2022年初升高数学衔接讲义08相似形（教师版含解析）（第1套）.pdf

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1、专 题 0 8相 似 形 名 敢 保 述 利 用 三 角 形 一 边 平 行 线 的 判 定 定 理 证 明 两 直 线 平 行 的 一 般 步 骤 为：首 先 观 察 欲 证 平 行 线 截 哪 个 三 角 形；（2）再 观 察 它 们 截 这 个 三 角 形 的 哪 两 边；最 后 只 须 证 明 这 两 条 边 上 对 应 线 段 成 比 例 即 可，当 已 知 中 有 相 等 线 段 时，常 利 用 它 们 和 同 一 条 线 段（或 其 他 相 等 线 段）的 比 作 为 中 间 比.常 用 的 有 用 结 论 包 括：L平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理：三 条 平 行 线

2、 截 两 条 直 线，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例.2.推 论 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边（或 两 边 的 延 长 线），所 得 的 对 应 线 段 成 比 例.平 行 于 三 角 形 的 一 边，并 且 和 其 他 两 边 相 交 的 直 线，所 截 得 的 三 角 形 的 三 边 与 原 三 角 形 的 三 边 对 应 成 比 例.三 角 形 的 两 腰 被 一 条 直 线 所 截 的 对 应 边 成 比 例.那 么 这 条 直 线 平 行 于 底 边.3.三 角 形 的 内 角 平 分 线 性 质 定 理：三 角 形 的 内 角 平 分

3、线 分 对 边 的 长 度 比 等 于 对 应 夹 角 两 边 的 长 度 比.福 在 宴 求 初 中 课 程 要 求 了 解 比 例 的 性 质、线 段 的 比、成 比 例 线 段，通 过 建 筑、艺 术 上 的 实 例 了 解 黄 金 分 割.通 过 具 体 实 例 认 识 图 形 的 相 似，了 解 相 似 多 边 形 和 相 似 比.理 解“两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例”了 解 相 似 三 角 形 的 性 质 定 理：相 似 三 角 形 对 应 线 段 的 比 等 于 相 似 比；面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 了

4、解 两 个 三 角 形 相 似 的 判 定 定 理：两 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似：两 边 成 比 例 且 夹 角 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似：三 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似.会 用 图 形 的 相 似 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问 题.高 中 课 程 要 求 相 似 是 高 中 数 学 的 一 个 重 要 工 具，要 求 学 生 们 在 解 题 过 程 中 能 灵 活 应 用 相 似 的 知 识，很 多 时 候 相 似 是 一 个 相 当 重 要 的 工 具，但 是 不 会 单 独 考 查 相 似 的 证 明 知 钠

5、檎 锵 高 中 必 备 知 识 点 1:平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 在 解 决 几 何 问 题 时，我 们 常 涉 及 到 一 些 线 段 的 长 度、长 度 比 的 问 题.在 数 学 学 习 与 研 究 中，我 们 发 现 平 行 线 常 能 产 生 一 些 重 要 的 长 度 比.在 一 张 方 格 纸 上，我 们 作 平 行 线/1,（如 图 3.1 7）,直 线 a 交/,/2,/3于 点 A,B,C,A*A R 7AB=2,BC=3,另 作 直 线 6 交/1,/2，/3于 点 4,8；。，不 难 发 现 空;二 丝 二 士 B C B C 3我 们 将 这 个 结

6、 论 一 般 化，归 纳 出 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理：三 条 平 行 线 截 两 条 直 线，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例.如 图，.当 然，也 可 以 得 出 包=匹.在 运 用 该 定 理 解 决 问 题 的 过 程 中,1 2 3 B C E F A C D F我 们 一 定 要 注 意 线 段 之 间 的 对 应 关 系，是“对 应”线 段 成 比 例.高 中 必 备 知 识 点 2：平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 的 推 论 推 论 1：平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 截 其 它 两 边（或 两 边 的 延 长 线），所 得

7、的 对 应 线 段 成 比 例.推 论 2:平 行 于 三 角 形 的 一 边，并 且 和 其 它 两 边 相 交 的 直 线，所 截 得 的 三 角 形 的 三 边 与 原 三 角 形 的 三 边 对 应 成 比 例.证 明 过 C作 C E/A D,交 8 A延 长 线 于 E,A B _ BDAC D CR4.A D/C E,.4 EBDDC AD 平 分 N B 4 C,;.N B 4 D=N D 4 C,由 A D/CE 知 A B A D=ZE,A D A C=A A C E,AB _ BD-J C_5 C-上 述 试 题 的 结 论 也 称 为 角 平 分 线 性 质 定 理，可

