2022年高考数学全国乙卷（理科）.pdf

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1、绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（乙 卷 理 科）注 意 事 项：答 题 前，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 认 真 核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座 位 号 及 科 目，在 规 定 的 位 置 贴 好 条 形 码.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其

2、它 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时,将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 6 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集 U=1,2,3,4,5 集 合“满 足 C u M=l,3,则（）A.2 E M B.3 E M C.4 任 M D.5 s M2.己 知 z=l 2 i,且 z+a 五+b=0,其 中 Q,b为 实 数，则()A.a=l,6=2 B.

3、a=-1,b=2 C.Q=1,b=2 D.Q=-1,b=-23.已 知 向 量 4,4满 足 同=1,同=|五-2同=3,则 日 古=()A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦 娥 二 号 卫 星 在 完 成 探 月 任 务 后，继 续 进 行 深 空 探 测，成 为 我 国 第 一 颗 环 绕 太 阳 飞 行 的 人 造 卫 星.为 研 究 嫦 娥 二 号 绕 日 周 期 与 地 球 绕 日 周 期 的 比 值，用 到 数 列 吼：仇=1+,b2=1+3=5%+工 a2=1+-，以 此 类 推，其 中。1+10-2-其 中（k=l,2,）则()A.b bT)B.b3Vb8 C.b6Vb2

4、D.b4Vb75.设 尸 为 抛 物 线=4/的 焦 点，点 A 在。上，点 3(3,0),若 AF=|B F|,则 AB=()A.2 B.2V2 C.3 D.3V2396.执 行 下 边 的 程 序 框 图，输 出 的 门=A.3 B.4 C.5 D.6()/输 出 7 1/,1、(结 束)7.在 正 方 体 ABC。一 A iB G。中，E,尸 分 别 为 的 中 点，则()A.平 面 B.EFA.平 面 B D D】B.平 面 BXE F A_平 面 AXB DC.平 面 BXE F II平 面 A,AC D.平 面 BXE F H 平 面 4 G o8.已 知 等 比 数 列 a,J的

5、 前 3项 和 为 168,a2-a.5=42,则 a6=()A.14 B.12 C.6 D.39.已 知 球 O 的 半 径 为 1,四 棱 锥 的 顶 点 为。，底 面 的 四 个 顶 点 均 在 球 O 的 球 面 上，则 当 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时,其 高 为()A.-J-B.4 C.卒 D.平 Q Z D N10.某 棋 手 与 甲、乙、丙 三 位 棋 手 各 比 赛 一 盘，各 盘 比 赛 结 果 相 互 独 立.已 知 该 棋 手 与 甲、乙、丙 比 赛 获 胜 的 概 率 分 别 为 小，p2，小 目 P 3 P 2 P l 0.记 该 棋 手 连 胜 两 盘

6、的 概 率 为 P,则()A.p 与 该 棋 手 和 甲，乙，丙 的 比 赛 次 序 无 关 B.该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛，p 最 大 C.该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛，p 最 大 D.该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，p 最 大 11.双 曲 线。的 两 个 焦 点 K，用，以。的 实 轴 为 直 径 的 圆 记 为。，过 R 作。的 切 线 与。交 于 两 点，且 8$/打 呢=1，则。的 离 心 率 为()040A 迹 C D 巫 A.2 口 2 口 2 D 212.已 知 函 数/(I),g(x)的 定 义 域 均 为 H,且/Q)+g(2 x

7、)=5,g(x)f(x 4)=7.22若 U=g Q)的 图 像 关 于 直 线。=2 对 称，g(2)=4,则%)=()k=lA.-2 1 B.-2 2 C.-2 3 D.-2 4二、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分，共 2 0分.13.从 甲、乙 等 5 名 同 学 中 随 机 选 3 名 参 加 社 区 服 务 工 作，则 甲、乙 都 入 选 的 概 率 为.14.过 四 点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.15.记 函 数/(力)=cos(e+0)(3 0,0 V 0 V 兀)的 最 小 正 周 期 为

