2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形的综合题.pdf

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1、2023年中考九年级数学高频考点拔高训练一相似三角形的综合题1.如图，在 RS ABC 中，ZACB=90,AC=10cm,BC=15cm,点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以 1 厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从 C 出发沿CB向B 点以2 厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒(1)当t=4 时，求线段PQ的长度(2)当t 为何值时，PCQ是等腰三角形？(3)当t 为何值时，PCQ的面积等于16cm2?(4)当t 为何值时，APCQs4ACB2.我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补(即对角之和为180。)，则称这个四边形为圆满四

2、边形.(1)概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有.(2)问题探究：如图*,在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若NADB=NACB,问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由.小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明 AODSZBO C,得 到 比 例 式 黑=器，再证明 A O B s/D O C,得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补.请你帮助小明写出解题过程.D图1B(3)问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题.如图，四边形ABCD中,ADBD,ACBC,AB 与 DC 的延长

3、线相交于点 E,BE=BD,AB=5,A D=3,求 CE 的长.却3.如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，直 线 y=kx+2 与y轴交于点A,与 轴(2)如图2,点P在第三象限的直线A B上，点C在 点A上方的y轴上，连接PC、B C ,P C交 x轴于点N，且tanzAPC =1,设 点P的横坐标为t,X A BC的面积为S,求 S 与 t 的函数关系;(3)如图3,在(2)的条件下，点。在 y 轴的负半轴上，点 E 为 A B 的中点，连接D E,PD,AD =ON,当乙 PD E =4 CD时，求 点D的坐标.4.已知如图，抛物线y=-1 x2+%+4 交 x 轴于A、C

4、两点，点D 是x 轴上方抛物线上的点，以A,D 为顶点按逆时针方向作正方形ADEF.(1)求点A 的坐标和抛物线的对称轴的表达式;(2)当点F落在对称轴上时，求出点D的坐标;(3)连接O D交 E F 于点G,记 0A和 E F 交于点H,当 A F H 的面积是四边形A D E H 面积的1C时则 出二.(直接写出答案)5.如图，在 AABC中，AB =AC ,B AC =a(0 a 1 8 0；，过点A作射线AM交射线8 c 于点。，将AM绕点A逆时针旋转a得到A N,过点C作C F/A M交直线AN于点尸，在A M上取点E,使AE B =LACB.如 图 1,当 a =6 0。时，线段C

5、 E 和 C F 之间的数量关系为_A_.如图2,当 a =9 0。时，写出线段A E,C E 和 C 尸之间的数量关系，并说明理由.(2)当tana=1 ,AB =5时，若4 CDE是直角三角形，直接写出AF的长.(I)如图1,在正方形A B C D 中，点E,产分别在边B C,C D 上，且A E J.B F,请直接写出线段A E与B F 的数量关系(2)【类比探究】如图2,在矩形ABC。中，AB=3,4。=5,点E,F分别在边BC,CD上，且AE _ L B F,请写出线段4E与BF的数量关系，并证明你的结论.(3)【拓展延伸】如图3,在RtAABC中，乙4BC=90。，D为BC中点，连

6、接4。，过点B作BE 1 4 0于点F,交AC于点E,若4B=3,B C =4,求BE的长.7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是C D边上的一个动点(点E不与点C重合)，延长D C到点F,使EC=2 C F,且A F与B E交于点G.(1)当EC=4时，求线段BG的长：(2)设CF=x,ZkGEF的面积为y,求y与x的关系式，并求出y的最大值:(3)连接D G,求线段D G的最小值.8.如图，ABC 中，BA=BC,CO_LAB 于点 0,A0=4,BO=6。(2)若点D是射线O B上的一个动点，作DEJ_AC于点E,连结0E。备用图当点D在线段0 B上时，若 AOE是以A

7、O为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长。设 DE交直线BC于点F,连结OF,C D,若SAO B F：SAOCF=1：4,则 CD的长为多少？（直接写出结果）9.如图1,在 RtAABC中，ZC=90,AC=6,BC=8,动点P 从点A 开始沿边AC向点C 以 1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PDB C,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q 的速度（匀速运动），使四

