2023人教A版高中数学三角函数的图象与性质讲义.pdf

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1、第 五 章 三 角 函 数 5.4三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 例 1画 出 下 列 函 数 的 简 图：（1）y=1+sin x,x G 0,2K；(2)y=-c o s x,xeO,27t.解：（1）按 五 个 关 键 点 列 表:X 0兀 2兀 3兀 T2兀 sinx 0 1 0-1 01+sinx 1 2 1 0 1描 点 并 将 它 们 用 光 滑 的 曲 线 连 接 起 来（图 5 4 6）：V:+4 尤 工 W IP.2nJ.0-1(2)JL 兀、兀 x2、2 X/_、j 一,y=sin.v.xEp,2n图 5.4-6按 五 个 关 键 点 列 表：X 0兀 2兀 3

2、7 1 22兀 COSX1 0-1 0 1-C O SX-1 0 1 0-1描 点 并 将 它 们 用 光 滑 的 曲 线 连 接 起 来（图 5.4-7）：(1)y=3sinx,%eR；(2)y=cos2x,X G R；(3)y=2sin(gx-),X G R.分 析：通 常 可 以 利 用 三 角 函 数 的 周 期 性，通 过 代 数 变 形，得 出 等 式/(x+T)=/(x)而 求 出 相 应 的 周 期.对 于(2),应 从 余 弦 函 数 的 周 期 性 出 发，通 过 代 数 变 形 得 出 cos2(x+T)=cos2x,XG R;对 于(3),应 从 正 弦 函 数 的 周

3、 期 性 出 发，通 过 代 数 变 形 得 出.1/丁、兀.(1 兀)sin-(x+T)-=sin-x-,X G R._2 6 J 12 o)解：(1)VxeR,有 3sin(x+2兀)=3sinx.由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为 2兀.(2)令 z=2 x,由 x e R 得 z e R，且 V=cosz的 周 期 为 2兀，即 cos(z+2n)=cosz,于 是 cos(2x+2K)=cos lx,所 以 cos2(x+7t)=cos2x,xe R.由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为 兀.1 兀（3）令 z=-x，由

4、x e R 得 z e R，且 y=2 sin z的 周 期 为 2兀，即 2 62sin（z+2兀）=2sin z,于 是 2 sin f x+2兀）=2 sin x,所 以 2sin g（x+4兀）一 巳=2 s in g x-）.由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为 47r.例 3下 列 函 数 有 最 大 值、最 小 值 吗？如 果 有，请 写 出 取 最 大 值、最 小 值 时 自 变 量 x的 集 合，并 求 出 最 大 值、最 小 值.（1）y=cosx+l,x e R；（2）y=-3sin2x,XG R；解：容 易 知 道，这 两 个 函 数 都

5、有 最 大 值、最 小 值（1）使 函 数 y=cosx+l,x e R 取 得 最 大 值 的 x的 集 合，就 是 使 函 数 y=cosx,x eR取 得 最 大 值 的 x的 集 合 x|x=2 E,左 e Z；使 函 数 y=cosx+l,x e R 取 得 最 小 值 的 x的 集 合，就 是 使 函 数 y=cosx,x e R 取 得 最 小 值 的 x的 集 合 x|x=（2左+1）兀，左 e Z.函 数 y=cosx+l,x e R 的 最 大 值 是 1+1=2；最 小 值 是 1+1=0.令 z=2 x,使 函 数 y=-3sinz,z w R 取 得 最 大 值 的

6、z的 集 合，就 是 使 y=sinz,TTZ G R 取 得 最 小 值 的 之 的 集 合 V z=-+2 k jt,k e Z.2TT TT由 2x=z=+2kn,得=+左 兀.所 以，使 函 数 y=-3sin2x,x e R 取 得 最 大 值 2 4Tl的 X的 集 合 是=一+kst,kwZ.4r 7 T同 理，使 函 数 y=-3sin2x,x e R 取 得 最 小 值 的 x的 集 合 是=：+左 e Z.4函 数 y=-3sin2x,x e R 的 最 大 值 是 3,最 小 值 是-3.例 4不 通 过 求 值，比 较 下 列 各 组 数 大 小:分 析：可 利 用 三