8、 T，若 f(T)=,力=看 为 f(T)的 零 点，则 3 的 最 小 值 为.16.已 知 Z=电 和=电 分 别 是 函 数/()=2aJ:-e x2(a 0 且 a 0 1)的 极 小 值 点 和 极 大 值 点，若 电 g，则 a 的 取 值 范 围 是.三、解 答 题:共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明,证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17-21题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22,23题 为 选 考 题,考 生 根 据 要 求 作 答.(一)必 考 题:共 6 0分.17.(12 分)记 A B C的 内 角 A,B,。的

9、对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 sinCsin(?l B)sinB sin(C A).证 明：2&2=/+/；(2)若 a=5,cos/1=杂，求 A B C的 周 长.4118.（12 分）如 图，四 面 体 A B C D 中 AD_LCD,A D=CD,N A D B=N B D C,E 为 A C 中 盘.（1）证 明：平 面 B E D 平 面 ACD-,（2）设 A B=2,N A C B=60.点?在 B D 上，当 A 4 尸 C 的 面 积 最 小 时，求。尸 与 平 面 A 3。所 成 角 的 正 弦 值.D19.（12 分）某 地 经 过 多 年 的 环 境 治

10、理，已 将 荒 山 改 造 成 了 绿 水 青 山，为 估 计 一 林 区 某 种 树 木 的 总 材 积 量，随 机 选 取 了 10棵 这 种 树 木,测 量 每 棵 树 的 根 部 横 截 面 积（单 位：小 2）和 材 积 量（单 位:m3）,得 到 如 下 数 据：10 10 10并 计 算 得 2媛=0.038,=1.6158,弁 窈 跖=0.2474.=i=i=1样 本 号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 和 根 部 横 截 面 积 为 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6材 积 量 功 0.

11、25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9（1）估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）求 该 林 区 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 与 材 积 量 的 样 本 相 关 系 数（精 确 到 0.01）；（3）现 测 量 了 该 林 区 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积，并 得 到 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 总 和 为 1 8 6 7 n 已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面

12、积 近 似 成 正 比.利 用 以 上 数 据 给 出 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值._ n（y i-y）附:相 关 系 数 r=-,VL896 1.377.3 D 之（彷-访 2V=1 t=i4220.（12 分）已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点,对 称 轴 为 立 轴，9 轴，且 过 4 0,-2),B 管,-1)两 点.(1)求 E 的 方 程；(2)设 过 点 P(l,-2)的 直 线 交 E 于 N 两 点，过 Af且 平 行 于 立 的 直 线 与 线 段 交 于 点 T,点 H 满 足 访=亍 声，证 明：直 线 H N 过 定

13、 点.21.(12 分)已 知 函 数/=ln(l+4)+axex.(1)当 Q=1时，求 曲 线/(在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(2)若 在 区 间(一 1,0),(0,+8)各 恰 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.43(-)选 考 题:共 10分.请 考 生 在 第 22,23题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)在 直 角 坐 标 系 中，曲 线。的 方 程 为 卜 为 参 数).以 坐 标 原 点 为 极 点，7轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立

14、极 坐 标 系，已 知 直 线，的 极 坐 标 方 程 为 psin(。+等)+m=0.(1)写 出 2的 直 角 坐 标 方 程；(2)若 I与。有 公 共 点，求 根 的 取 值 范 围.23 选 修 4 5：不 等 式(1()分)已 知 a,b,c为 正 数，且 温+日+处=1,证 明:(l)abc 4(2)a _ L b c v.1b+c a+c a+b 2/abc44绝 密 启 用 前 2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（乙 卷 理 科）注 意 事 项：答 题 前，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场

15、号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上，并 认 真 核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座 位 号 及 科 目，在 规 定 的 位 置 贴 好 条 形 码.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时,将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题:本 题 共 12小