8、 叙 述 为 角 平 分 线 分 对 边 成 比 例（等 于 该 角 的 两 边 之 比）.高 中 必 备 知 识 点 3：射 影 定 理 我 们 把 下 面 试 题 的 结 论 称 为 射 影 定 理：如 图,在 直 角 三 角 形 A 8 c中，N 5/C 为 直 角，求 证：(D A B)=B D B C,A C2=C D C B：(2)A D2=B D C D乙 B,;A B A C S&B DA,：.=,A B2=B D BC.BD BA同 理 可 证 得 A C2=C D C B.在 Rt/ABD 与 RtLCAD 中，Z C=90-A C A D=A B A D,Rt/ABD s

9、 R M A D,：.=,A D2=B D DC.B D A D典 例 剧 折 高 中 必 备 知 识 点 1:平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理【典 型 例 题】已 知：/1=/2,EG平 分/AEC.如 图，ZM4=45,ZFEG=15,ZNCE=75.求 证：AB/CD；(2)如 图，NMAE=140,ZFEG=30,当 N N C E=。时，AB/CD；如 图，请 你 直 接 写 出/M A E、NFEG、/NCE之 间 满 足 什 么 关 系 时，AB/CD-如 图，请 你 直 接 写 出/M A E、NFEG、/NCE之 间 满 足 什 么 关 系 时，AB/CD.【答 案

10、】见 解 析；(2)当 NNCE=80。时，AB/CD；/3,当 2/FEG+ZNCE=N/VME 时 A8 CD；(4)当 NMAE+2/FEG+/NCE=360时，AB/CD.【解 析】(1)VZ1=Z2.AB/EF二/VME=NAEF=45,且/FEG=15二 ZAEG=&0：EG 平 分 NAEC:.NAEG=/CG=60 ZCEF=75VZEC/V=75:.ZFEC=ZECN。且 48 斤 J.AB/CD(2)VZ1=Z2J.AB/EF：.N/VME+NFEA=180且 NM4E=140，ZAEF=40VZFFG=30ZAEG=70TEG 平 分 NAECA ZGEC=Z AEG=7

11、0：.ZFEC=100*：AB CD,AB/EF：.EF/CD.,.ZA/CF+ZFEC=180：.ZNCE=30 当 NNCE=80 时，AB/CD(3)VZ1=Z2：.AB/EF：.ZMAE+ZFEA=180：.ZFEA=180ZMAEf：.ZAEG=Z FEA+ZFEG=180ZMAE+ZFEG EG 平 分 NAEC ZGEC=ZAEG：.N FEC=N GEC+N FEG=180迪 N MAE+N FEG+N FEG=180团/MAE+2 N FEGu：AB/CDf AB/EFJ.EF/CD：.ZFEC+ZNCE=180:.180l?)ZM 4+2 Z FEG+Z NCE=180，2

12、 Z FEG+N N C E=/M A E当 2ZFEG+ZN C E=ZM AE AB/CD(4)Z 1=Z 2：.AB/EF：.ZM AE+ZFEA=180：.ZFEA=180ZM AEf：.ZA E G=Z FFG0Z F E A=Z FEG018O+ZM AETEG 平 分 NAEC工 NGEC=ZAEG：.ZFEC=ZFEA2ZAEG=180oZM AE+2ZFEG 360+2ZM AE=ZMAE+2ZFE6180,:AB CD,AB/EFJ.EF/CD：.ZFECZNCE=130：.Z MAE+2 Z FEG018O+Z NCE=180，Z MAE+2 Z FEG+Z NCE=36

13、0当 N MAE+2 NFEG+/VCE=360 时，AB/CD【变 式 训 练】已 知，如 图，Z 1=Z 2,DC FE,DE AC,求 证：FE平 分 NBED.【答 案】详 见 解 析【解 析】V DC/FE,/.Z 1=Z 3,Z C D E=Z 4,VDE/7AC,A Z 2=Z C D E,A Z 2=Z 4,V Z 1=Z 2,A Z 3=Z 4,J E F是 N B E D的 平 分 线【能 力 提 升】如 图，已 知 AD L8C,FGLBC,垂 足 分 别 为 D,G.且 N 1=N 2,猜 想：DE与 AC有 怎 样 的 关 系？说 明 理 由.【答 案】DE A C.