8、边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长.10.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）概念理解:如图1,在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.（2）问题探究：小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形 是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由.如图 2,小红画了一个 RS A B C,其中/ABC=90。，AB=2,BC=1,并将 Rta ABC 沿/ABC的平分线BB，方向平移得到 A，B，U,连结AA，B C,小红要使平移后

9、的四边形ABCA，是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB，的长）？(3)拓展应用:如图3,“等邻边四边形 ABCD中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=90,AC,BD为对角线，AC=迎A B,试探究BC,CD,BD的数量关系.1 1.如图，在平面直角坐标系中，直 线 y=2x+6 与 x 轴交于点A,与y 轴交点C,抛物线y=-2x2+bx+c过A,C 两点，与x 轴交于另一点8.(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接8 E,与直线AC相交于点F,当E F =B F时，求 sin/EB4 的值.(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线

10、上是否存 在 一 点 使 以N,E,8 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.1 2.综合与实践：制作无盖盒子(1)任务一：如图1,有一块矩形纸板，长是宽的2 倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4 cm,容积为616cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计).请求出这块矩形纸板的长和宽.(2)任务二：图2 是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图3 是其底面，在五边形ABCDE 中，BC=12cm,AB=DC=6cm,ZABC=ZBCD=120,ZEAB=ZEDC=90.试判断图3 中AE与DE的数量关系，并加以证明.图 2 中的五棱柱盒子可

11、按图4 所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm?请直接写出结果(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计).13.如图，已知二次函数y=a/+:+c的图象经过点C(2,-3),且与x 轴交于原点及点(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使/IBM是等腰三角形？如果存在，请求出点M 的坐标.如果不存在，请说明理由；(3)若点P 为。O 上的动点，且。O 的半径为2 v L 求+的最小值.14.在 ABC 中，B A=B C ,/.AB C =a(0 a =6.当 的=苧 时，求/E 的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.答

12、案解析部分1.【答案】（1）解：当t=4时，.点P 从A 出发沿AC向C 点以1厘米/秒的速度匀速移动，点Q从C 出发沿CB向B 点以2 厘米/秒的速度匀速移动，.AP=4cm,PC=AC-AP=6cm、CQ=2x4=8cm,PQ=J pc2+CQ2-10cm(2)解：VAP=l,PC=AC-AP=10-t、CQ=2t,当 PC=CQ 时 10-t=2t t=学(3)解：V AP=l,PC=AC-AP=10-t,CQ=2t,；.SA P Q C=|PCxCQ=t(10-t)=16,，ti=2,t2=8,当 t=8 时，C Q=2 t=1 6 1 5,舍去，.当 t=2 时，PQC 的面积等于

13、16cm2 PCQ-A A CB只需要满足夹这个直角的两边对应成比例即可，由题意知：AP=t,PC=AC-AP=10-t、C Q=2 t,当 作=器 时 需=需解得：t=2.5;当 罂=器时,需=卷解得：t=挈 综上所述即可得出当t=2.5或 皇时，PCQ-AACBo2.【答案】（1）矩形，正方形（2）解：证明：VZADB=ZACB,ZAOD=ZBOC,，NDAO=NCBO,AODABOC,嚼=黑，又/AOB=NDOC,AOBADOC,/.ZOAB=ZODC,ZOBA=ZOCD.ZADB+ZODC+ZOBA+ZOBC=ZACB+ZOAB+ZOCD+ZOAD=180,BPZADB+ZABC=ZD

14、CB+ZDAB=180.四边形ABCD是圆满四边形(3)解：如图，VADBD,ACBC,.,.ZADB=ZACB=90,四边形ABCD是圆满四边形，由上可得，Z DAB+ZDCB=Z ADC+Z ABC=180,ZBDC=ZBAC.又：BE=BD,ZBED=ZBDC=ZBAC,；.AC=EC.XVZBCE+ZDCB=180,.ZBCE=ZDAB,又/BEC=NDEA,.*.BECADEA,.E C _ B C AE =AD 设 AC=EC=x,贝 I BC=yjAB2-A C2=0 5 -NBD=AB2-A D2=%；.EA=5+4=9,.-j2 5-x2 _ x,解得，x=30.-9 2即：

