P i C B i B =B 1,所以 G。，平面 B8Q。，

17、所以NG 8。为直线8G与平面8片。所成的角，设正方体棱长为1，则C 0 =巫，B C f,sinZC,BO=1 =1,2 B G 2所以，直线8G与平面88Q Q所成的角为30。，故C错误；因为0 C J平面A 8 C D,所以NGBC为直线8G与平面ABCO所成的角，易 得/。乃。=4 5 ,故D正确.故选：ABD10.已知函数/（尤）=V-x +l,则（）A./5）有两个极值点B.有三个零点C.点(0,1)是曲线y =F(x)的对称中心D.直线y =2 x是曲线)，=.f(x)的切线【答案】A C【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结 合 的 单 调 性、极值可判断B,利用平移可判

18、断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，/()=3%2-1,令/，(x)0得x理 或x平,令/(x)0得 一 也 0)上，过点8(0,-1)的直线交C于P,。两点，则()A.c的准线为y =-lB.直线A B与C相切C.O P -O O D.BP -BQ BA1【答案】B C D【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A B与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得l =2 p,所以抛物线方程为f=y,故准线方程为y =-4，A错4误；1-(-1)1-02,所以直线A 3的方程为y =2 x 1,y =2 x -12x=y联立可

19、得2 x+l =0，解得工=1,故B正确;设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点,所以，直线/的斜率存在，设其方程为旷=依-1,2(王,凶),。(,当)，,b=%2 4 0)=辰-1,联立.),得/_ 依+1=0，所以(x,+x2=k,所以 2或4 O Q =屈+=J%+年，所以 I C P I I C Q|=J/MU+凹)(1 +%)=x生=Z|2 =|0 4 F ,故 C 正确；因为|8 P|=J l+左 2|玉 i，|BQ h V l+F|x21.所以|B P|-|3 Q|=(1 +公)|天|=1+左2 5,而|B A|2=5,故D正确.故选：B C D1

20、2.已知函数/(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若/(g-2 x),g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.gM Uo C./(-D =/(4)D.g(-l)=g(2)【答案】B C【解析】【分析】法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】方 法 1:对称性和周期性的关系研究对于/(X),因为为偶函数，所以=+即，所以/(3-x)=x),所以 f(x)关于 x=对称，则/(-1)=/(4),故 C 正确；对于g(x),因为 g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(

21、x),所以 g(x)关于x=2对称，由求导，和g(x)=7 (x),得叫T=巾+川。-=/0”卜叫-“卜1 1+j，所以g(3 x)+g(x)=O,所以g(x)关于(|,0)对称，因为其定义域为R,所以g(g)=O,结合g(x)关于x=2 对称，从而周期 丁 =4(2_|=2,所以 g _g)=g(|=0，g(-l)=g(l)=-g(2)，故 B正确，D错误；若函数x)满足题设条件，则函数/(x)+C (C为常数)也满足题设条件，所以无法确定了(x)的函数值,故A错误.故选：BC.方法2：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=c o s(7

22、t r),则/(x)=Lin(7 u c)+c ,显然兀A,D错误，选BC.故选：BC.方法3：因 为/g 2x),g(2+x)均为偶函数,所 以/-1-2x呜+2,即|一 =/1|+尤)g(2+x)=g(2-x),所以3-x)=/(x),g(4x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确;3函数A x)，g C v)图象分别关于直线x=-,x=2对称,2又 晨 幻=/(%)，且函数/(为可导,所以g *=，g(3 x)=g(x)，所以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以 g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g -;=f|=0-g(-i)=g 6=-g(2),故B正确，D

23、错误;若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C (C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值,故A错误.故选：BC.【整体点评】法-：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.1-:卜x+y)8的展开式中x2y 6的系数为(用数字作答).【答案】-28【解析】【分析】11-?卜工+才可化为(+封8-?(+,结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因 为1 一2所 以1_5(x+y)8的展开式中含尤2