7、 角 函 数 的 单 调 性 比 较 两 个 同 名 三 角 函 数 值 的 大 小.为 此，先 用 诱 导 公 式 将 已 知 角 化 为 同 一 单 调 区 间 内 的 角，然 后 再 比 较 大 小.TT TT 7T解：（1）因 为-sin7T 37r T E 37r因 为 0 一 兀，且 函 数 y=cosx在 区 间 0,兀 上 单 调 递 减，所 以 cos cos,4 5 4 5例 5求 函 数 y=sin（g x+，x w-271,2旭 的 单 调 递 增 区 间.1 兀 分 析：令 z=X+2,xe-2n,2n,当 自 变 量 x 的 值 增 大 时，z的 值 也 随 之 增

8、 大，因 此 若 2 3函 数 y=sinz在 某 个 区 间 上 单 调 递 增，则 函 数 y=sin（g x+；）在 相 应 的 区 间 上 也 一 定 单 调 递 增.1 兀 2 4解：令 2=-x+,xe-2兀,2兀,则 zw 一.2 4 7 C T C jr 1 7T 7T因 为 y=sinz,ze 的 单 调 递 增 区 间 是 一 不，不，且 由 一 一-%+-,3 3 2 2 2 2 3 2得 一 2 工 元 工 工.3 3(兀、57r 兀 所 以，函 数 y=sin|X+5 j,xe-2兀,2兀 的 单 调 递 增 区 间 是-,y(T l T l 例 6求 函 数 y=t

9、an+的 定 义 域、周 期 及 单 调 区 间.分 析：利 用 正 切 函 数 的 性 质，通 过 代 数 变 形 可 以 得 出 相 应 的 结 论.J L解：自 变 量 元 的 取 值 应 满 足 一%+w E+,k e Z,2 3 2即%。2&+,k e Z.3所 以，函 数 的 定 义 域 3兀 7 1设 2=x+，又 tan(z+7i)=tanz,2 3K71 兀)(71 71、x H+兀 tan x H,2 3j J 12 3；7 C/_ 7T即 tan+2J+兀 T l i=tan 九+,(2 3)因 为 Vxe x 2 Z+e Z 都 有 3 兀/兀 一(x+2)d2V 3所

10、 以，函 数 的 周 期 为 271 7C 7C 7T 5!由-卜 ku x H F ku,攵 Z 解 得-F 2Z x 卜 2k,k G Z.2 2 3 2 3 3因 此，函 数 在 区 间(一|+2左,：+2斤)，左 e Z 上 都 单 调 递 增.5.4.1正 弦 函 数、余 弦 函 数 的 图 象 练 习 4 37r1.在 同 一 直 角 坐 标 系 中，画 出 函 数 y=sinx,xi 0,2R,y=cosx,xw-,y 的 图 象.通 过 观 察 两 条 曲 线，说 出 它 们 的 异 同.【答 案】见 解 析【解 析】【分 析】根 据 五 点 作 图 法 画 出 图 像，再 直

11、 观 分 析 即 可.【详 解】解:可 以 用 五 点 法 作 出 它 们 的 图 象，还 可 以 用 图 形 计 算 器 或 计 算 机 直 接 作 出 它 们 的 图 象，图 象 如 图.两 条 曲 线 的 形 状 相 同，位 置 不 同.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 正 余 弦 函 数 图 像 之 间 的 关 系,属 于 基 础 题.2.用 五 点 法 分 别 画 下 列 函 数 在-兀，兀 上 的 图 象:y=.s i n x；(2)y=2-c o s x.【答 案】（1）见 解 析（2）见 解 析【解 析】【分 析】根 据 五 点 作 图 法 的 方 法 描 点，再 用 光

12、滑 曲 线 连 接 起 来 即 可.【详 解】解：X-717 C 207 1271y=-sinx0 1 0-1 0y=2-c o s x3 2 1 2 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 五 点 作 图 法 的 运 用，属 于 基 础 题.3.想 一 想 函 数 y 冒 s in x|与 y=s in x的 图 象 及 其 关 系，并 借 助 信 息 技 术 画 出 函 数 的 图 象 进 行 检 验.【答 案】见 解 析【解 析】【分 析】分 析 可 知 当 y=s i n x 2 0时 y=|s in x|与 y=s in x的 图 象 相 同，当 y=s i n x 0时,丁=|5出