14、理 由 见 解 析.【解 析】D E/7A C.理 由 如 下：V A D 1BC,FG_LBC,A ZADG=ZFGC=90,；.AD FG,.*.Z1=ZC AD,V Z 1=Z 2,A Z C A D=Z 2,，DE AC.高 中 必 备 知 识 点 2：平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 的 推 论【典 型 例 题】请 阅 读 下 面 材 料，并 回 答 所 提 出 的 问 题.三 角 形 内 角 平 分 线 定 理：三 角 形 的 内 角 平 分 线 分 对 边 所 得 的 两 条 线 段 和 这 个 角 的 两 边 对 应 成 比 例.已 知：如 图，A B C中，A D是

15、 角 平 分 线.求 证：=AC DCE证 明：过 C作 CE D A,交 B A的 延 长 线 于 E.N1=NE,N2=N 3.A D是 角 平 分 线,.Z1=Z2.Z3=.AC=AE.又 AD!ICE,AB _ BDA E CAB BDACDC 上 述 证 明 过 程 中，步 骤 处 的 理 由 是 什 么？（写 出 两 条 即 可）用 三 角 形 内 角 平 分 线 定 理 解 答：己 知，中，A D是 角 平 分 线，AB=7cm,AC=4cm,B C=6cm,求 BD的 长;B 我 们 知 道 如 果 两 个 三 角 形 的 高 相 等，那 么 它 们 面 积 的 比 就 等 于

16、 底 的 比.请 你 通 过 研 究 4 A B D和 4 A C D面 积 的 比 来 证 明 三 角 形 内 角 平 分 线 定 理.42【答 案】（1）平 行 线 的 性 质 定 理；等 腰 三 角 形 的 判 定 定 理：平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理；（2）11 cm.证 明 见 解 析.【解 析】证 明 过 程 中 用 到 的 定 理 有：平 行 线 的 性 质 定 理；等 腰 上 角 形 的 判 定 定 理；平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理;(2)V A D是 角 平 分 线，BD _ AB DCC，又,.,AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,BD _

17、 7.6-B D 4,42BD=11(cm).(3)V A A B D和 ZkACD的 高 相 等,BDxh RD _ A B x h _ A B-D C x h D C-A C x h A C可 得：ZABD和 4 A C D面 积 的 比=2 2BD _ AB可 得：DC A C,【变 式 训 练】如 图，P B和 PC是 a A B C的 两 条 外 角 平 分 线。求 证：Z B P C=90-ZBAC.2 根 据 第 问 的 结 论 猜 想：三 角 形 的 三 条 外 角 平 分 线 所 在 的 直 线 形 成 的 三 角 形 按 角 分 类 属 于 什 么 三 角 形？【答 案】证

18、 明 见 解 析 锐 角 三 角 形【解 析】证 明：Y P 8和 PC是 A A B C的 两 条 外 角 平 分 线，/.Z P=180-(Z PSC+Z PCB)=180-(Z CBD+Z BCE)=180-(Z A+Z ACB+Z BC)=180-(Z2 2 24+180)=90-Z 4；2 根 据 的 结 论，知 三 角 形 的 三 条 外 角 平 分 线 所 在 的 直 线 形 成 的 三 角 形 的 三 个 角 都 是 锐 角，三 个 角 都 是 锐 角 的 三 角 形 是 锐 角 三 角 形，故 该 三 角 形 是 锐 角 三 角 形。【能 力 提 升】在 直 角 三 角 形

19、ABC中，乙 4cB=9 0/8 4 C 的 角 平 分 线 交 BC于。，CE _ L 于 点 E,交 AD于 点 F,取 BG=。雌 接 FG.【答 案】(1)见 解 析 乂 2)见 解 析.【解 析】(1).,:BG=CD；.BG+G D=CD+GD：.BD=CG证 明：作 DH_LA8于 H,9：CEABf:NCEB=NDHB=9 b,：.CE/DH,A Z 1=Z 2,又 丁 ZACB=90,AD 平 分 N84C,:DH=DC,Z 3=Z 4,V Z 5=Z 6=9 0-Z 3,Z 7=9 0-Z 4,A Z 5=Z 7,:CD=CF,；DH=CF,.8 G=m：.BG+G D=C