16、题，每 小 题 5 分，共 6 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的.1.设 全 集 U=1,2,3,4,5,集 合 M 满 足 G J W=1,3,则()A.2 G M B.3 G M C.4 M D.5 M【答 案】A【解 析】由 题 设，易 知 河=2,4,5,对 比 选 项，选 择 42.已 知 z=1 2 i,且 z+a 2+6=(),其 中 a,b为 实 数，则()A.a=l,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=l,b=2 D.a=-l,b=-2【答 案】A【解 析】由 题 设，z=l-2 i,亚=1+2 3代 入 有

17、 a+b+l+(2 a-2)i=0,故 a=1,b=2,选 择 43.已 知 向 量 4,1 满 足 同=1,同 卜 2同=3,则 日 日=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答 案】C【解 析】由 题 设，|五 一 29=3,得 同 2 4 4 5+41M2=9,代 入|a|=1,|b|=V 3,有 4 4力=4,故 五 立=1.选 择 4.嫦 娥 二 号 卫 星 在 完 成 探 月 任 务 后，继 续 进 行 深 空 探 测，成 为 我 国 第 一 颗 环 绕 太 阳 飞 行 的 人 造 卫 星.为 研 究 嫦 娥 二 号 绕 日 周 期 与 地 球 绕 日 周 期 的 比 值，用 到

18、 数 列 鼠：45仇=1 H-,2=1；-,63=1+O1%+卷 T i-QI H-fa7 H-Q3，以 此 类 推，其 中 其 中 S E N,(k=l,2,)则()A.bj 6 5 B.63 bs C.b6 二 一，故 瓦 昆；同 理 可 得 a,1 ai.11 Qid-1-a2 电 l)2 b：s,加 与,又 因 为-，故 b2 c 瓦;于 是 得 瓦 几 8 岳，排 除 A,&a2+V劭+TT-三-，故 庆 风,排 除。，而 瓦&k,排 除 3.故 选 择 Da2+的+豆 方 法 二：（取 特 殊 值）取 an=1,于 是 有 仇=2,庆=耳，6=9.,2 J 5分 子 分 母 分 别

19、 构 成 斐 波 那 契 数 列,于 是 有 8=普，仇=磊，&=舞，=u.o lo J4于 是 得 仇 匕 5,8=1+4 1+1+=&，瓦=1+1+1=而 对 比 选 项,J JJ J4 J.O 乙 选 D5.设 F 为 抛 物 线。:靖=4立 的 焦 点，点 A 在 C 上，点 B（3,0）,若 AF=|B F|,则=（）A.2 B.2V2 C.3 D.3V2【答 案】B【解 析】易 知 抛 物 线 C：y2=4x的 焦 点 为 F（l,0），于 是 有 BF=2,故|AF|=2，注 意 到 抛 物 线 通 径 2P=4,通 径 为 抛 物 线 最 短 的 焦 点 弦，分 析 知 A尸

20、必 为 半 焦 点 弦，于 是 有 人 斤 _L,轴，于 是 有 AB=V22+22=2V2.466.执 行 下 边 的 程 序 框 图，输 出 的 n=)A.3 B.4 C.5 D.6/输 出 n/,1、（结 束）【答 案】B【解 析】第 一 次 循 环：b=l+l x 2=3,a=3 1=2,71=1+1=2,与 一 2=白 0.01第 二 次 循 环：b=3+2 x 2=7,a=7 2=5,n=2+l=3,W=|(看)？|=0.01第 三 次 循 环：b=7+2 x 5=1 7,a=1 7-5=1 2,n=3+l=4,冬-2 1=-2|=1，0.01144故 输 出 n=4故 选 R7.

