《用向量研究三角形的性质》单元教学设计.pdf

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1、 用向量研究三角形的性质单元教学设计一、内容与内容解析内容：人教A版必修第二册的一个数学探究内容一一 用向量研究三角形的性质,安排在第六章 平面向量及其应用之后，具体分3个课时，单元设计思路如下：第1课时：起始课，教师与学生一起经历一次数学探究活动，明确探究思路；第2课时：学生在教师指导下通过自主探究、合作交流方式完成探究任务；第3课时：成果展示内容的本质：向量的运算（运算律）与几何图形的性质有着密切的联系，向量的运 算（运算律）可以用图形简明的表示，而图形的一些性质可以反映到向量的运算（运算律）上来，因此我们可以利用向量来研究几何图形的性质，即通过将几何运算翻译成向量进行运算，最后将运算结果

2、翻译成几何结论.蕴含的数学思想和方法：向量兼具“数”与“形”的特性，既是代数的研究对象，又是几何的研究对象，是连接代数与几何的纽带，用向量研究三角形的性质蕴含典型的数形结合思想.知识的上下位之间的关系：以前研究三角形的性质是利用综合法，即从公理（基本事实）出发，通过演绎推理得到新的性质。向量法的介入，通过向量的运算发现和证明图形的性质，开辟了一条新的运算推理之路.内容的育人价值：站在新的角度，认识数学知识之间的联系性和整体性，培养学生利用向量知识研究几何问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力；在探究与发现三角形性质的过程体会数学研究的乐趣,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。教学重点

3、：用向量方法研究三角形性质的“三部曲”.二、目标解析（1）单元目标用向量刻画几何图形中元素之间的关系，进一步认识向量运算（运算律）与几何图形性质之间的内在联系，理解向量兼具数与形的特质；通过用向量方法证明初中学过的一些三角形的性质，掌握向量方法解决几何问题的三个步骤，体会向量方法的程序性特点；通过探究三角形的其它性质，经历数学探究的过程和方法，体验向量方法在发现和证明几何图形性质中的作用；在用向量法探究三角形性质的过程中，培养学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养；（2）达成上述目标的标志是能将向量的运算(运算律)用图形简明地表示，把几何图形中的平移、共线、垂直、夹角、距离等通过向量

4、运算来刻画，能将几何图形、图形变换、向量运算以及向量运算律统一起来；学生梳理初中已学三角形的性质并用向量方法证明，掌握用向量法研究几何问题的三个步骤：几何问题向量化一一向量运算一一运算结果几何法；通过用向量方法对三角形性质的探究，体会到靠演绎推理获得几何结论，规律性不强，难度较大，而向量方法开创了研究几何问题的新方法，将思辨论证的过程变成了一个算法过程，可按一定的程序进行运算，降低思维的难度；在面对一个几何问题时，学生初步具备“向量意识”，能 用“向量眼光”来发现和提出问题，用“向量的思维”和“向量的方法”来解决问题；三、教学问题诊断分析尽管学生在前面的学习中已经基本经历了用向量方法解决几何问

5、题的一般过程，会用向量方法证明简单的几何图形的性质，但数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作探究最终解决数学问题的过程，学生缺乏这方法的经验，尤其是将三角形的几何性质转化为向量的运算来研究难度较大，为了让学生少走弯路，教师应该在探究内容的选择、探究方案和探究思路的制定上给学生一些指导.一旦方案确定，具体的探究过程尽可能由学生独立完成.教学难点：将三角形的几何性质研究转化为向量研究四、教学条件支持分析学生在探究过程中往往会遇到计算太复杂，画图精确性不够等影响探究发现的障碍，而借助图形计算器、几何画板等数学软件可以为发现和证明数学结论提供帮助。五、课时教学设计第1课时5.1课时教

6、学内容学生以前从未接触过数学探究课，对于某个具体的课题研究，不知道需要完整的经历选题、开题、做题、结题这四个步骤，也不清楚每一个步骤需要做什么、为什么要做、怎么做，因此需要教师给予一定的指导和示范。在本单元第1课时，需要明确向量运算(运算律)与几何图形性质之间的关系，体会向量在研究几何问题中的优势，简单经历课题探究活动的四个环节：选题、开题、做题与结题,落实数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.5.2课时教学目标(1)了解向量运算(运算律)与几何图形的性质之间的内在联系，体会向量具有“数”与“形”的属性；(2)通过用向量方法研究三角形中线的性质，体验向量在研究几何图形性质中的作

7、用和它的优势；(3)通过用向量方法研究三角形中线的性质，简单经历开展数学探究活动的四个步骤：即选题、开题、做题、结题。5.3教学重点和难点重 点：利 用 向 量 发 现 和 证 明 三 角 形 中 线 性 质 的 数 学 思 想 方 法。难 点：将三角形的中线性质转化为对向量运算的研究.5.4教学过程设计引：勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它的证明方法很多，你能用向量方法来证明吗？在R 7 A 4 B C中，N C=9 0：用向量方法证明Nl=A C1+B C2,并思考下列问题:(1)比起其它证明方法，向量法的优势在哪里？A(2)回顾以前的学习，在用向量证明很多几何图形的性质时，向量法都有