20、 D+G D,即 BD=GC,在 8HD和 AGFC中(BD=GCZ.1=Z2DH=CF：.Z B H D=Z G F C=9 0,：.Z G F C=Z B E C=9 0：.FG/AB.高 中 必 备 知 识 点 3：射 影 定 理【典 型 例 题】如 图，A B C是 等 腰 直 角 三 角 形，AB=B C,。是 8 c内 部 的 一 个 动 点，OBD是 等 腰 直 角 三 角 形，OB=BD.求 证：Z A O B ZC D B-(2)若 C。是 等 腰 三 角 形，Z 4 0 C=1 4 0 求/A O B的 度 数.【答 案】详 见 解 析；N A O B的 度 数 为 110

21、。或 95。或 125.【解 析】ABC和 A O B D是 等 腰 直 角 三 角 形，；.A B=B C,O B=B D,Z A B C=ZO BD=90,/Z A B O+Z O B C=ZCBD+ZOBC,二 N A B O=N C B D,在 A B O和 4 C B D中 AB=BCZ.ABO=乙 CBD,OB=BD.,.ABOACBD(SAS),.Z A O B=Z C D B；(2)设 NAOB 的 度 数 为 x,则/C D B=x,ZCDO=xl345.Z C O D=Z C O B 0 Z D O B=36Oo014O0 x045=175o(?lx,ZOCD=18O0 Z

22、CDO(3ZCOD=50,当 NCDO=NCOD 时,x 0 4 5=1 7 5 l3 x,解 得:x=1 1 0,当 N C D O=/O C D 时，xEI45=5(r,解 得：x=9 5,当 NCOD=NOCD 时，175取=5 0,解 得：x=1 2 5,故/A O B 的 度 数 为 110。或 95。或 125.【变 式 训 练】AP 1如 图 所 示，A4C8和 AECQ都 是 等 腰 直 角 三 角 形，A4cB的 顶 点 力 在 的 斜 边 OE上，若=,AD 3A r求 一 的 值.AE、DC B【答 案】叵 1【解 析】如 图，连 结 BDV A A C B与 4 E C

23、 D都 是 等 腰 直 角 三 角 形，NECD=NACB=90,NE=NADC=NCAB=45,EC=DC,AC=BC,AC2+BC2=AB 2/.2 A C2=AB2 ZECD-ACD=ZACB-ZACD/.Z A C E=Z B C D.在 A A E C和 A B D C中，AC=BC 2ACE=NBCDEC=DC.AEC 丝 BDC(SAS)/.AE=BD,ZE=ZBDC./.Z B D C=45.ZBDC+ZADC=90即 NADB=90。A A D2+BD2=AB2/.A D2+AE2-=2AC2AE 1“.茄=3AAD=3AE10AE 2=2AC 2.AC V5-AE 1V5故

24、 答 案 是：1【能 力 提 升】如 图，A D 1 B C,垂 足 为 D.如 果 CD=1,AD=2,BD=4,求 出 AC、A B的 长 度；（2）4 A B C是 直 角 三 角 形 吗？证 明 你 的 结 论.【答 案】A C=/,A 8=2/；(2)M 8 C是 直 角 三 角 形，理 由 见 解 析.【解 析】(1)：AD1.BC,：.ZADC=ZADB=90,V C D=1,AD=2,B D=4,：.AC=yiAD2+亦=g,而 二，AD2+BD2=2/(写 成 回 不 算 错)2：A C=,AB=2,BC=CD+BD=S,：.AC2+AB2BC2=25,：.ZBAC=90,即

25、 ABC 是 直 角 三 角 形.3直 编 称 1.如 图，将 A8C沿 BC方 向 平 移 得 到/5，4 1 B C与 ADEF重 叠 部 分（图 中 阴 影 部 分）的 面 积 是 4 1 B C面 积 的 一 半，已 知 B C=6,则 EC的 长 为（）A.3B.3 7 2 C.3 GD.4【答 案】B解：A 4 B C沿 BC边 平 移 到 下 的 位 置,：.AB/EG,：.GEC/ABC,：BC=6,：.EC=3y/2,故 选：B.2.如 图，8 C 中，CB=CA,乙 4CB=90。，点。在 边 BC上（与 B、C不 重 合），以 A D为 边 在 A D右 侧 作 正 方