21、在 正 方 体 A B C D A 3 Q Q 1中，E,尸 分 别 为 4 5,3。的 中 点，则()A.平 面 BXEFA.平 面 B D D L B.平 面 B,EFX,平 面 AXB DC.平 面 BXE F II平 面 AXA C D.平 面 BJEFII平 面 A Q Q【答 案】A【解 析】47对 于 A 选 项:在 正 方 体 A B C D-4 B Q Q 1 中，因 为 E F 分 别 为 4 B,B C 的 中 点，易 知 E F_L B。，从 而 E P _ L 平 面 1,又 因 为 E F U 平 面 B D D，所 以 平 面 5 E F _1,平 面 B D D

22、 1,所 以 力 选 项 正 确；对 于 B 选 项：因 为 平 面 A B D A 平 面 1=5 0,由 上 述 过 程 易 知 平 面 场 后 尸 _1_平 面 A B D 不 成 立；对 于。选 项：由 题 意 知 直 线 4 4 与 直 线 瓦 必 相 交，故 平 面 5 E F 平 面 有 公 共 点，从 而。选 项 错 误；对 于。选 项：连 接 AC,AB,0 C,易 知 平 面 A B.C H 平 面 A Q Q,又 因 为 平 面 A B】。与 平 面 BiEF有 公 共 点 Bi，故 平 面 与 平 面 B.EF不 平 行，所 以。选 项 错 误.8.已 知 等 比 数

23、列 a,J的 前 3项 和 为 168,a2-a.5=42,则 a6=()A.14 B.12 C.6 D.3【答 案】D【解 析】设 等 比 数 列 a,.首 项 的,公 比 q由 题 意，卜+电+,即 的+q+168,即 fa.(l+”2)=168(a2-a5=42 laq(l-=42 1处 9(1-q)(1+q+q-)=42解 得，q=,%=96,所 以-3故 选。9.已 知 球。的 半 径 为 1,四 棱 锥 的 顶 点 为。，底 面 的 四 个 顶 点 均 在 球。的 球 面 上，则 当 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时,其 高 为()A.B.4 C.率 D.平【答 案】C【解

24、析】48考 虑 与 四 棱 锥 的 底 面 形 状 无 关，不 是 一 般 性，假 设 底 面 是 边 长 为。的 正 方 形，底 面 所 在 圆 面 的 半 径 为 r,则 r=乡 a 所 以 该 四 棱 锥 的 高 仁 J 1-竽，所 以 体 积 V=押 J 1 竽 _.2/）3 _7 居 亨（一 喻 一 尸 F，回 得，当 且 仅 当 苧=一 备 即。2=寺 时，等 号 成 立,所 以 该 四 棱 锥 的 高 仁 J 1 竽=/一 1=寻 故 选 C10.某 棋 手 与 甲、乙、丙 三 位 棋 手 各 比 赛 一 盘，各 盘 比 赛 结 果 相 互 独 立.已 知 该 棋 手 与 甲、乙

25、、丙 比 赛 获 胜 的 概 率 分 别 为 的,6，03且 P 3 P 2 P l 0.记 该 棋 手 连 胜 两 盘 的 概 率 为 P，则（）A.p 与 该 棋 手 和 甲，乙，丙 的 比 赛 次 序 无 关 B.该 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛，p 最 大 C.该 棋 手 在 第 二 盘 与 乙 比 赛，p 最 大 D.该 棋 手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛，p 最 大【答 案】D【解 析】设 棋 手 在 第 二 盘 与 甲 比 赛 连 赢 两 盘 的 概 率 为 在 第 二 盘 与 乙 比 赛 连 赢 两 盘 的 概 率 为 及.，在 第 二 盘 与 丙 比 赛 连 赢

26、 两 盘 的 概 率 为 F丙 由 题 意=P 1 历 2（1 沁）+P3（1 P2）=P1P2+P1P3-2 a g p 3P乙=P21P1（1-P：i）+P3（1-Pl）=PlP2+P2P3-2Plp2P3%=Pl（1-02）+P2（1-P l）=P1P3+02P3-2Plp2P3所 以 七 一 R,=P2（P3-P l）0，为 一 生=P1（P3 P2）0所 以 岛 最 大，故 选 D11.双 曲 线。的 两 个 焦 点 E，田，以。的 实 轴 为 直 径 的 圆 记 为。，过 F1作。的 切 线 与。交 于”,N 两 点，且 c o s 1 g=9 则。的 离 心 率 为（）49A A

