2022年高考真题——新高考全国I卷（含答案）数学.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)本试卷共4 页，22小题，满 分 150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

2、答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 集 合 加=3&4 ,N=x|3 x N l，则()A.1 x|0 x 2|B,x xC.x3x16 D.x x 0）的最小正周期为T.若 号 丁 兀，且【答案】Cy =/（x）的图象关于点（万,2）中心对称，则（)A.13 5B.-C.一D.3【答案】A7.设4=0.招。|乃,A.a b c2 2c =-l n0.9,贝 i j ()B.c b a C.c a

3、 bD.a cb8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 乃，且3 /0)上,过点8(0,-1)的直线交C于P,。两点，则()A.C的准线为y =-1 B.直线4 8与C相切C.O P -O O D.BP-BQBA【答案】B C D12.已知函数f(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若-g(2+x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g-g =。C./(-D =/(4)D.g(-l)=g(2)【答案】B C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.11-力（x+y）8的展开式中f y 6 的系数为（用数字作答）.【答案】

4、-2814.写出与圆V +2=1和（无 一 3）2+（y-4）2=1 6 都相切的一条直线的方程【答案】y=3 X+5 或7 325或=一1 4 4 24 2415.若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则”的取值范围是【答案】（一 8,-4）D（，+%）2 216.已知桶圆C:二+=l（a b 0）,C 的上顶点为4两个焦点为耳，F2,离心率a b为过且垂直于A K 的直线与C 交于。，E 两点，|O E =6,则口A O E 的周长是【答案】13四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 s 117.记 S“为数列 4 的前项和，已知4=r

5、）是公差为的等差数列.（1）求 4 的通项公式；1 1 1c（2）证明：-F _-l-2.卬 生 册（1）解；q =1,.S=q =1 一=1,%又2I 是公差为-的等差数列，3.a=9.s _（+2）一.册）3 EL 3.当”2 2 时，S =（+1）,一 I Gan-S“-=-3整理得：=(+l)a,i，an n+1即口-=-7,%Tan=q x=a?x%x.a.x,-ana a2 an-2 an-ix 2xlx.x2 3n 7 7 4-1 仆+-x-=-n-2 n-1)-,2显然对于n=1也成立,.*4的通项公式4(几+1)21(2)证明：一42(一 n n+i)2(+1)、1+a22K

6、2)7+cos A1 +l218.记ABC的内角/,B,C的对边分别为“，b,c,已知sin2B1 +sinA l+cos2B111232兀(1)若。=,求&3(2)求应的最小值.c解：(1)因为cos Asin 23 2 sin BcosB14-sin A 1 +cos 25 2 cos2 Bsin B nn-,即cos 3sin 5=cos A cos 5-sin A sin B=cos(A+B)=-cosC=g,TT TV而 0 8 0,所以一 C 兀,0 8 2 V 8-5=4 V 2-5-co s B co s B当且仅当co s?B=当 时 取 等 号，所以“一的最小值为4及 一5

7、.1 9.如图，直三棱柱4?。一4月如的体积为4,口人出。的面积为2垃.(1)求4到平面48c的距离;(2)设。为AC的中点，AAl=A B,平面AB C,平面,求二面角A 8O-C的正弦值.解：(1)在直三棱柱A B C 44G中，设点N到平面AB C的距离为/?,1 2万 1 1 4则匕-A 6 c=S A.BC,0=Yh=，A 8 C=S ABC.A A =VABC_4 8 c=，解得h=-2 )所以点/到平面AB C的 距 离 为 亚；(2)取AB的中点及连接力区如图，因为A4=AB,所以又平面A B C J平面A BB|A 1 ,平面4B C n平面A B A A =，且AEu平面A

8、 BB|A，所以AEL平面A BC,在直三棱柱A B C-4B C中，_L平面ABC,由 B C u平面 ABC,B C u平面ABC可得AE，BC,B B J B C,又AE,B旦 u 平面A B4A且相交，所以8。1平面AB44,所以BC,84,BB1两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,由（1）得AE=亚，所以A41=A8=2,刊=2五,所以8C=2,则 A(0,2,0),A(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以 AC 的中点。(1,1,1),则 而=（1），丽=（0,2,0）屁=（2,0,0）,设平面A8O的一个法向量而/、m BD=x+y+z=0(x,y,

9、z),则_m-BA=2y=0可取而=(1,0,-1),设平面BDC的一个法向量3=c）,贝 卜m-BD=a+h+c=0m BC=2a=0可取，=（0,1,1）,1贝|J cos(九 力=m-n所以二面角ABD C的正弦值为小一（；、2_V3一 2m -|n|a x m 2,720.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 1 0 0 人（称为对照组），得到如下数据:不够良好良好病例组4 06 0对照组1 09 0（1）能否有9 9%的把握认为患该疾

10、病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，/表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选 到 的 人 患 有 该 疾 病 与 品 元 的 比 值 是 卫 生 习 惯 不 够 良 好 对 患 该 疾 病 风险程度的一项度量指标，记该指标为凡 证 明：心3.上;P(A|B)P(A|B)（i i ）利用该调查数据，给出P（A|B）,P（A|阴的估计值，并 利 用（i ）的结果给出A的估计值.n(ad-bc)2(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)解：（1）由已知K?P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n(ad-bc _ 2