24、y 6的项为C；x2y 6一2 c江3y 5=-28 x2y 6,XX+J)8的展开式中X2/的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆f+丁=1和(%一3)2+(y 4尸=16都相切的一条直线的方程.3 5 7 25 答案y=一一x+或 y=x-或 x=_ 4 4-24 24【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】解：方法一：显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+如+c=0,|c|,3+4b+c 彳于是时口，下再=4故=1+加，|3+46+(y-4)2=16和d +V=1相减可得方程3x+4y-5=0,即为过两圆公共切点的切线方程,又易知两圆圆心所在直线0 C的方程

25、为4 x-3），=0,4直 线O C与 直 线x+l=0的交点为（一 1,一）,4 k-|7设过该点的直线为y +=Z（x+l）,则|3|一解 得 女=,3=1 2 4“2 +1从而该切线的方程为7%-2 4 y-2 5=0.（填一条 即 可）方法 三：圆/+2=1的 圆 心 为o（o,o）,半 径 为1，圆（彳一3）2 +（了-4）2=16的 圆 心。1为（3,4）,半 径 为4，两圆圆心距为,3?+4 =5,等于两圆半径之和，故两圆外切，4 3 3当 切 线 为/时，因为 自a =,所 以 勺=a，设 方 程 为y =-w x +，（f 0）O至 的 距 离5 3 5，解 得 个，所 以/

26、的 方 程 为 股 丁+“当 切 线 为 加 时，设 直 线 方 程 为 丘+y+=0,其 中p 0,k 0,由题意也=1J 1+F +4+p|_ 4Jl+k2k=-,解 得，P=5-42-2X-7一24y=7一2425一24当切线为时，易知切线方程为x=l,3 5 7 25故答案为：y =x-或,=x-或x=l.4 4 24 2415.若曲线y =(x+a)e 有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是.【答案】(r,T)U(O,”)【解析】【分析】设出切点横坐标,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于X。的方程,根据此方程应有两个不同的实数根，求得”的取值范围.【详解】：y

27、=(x+a)e ,y =(x+l+a)e ,设切点为(%),则%=(工+。),切线斜率%=(/+l +a)e*,切线方程为：y-(A0+)e 0,解得a 0,a的取值范围是(F,Y)U(O,+X),故答案为：(oo,-4)U(0,+0)16.已知椭圆C:Y+亡=l(a /?0)，C的上顶点为A,两个焦点为耳，F”离心率为g.过耳且垂直于人工的直线与C交于。，E两点，I D E 1=6,则AA OE的周长是.【答案】13【解析】v-2 v2【分析】利用离心率得到椭圆的方程为三+六=1,BP 3X2+4/-1 2C2=0,根据离心率得到直线A 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线OE的斜率，写出

28、直线OE的方程：x=y/3 y-c,代入3椭圆方程3*2 +4)，2 _ 12 02=0,整理化简得到：1 3/一6百 勺-9c 2=0,利用弦长公式求得c =,得813a =2 c =一,根据对称性将 AD 的周长转化为与。石的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.4c 1【详解】.椭圆的离心率为e =,02=3 02,.椭圆的方程为a 22 24 +3 =1，即3 f+4 y 2 _ i 2 c 2=0,不妨设左焦点为士，右焦点为瑞，如图所示，TTA F2=a,OF?=c,a =2c,4 4 6 0 =1,耳鸟为正三角形，.过F 且垂直于A K的直线与C交于。，E两点，DE为线段AF,

29、的垂直平分线，直 线 的 斜 率 为 立，斜率倒数为由，直线O E3的方程：x=y/3 y-c,代入椭圆方程版2+4/-12?=0,整理化简得到：1 3/一6 6 c y 9c 2=0,判另式=(6&C+4X13X9C2=62X16XC2,二阳=J l+(百)|yy 2|=2x*=2 x 6 x 4 x 5 =6.c-1,3得4 13。=2c 。=*8 4为线段AF?的垂直平分线，根据对称性，A D =D F2,.AD E的周长等于 g O E的周长，利用椭圆的定义得到乙DE周长为DF2 +EF2|+|Z)E|=|/+EF21+|D Fi+EFl=DFi+DF21+|E用+|匹|=2 a +2