26、形 ADEF,过 点 F作 FA/1CA,交 CA的 延 长 线 于 点 N,连 接 FB,交 DE于 点 P,给 出 以 下 结 论 C N=FN+CD；D C=乙 48F；四 边 形 CBF/V为 矩 形；乙 4FB+4 A B=135。；ER=FP.BC,其 中 正 确 结 论 的 个 数 是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】C解：；四 边 形 ADEF是 正 方 形-D AF=90；.N FAN+NCAD=9。V Z C=90-CAD+ZADC=90Z FAN=ZAD C在 4 F N 和 D 4 C 中 Z F N A Z A C D NABC:.N A D C彳 NABF

27、,故 错 误；由 得，Z ABF=45在 ABF 中，Z BAF+ABFA=180-AABF=135,故 正 确：,/Z FPE+Z.PFE=90，N FPE=ZDPB,4DPB+4PD B=90/.Z PDB=NPFE,:N ADC+/P D B=9，A D C+C A D=90：.Z CAD=ZEFP,:N A C D=NPEF=9 S:A A C D s 江 EP：.E F A D=F P A CA D=EF,AC=B C：.E F2=F P B C 故 正 确，综 上，正 确 故 选：c3.如 图，ZkABC 中，4 8=8,AC=6,=90。，点。在 ABC 内，且 DB 平 分 8

28、C,DC 平 分 C B,过 点。作 直 线 P Q,分 别 交 AB、AC于 点 P、Q,若 APQ与 ABC相 似，则 线 段 PQ的 长 为（）6 6【答 案】B解：当 PQ 8C时，APQS ABC,如 图 1,；.NPBD=NCBD,：PD/BC,：.ZPDB=NDBC,:.N PBD=NPDB,:.PB=PD,同 理，DQ=CQ,/ZAPQ=ZABC,A C 6 3tan Z4PQ=tan Z A B C=-=A B 8 4.设 A P=4x,AQ=3x,；.PQ=5x,；P8=PD=8E14x,PQ=CQ=6I33x,；.8 回 4x+6!23x=5x,7.x,635；.P Q=

29、5 x=：6当 NAPQ=NACB 时，A P Q s/A C 8,：A 8=8,AC=6,NA=90,：.BC=10,过。作 D E L A T E,DF1AC T F,DG_LBC 于 G,：D8 平 分 NA8C,DC 平 分 NACB,DE=DF=DG,-A ABC=g DE(AB+AC+BC)=g ABAC,：.DE=+=2,四 边 形 AEDF是 正 方 形，2：.DF/AP,:.N E P D=/F D Q,同 理/E D P=/F Q D,:.A P E D s/D F Q s LCAB,.PE D F A C _ 3 D E F Q 4 B 4 3 8:.P E=,F Q=一

30、,2 3 PD=ylP E2+D E2=J(|y+2?=|，DQ=D F2+F Q2=5 10 35/.PQ=PD+DQ=+=，2 3 635综 上 所 述，若 A PQ与 A8C相 似，则 线 段 P Q的 长 为 一,故 选:B.4.如 图，在 放 A/B C 中，N/C8=90,AC=3,BC=4,煎 D 在 边 4B 上,AD=AC,AE VCD,垂 足 为 尸，与 6 c 相 交 于 点 E，则 ta n N C Z E的 值 为（【答 案】AD.T过 点 C作 CG 曲 交 8A的 延 长 线 于 点 G,如 图 所 示.RtABC 中，AB=yA C2+B C2=A/F+47=5

31、-U：AD=AC,AE_LCD 于 点 F,.M F是 等 腰 4CD底 边 C D上 的 高.平 分 NOAC,BPZ1=Z2.9：EA/CGfA Z 3=Z 2,Z 1=Z G.A Z 3=Z G.：.AG=AC=3,：EA/CG,：.BAE 3 B G C.BE _ BA解 得，x=1.5.,，在 RtzXA AEC 中，CE 1.5 1tanNCAE=-.AC 3 2故 选:A.5.如 图，在 矩 形 ABCD中，BC=近 AB,E是 8C的 中 点,连 接 AE交 8。于 点 F,连 接 CF,下 列 结 论 AE_LBD；S矩 形/BCO=10S M E F;BC 2=20D D

32、F；.则 正 确 的 有（）个 AE 3【答 案】C解：设 Z 8=2 a,BC=6 A B J胆 BC=2几，BE=EC=O a，.B E V 2a V2 DC 2a 亚 布 一 石 彳/-2缶 一 飞.BE DC一 益 一 就：矩 形 A8CD,NA8=/DC8=90。，OA=OB=OC=OD,BC/AD,BC=AD,：./ABEBCD,：.ZBAE=ZCBD,：ZCBD+ZABD=90,ZBAE+ZABD=90,A E 1 B D,故 正 确;过 点 F 作 GQ_L8C,则 ZDGE=N8Q7=90,BE/AD：A BFES A DFA,QF BE EF谦 一 茄 您 1 2 一 4,