13、 幻 与=411 的 图 象 关 于 轴 对 称，再 分 析 即 可 二【详 解】解:把 y=s in x的 图 象 在 轴 下 方 的 部 分 翻 折 到 x 轴 上 方，连 同 原 来 在 x 轴 上 方 的 部 分 就 是 y=|s in x|的 图 象，如 图 所 示.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 绝 对 值 图 像 与 原 图 像 之 间 的 关 系，属 于 基 础 题.4.函 数 y=l+cosx,2万)的 图 象 与 直 线 y r。为 常 数)的 交 点 可 能 有()A.0 个 B.1个 C.2个 D.3 个 E.4个【答 案】ABC【解 析】【分 析】画 出 y=l

14、+cosx在 的 图 象，即 可 根 据 图 象 得 出.【详 解】画 出 y=l+cosx在 万 J 的 图 象 如 下：则 可 得 当/0 或 d 2时，y=l+cosx与 y=，的 交 点 个 数 为 0；3当 t=0或 4/2 时，y=l+cosx与 y=r的 交 点 个 数 为 1；23当 0/彳 时，y=l+cosx与 y=r的 交 点 个 数 为 2.2故 选：ABC.5.4.2正 弦 函 数、余 弦 函 数 的 性 质 练 习(7 1 25.等 式 sin-、冗 2+-=sin是 否 成 立?如 果 这 个 等 式 成 立，能 否 说 士 不 是 正 弦 函 数 16 3 J

15、6 3y=sinx,xeR的 一 个 周 期?为 什 么？【答 案】见 解 析【解 析】【分 析】sin+：=sing成 立，再 利 用 函 数 的 周 期 的 定 义 说 明 不 能 说 2 乃 是 正 弦 函 数 6 3；6 3y=sinx,xeR的 一 个 周 期.【详 解】等 式 sinm+万=sin成 立，但 不 能 说 多 是 正 弦 函 数 y=sinx,xeR的 k O 3 7 O 3一 个 周 期.因 为 不 满 足 函 数 周 期 的 定 义，即 对 定 义 内 任 意 x,sinx+/-J 不 一 定 等 于 sinx,如(71 2万、71 24sin匕+彳 J H si

16、n7,所 以 可 不 是 正 弦 函 数 y=sinx,x e R 的 一 个 周 期.【点 睛】本 题 主 要 考 查 周 期 函 数 的 定 义，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.6.求 下 列 函 数 的 周 期,并 借 助 信 息 技 术 画 出 下 列 函 数 的 图 象 进 行 检 验：3(l)y=sin-x,xeR;(2)y=cos4x,xeR;,x e R;(4)y=sin R.【答 案】(1)周 期 为 亨.见 解 析 周 期 为 不 见 解 析 周 期 为 乃 见 解 析(4)周 期 为 6%.见 解 析【解 析】【分 析】利 用 周

17、期 函 数 的 定 义 证 明 函 数 的 周 期，再 作 出 函 数 的 图 象 得 解.【详 解】解:因 为 y=sin3=sin(1+2万 卜 sin.+胤=f x+同,QJJ.所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为 7.函 数 的 图 象 如 图 所 示：(2)因 为 y=/(x)cos4x=cos(4x+2)=cos 4 x+一ir所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为；.函 数 的 图 象 如 图 所 示:2 因 为“、1()1 乙 乃、八 1、乃 1”、y=f(x)=cos 2 x-=-cos 2 x+2 4

18、=cos 2(1+4)-=/(%+)(4)因 为 y=/(x)=sin-x+=sin-x+2万、3 4)_3 4,=sin 一(x+6zr)+=f(x+6),所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 可 知，原 函 数 的 周 期 为 64.函 数 的 图 象 如 图 所 示:【点 睛】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 周 期 的 求 法，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.7.下 列 函 数 中，哪 些 是 奇 函 数?哪 些 是 偶 函 数?y=2 s in x；(2)y=1-c o s x；(3)=x+sinx；(4)y=-sinxcosx.【

19、答 案】(3)(4)是 奇 函 数;是 偶 函 数.【解 析】【分 析】利 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义 判 断 函 数 的 奇 偶 性.【详 解】(l)/(x)=2sinx,函 数 的 定 义 域 为 R,./(x)=2sin(r)=-2sinx=/(x),所 以 函 数 是 奇 函 数；/(x)=l-COSX,函 数 的 定 义 域 为 R,./(-x)=l-cos(-x)=l-cosx=/1(x),所 以 函 数 是 偶 函 数；(3)/(x)=x+sinx,函 数 的 定 义 域 为 R,/(x)=-xsinx=-(x+sinx)=/(x),所 以 函 数 是 奇 函 数；(4)