30、 a =4 a =13.故答案为：13.解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记S,为数列 4的前项和，己知q=l,是公差为11的等差数列.3（1）求 4的通项公式;1 1 1 c(2)证明：一+4一阴X1-11X1+生4X-/X4-2=4XJ-1=3-1。一4%I X即一-显然对于=1 也成立,a,的通项公式凡=M：+1）；【小问2详解】1 _ 2a (+1)+1218.记 A3C的内角A,B,C的对边分别为m b,c,已知cos A _ sin2B1 +sin A 1 +cos2B27r(1)若 C=，求 3；3（2）求才：匕的最小值.【答案】（

31、1 ）一;6 4 7 2-5.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将c s A =s i n2B化成1 +sin A l+cos2Bcos（A+B）=sin B,再结合即可求出;（2）由（1）知，。=工+8,A=-2 B,再利用正弦定理以及二倍角公式将心匕化成2 2 c224cos2 8+-5,然后利用基本不等式即可解出.COS2B【小 问1详解】cos A因为sin 2B _ 2sin 5 cos B sin B1 +sin A 1 +cos 2B 2 cos2 B cos 3,即sin B=cos A cos sin Asin 8=cos(4+B)=-cos。=g，7

32、TTT而 0 B 0,所以一 C T T,0 8 m BD=x+y+z=0则 7m-BA=2y=Q可取而=（1,0,1）,、一“一 g-/,、,ii-BD=a+b+c=0设 平 面 的 一 个 法 向 量 =（a,b,c）,贝!）一 ，7 n-BC=2a=0可取 7 =（0,1,-1）,Rm n 1 1=同同=万环=5 所以二面角ABDC的正弦值为20.一医疗团队为研究某地的-一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病

33、例组4 06 0对照组109 0（1）能否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该P(*A)上口中4)疾病P(月|A)与 P 3 )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明:P(A B)P(AB)P(AB)P(AB)；（i i）利用该调查数据，给出P（A|3）,P（A|耳）的估计值，并 利 用（i ）的结果给出R的估计值.附心_ 吆 3_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.05 00.0100.001k3.8

34、4 16.6 3 510.8 2 8【答案】（1）答案见解析(2)(i)证明见解析；(i i)R =6；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(i i)根 据(i)结合已知数据求R.【小 问1详解】知 长2 =M ad-bcf=2 00(4 0 x 9 0-6 0 x 10)2 =口-(a+0)(c+d)(a+c)3 +d)-5 0 x 15 0 x 100 x 100-又尸(K?2 6.6 3 5)=0.01,2 4 6.6 3

35、 5.所以有99%把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】因为R=尸 A)P(3|X)_ P(A B)尸(A)P(函 P(A)P(B|A)-P(BIA)P(A)P(AB)P(A)P(AB)n P(AB)P(B)P(AB)P(B)所 V)K-,z z -=-=P(B)P(AB)P(B)P AB)3 2.0 2,P(A B)P(A B)(i i)由已知 P(A|B)=生，P(A B)=,100 100-6 0-9 0又 P(A|B)=,P(A|B)=，100 100所以R =P A|B)P(A B)2 1.已知点4 2,1)在双曲线C：二 _ 葭_ =i(a i)上，直

36、 线/交C于P,。两点，直线A P,A Q的斜率CT Cl之和为0.(1)求/的斜率；(2)若l an/PA Q =2必，求的面积.【答案】(1)-1；蚱9【解析】【分析】（1）由点A（2,l）在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设=+P（X 1，X）,Q（W，%），再根据怎p+Mt=O,即可解出/的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为。可知直线AP,AQ的倾斜角互补，根据tanNPAQ=2 0即可求出直线ARAQ的斜率，再分别联立直线ARAQ与双曲线方程求出点P,。的坐标，即可得到直线尸。的方程以及尸。的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即 可 得 出 的 面 积

37、.【小 问1详解】r2 v2 4 1因为点4（2,1）在双曲线C：二一一=1（1）,所以f 一 一-=1,解得/=2,即双曲线ci _ 1 cr ci?可得，(1一2公 卜2 -4 mAx-2田一 2=0,易知直线/的斜率存在，设/：丁 =履+加，。（%,凶）,。（工2，2），y-kx+m联立0=/n2-l+2F 02k-1 2k-1所以由心0+砥0=0可得，2二+2二=0，x2-2-2即(X-2)(AX2+m-l)+(x2 2)(+m-l)=0,即 2 例 9 +(m 1-2%乂+X2)-4(/7-1)=0,“2m2+2/4 m k、人/八 八所以2%卅+(?1 一2%)一 一4(加-1)=