15、CE=3留3.【答案】（1）解：,直线y=kx+2与y轴交于点4,与 x 轴交于点B ,令 1=0,则 y=2,点A的坐标为（0,2）,：.OA=2,VOB=20A,：.OB =4,即B点的坐标为（一 4,0）,将（一 4,0）代入 y=丘+2 得：0=.4k+2,解得：V,直线的解析式为：y=*x+2;（2）解：过点A 作E A 1 A B ,与PC交于点E,过E 点 作E G l y轴，垂足为G,过 P 点 作PF 轴，垂足为F,：.PAF +Z.E AG=9 0 ,PAF +AAPF=9 0 ,C.LAPF =Z.E AG ,E G 4 =Z.AF P=9 0 ,：.LAE G LPAF

16、 ,V tanz.APC=g，.AE _ E G _AGAP=AF =PF =3 9设 P（3 1 +2）,则 PF =-t,AF=-1AG =I PF =,E G =AF =，.点A的坐标为（0,2）,2-1）,设P E的解析式为：y=ax b,由 P（t,寺 +2）,E（5 2 !）可得：a=1b=2-，点C的坐标为（0,2-1）,AC=2 -2 =-2，:B O=4 ,=T，at+b=5 +21 2 ,解得吟+匕=2一5即 S =T;(3)解：作 EFIDE交P D 于 E 设 P C 与 x 轴交于点N,由 PC解析式：y =x+(2-5 ,P C O =4 5 ，：.0N=OC=2-

17、j,.AD=O N =2，.,.点D的坐标为(0,1)V z P D F =乙PCD=4 5 ,A DEG 2 A EFH，：.EG=FH=2,DG=EH=1-三，F(-3 +2，-1)，设 P D 的解析式为：y=mx+n,由 P(t,1+2)(0,1)可得:(+2=mt+n fm =72,，解得：l 齐几 上 方：.PD的解析式为：y =|x+1 ,把 点 F(3 +，1)代 入 y=-x+!得:|(-3+|)+1=i,解得：6,以=2 (舍)，D(0,-3).4.【答案】解：当y=0时，则一於2+9 +4=。整理得：(x-5)(x+1)=0解之：Xl=5,X 21.点A 在 x 轴的正半

18、轴.点 A(5,0)16对称轴为：直线=-m=2-1x2(2)解:过点D 作DM_LAO于点M,AO与对称轴交于点N 正方形 ADEF；./FNA=NDMA=90,ZDAM+ZMDA=90,/DAM+/NAF=90,iMD A=4 NAFAD=AF：.NMDA=NNAF 在 ADM 和 NAF 中 AD =AF 二 ADM安 NAF(ASA)./.D MA=Z.ANF.DM=AN点 A(5,0),轴对称为直线x=2.AN=5-2=3.DM=3设点D(x,-1 x2+x +4).-4%2+普+4=3解之：x产+.；9 X2=上咨.点 D(生 守，3)或(土 1,3)(3)4005.【答案】(1)

19、解：(1)AE=C F +C E;如图2 中，结论：EC=&(AE C F).理由：过点C 作C Q L A E于Q.图2 C F/AM,CFA+MAN=180,乙MAN=90。,CFA=Z.FAQ=90,v 乙CQA=90，四边形AFCQ是矩形，/.CF=AQ,v Z.ADC=BDE,乙DEB=z.ACD,ACD BED,丝 生：,BD ED AD _B2DC=ED v Z.ADB=Z.CDE,.ADB CDE,/./.ABD=Z-CED=45,v Z-CQE=90，:CE=EQ,：.AE-CF=AE-AQ=EQ,EC=/2(iAE-C F).(2)解：如图31中，当 CDE=90时，过点B