20、/(x)=-sinxcosx,函 数 的 定 义 域 为 R,/(-%)=-sin(-x)cos(-x)=sin xcosx=-/(x)所 以 函 数 是 奇 函 数.【点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 的 奇 偶 性 的 判 断，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.8.设 函 数/(x)(xeR)是 以 2 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数，且 当 xe0,2时，/*)=。-1)2.求/(3),/(2的 值.【答 案】/(3)=0,/j=l【解 析】【分 析】直 接 利 用 函 数 的 周 期 求 解.【详 解】解:由 题 意 可 知,/(

21、3)=/(2+1)=/(I)=(1-1)2=0;【点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 的 周 期 性，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.练 习 9.观 察 正 弦 曲 线 和 余 弦 曲 线,写 出 满 足 下 列 条 件 的 x 所 在 的 区 间：(l)sinx 0;(2)sin x 0;(4)cos%0,观 察 正 弦 曲 线 得 x e Qk兀,2k兀+兀)(k G Z)；(2)sin x 0,观 察 正 弦 曲 线 得 x e(2左 左-兀,2女 4)(Z e Z)；(7 1 7 1)2k兀 一 3,2 k 兀+3 G Z)；(4)c o s

22、 x 0,观 察 余 弦 曲 线 得 x e 2k兀+2勿 r+|T Z-W e Z).【点 睛】本 题 主 要 考 查 正 弦 曲 线 和 余 弦 曲 线 的 应 用，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.1 0.求 使 下 列 函 数 取 得 最 大 值、最 小 值 的 自 变 量 的 集 合,并 求 出 最 大 值、最 小 值.y=2sinx,xeR;无（2）=2-cos,xe R.【答 案】当 无=胃+2人 办 上 z 时，函 数 取 得 最 大 值 2;当 x e 卜|x=+2&万/e Z 卜 寸，函 数 取 得 最 小 值-2.（2）当 x e x

23、|x=6k兀+3肛 左 e Z）时，函 数 取 得 最 大 值 3;当 X G X|X=6k兀,k e Z时,函 数 取 得 最 小 值 1.【解 析】【分 析】（1）利 用 y=2sinx取 得 最 大 值 和 最 小 值 的 集 合 与 正 弦 函 数 y=sinx取 最 大 值 最 小 值 的 集 合 是 一 致 的 求 解；（2）利 用 y=2-cos；取 得 最 大 值 和 最 小 值 的 集 合 与 余 弦 函 数 y=8 s x 取 最 小 值 最 大 值 的 集 合 是 一 致 的 求 解.【详 解】（1）当 sinx=l即 x e 次=1+2版 次 e Z 卜 寸，函 数 取

24、 得 最 大 值 2;当 sinx=-l xexx=-+2Qr#e Z 卜 寸，函 数 取 得 最 小 值-2；X X 当 cos=-l即 石=24乃+肛 Z e Z 即 X G x|x=6A:%+3肛 左 s Z时,函 数 取 得 最 大 值 3;X Y当 cos=1即 3=2k小 k G Z 即 当 xex|x=6k兀,k e Z时，函 数 取 得 最 小 值 1.3 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 最 值 的 求 法，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.11.下 列 关 于 函 数 y=4sinx,xi 0,2幻 的 单 调 性

25、 的 叙 述，正 确 的 是.A.在 0,2 上 单 调 递 增，在 肛 2加 上 单 调 递 减TT S7TB.在 Q,上 单 调 递 增，在 彳,2万 上 单 调 递 减 Jr 37r 7i 37rC.在 0,-及 1 2 兀 上 单 调 递 增，在 上 单 调 递 减 yr 37r 7t 37rD.在-,y 上 单 调 递 增，在 0,-及,271上 单 调 递 减【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 正 弦 函 数 的 单 调 性 分 析 判 断 得 解.【详 解】因 为 y=4sinx,xi 0,2乃,所 以 函 数 的 单 调 性 和 正 弦 函 数=5皿 工 的 单 调 性 相