33、则 FQ=a,GF=y 故 错 误；在 Rt/XABE 中，AB=2a,BE=0a,AE=dAB、BE?=46a，：-ABBE=-AEBF,2 2AB-BE 2a垃 a 2GBF=-=T=-a,AE 痘 3矩 形 A8CD,/BCD=90,AB=2a,BC=26 a，BD7C+BC?=2氐,/,OD=OB=-BD=y/3a,DF=2j3a-a=-a,2 3 3B C2=(2y/2a=8a2,2ODDF=2x/3axa=Sa2,，8。2=2。/，故 正 确；/BE/AD,:.AEFQS A AF G,Q E E F,E F 1-=,而-=,A G A F A F 2矩 形 ZBC。，G Q 1

34、BC,四 边 形 力 8 Q G 为 矩 形，A G=BQ,：.BQ-.QE=2-A,Q E=/a,C Q=a,在 RtZFQC中，由 勾 股 定 理 可 得 尸 C=F C 2a J(.则=-/h=Y，故 正 确;A E J6a 3综 上 所 述，正 确 结 论 为，故 选 C6.如 图，已 知 平 行 四 边 形/8 C。中，/8=60。,/3=12,8。=6,。为 1 6 上 任 意 一 点（可 以 与 4 8 重 合）,延 长 尸。到 使 得 D F=P D，以 P R,P C为 边 作 平 行 四 边 形 P C E E,则 P E长 度 的 最 小 值 为（）A.1573B.9 G

35、 C.373 D.6732【答 案】B记 PE与 CD交 点 为 G,四 边 形 PFEC为 平 行 四 边 形，PF/CE,：.ZDPE=NCEP,NPDC=ZECD,：./P G D/E G C,:DF=PD,1 1：.P D=-P F=-C E,2 2.DG PG _PDCGEGEC1.PG _ PG _ 1PE PG+EG-3：.PE=3PG,要 求 PE的 最 小 值，只 要 求 PG的 最 小 值 即 可，PG的 最 小 值 为 当 PG_LCD时 取 PG,.A8CD是 平 行 四 边 形 平 行 线 间 的 距 离 处 处 相 等 过 点 C作 C H L A 8于 点 H,在

36、 RtZXCBH 中，V Z e=60,8 c=6,CH C HAsin Z B=-,即 二 L 二 BC66 n:.PG=CH=-=3 g，2PE=3PG=3 x 3 A/J=9 G，故 答 案 为：B.7.如 图，矩 形 A8CD中，点 G,E分 别 在 边 BC,DC,连 接 AG,EG,A E,将 8 G和 AECG分 别 沿 AG,EG折 叠，使 点&C恰 好 落 在 A E上 的 同 一 点，记 为 点 F.若 CE=3,C G=4,则 DE的 长 度 为（）【答 案】B,在 矩 形 ABC。中，GC=4,CE=3,Z C=90,GE=VC G2+CE2=A/42+32=5，根 据

37、 折 叠 的 性 质：BG=GF,GF=GC=4,CE=EF=3,ZAG BZAG F,ZEGC=ZEGF,NGFE=NC=90,Z B=Z A F G=90,，8G=GF=GC=4,ZAFG+ZEFG=130,，8 C=A D=8,点 4 点 F,点 E三 点 共 线，ZAG B+ZAGF+ZEGC+ZEGF=180,：.NAGE=90。，：.Rt/EGFRtAEAG,.GE E F 二)A E GE故 选：B.8.如 图，矩 形 纸 片/8 C。中，AB=3,BC=5.点 E、G分 别 在 4 D,D C 上,将 4 S E、E D G 分 别 沿 8 E、E G 翻 折，点 A 的 对

38、称 点 为 点 F,点。的 对 称 点 为 点 H,当 E、F、H、C四 点 在 同 一 直 线 上 时，连 接 则 线 段。长 为（）A.-Vio B.-V io c.-V io5 3 4【答 案】A由 翻 折 可 知：AB=BF=3,NBFC=90,在 RtBCF 中:BF2+CF2=BC2，：.F C=4,D.-VTo4如 图 所 示：Zl+Z2=90,N2+N3=90,N1=N3,ZBFC=ZADC,BF=DC,：.B F C C D E,:.FC=ED=4,EC=BC=5,：.EH=DE=4,HC=E C-E H=,过 点“作/M _ L D C于 点 M,如 图 所 示:则/),，