38、0,乙 K-1 乙 K 1 J化简得，8%+4Z 4+46(左 +1)=0,即(+1)(2%1 +机)=0,所以左=一1或1 二 1一2人,当m=1 2左 时，直线/:y =丘+机=左（%-2）+1过点A（2,l）,与题意不符，舍去，故人=1 .【小问2详解】方法一：【最优解】常规转化不妨设直线PAP5的倾斜角为a,4（a 曰0,当AB均在双曲线左支时，Z PA Q =2 a,所以t an 2 a=2&，即、历t an?a+t a n a=0，解得t an a（负值舍去）此时以与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当A,B均在双曲线右支时，因为 t an N P A Q =2近，所以

39、 t an（-e）=2夜，即 t an 2 c r=-20，即 忘t an?a-t an a-0 =0，解得t an a=血（负值舍去），于是，直线 B 4:y =0（x 2）+1,直线 P B:y =0（x 2）+1,=回-2）+1联立,f 可得，上 为2 +2（血 一4）X+1 O 40 =0,-_ /=1 2 /2，因为方程有一个根为2,所 以%=1一：夜,y产 K二5,闩 工 田 n r 徂 1 0+4 /2 _ _ 4 /2 51可理可得，xn=-,y。-.0 3 3所以P Q:x+y-j =0,|尸。|=；,点A到直线八2的距离故 P A Q的面积为,*3、迪=生也.2 3 3 9

40、 方法二:设直线A P的倾斜角为a,由t an N P A Q =2 02+1-工 r3 2 V2 ,一夜一 3，得t an。2 212由2,+,得 aS艮*=叵联 畛 L及+1得1 0-4 7 2 4 7 2-5x,=-，y =-1 3 1 31 0+4 及 Y 无5.2 0 6 8同理，x2-，y2-，i&x,+x2 ,X fX2=而|A P|=G|X2|,lAQb Glw-2 1，由 t an N P A Q =2夜，得 si n/P A Q =竽，故 S P AQ=；I A P|A Q|si n Z P A Q=V2 x1x2-2(x,+x2)+4 1-【整体点评】(2)法一：由第一问

41、结论利用倾斜角的关系可求出直线PAM的斜率，从而联立求出点P,Q坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点P,。坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样.2 2.已知函数f(x)=ex-ax和gx=ax-nx有相同的最小值.(1)求 ；(2)证明：存在直线y =b,其与两条曲线y =/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)。=1(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求。注意分类讨论.(2)

42、根 据(1)可得当匕1时，e*_ x =b的解的个数、x-l n x =b的解的个数均为2,构建新函数/z(x)=e +l n x-2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线丁 =力与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小 问1详解】/。)=6 -仪 的 定 义 域 为/?,而/(x)=e a,若则/(x)0,此时八幻无最小值，故a 0.g(x)=a x-nx的定义域为(0,+8),而g (%)=q一工=1.x x当x l n a时，/(x)l n a时，f(x)0 ,故/(

43、x)在(in a,+o o)上为增函数，故/(x)哂=/0 n a)=a a l n a.当0(无，时，g (x)0,故g(x)在上为增函数，a a)故 g O O min =g(L =l h J.a J a因为/(x)=e -融 和g(x)=以Tnx有相同的最小值，c i 故l-l n 二。一a l n a,整理得到-=l n。，其中a 0,a1 +。设g(a)=l n a,a 0,则 g (a)=?、5一：=3 故g(a)为(0,+。)上的减函数，而g(l)=O,故g(a)=O的唯一解为a =l,故 j=l n a的解为a =l.1+a综上，4 =1.【小问2详解】方法一：由Q)可得(x)

44、=e*-x和g(x)=x-l n x的最小值为l-l n l =l-l n；=l.当5 1时，考虑e x=b的解的个数、x l n x=b的解的个数.：S(x)-ex-x-b,S,(x)=ev-1,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+o o)上为增函数，所以=S(O)=1匕0,S(b)=e 力，设=其中6 1,则 (。)=廿 20,故a 在(1，+。)上为增函数，故(b)*l)=e-2 0,故S 0,故S(x)=ex力有两个不同的零点，即e-x =。的解的个数为2.设T(x)=x-ln x-力，T,(x)=-,当 0 c x 1 时，T(x)l

