2022年初升高数学衔接讲义(第2套)第15讲指数函数（教师版含解析）.pdf

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1、第15讲指数函数1.指数函数的定义一般地，函数了=优（“o且O H 1）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图像及性质函数名称指数函数定义函数了=优（”0且。=1）叫做指数函数图象a 10al(x0)ax=l(x=0)ax l(x0)ax 0)ax=l(x=1)ax l(x,且 a H 2)【答案】(2)(3)(5)(6)不是例2.比较下列各题中两个值的大小:(1)1,525,1.512 1.5,0.8口(2)0.5 7,0.5 71 1 1【答案】(1);(2)；(4)比较大小问题的处理方法：1：看 类 型 2：同底用单调性3:其它类型找中间量例3.函数x)=优“+

2、1 (a 0且a )的 图 象 一 定 通 过 点.【答案】（1,2）例4.若函数歹=诡-（6 +1）（。0M工1）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A.a 1 且b 0 B.0 a 1 且b0C.0 a 0 D.a 1 且b 1【答案】A【解析】依题意该函数为增函数且在v轴截距为负，a 1所以/_（6 +）1且60,选 A.例5.二次函数、=狈2+法 与 指 数 函 数 的 图 象 只 可 能 是（）ABCD【答案】A【解析】由指数函数y =可知a,6同号且不相等，则二次函数y =ax2+b x的对称轴x=-0可排除B与D,C 错误：易知一 2 =1 1,此时y=单调递增，2a 2 2

3、 2 a a)A 正确：易知-2 =土土三 以 1土2=-1,所以0 2 3 2 ;-%/+7(4 0 且0H 1)【答案】(1)(-2,4)；(2)0al 时解集为(-8,-l)U(7,+8)【解析】由 ),33得 3-3勿，所以8-/_ 2X,解得-2 X4,故解集为(-2,4)；当 0 小 7得 2_5 欠 +7,解得-1 X1时，由 产 尸得 f-5 x x +7,解得x 7,综上所述，0 l 时解集为(70,-1)U(7,m).例8.求函数的定义域和值域:；尸 业 1_1；(3)J=l y I；(4)y=2、-j+，【答案】定义域为R,值 域 为；,+Q|；定 义 域 为 一；，+8

4、)，值域为 0，+8)；定义域为R,值域为1,+8)；定义域为-4,1,值域为 1,4夜【解析】(1)定义域为R,.-2x-x2=-(x-l)2+l lK y =1 为减函数，(2)由3 21夺0得 3 2 1 4 =3-2,;.2 -1 2-2,解得x N-；,.定义域为一；,内由321-卜 0可知”0,.值域为 0,+00)；定义域为R,-卜+心。且夕=(|)为减函数,值域为 1，+8);(4)由一 x2-3x+4 2 0 解得一 4 4 x 4 1,.定义域为-4,1,由-x2-3x+4 20 可知y=2M+4 22飙=1,且*.3 x +4=_g+以I 2；4 4则 y=2*j 2后=

5、25=4 7 2，值域为例9.(1)求函数=3孑-，的单调区间；/4、x?-2x-3求函数/（x）=（的单调减区间.【答案】单调增区间为8,-；）,单调减区间为1-；,+s|；单调减区间为（I,+8）.【解析】（1）定义域为H,=3一，展 是由y=3 ,，=-x 2-x复合而成的，了 =3 为增函数，f=-x 2-x在上为增函数，在+8）上为减函数,由复合函数单调性的同增异减性可知：y=3孑-*的单调增区间为8,一；单调减区间为；定义域为R,/（x）=J 是由=（）和f=x 2-2 x-3复合而成的，y=g）为减函数，f=x 2-2 x-3在（7,1）上为减函数，在（1,+8）上为增函数，.仆

6、）=代=的单调减区间为（1,+8）.例10.方程2-+/=3的 实 数 解 的 个 数 为.【答案】2【解析】由2-、+/=3得2T=3-/,画出函数y=2-*与y=3-V的图象,由图可知函数y=2T与y=3-Y的图象有两个交点，故方程2-、+/=3的实数解的个数为2.跟踪训练1,下列函数中，可以称为指数函数的是（）k.y=2X B.y=3川 C.y=x*【答案】AD.y=（3 l）2,下列关系式中正确的是（）【答案】C3.设 ,人 满 足 下 列 不 等 式 中 正 确 的 是（）A.aa ab B.ba bh C.aa ba D.bh ah【答案】C【解析】A错误：由指数函数y=（O a/

7、；B错误：由指数函数y=b（O b l）在（0,+8）上 为 减 函 数 且 可 知C正确：由幕函数y=x（O a l）在（O,+8）上为增函数且a b可知优 b ；D错误：由幕函数y=d（O b l）在（0,+8）上 为 增 函 数 且 可 知/i,b,b0C.0a 0【答案】D【解析】由图知为减函数，又O)=L。，即 6 0,选 D.5.指数函数y y=b*,了=。=的图象如图，贝ia,“G d与1的大小关系是（）A.6Z61CJB.b a d cC.abcdD.a b d 四点,则4（La）,5（l/）,C（Lc）,Q（l,d）,由图可知6 1“。，故选B.X(i6,函数y =H(O a

8、 0且0 1,6 fA,X 0且a/1)的图象恒过定点.【答案】（3,4）9.如果指数函数/（x）=g-l）在R上是减函数，那么实数。的取值范围是.【答案】（1,2）【解析】=在R上是减函数，,解得1 “0且 I）的图象经过第二、三、四象限，则a,b的取值范围分别是.【答案】（01），（-8,0）【解析】依题意该函数为减函数且在N轴截距为负，0 a 1,、，、所 以0 ,八，解得0 1且6 d(Q 0且a 工 1)【答案】(1)x -3；(2)0。1 时一 1 X 3,时 工3.【解析】(1)2x 7 -3；(2)若 0。1,贝 Ij2f 一 7 4 X一1,解得一1。4%-1,解得不3./2

9、x2 8x+i14.求函数y=(-3 W X 4 1)的值域.【答案】H，3 1【解析】当-3 4 x 4 1 时，X-2X2-8X+1 =-2(X+2)2+9G-9,9,是减函数，.值域为LG),即3工31.15.讨 论 函数了=(；)+2的单调性.【答案】单调增区间为(。,+8),减区间为(ro,0).【解析】定义域为R+2 是由 y=f 2f+2 和=出 G )复合而成的，=(；)为减函数，y=*-2 f +2在即xe(O,)上为减函数，在，1,+8),即x 0且a x 1).(1)判断/(x)的单调性和奇偶性；(2)当 x e(7,l)时，解不等式+【答案】（1）/（X）在 R 上单调

10、递增，为奇函数；1切血.【解析】/定 义 域 为/?,任取为用衣且王X2,贝 I /（i）-/（x9）=/（aXl _ aXx）_-y aX1-a）=（aXx-aX1+,I J 2 a2-l）a2-）/_ 八 J=-（ax-av：）fl+a2-P 小当 0al 时，-0,则%）-/（%）0,即/（%）1 时，-0,ax -aX2 0,则/（王）一/伍）0,即/（再）/（），综上所述，对任意的王 工2,均有/任）/（），故/（x）在 R 上单调递增，-x）=号（小、_ 优）=-/（X）,/（X）为奇函数；Q 1 由/（X）是奇函数知/（1-机）+/（1-病）0 等价于/（1_加）_/（1-/）=/（机 2_）,1 V 1 一机 1由/（x）在上单调递增，所以一11一病 1,解得1VzM&.-m irr-1