20、 作 BJ 1 A C 于 J,过点F 作 FK 1 A E 于 K.在 Rt ABJ 中，ta.nz.BAJ,AB=5，AJ JAK2+FK2=J（花）2 4-（苧/二 苧 如图32 中，当 Z.ECD=9 0 时，同理可得：Z.DAB=NEZC 4-/.CAB=乙EBC+乙CEB=90A Z.AKF=z.DAB=90o,.,CK 4在 Rt ACK 中，tanZ-CAK=-TT7 ，AC 5,AK:,CK=4,AK=3,v MAN=LCAB,/./.CAN=Z.DAB=90,Z.CAB+z.BAF=SQ，BAF+Z.AFK=90,/.Z.AFK=CAB，7 AK 4 tanZ-AFK=77

21、77=K，FK 39 FK=：,4 AF=y/AK2+KF2=J32+()2=苧综上所述，满足条件的AF的 值 为 挛 或 学.4 46.【答案】(1)AE=BF 解:器 证明：V 4E1B F,：.BAE+Z.ABF=90,在矩形 ABCD 中，/.ABC=90,C B F+/4BF=90。,：.Z.BAE=乙 CBF,:.Rt ABE Rt BCF,.AB _AE,阮=丽.AE _ 3,丽=中（3）解：如图，过点A 作 的 垂 线，过点C 作BC的垂线，两垂线交于点G,延长BE交CG于点H.二四边形A8CG是矩形.1 D 为BC中点,:.CD=BD=2.：AB=3,.AD=7 AB2 +B

22、D2=V13.由 知 器 号.BH=警.在Rt BCH 中,CH=y/BH2-B C2=|,9AB|CH：.hABE CHE,.AB _ BE西=丽 3 _ BE即苧=4了 _*解得3后=喑 17.【答案】（1）解：.四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8,：.AB=8 =6,AD=BC=8,AB|CD,AD|B C,乙BCD=90,/.Z-BAG=乙F,VEC=2CF,EC=4,：.CF=2,：.EF=CE+CF=6,：.EF=AB,又.N4GB=乙FGE,：.AAGB w4FGE(44S),：.BG=GE,在RtABCE中,BE=VBC2+CE2=V82 4-42=4V5,BG=B E=

23、2V5;(2)解：设AF与BC交于点P,过点G 作GM_L8C于M,如图所示,VCD|AB,，4GET AGBA,.GE _EF 屈fVAB=6,EF=CE+CF=2x+x=3xf.GE _3x _ xBG=6=TVGM 1 BC,Z.BCD=90,：.GM|CE,CE _ BE _ BG+GE W=BG=BG日 n 2%BG+GE.x即 而=-=1+2 一”4%GM=-x+29：AD|BC,：.AFCP 4FD4.PC _CF而=丽即 畀 磊 解 得 PC=黑，又：GM|CE,：.AFCP-AGMP,4x.GM _ PM HH+2 _ PM,CF=PC*即=一 豆，x+67?r解得 PM=(

24、x+2)(x+6)32x 8x 8x M =PM+PC=(X+2)(X+6)+=1，y=SAGEF=.CM=；3x.果=缪，y 与x 的关系式为：y=驾，z x+2.点E 是CD边上的一个动点(点E 不与点C 重合)，CE=2x,-02x 6,EP0 x=-11 n0-15 x 亏12=6r ,ADPBD,.PDBQ不能为菱形.设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，则 BQ=8-vt,PD=,BD=10-|t ,要使四边形PDBQ为菱形，贝 lj PD=BD=BQ,当PD=BD时，即=10-|t ,解得：t=学当PD=BQ,t=学 时，即 9学=8-学 u,解得：v=|当点Q 的速度为每秒个单位

25、长度时，经 过 学 秒，四边形PDBQ是菱形.（3）解：如图2,以C 为原点，以AC所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.却依题意，可知09W 4,当t=0时，点M i的坐标为（3,0）,当t=4时点M2的坐标为（1,4）.设直线MIM2的解析式为y=kx+b,.（3k+b=0t/c+b=4 ，解得（k=-2建=6，直线M1M2的解析式为y=2x+6.1 点 Q（0,2t）,P（64,0）.在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（殍，t）.把 x=代入 y=-2x+6 得 y=-2x+6=t,.点M3在直线M1M2上.过点 M2作 M2NJ_x 轴于点 N,则 M2N=4,MIN=2.,.MI