26、 同，TT 37r 7t 37r所 以 函 数 在 0,y 及 2兀 上 单 调 递 增，在 上 单 调 递 减.故 选：C【点 睛】本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 单 调 性，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.（90,270）内 为 减 函 数 判 断 它 们 的 大 小.12.不 通 过 求 值,比 较 下 列 各 组 中 两 个 三 角 函 数 值 的 大 小：2-（3%）cos一%与 cos|-；7 5 J sin 250 与 sin 260.【答 案】（l）coS1乃 cos（一 彳 J（2）sin250 sin260【解 析】【分

27、析】（1）利 用）=cosx在（0,%）内 为 减 函 数 判 断 它 们 的 大 小;(2)利 用 y=sinx在3万【详 解】解:COS37r 2 3=c o s-,V 0 7r7r COS,g p COS 7T COSI-I.(2)90 250 260 sin 260.【点 睛】本 题 主 要 考 查 正 弦 余 弦 函 数 的 单 调 性 的 应 用，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.7T1 3.求 函 数 y=3sin(2x+-),x e 0,2乃 的 单 调 递 减 区 间.4【答 案】予 和 笃,罟.【解 析】TT 7T 37r 分 析 根

28、据 正 弦 型 函 数 的 性 质 有 24 7+式 2x+7 W 2%万+k 时 函 数 单 调 递 减，2 4 2即 可 求 出 y=3 s in(2 x+)的 递 减 区 间，进 而 讨 论 女 值 确 定 必 0,2万 上 的 递 减 区 间 即 4可.TT 7T i7 T 7T【详 解】/2k7r+-2 x+-2k7v+(k e Z)上 y=3sin(2x+)单 调 递 减，2 4 2 47T 5 乃 7TJ.k7v+x rr Q J y y 1 4 frr当 左=0：x G o 0,2TF；当 左=1：x G 0,2TT；o o o o 吟，哥、佟，字 为 y=3sin(2x+f)

29、,x e 0,2乃 的 单 调 递 减 区 间.8 8 8 8 45.4.3正 切 函 数 的 性 质 与 图 象 练 习 14.借 助 函 数 y=ta n x的 图 象 解 不 等 式 t a n x N-l,x e 0,f f J-【答 案】0段 卜 掌【解 析】【分 析】画 出 y=tanx,xe 0段 卜 序%)和 y=T 的 图 象，观 察 图 象 即 可.71)71【详 解】在 同 一 坐 标 系 中 画 出 y=tanx,xe 0,Q 卜 5 刁 和 y=T 的 图 象，如 下:JT、3 4由 图 象 可 知 不 等 式 tanx2-l的 解 集 为 o,-lu 1 乃【点 睛

30、】本 题 考 查 了 正 切 函 数 不 等 式，考 查 了 用 数 形 结 合 法，属 于 基 础 题.15.观 察 正 切 曲 线，写 出 满 足 下 列 条 件 的 工 值 的 范 围：(1)tan x 0；(2)tanx=0；(3)tanx 0.jr jr【答 案】()k n x k兀+也 三 x=k兀 也 w 与 k兀 x k 7 T(k w Z)；2 2【解 析】【分 析】画 出 y=tanx的 函 数 图 象，通 过 图 象 判 断(1)、(2)、(3)对 应 自 变 量 的 取 值 范 围 即 可.(2)tanx=O：x=k7T(keZ)；T C(3)tanx0：k兀 xI 3

31、 6 J【解 析】【分 析】r r令 3xwk%+w(攵 e Z),解 出 x 的 范 围 即 可 求 得 定 义 域.冗 k 4【详 解】令 3xwk万+(攵 Z),得 x w 乃+(ZwZ),2 3 6k 冗 所 以 函 数 丁=12113%的 定 义 域 为 XXHqTF+u，%wZ.3 o【点 睛】本 题 考 查 正 切 函 数 的 定 义 域，属 于 基 础 题.17.求 下 列 函 数 的 周 期：rr Icjr x(1)y=tan 2 x,x+(k e Z)；(2)y=5 tan-,x(2 k+)7r(k e Z).4 2 2IT【答 案】(1)周 期 为 7(2)周 期 为 2