39、H M C E D C,.HC _M C _H MECDCED13 4解 得：M C=g,HM=飞,12则 DM=，5在 RtkDHM 中，DH=y/DM2+HM2=J(守+令=故 选：A.9.如 图，点/是 正 方 形 力 B C Q 内 一 点，是 等 边 三 角 形，连 接 力 M、MZ）对 角 线 8。交 C W 于 点 N,现 有 以 下 结 论：N/A）=150。；M f=MN-MC)沁 幺=t 8,其 中 正 确 的 结 论 有（BMC 3A.4 B.3 C.2 D.1【答 案】C解：,MBC是 等 边 三 角 形,Z M BC=Z MCB=Z CMB=60,BM=BCf,四 边

40、 形 八 8 8 是 正 方 形，/.ZA B C=ZB C D=/B A D=Z 4 D C=90,AB=BCf：.Z A B M=Z D C M=3 0 8=8 M,1I.N A M B=/B A M=x(180-30)=75,同 理：Z C M D=Z C D M=7 5 f：.ZA M D=360o-750-75o-60=150；故 正 确；四 边 形 4BC。是 正 方 形，N 8O C=45。，Z MDN=Z CDM-Z BDC=750-45=30,：Z C M D=Z C M Df Z M D N=Z D C M=3 0,:,/M N D s/M D C,.M N D M而 一

41、记 DM2=MN*MC,：Z B A D=Z A D C,N B A M=/C D M,：.Z M A D=Z M D A,：.MA=DMf：.M A2=MNMC,故 正 确；过 点 M 作 MG_LAB于 G,设 M G=x,RtZ8GM 中，NGBM=30,.B M=B C=A B=2X9 B G=也 x,:AG=2x-6 x,.s-!”G J G 2X-瓜 2-6S-BMC J B O B G 与。也 2故 错 误.故 选 C.10.如 图，在 平 行 四 边 形 A8CD中，4BAC=90,AB=AC,过 点 A 作 边 8c的 垂 线 AF交 O C 的 延 长 线 于 点 E,点

42、F 是 垂 足，连 接 BE、DF,DF交 A C 于 点。.则 下 列 结 论 四 边 形 ABEC是 正 方 形 C。：BE=1：3；DE=72 BC；S 四 边 形 OCEF=AAODf 正 确 的 个 数 是（）A.1 B.2【答 案】D解：V Z B 4 C=90,AB=AC,：.BF=CF,四 边 形 A8CD是 平 行 四 边 形，：.AB/DEf:NBAF=NCEF,丁 NAFB=NCFE,：.48Fg/ECF(44S),：.AB=CEf 四 边 形 Z8EC是 平 行 四 边 形，C.3 D.4TN8 4 c=90,AB=ACf 四 边 形 48EC是 正 方 形，故 正 确

43、;“下 皿：./XOCFOAD,：.0 C-.O A=C F：AD=CF：BC=1：2,/.O C：AC=1：3,AC=BE,：.0 C-.BE=1：3,故 正 确；：A B=CD=C,DE=2AB,AB=AC,ZBAC=90,：.AB=B C,2/yDE=2 BC=V25C 故 正 确;2：AOCF/OAD,，3 S/X 0 C F=S g C F，=.3*S cE F 3 A O b=OAD 1 3一+一 4 4 q-v+q,00 0 0 OCEF 一 bOCF T 八 CEFS bOAD=，故 正 确.故 选：D.11.如 图，在 中，48=3,BC=4,ZABC=9 0,过 8 作/田

44、，/。，过 4 作 44J_3C,得 阴 影 再 过 用 作 与 小，4 C，过 4 作 得 阴 影 R ta a与 Bi；如 此 下 去.请 猜 测 这 样 得 到 的 所 有 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为.【答 案】a解：1 B C：.ZB A1A=ZA1B1B=90,AB/AiB：.ZABAZBArBi：.4网 s 8%与，则 相 似 比 为 AB:AB=sin Z A=4:5,那 么 阴 影 部 分 面 积 与 空 白 部 分 面 积 之 比 为 16:25,同 理 可 得 到 其 他 三 角 形 之 间 也 是 这 个 情 况，那 么 所 有 的 阴 影 部 分 面 积