26、M2=2 V5线段PQ中点M 所经过的路径长为2 V 5 单位长度.10.【答案】（1）解：AB=BC或 BC=CD或 CD=AD或 AD=AB（任写一个即可）（2）解：正确，理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，：四边形是“等邻边四边形“，.这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；VZABC=90,AB=2,BC=1,；.AC=V5，二将RtA ABC平移得到 ABC,.,.BB=AA,ABAB,AB=AB=2,BC=BC=1,AC=AC=圾,(I I)如图 2,当 AA，=AC时，BB，=AA，=AC=V?；C图2 B(III)当 AC=BC=V5 0寸，如

27、图3,延长CB，交 AB于点D,则 CB，AB,ZABB=|NABC=45。，NBBD=2ABB，=45设 B，D=BD=x,则 C,D=x+l,BBr=V2 x,在 RtA BCD 中,BD2+(CD)2=(BCr)2/.X2+(x+1)2=(遥)2,解得：X l=l,X2=-2(不合题意，舍去)，/.BBf=V2 X=V2(IV)当 BC=AB=2 时,如 图 4,与(III)方法一同理可得:BD2+(CD)2=(BC)2,设 BD=BD=x,则 X2+（X+1）2=22,解得：X 1=Z1+/Z,X 2二与（不合题意，舍去），/.BBf=V2 x=色、吃（3）解：BC,CD,BD 的数量

28、关系为：BC2+CD2=2BD2,如图 5,图5VAB=AD,二将 ADC绕 点A旋转到 A B F,连 接CF,/.ABFAADC,/.ZABF=ZADC,ZBAF=ZDAC,AF=AC,FB=CD,ZBAD=ZCAF,第=需=1,ACFAABD,=V 2，:,CF=V2 BD,ZBAD+ZADC+ZBCD+ZABC=360,ZABC+ZADC-360-(ZBAD+ZBCD)=360。-90。=270。，.,.ZABC+ZABF=270,.ZCBF=90,.,.BC2+FB2=CF2=(V2 BD)2=2BD2,/.BC2+CD2=2BD2.11.【答案】(1)解：在y=2x+6中，当x=0

29、时y=6,当y=0时 =3,.(0,6)、4(一 3,0),.抛物线y=-2x2+bx+c的图象经过A、C 两点,(18-3 b+c=0*c=6 抛物线的解析式为y=-2x2-4%+6；(2)解：令一2/一4%+6=0,解得1=-3,右=1，8(1,0),设点E 的横坐标为t,则 E(,2t2 一例+6),如图，过点E 作E H l x轴于点H,过点F 作F G L x轴于点G,则E H|F G ,BFGABEH,B F _ B G _ F G _2 踮 一 丽=丽=B H=1-t,B GgB H=一 手，点F 的横坐标为J+,。尸 4 +擀 t,t)9 。一 2d 4t+6=怖&t)9；产

30、+3t+2=0，解 得,=2，12=-1，当 ti=-2 时，2t2 4t+6=6,当 12=-1 时，2t2 4t+6=8,A Ex(-2,6),E2(-l,8),当点E 的坐标为(-2,6)时，在 Rt A EBH中，E H=6,B H=3 ,-B E=VEH2+B H2=V62+32=3V 5，sinz.E B A=；同理，当点E 的坐标为(-1,8)时，sin/EB4=铝 =雪，B E 17：.sinAE B A的 值 为 鎏 或 填 Z；5 17(3)解：I点N 在对称轴上，.打=二 羿 =一 1,.点E 位于对称轴左侧，.E(2,6).当EB为平行四边形的边时，分两种情况:(I)点