32、42【解 析】【分 析】(1)由 诱 导 公 式，得 tan2x=tan(2x+%),即/(x)=,问 题 得 解；X(x x+2 4(2)由 诱 导 公 式，得 tane=ta n/+万 尸,即/(x)=/(x+2乃)，问 题 得 解；【详 解】(1)令 丁=/(幻，因 为/(x)=tan 2x=tan(2x+)=tan 2 x+rr k 冗 TT所 以 函 数 丁=1 2也%,工 工 一+一（z e Z）的 周 期 为 7.4 2 2X(2)令 y=/(x),因 为/=512方(x x+2 4=5 tan+%=5 tan-(2)2=/(x+2万),r所 以 函 数=5 t a n,*（2攵

33、+1）万 仅 6 2）的 周 期 为 2.【点 睛】本 题 考 查 了 诱 导 公 式，函 数 周 期 性 定 义，属 于 中 档 题.1 8.不 通 过 求 值，比 较 下 列 各 组 中 两 个 正 切 值 的 大 小：（1）1加（一 52。）与 1 2 1 1（7 7。）；,八 13万,17兀（2）tan-与 tan-4 5【答 案】（1）tan（-52）tan（-47）；（2）t a n tan【解 析】【分 析】（1）根 据 N=tanx在（-90。,0。）的 单 调 性 进 行 比 较，得 到 答 案；（2）根 据 正 切 函 数的 周 期 对 所 求 的 值 进 行 化 简，再

34、根 据 y=tanx在 的 单 调 性 进 行 比 较，得 到 答 案.【详 解】解：-900-5 2-4 7 00,且 y=tanx在 内 为 增 函 数，.tan（-52）tan（7）.13万（万、兀（2）tan-tan 3万+=tan,4 I 4；417 兀 2 2tan-=tan 3%+一 7|=tan开,5 1 5 J 5八 乃 2 710 一 一 万 一 4 5 2且 3；=1 011%在（0,1 J内 为 增 函 数,7t 2,13 177rtan tan 乃,故 tan 冗 tan-.4 5 4 5【点 睛】本 题 考 查 根 据 正 切 函 数 的 单 调 性 比 较 函 数

35、 值 的 大 小，属 于 简 单 题.习 题 5.4复 习 巩 固 1 9.画 出 下 列 函 数 的 简 图：(1)y=1 sin x,%e 0,2TT（2）y=3cosx+l,xe0,2%.【答 案】（1）见 解 析（2）见 解 析【详 解】解：（1）【解 析】【分 析】（1）根 据 五 点 作 图 法 作 图 法 作 图;（2）根 据 五 点 作 图 法 作 图 法 作 图.X07177 V3万 22描 点 连 线 得 如 图,y=1-sinx1 0 1 2 1(2)描 点 连 线 得 如 图.X07 C77t3汽 22兀 y=3cosx+l4 i-2 1 4【点 睛】本 题 考 查 考

36、 查 五 点 作 图 法 作 图，考 查 基 本 分 析 作 图 能 力，属 基 础 题.20.求 下 列 函 数 的 周 期：2(1)y=sinx,xeR；(2)y=cosx,x?R.【答 案】(1)3k兀 也 必；(2)24兀 伏 eZ).【解 析】2万【分 析】利 用 正 余 弦 的 性 质，结 合 7=可 求（1）（2）中 三 角 函 数 的 最 小 正 周 期，|（y|进 而 可 写 出 函 数 的 周 期.2 7 二 2兀 2 万 二【详 解】（1）由 题 设 知：。=彳，故 最 小 正 周 期 为 一 两 一 一”，即 3 52y=sinx,xeR的 周 期 为 弘 乃（AeZ）

37、；f 2万 27 c 1（2）由 题 设 知：（o=,故 最 小 正 周 期 为 7=两=7=2万，即 y=/cosx,x?R的 周 期 为 2&兀 伏 eZ）；21.下 列 函 数 中，哪 些 是 奇 函 数？哪 些 是 偶 函 数？哪 些 既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数.（1）y=|sinx|；（2）y=l-cos2x；（3）y=-3sin2x；（4）y=1+2tanx.【答 案】（1）偶 函 数；（2）偶 函 数；（3）奇 函 数；（4）非 奇 非 偶 函 数.【解 析】【分 析】（1）根 据 奇 偶 性 定 义 进 行 判 断；（2）根 据 奇 偶 性 定 义 进 行