27、.2p 3c皿。2D 李【答 案】C【解 析】由 题 意，点 N 在 双 曲 线 右 支.记 切 点 为 点 A,连 接。4,则 0 4，M N,|。4|=a，又|OR|=c，则|AR|=Vc2-a2=b.过 点 的 作 F2B _L M N 交 直 线 M N 于 点 B,连 接 尸?N,则 F.B 0 4,又 点。为 F i K 中 点，则|EB|=2|OA|=2 a,FtB=2AFt=2 b.由 cosZRNF?=春,得 sin/FiNF产,tan/RN=言,所 以 固 N|=廖 用=卑,o o o sin乙?i】v尸 2/田 N1=石 n嘴/=好 故 旧 州=|尸 户|+四|=26+当

28、，由 双 曲 线 定 义，|尸 网 一 tan乙 0i v02 乙 z旧 N|=2a,则 2b a=2a,即!=-，所 以 e=J1+J1+亨 12.已 知 函 数,3),g(x)的 定 义 域 均 为 R,且/Q)+g(2 c)=5,g(c)-/3-4)=7.22若 y=g(的 图 像 关 于 直 线。=2 对 称，g(2)=4,则/%)=()fc=lA.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答 案】D【解 析】若 y=g Q)的 图 像 关 于 直 线 x=2对 称,则 5(2-x)=g(2+x)，因 为/(若+g(2-x)=5,所 以/(一 力)4-(2+x)=5,故/(一 力)=

29、/3),/(劣)为 偶 函 数.由 g=4,/(0)+g(2)=5,得/(0)=1.由 g(x)-f(x-4)=7,得 g(2 a)=/(-c-2)+7,代 入=c)+g(2 0=5,得/Q)+/(。2)=2,f(x)关 于 点(L-1)中 心 对 称，所 以=1)=/(-1)=-1.由/3)+/(一 6-2)=-2,f(-x)=/(%),得/(c)+/Q+2)=-2,所 以/3+2)+f(x+4)=2，故 f Q+4)=f(x),f(x)周 期 为 4.由/(0)+/(2)=2,得*2)=3,又/22(3)=/(-1)=/(1)=-1,所 以(%)=6/(1)+6/(2)+5/(3)+5/(

30、4)=11X(-1)+5X1fc=l+6 x(3)24.二、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5分，共 20分 5013.从 甲、乙 等 5名 同 学 中 随 机 选 3 名 参 加 社 区 服 务 工 作，则 甲、乙 都 入 选 的 概 率 为.【答 案】白【解 析】设“甲、乙 都 入 选”为 事 件 A,则 P(A)=/=条 14.过 四 点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.【答 案】(c 2/+-3/=13或 Q 2尸+(沙 1尸=5或(3+(95)2=号 或 9-鼾+&*=婴【解 析】设 点 40,0),B(4,

31、0),C(-l,l),D(4,2),圆 过 其 中 三 点 共 有 四 种 情 况，解 决 办 法 是 两 条 中 垂 线 的 交 点 为 圆 心，圆 心 到 任 一 点 的 距 离 为 半 径.(1)若 圆 过 A,3,。三 点,则 圆 心 在 直 线/=2,设 圆 心 坐 标 为(2,a),则 4+a2=9+(al)2=a=3,r=V4+a2 V13,所 以 圆 的 方 程 为 3 2)2+(y 3)2=13(2)若 圆 过 A,三 点，同(1)设 圆 心 坐 标 为(2,a),则 4+a?=4+(a 2)2=a=1,r=J4+a?=通,所 以 圆 的 方 程 为(x 2)2+(y 1)2