45、时，T(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,笆)上为增函数，所以T(L=T =1一方 0,T(eh)=eb-2b0,T(x)=x-ln x 6有两个不同的零点即无lnx=8的解的个数为2.当6=1,由(1)讨论可得x-lnx=/?、e*-x=Z?仅有一个解，当6l.设(x)=e*+Inx-2x,其中 x0,故(x)=e+!-2 ,X设s(x)=e*-x-1,%0,则s(x)=e*-10,故s(x)在(0,+8)上为增函数,故s(x)s(O)=O即e*x+l，所以“(x)x+J lN 2 l 0,所以(x)在(0,+8)上为增函数，1 JL 7?iTn/z(l)=e-2 0,/()

46、=ee，-3-e-3一 一?0-e e e故(x)在(0,+)上有且只有一个零点，1且：当0无时，()0即炉一刀 了一111%即/(%)/时，(x)()即 e x x In x 即/(x)g(x),因此若存在直线丫=与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故匕=/(%)=8(y)1,此时6-了 =有两个不同的根%,%(内 0)，此时工一111%=人有两个不同的根毛,X 4(工 0 1 的解，所以%,/=一 昌一8,而/?1,X,=x.b故 ，即 +%=2%.玉 x0 b方法二：由 知，/(%)=ex-x ,g(x)=x-l n x,且f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,T 8)

47、上单调递增；g(X)在(0,1)上单调递减，在(L+O。)上单调递增，且/(X L”=8口端。=1.人。，显然V=与两条曲线N =/和 V=g(%)共有0 个交点，不符合题意；b =时，止 匕 时 /(X)min =g(X)min =1=。，故 y =b 与两条曲线y =f(x)和 y =g(x)共有2 个交点，交点的横坐标分别为0 和 1；61 时，首先，证明y =b 与曲线 =/(幻 有 2 个交点，即证明 E(x)=f(x)-b 有 2 个零点，F(x)=f x)=ex所以尸(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+o o)上单调递增，又因为 F(-6)=e 0，尸(0)=1 。0,(4

48、-t(b)=eh-2 b，则 S)=e -2 0 ,t(b)z(l)=e -2 0)所以 F(尤)=/(x)匕在(-o o,0)上存在且只存在1个零点，设为在(0,+8)上存在且只存在1个零点，设为其次，证明丫 =。与曲线和y =g(x)有 2 个交点,即证明 G(x)=g(x)-)有 2 个零点，G (x)=g (x)=1 -Lx所以G(x)(O,l)上单调递减，在(l,+o。)上单调递增，又因为G(e H)=e-0,G(0)=l 。0 ,(令/j(b)=b-ln2h,则(=1一,0,(6)(1)=1-l n 2 0)b所以G(x)=g(x)一8在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为七，在

49、(1,”)上存在且只存在1个零点,设为七 再次，证明存在b,使 得 =%3：因为/?(4)=G(X 3)=O，所以b=e*-2 =七-足 七，若 马=，则 e 2-A:2=x2-I n x2,即 e*-2X2+l n x2=0 ,所以只需证明e -2 x+l n x =0在(0,1)上有解即可，即0(无)=ex-2 x+I n x在(0,1)上有零点，9因为9(二0 =/y-3 0(1)=0,e /所以*(x)=e*-2 x+l n x在(0,1)上存在零点，取一零点为%,令%=%3=%)即可，此时取b=e-x0则此时存在直线y=b,其与两条曲线y =f(x)和 y =g(x)共有三个不同的交

50、点，最 后 证 明%+%=2%,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为尸(玉)=F(&)=F(x0)=0 =G(X3)=G(x0)=G(X4)所以 Fa)=G(X o)=尸(I n%),又因为尸(x)在(一8,0)上单调递减，%,0,O XO 1B P l n xo0即8%1，x,l,所 以 乂=1，又因为e*-2x0+l n x0=0 ,所以玉+x4=e+l n x0=2x0,即直线y=匕 与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用