31、 M 在对称轴右侧时，BN为对角线,2,6),xN=-1 ,1 (2)=1,F(1,O),.xM=1+1=2，当 x=2 时，y-2 x 22-4 x 2 +6=-10,.,.A f(2,-10)；(U)点M 在对称轴左侧时，BM为对角线，：xN=-1 ,B(l,0),1-(-1)=2,E(-2,6),：.xM=-2-2 =-4 ,当 =-4 时，y=-2 x(-4)2-4 x (-4)+6=-10,AM(-4,-1 0)；当 EB为平行四边形的对角线时，VB(l,0),F(-2,6),xN=-l ,.1+(-2)=-1 +%M，=0,当 x=0 时，y=6,AM(0,6)；综上所述，M 的坐

32、标为(2,-1 0)或(一4,一 1 0)或(0,6).12.【答案】(1)解：如 图 1所示：口.a h.r l国i设矩形纸板的宽为xcm,则长为2xcm,由题意得：4(x-2x4)(2x-2x4)=616,解得：4=15,x2=-3 (舍去)，；.2x=2x 15=30,答：矩形纸板的长为30cm,宽为15cm；(2)解：AE=DE,证明如下：延长EA,ED分别交直线BC于 M,N,VZABC=ZBCD=120,A ZABM=ZDCN=60,V ZEAB=ZEDC=90,NM=NN=30,.EM=EN,在AMAB 与ANDC 中，VZM=ZN,NABM=NDCN,AB=DC,；.MAB也

33、N D C,二 AM=DN,EM-AM=EN-DN,AE=DE；如图4,EB图4由得；AE=DE,NEAD=NEDA=30。，由已知得，AG=DF=4,连接AD,G F,过 B,C 分别作BM_LAD于 M,CN_LAD于N,过 E 作EP_LAD于 P,则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12,AP=DP,.*.ZBAM=ZCDN=60,VAB=CD=6,；.AM=DN=3,BM=CN=3百，/.AP=|AD=1(3+3+12)=9,/.AE=6V3,PE=3V3，；ADGF,EADAEGF,.煞=黑，GF=18+4 7 3，矩形纸板的长至少为18+4V3,矩形纸板的宽至少为PE+BM+27

34、3+4=3A/3 4-33+2,y/3+4=4+8y/3(64a+8匕 +c=013.【答案】(1)解：由题意 a +2b+c=3,(c=0解得I c=0，二次函数的表达式为y=Jx2-2x.q(2)解：过点A 作直线AF 1 x轴于点F,二抛物线的顶点4(4,-4),AM=BM,：B(8,0).：.BF=4,.Z.AFB=90,AF=BF=4,.ABF是等腰直角三角形.，M 在点F 处，44BM是等腰直角三角形，止 匕 时 M 为(4,0);AB=AM.由得 ABF是等腰直角三角形，BF=4,-,-AB=7(4-8)2+(-4-0)2=4V2.为(4,4 4V)或(4,-4+4A/2);AB

35、=BM.：AB=BM,BF 1 AM,：.MF=AF,；.M 为(4,4).综上所述，M 为(4,0).(4,-4-4 V 2),(4,-4+4立)或(4,4).(3)解：如图2,以。为圆心，2鱼 为半径作圆，则点P 在圆周上，在。4上取点D,使。O=V I,连接PD,则在/AP。和4PD0中，满足：镭=器=2，AOP=POD,：.AAPO-APDO,.PO _ AO _PDOD POAP 从而得：P D=*4P，1 *AP+PB=PD+PB,.当B、P、D 三点共线时，PD+PB取得最小值,过点D 作。GLOB于点G,由于OD=V L 且ZMB。为等腰直角三角形，则有DG=1,DOG=45,

36、WAP+PB的最小值为：AP+PB=DB=VDG2+BG2=J l2+(8-l)2=5/2-14.【答案】(1)解：过点P 作 PDAC交直线CQ于 D,.,.ABC为等边三角形，A ZACB=60,BC=AC,VPD/7AC,AZDPC=ZACB=60,ZACQ=60,Z DCP=180-Z BCA-Z ACQ=60=Z DPC,DPC为等边三角形，AOC=PD,ZPDC=60,V ZAPQ=a=60,ZAPQ+ZQPC=ZQPC+ZCPD,即 NAPONQPD,在 APC和 QPD中，Z.APC=乙 QPDPC=PD,PCA=乙PDQ.*.APCAQPD(ASA),AAC=QD=BC,BP