38、判 断；（3）根 据 奇 偶 性 定 义 进 行 判 断；（4）根 据 奇 偶 性 定 义 进 行 判 断；【详 解】（1）-*山 划 定 义 域 为 艮 且|5皿 一 切 本 布 刈,所 以 y=|sinx|是 偶 函 数；（2）y=l-cos2x定 义 域 为 R,且 1-COS2（-X）=1-COS2X,所 以 y=l-cos2x是 偶 函 数；(3)y=-3sin2A：5CCJ R,J.-3sin2(-%)=3sin2%=-(-3sin2x),所 以y=-3sin2x是 奇 函 数;IT（4）y=l+2tanx定 义 域 为 x|xw E+子 k e Z,但 l+2tan（-x）wl+

39、2tanx,l+2tan（-x）w-l-2tanx,所 以 y=l+2tanx 既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数.【点 睛】本 题 考 查 函 数 奇 偶 性，考 查 基 本 分 析 判 断 能 力，属 基 础 题.22.求 使 下 列 函 数 取 得 最 大 值、最 小 值 的 自 变 量 x 的 集 合，并 求 出 最 大 值、最 小 值.1 71（1）y-l-cos-x,XER；（2）y=3sin（2x+?）,xe R.（3）y=-cos-x-,x&R；Z 12 o J、1.M 万）D（4）y=-sin-x+,xe/?.2（2 3 J3【答 案】（1）使 y 取 得 最 大

40、 值 的 x 的 集 合 是 xI x=6A+3,&e Z,Znax=万；使 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 x|x=6AMeZ,%in=g.（2）使），取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 刈=%万+?#2,=3；使 y 取 得 最 小 值 的 X 的 集 合 是 x|x=版-上&ez,ymin=-3.（3）使），取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 x|x=4br+g 万/ez,ymax=m；使），取 得 最 小 值 的 X 的 集 合 是|x=4hr+?,&ez,ymin=-|.（4）使 取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 1|x=4br+?/e z,y

41、2=；使 y 取 得 最 小 值 的 X 的 集 合 是 卜 次=4版-1%,%Gz1,ymin=-1【解 析】【分 析】（1）根 据 余 弦 函 数 性 质 求 最 值 以 及 对 应 自 变 量 范 围；（2）根 据 正 弦 函 数 性 质 求 最 值 以 及 对 应 自 变 量 范 围；（3）根 据 余 弦 函 数 性 质 求 最 值 以 及 对 应 自 变 量 范 围；（4）根 据 正 弦 函 数 性 质 求 最 值 以 及 对 应 自 变 量 范 围.1T【详 解】（1）由=7+肛 Z w Z 得 使 y 取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 3xx=6k+3,keZ,ym a

42、=-；J I 1由=2k兀,ke Z 使 y 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 x|x=6A,A e Z）,jmin=-.TT 7T（2）由 2x+i=2br+5，Z w Z 得 使 y 取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 TT TT由 2x+?=2Z乃-5 欢 e Z 得 使 y 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 xx=k7r-,kEz,ymin=-3j J I（3）由 彳 x-?=2版 r+肛 Z e Z 得 使 y 取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 2 6xx=4k7r+7r,kez,y3m m=j；2j j r由:x-f=2k小 k e Z 得 使

43、 y 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 2 6xx=4k7r+,kz,ymil3”一 万!71 7T（4）由 x+=2版+,keZ 得 使 y 取 得 最 大 值 的 x 的 集 合 是 xx=4rk7r,k&z,yna.2j TT TT由 5X+5=2左 乃-5，左 e Z 得 使 y 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 xx=4k7r-7r,kez,ymii)in _2【点 睛】本 题 考 查 正 余 弦 函 数 最 值，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.23.利 用 函 数 的 单 调 性 比 较 下 列 各 组 中 两 个 三 角 函 数 值 的

44、 大 小:(1)sinl0315 与 sinl6430；(2)COS7T j 与 COS(3)sin 508 与 sin 144；(4)COS也 与 cos44 71【答 案】(I)sinl0315 sinl64030sin 5080 10315o164030,sinl64030.3 A 3.4)4(2)C O S-71=COS 肛 COS 7T=COS 乃.I 10 J 10 I 9 J 94-93-10且）=cosx在（0,乃）内 为 减 函 数.sin 508=sin(360+148)=sin 148.90 144 148 180,且 y=sinx在，兀)内 为 减 函 数，sin 14