45、 之 和 应 等 于=3x4+2 x 一=.25+16 41故 答 案 为：.4112.如 图，A/1BC 中，A D-A B,D2D3=-D2B.照 这 样 继 续 下 去，D2020D202 i-D2020B,4 4 4 4且 D1EJ/BC,D2E2/BC,D2E3/BC；D2021E2021/B C,则=_.解：；DiEi 8C,/.AD1E1S”BC,.D A _ AD,1 BC-AB Y1 D i i=-B C；4,.,D1D2=-D1e,7：.AD2=AB,167 9 3同 理 可 得：。2&=8 c=(1 团 一)BC=113(-)2BC,16 16 437 3D33=B C=

46、1 0(-)3SG64 43：.DnEn=l(-)nBC,4.。2 0 2 1 3 0 2 1 _ 1 _(3)2 0 2 1BC-4 3故 答 案 为：1回(一 严 21.41 3.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，正 方 形 ABCD与 正 方 形 8EFG是 以 点。位 似 中 心 的 位 似 图 形，且 相 似 比 为 两 个 正 方 形 在 点。的 同 侧，点 4 B、E在 x 轴 上，其 余 顶 点 在 第 一 象 限，若 正 方 形 8EFG的 边 长 为 36.则 点 C的 坐 标 为 _.【答 案】(3,2)解：正 方 形 A8CD与 正 方 形 BEFG是 以 点

47、。位 似 中 心 的 位 似 图 形，相 似 比 为 EF=6,3Z.BC/EF,A B=8C=2,/.OBCAOEF,.-O-B=-B-C-,即 1 3 r l-O-B-1,OE EF 0 6+6 3解 得，。8=3,经 检 验：符 合 题 意.点 C的 坐 标 为(3,2),故 答 案 为：(3,2).14.如 图 所 示，在 口 N8CD中，/8=9,对 角 线 Z C,6。交 于 点 O,点 E 在 的 延 长 线 上，且 BE=3 答 案 一 4如 图，过 点。作。G Z 5,交 8 C 于 点 G,v 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，点 O 是 Z C的 中 点，OG是

48、 ANbC的 中 位 线，1 9 1OG=AB=，BG=-B C,2 2 2乂 OG/AB.：.AOGF t B F，.GF _ 0 G _ 3设 GF=3 a,则 8 b=2。，BG=BF+GF=5a,8C=28G=10a,CF=BC BF=8a,OBE边 6尸 上 的 高 等 于 0 OCF边 C尸 上 的 高，.S OBF _ BF _ 2a _ 1S qcF CF 8a 4故 答 案 为：.41 5.如 图，矩 形 中，AB=2,BC=g，E 为 C D中 点、,连 接/E、BD交 于 点、P，连 接 PC,则 P C 的 长 为【答 案】V2如 图，过 点 P作 P R J.N 5于

49、 点 F.四 边 形 ABC。为 矩 形，ABHCD,/.AAPB f E P D，：D E-D C-A B=1,2 2 B-P-=-A-B-，即 n-B-P-=一 2，DP DE DP 1.BP _2 BD 3根 据 所 作 辅 助 线 可 得：PFIIDC,：.ABPF f B D C,BP BF PF 2 BF PF-=-=-,B P-=j=,BD BC DC 3 V2 22 r 4:.BF=7 2,PF=-.3 3.口 R 口 6 2五 e CF-BC-B F-y J2-=3 3二 在 RsCFP 中,PC=y/PF2+CF2=+(=V2.故 答 案 为 行.1 6.如 图，在 中，/

50、S 4 C=9 0,4 B=J i,4 c=2.点。为 8 c 边 上 一 点，将 4 0 8 沿/。翻,.BE折 得 到 交 力。于 点 E.已 知 力。平 分 N D 1 8,则=.DE解：如 图，过 B作 8午 A。，交 AC的 延 长 线 于 F,：.Z F=Z D A C,又 NAED=NFEB,：.AADEsAFBE,.DE AD 五 一 祈 平 分/D A&,ZDAC=ZBAF,：.ZF=ZBAF,：.BF=AB,又,.A&D由 A8D翻 折 得 到，：.AB=AB,ZBAD=ZDAB,：.BF=AB,.BE BF AB*-AD 又；N8AC=90,：.Z B A D=601 N