37、=BC-PC=QD-CD=CQ,.BP _CQ _、CQ CQ 1；(2)解：=k,理由如下：过P 作 PF|A C 交BA于F,，NFPA二 NPAC,V ZAPE=ZECQ=a,ZAEP=ZQEC,/.ZPAE=180-ZAEP-a=180-ZQEC-a=ZPQC,AZPAB=ZPQC,VZFAP+ZAPB=180-a=ZAPB+ZQPC,AZFAP=ZQPC,VAB=BCAZBAC=ZBCA,VPF II AC,AZBFP=ZBPF,ABF=BP,J AF=AB-BF=BC-BP=CP,在 AFP和会PCQ中，ZFAP=Z.CPQZ.APF=(PQC.AF=PC AFP 三 PCQ(/L

38、4S),：.FP=CQ,VZFBP=ZABC,ZBFP=ZBAC,/.FBP-ABC,.BP _ PF 日 n BP _ 8C _,阮，即 PF=AC=k*CQ=而=；解：PCQ面 积 为 竽 或 学.15.【答案】（1）解：VFHAE,.ZFEH+ZHFE=90o,矩形BEFG,AZFEH+ZAEB=90,AZAEB=ZHFE,在 FHE与 EAB中，2BAE=乙 EHF=90乙HFE=乙AEB，BE=EF.*.FHEAEAB(AAS),/.FH=AE；(2)VA FHEAEAB,AE=FH,VAD=6,设 CD=x,A E=6-x,.DEF 的面积=-=DE-FH,可 得:/x(6-x)等

39、，解得：%=怖,%2=:，即线段DE的长为擀或彳(2)解：VFH1AE,NFEH+NHFE=90。，矩形BEFG,AZFEH+ZAEB=90,AZAEB=ZHFE,/.FHEAEAB,.FH _EF _ 1 _/3丽 一 前 一 再 一 行,.,AB=6,.HE EF V3AB=BE=T HE=2,延长FE交 DC于点Q,：Q 是CD的中点，1 DQ=CD=AB=,设FH为x,贝 I AE=V3 x,则 DE=6-V3 x,VZDEQ=ZFEH,ZFHE=ZQDE=90,EDQAEHF,.FH _ HEDQ=DE E I x 2即 75=打 版 解得：Xi=V3+1，%2=V3 1，线段FH长

40、 为 遮+1或 百-1.16.【答案】(1)解：AE=2B E,理由如下,如图：:在/ABC中，Z.BAC=90,ZC=60：.ABC=30,:BE=BD:.乙 BDE=15BDA=90-乙BDE=90-15=75在 ABC中:Z.BAD=180-乙ABD-Z.BDA=180-30-75=75：./.BAD=/LBDA=75AB=BD=BE：.AE=2BE AE=2B E,理由如下,如图：,:BE=DE:.乙EBD=Z.EDB=3 0 ,乙AED=60.在R tM D E中，AEAD=30：.AE=2ED：.AE=2BE（2）解：分别过点A,E作B C的垂线，相交于点G,H易知：XEGD S&DHA（一线三垂直）设DE=V3a,AD=2a则AE=y/DE2+AD2=V7a，BE=6-V7a,在山 ABC中，/.ABC=30,AB=6AD _则/C =不=2V3,BC=2AC=4V3在山 BEG中，/.EBG=30,BE=6-y7a则EG=竽=3 一或a在R tM H C 中，zC=60,AC=2V3AH=y3ACrDH=y/AD2+AH2=yj4a2+9由 EGD DHA解得：的=q用,故 4E=V7a=令当乙E4D=30,ED EGADDHR _ 3-g a2 J4a2+9=-3V7（舍）A E最小，最小为4