45、4 sin 148，即 sin 508 乩,即 3 件 小 cos停 10 9 110 J I 9)【点 睛】本 题 考 查 诱 导 公 式 以 及 正 余 弦 函 数 单 调 性，考 查 基 本 分 析 判 断 能 力，属 基 础 题.24.求 下 列 函 数 的 单 调 区 间：(1)y=l+sin%,X G 0,2万;(2)y=c o s 0,21.【答 案】(1)单 调 递 增 区 间 为 0,1,y jr 37r,2万；单 调 递 减 区 间 为-,y.(2)单 调 递 增 区 间 为。可，单 调 递 减 区 间 为 肛 2m.【解 析】【分 析】(1)根 据 正 弦 函 数 单 调

46、 性 求 单 调 区 间;(2)根 据 余 弦 函 数 单 调 性 求 单 调 区 间 7T/【详 解】(1)当 2左 万 一 上 2左 乃+,伏 2)时；y=l+sinx单 调 递 增;2 2因 为 xi 0,2词，所 以 单 调 递 增 区 间 为 0,y信,2：；7T 34当 2人 万+W x W 2&乃+,(k Z)时；y=l+sinl单 调 递 减;2 2jr 34因 为 口 0,2扪，所 以 单 调 递 减 区 间 为 万,万(2)当 2左 为 2后+，(左 eZ)时；y=-cosx单 调 递 增;因 为 xl 0,2加，所 以 单 调 递 增 区 间 为 0,兀;当 2%+万 2

47、%+2,伏 2)时；y=-8sx 单 调 递 减;因 为 xl 0,2泪,所 以 单 调 递 减 区 间 为 肛 2%.【点 睛】本 题 考 查 正 余 弦 函 数 单 调 区 间，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.25.求 函 数=Tanx+5+2 的 定 义 域.【答 案】兀,k 6 Z【解 析】【分 析】根 据 正 切 函 数 性 质 列 式 求 解，即 得 结 果.【详 解】解：由 x+(ke Z),得+版(AeZ),6 2 3.原 函 数 的 定 义 域 为+&肛 Zez.【点 睛】本 题 考 查 正 切 函 数 定 义 域，考 查 基 本 分 析 求 解 能

48、力，属 基 础 题.(jr 5冗 k426.求 函 数,=121112 _彳 1/逐+3 伙 6 2)的 周 期.【答 案】52【解 析】【分 析】根 据 周 期 定 义 或 正 切 函 数 周 期 公 式 求 解.【详 解】解 法 一/(x)=tan 2x-=tan 2x-|+%=tan 2 x+-=f x+jr 所 求 函 数 的 周 期 为 了 解 法 二：所 求 函 数 的 周 期 T=&=2【点 睛】本 题 考 查 正 切 函 数 周 期，考 查 基 本 分 析 求 解 能 力，属 基 础 题.27.利 用 正 切 函 数 的 单 调 性 比 较 下 列 各 组 中 两 个 函 数

49、值 的 大 小：(1)tan 与 tan347(2)tan 1519 与 tan 1493;9(3(3)tan6 乃 与 tan-5(2)tanl519 tanl4930(3)【解 析】【分 析】tan6tan11(4)7万 ntan tan 8 6（1）先 根 据 诱 导 公 式 化 简,再 根 据 正 切 函 数 单 调 性 判 断 大 小;（2）先 根 据 诱 导 公 式 化 简,再 根 据 正 切 函 数 单 调 性 判 断 大 小;（3）先 根 据 诱 导 公 式 化 简,再 根 据 正 切 函 数 单 调 性 判 断 大 小;（4）先 根 据 诱 导 公 式 化 简，再 根 据 正

50、 切 函 数 单 调 性 判 断 大 小 0|y|，在（0,5）上 为 增 函 数,(2)tan 1519=tan(4x360+79)=tan790,tan 1493=tan(4x360+53)=tan 53.0 53 79 90,且 夕=匕”在 上 为 增 函 数,.-.tan 53 tan 1493.3 8(3)tan62.=ta n 2.,ta n=t a nA,.1 1 1 1 I 1111 J 11117t 8 7t 9 7i 3 7i,JnI y=tanx.2 11 1 1 2上 为 增 函 数,8 9 9 33tan-tan-5 n1 1 11 H I H1 17兀(兀、(7r(