11、00(40 90 6010)2(a+)(c+d)(a+c)(b+d)50 x150 x100 x100又产(K 2 之 6.635)=0.01,24 6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)因为/?=P(B|A)P(B|4)_ P(A)P(A)P(B|A)P(BA)-P(A)P(丽 P(A)P(AB)g、“尸(A B)P(B)P(AB)P(B)川 T i-,=-P(B)P(AB)P(耳)P(AB)所以R =P(A 8)P(AB)P(AB)P(AB)（i i）由己知 P（A|B）=a，P（A|B）=100 100-60-90又 P（A|8）=,P（A

12、|B）=，100 100所以R =P（AB）mi g）_6P（AB）P（AB）21.已知点42,1）在双曲线C：二一一 J=i g i）上，直 线/交 C于尸，。两点，直线a a-1A P,A Q 的斜率之和为0.（1）求/的斜率：（2）若t a n/P 4 Q =2后，求 P A Q 的面积.解：（1）因为点A（2,l）在双曲线X2 一_y2 =上，所以 4 1=1,a2 a2-1 a2 a2-1r2解得=2,即双曲线C:二 一 丁=12易知直线/的斜率存在，设/:y=A x+m,P（石,）,（积 ），y=kx+m联 立 产 可得，0 一2左 2）x2-4mkx-2m2-2 =0,所以,4m

13、k%+=一”2 1田2 二N/C -12m2+22k2/=1 6/公+4（272+2）（2左 2-1）0 =旭 2 1+2女 2 0所以由原P+%BP=0 可得，2=+2 二=0，X 1 L 七一2即（-2）（在 +加一1）+（工 2 2）（依 +m-l）=0,即 2kxX2+（加一1-2人）（玉 +x2）-4（7n-l）=0,所以2Z x2分+22k21+（m-l-2Z:）-4 m k、2k=0化简得，8/+4&-4+4加（火+1）=0,即（4+1）（2左 一 1 +根）=0,所以左二一1或加=1 一 2h当加=1 2%时，直线/:y=丘+2 =A(x-2)+1过点4(2,1),与题意不符，

14、舍去,故人=一1.(2)不妨设直线PAPB的倾斜角为a,4(&=仇 其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.(1)解：/(x)=e*-ax 的定义域为 R,ifi f(x)=e-a,若a 4 0,则r(x)0,此时，(x)无最小值,故a0.8*)=%-1!1%的定义域为(0,+8),而g(x)=a-，=乎X X当x Ina时，fx)lna时，f(x)0,故/(x)在(in a,+8)上为增函数，故/(x)m in =f(lna)=a alna.当0了 ,时，g(x)。，故g(X)在 一,+8 上为增函数，a a )(1故 g(%)mi

15、n=g 一=1一一.a j a因为fM =eA-ax和g(x)=ax-In x有相同的最小值，1a 故l-ln-=Q -a ln a,整理得到=l n a,其中(),a 1 +。7 1 ./2 1 a 2 1设g(a)=;-Ina,a 0,则g()=-一一=-1时，考虑e x=/?的解的个数、x lnx=b的解的个数.设S(x)=e-x-b,S(x)=ex-1,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-a),0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 s(x L=s(o)=0,S()=e 20,设”(0)=e 2。，其中匕1,贝ij a()=e -2 0 ,故在(1,+o o)

16、上为增函数，故 “(l)=e-2 0 ,故5优)0,故S(x)=e-x b有两个不同的零点，即e=x=6的解的个数为2.设T(x)=x-ln x-/j,Tz(x)=-,当0 x l时，T x)l时，r(x)o,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 T(x)m i n=T =1 一 沙 0,T(eb)=eb-2b0,T(x)=x-ln尤。有两个不同的零点即x ln x =8的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得x ln x =Z?、e*x =b仅有一个零点，当匕 1.设(x)=e、+ln x 2 x,其中x (),故/(用=e*+!-2 ,X设s(x)=e*-x-

17、l,x0,则丁(x)=e*-l0,故s(x)在(0,+。)上为增函数，故s(x)s(0)=0即e*x +l，所以(X)X+L 1 N 2-1 0,所以/?(%)在(0,+8)上为增函数，X1 2 2而版l)=e-2 0,/z(_)=ee，-3-r e-3-?0.e e e故/(x)在(0,+。)上有且只有一个零点七,4小 1且：e、当0 X /时，力(力 -ln x即/(X)x()时，力(无)0 即e g(x)，因此若存在直线y 与曲线y =/（x）、y =g（x）有三个不同 交点，故。=/小）=8（尤0）1，此时e x =b有两个不同的零点西,尤0（玉0玉），此时x ln x =Z?有两个不同的零点 0，%4（与 1 /）故 e*1-%,：/?,-x0-b,x4-ln x4-Z7=0,xo-ln xo-/?=O所以无4 -b=I n /即 e*-=%4 即 eV 4-z,-（x4-/?）-/?=0,故-8为方程e*x =b的解，同理毛-人也为方程e*x =Z?的解又e*1 内=人可化为e*1=%+人即无 -ln（玉 +6）=0即（玉 +Z?）-ln（xl+b）-h=Q,故玉+b为方程x ln x =b的解，同理/+人也为方程工一出工=/?的解，所以%,%=尤0-。,4一。，而人1,故 xn-x,-h,即 +%=2%.玉=0 b