32、=5(3)若 圆 过 力，C,D 三 点,则 线 段 A C 的 中 垂 线 方 程 为 夕=c+l,线 段 4 9 的 中 垂 线 方 程 x=为 二 一 2力+5,联 立 得 0,0 0$3+专=1+兀(Z)n to=3+9k(k E Z),又 3 0,故 口 的 最 小 值 为 3.16.已 知 力=为 和/=分 别 是 函 数/(%)=2ax-ex2(a 0且 Q W 1)的 极 小 值 点 和 极 大 值 点,若 力 I 电,则 a 的 取 值 范 围 是.【答 案】(L i)51【解 析】/（力）=2（axna-ex）至 少 要 有 两 个 零 点 a;=g 和 T=叫，我 们 对

33、 其 求 导，/（力）=2 a ln a）2 2e.若 Q 1,则 f（x）在 R 上 单 调 递 增，此 时 若/3。）=0,则 f 0且 Q W 1）的 极 小 值 点 和 极 大 值 点,则 为。2，不 符 合 题 意.若 0 V Q V 1,则/在 R 上 单 调 递 减，此 时 若/3。）=0,则/在（一 8,与）上 单 调 递 增，在（3,+8）上 单 调 递 减，且 g=l o g a#=.此 时 若 有 1=电 和=g 分 别 是 函（Ina）2数/（2）=2ax-exa 0 且 a W 1）的 极 小 值 点 和 极 大 值 点，且 为 V g,则 需 满 足/（向）o,即

34、岛 el。队 n a高 T h f e7 n 击=h bl n a 1一 由（Ina）2,可 解 得 L a V e,由 于 0 V a l,取 交 集 即 得 上 V a V l.e e三、解 答 题:共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 21题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22,23题 为 选 考 题,考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题:共 6 0分.17.（12 分）记 A B C的 内 角 力，C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 sinC sin（A B）=sinBsi

35、n（C A）.（1）证 明：2滔=+,2；（2）若 Q=5,cosA=|，求 A B C的 周 长.【答 案】（1）见 证 明 过 程；（2）14；【解 析】（1）已 知 sinC sin（A B）=sinB sin（C A）可 化 简 为 sinC sinA cosB-sinC cosA sinB=sinBsinCcosX sinB cosC sinX,由 正 弦 定 理 可 得 accosB bccosA=bccosA abcosC,即 accosB=26c cos A-abcosC,击 仝 4 生 加 B T 徂 滔+/62+c2 a2.a2-b2 c2由 余 弦 定 理 可 得 QC-

36、n-2bc-玄-ab-r-,2ac 2bc 2ab即 证 2/=/+。2,（2）由（1）可 知 b24-c2=2滔=50,cosA=，十,一=与=等,2bc Zbc Zbc 31所 以 2以=31,因 为+c2+2bc=（b+c）2=81,所 以 b+c=9,所 以 a+b+c=14,所 以 4 6。的 周 长 为 145218.(12 分)如 图，四 面 体 ABCD 中 A D _LCD,A D=CD,N A D B=N B D C,E 为 A C 中 低.(1)证 明:平 面 B E D 平 面 A C D；(2)设 AB=BO=2,N A C B=60.点?在 B D上，当 A 4尸

37、C 的 面 积 最 小 时，求。尸 与 平 面 A 3。所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】(1)见 解 析；竽.【解 析】(1)因 为=8,/4。8=/8。且 8。为 公 共 边，所 以 A D B 与 A B D C 全 等，所 以/B=BC.又 因 为 E 为 人。中 点 且 4 D=C D,所 以 D E _L A C,同 理 BE L A C.又 因 为 D E C B E=E,且 均 含 于 平 面 REO,所 以 A C 平 面 3 E D又 因 为 A C u平 面 A C D,所 以 平 面 B E D 平 面 ACD.(2)在 AB。中，AB=2,=60,A B=BC,所

38、 以 4 C=2,B E=V3.在 AACD 中，4D _L C D,A D=CD,A C=2,E 为 A C 中 点，所 以 OE_L A C,O E=1.又 因 为 BD=2,所 以 D E 2+B E 2=B D 2，即 O E _L B E.所 以 直 线 工。，直 线 E O,直 线 E B两 两 互 相 垂 直.由 点 F 在 B D上 且 4 A D B 与 八 即。全 等，所 以 A F=FC,由 于 后 为 A。中 点 所 以 M L AC当 A 4尸。的 面 积 最 小 时 所 以 在 R tA P E B 中，因 为 B E=时,。E=1,所 以 E F=坐，B尸=?如

39、图，以 点 E 为 坐 标 原 点,直 线 4 C,E B,E O 分 别 为 z,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.。(一 1,0,0),4 1,0,0),3(0,V 3,0),0(0,0,1),F(0,乎,惠)，B D(0,A/3,1),A D(1,0,1),B C(1,A/3，0),53因 为 行=加 _ 就=1 丽-尻=（1,空，书,设 平 面 A B D 的 法 向 量 为 京=（a;,y,z）.可 得 7 设 沙=1所 以 沆=（遍，1,V3）m=0设 沆 与 前 所 成 的 角 为 a,C F 与 平 面 A B O 所 成 角 的 为 仇 所 以 sin6=|co

40、sa|=市 CF _m-CF7，所 以 5 与 平 面 A B D所 成 角 的 正 弦 值 为 华.19.（12 分）某 地 经 过 多 年 的 环 境 治 理，已 将 荒 山 改 造 成 了 绿 水 青 山，为 估 计 一 林 区 某 种 树 木 的 总 材 积 量，随 机 选 取 了 10棵 这 种 树 木，测 量 每 棵 树 的 根 部 横 截 面 积（单 位：m2）和 材 积 量（单 位：谬）,得 到 如 下 数 据：10 10 10并 计 算 得 Z 磅=,38,V i=1.6 1 5 8,=0.2474.=1 i=l i=l样 本 号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

41、 总 和 根 部 横 截 面 积 伤 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6材 积 量 以 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9（1）估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）求 该 林 区 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 与 材 积 量 的 样 本 相 关 系 数（精 确 到 0.01）；（3）现 测 量 了 该 林 区 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截

42、面 积，并 得 到 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 总 和 为 1867n之.已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比.利 用 以 上 数 据 给 出 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值.22（与 一 无）（“一 不）附:相 关 系 数 r=-,VL896 1.377.3区（%-元）力（功 一 y）2V 2=1 1=1【答 案】（1）0.06,0.39；（2）0.97：（3）1209【解 析】（1）设 这 种 树 木 平 均 一 课 的 根 部 横 截 面 积 为 了，平 均 一 个 的 材 积 量 为

43、百，贝 I 元=磬=0.06,可=瞽=0.39.x-n x y0.2474-10X0.06XQ.39 _ 0.0134 _ 0.01347(0.038-10 x-o W V O l S S-10 x 0.39)2-V0.002 x 0AJ948-0.01 x V T W54=0.97 设 从 根 部 面 积 总 和 为 X,总 材 积 量 为 y,则 令=卷，故 y=年 5 X 186=1209（向.20.（12 分）已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 多 轴，y轴，且 过 4 0,-2）,3（等，一 1）两 点.（1）求 E 的 方 程；（2）设 过 点 P（

44、l,-2）的 直 线 交 E 于 M,N 两 点，过 M 且 平 行 于 x 的 直 线 与 线 段 A R交 于 点 T，点 H 满 足 丽=用，证 明：直 线 H N过 定 点.【答 案】（1）亨+苧=1;（2）直 线 过 定 点（0,-2）【解 析】（1）设 E 的 方 程 为+t=1,a b 4=1,将 4 0，-2）,3 倍,-1）两 点 代 入 得 1庐 j9 2解 得 a 2=3,=4,故 E 的 方 程 为 导+苧=1.（2）由 A（0,2）,1）可 得 直 线 AB-.y=-x 2 若 过 P（l,-2）的 直 线 的 斜 率 不 存 在,直 线 为 7=1.代 入 与+手=

45、1,可 得 M（L 挈），N。，苧），将 歹=今 近 代 入 A B：y=-|-x 2,可 得+3,2 y）,由 近=用，得（2+5,制 宜）.易 求 得 此 时 直 线 HN-.y=（2 2 得 A-2.过 点（0,-2）.若 过 P（l,2）的 直 线 的 斜 率 存 在，设 for：y(k+2)=0,M(x i,幼)，N(X，2,y j.联 立 kx y(k+2)=0,x2,y2 _.百+丁 一 1，故 有 得(3*2+4)x26M2+k)x+3k(k+4)=0,6M2+fc)x+X i=T T 3M4+fc)g=3Al2+4，y-8(2+/c)_ 4(4+4fc-2fc2),勖 他=3

46、妒+43a+4且 g 仇+x2y=短 差(*)联 立 _ 2_x _ 2 可 得+3,幼)，H(3%+6 g,%),可 求 得 此 时 HN-.y-%=3 的)I I)Xz2将(0,2)代 入 整 理 得 2(i+x-2)6(%+仇)+X iy-2+8 2 n L 3g曲 一 12 二 0将(*)式 代 入，得 24k+12fc2+9 6+48k-24k-4 8-48k+24奴-36fc2-4 8=0,55显 然 成 立.综 上，可 得 直 线 H N 过 定 点(0,-2).21.(12 分)已 知 函 数/(C)=ln(l+2:)+axex.(1)当 a=l时,求 曲 线/(在 点(0,/

47、(0)处 的 切 线 方 程；(2)若 JG)在 区 间(一 1,0),(0,+8)各 恰 有 一 个 零 点,求 a 的 取 值 范 围.【答 案】y=2x；(2)a-1).当 a 0 时，当 工(-1,0 时 3)0 成 立,所 以/Q)在 e(1,0 单 调 递 增，且/(2)=0,故。e(I,o 时，f(x)无 零 点，舍 去.当 a 0 时，当 工 t 1 时，f(x)co,/(0)=0,由 题 意 可 知，必 有/(0)=1+a 0,故 g(x)g(0)=0,故/(0,f(x)单 调 递 增，在 6(0,+8)无 零 点，舍 去.(谪 当 a V 1 时，r 3)=,令 九(%)=

48、e”-ax2+a,hf(x)=e”2ax 当 c 0 时,h!(x)0,拉 3)单 调 递 增，且 无(0)=1+a V 0,九=e0,故 三 g E(0,1),使 得 h(xo)=0,当 N G(0,No)时，h(x)V 0,/()V 0,f(x)单 调 递 减；xG(g,4-oo)时，h(x)0,Q)0/(x)单 调 递 增；又/(0)=0，且 当 n+8 时，/(力)t+8,此 时 在(0,4-oo)上 有 一 个 零 点；当 xE(-1,0)时，矶 式)=e-2血 由 单 调 递 增,且 h!(1)+2a V 2 V 0,(。)=1 0,故 m 的 e(1,0),使 得”(J=0,当

49、力 E(1,Xi)时，(力)V 0,hx单 调 递 减,e，0)时，(x)0,h x)单 调 递 增；又 无(1)=9 0,/i(0)=1+Q V 0,故 m g e(-1，0)，使 得 h(x2)=0,当 必(1,g)时，h(x 0,(c)0,/(x)单 调 递 增，56re e(g,0)时，h(x)0 f(x)fx单 调 递 减；又/(0)=0,且 当 宴-1时，/Q)-o o,此 时 在(-1,0)上 有 一 个 零 点；综 上，a 1(-)选 考 题:共 10分.请 考 生 在 第 22,23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.22.

50、选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线。的 方 程 为 X=庶 c：s 2 t 为 参 数).以 坐 标 原 点 为 极 点，立 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,已 知 直 线 I的 极 坐 标 方 程 为 p sin(。+j)+m=0.(1)写 出 Z的 直 角 坐 标 方 程；(2)若 I与。有 公 共 点,求 m 的 取 值 范 围.【答 案】(1)A/3 X+1/+2m=0；(2)【解 析】(1)由 psin(夕+段)+?1=0 可 得，p(sin0cos今+cossin-y)+m=0,即 p(1-si