8、很大的优势，那么向量法为什么会有这种优势呢？师生活动：学生独立完成向量法证明，老师投影学生解答，播放视频介绍勾股定理的多种证明方法，让学生比较，体会向量法的特点和优势。向量法 J之所以具备这种优势，是由于向量集“数”与“形”于一身，向量的运算(运算律)与几何图形的性质有着密切的关系，师生一起回顾这种关系，几何图形几何性质向量运算向量运算律DC对边平行且相向量加法交换律A等a+Z=Z+4TJ /c结合律：三角形相似数乘运算分配律：余弦定理数量积运算G-b)2=a-2 a.b +b2设计意图：通过用向量法证明勾股定理，体验向量法在几何证明中的良好作用，并让学生理解向量法在处理有些几何问题时显得比较

9、方便是由于向量运算、运算律都有明显的几何意义,而且是以平面几何的相关定理和性质作为逻辑基础的，由此出发，梳理向量运算(运算律)与几何图再性质之间的关系，奠定平面向量研究几何问题的基础。设计意图：通过用向量法证明勾股定理，体脸向量法在几何证明中的良好作用，并让学生理解向量法在处理有些几何问题时显得比较方便是由于向量运算、运算律都有明显的几何意义，而且是以平面几何的相关定理和性质作为逻辑忠础的，由此出发，梳理向量运算（运算律）与几何图形性质之间的关系，奠定平面向量研究几何问题的基础。追问：向量法证明几何问题的基本步骤是什么？师生活动：学生独立思考后回答I设计意图：回顾向量证明几何问题的“三步曲”.

10、任务一：探究活动之选题提：问题1:三角形是简单而重要的平面图形，它是平面几何的主角，初中对三角形有了较深入的研究，得到了很多重要的性质，学习了向量这个新的工具后，你认为我们可以提出哪些新的研究问题？师生活动：学生独立思考与同交流，师生一起达成研究共识：在数学研究中，一方面可以用新的工具、新方法对已研究过的对象进行再研究，比如我们可以重新用向量方法对初中学过的三角形性质进行梳理再研究，这不仅可以让我们站在新的高度重新审视三角形的性质，还可以加深对三角形的认识；另一方面也可以研究还没有研究过的新问题，教师追问：追问：初中学过的三角形的哪些性质？这些性质主要涉及到了三角形的哪些要素？与三角形相关的要

11、素还有哪些？师生活动：学生独立思考与同交流，总结归纳初中研究过的都是与“三边与三角”这六个要素有关的性质，而与三角形相关的要素还有中线、高、内角平分线、中垂线等，都可以用向量来进行研究.设计意图：确定研究对象为三角形的中线，研究内容为三南形的性质，研究方法为向量法.任务二：探究活动之开题问题2：回顾初中三角形性质的研究过程，清以三角形的内角和为180度为例说明我们是如何研究的？师生活动：学生回顾思考，把三角形的三个角剪下来拼到一起得到一个平角，猜测三角形的内角和为180度，接着用平行线的内错角相等证明了这个性质。师生一起归纳研究思路：确定研究对象利用实验、观察、度量等方式发现性质再通过逻辑推理

12、证明性质 性质应用发现其它新的性质.问题3：对于三角形的中线，你已知道它的哪些性质？接下来，你打算如何研究三角形中线的性质呢？师生活动：学生绘制三角形的中线（教师可以利用几何画板演示），观察发现三角形中线的性质，最容易观察到三角形的三条中线相交于一点，教师引导思考用什么方法证明，将三线共点问题转化为三点共线，再利用向量的共线定理和平面向量的基本定理来证明。设计意图：分析三角形中线性质的研究现状，存在证明难的问题，结合向量法的优势对一个具体的性质分析研究的意义、研究思路、研究计划等，帮助学生建立研究经验.任务三：探究活动之做题联：问 题4：在A 4 8 c中，D、E、尸分别是3 C、。、NB的中

13、点，设B E、C F交于一点。，证明4。、。三点共线.师生活动：以OROC为基底，学生独立证明后小组交流，教师巡视，借助展示学生的做题-1 -过程并点评。因为。=一（0 8 +O C）,2A d =A B+B O =2 F B +B O 2（F d+O B）+B d =2 F d+设 而=：次，则2 3 =2乙 无+无A d =A C +c d =2 E C +C O =2（E d +O C）+c b =2 E O+O C设 访=4瓦，则N 5 =2/1无+反由平面向量的基本定理得遇=4=；,即 功=赤+无=2历,故4、。三点共线.设计意图：用向量法解决几何问题时，一般先选择基底，然后将其它向

14、量用基底表示出来，往往利用“算两次 的方法，再借助平面向量基本定理建立方程算出系数，向量基本定理和向量的运算（运算律）的综合使用是向量方法的精髓所在，将几何问题转化为向量的运算问题，降低思维的难度体现了向量法的优势.议：问题5：在用向量法证明“三条中线共点”的过程中，你还发现了哪些新的性质呢？师生活动：学生观察自己的证明过程发现新的性质与同学交流，老师引导学生从向量运算的角度总结新的结论：结 论1：由）3=2历 得，月O：8 =2:1,即重心是中线的三等分点；结论2：由 益=2/砺+5?=而+无 得 怎+3+灰；=6,进 一 步 有 无+无+历=6,即。也为三角形Z 5 E F的重心；结论 3

15、：A D +B E +C F =0结论4：任意一点尸，利用向量减法将。/、03、0。分解为。4 =尸幺一尸0、03 =尸3-尸。O C =P C-P O,相加 得 莎+而+正=3而设计意图：由于向量运算（运算律）与几何图形的性质有着密切的联系，在向量运算的过程中蕴含着很多新的性质.向量运算不单是证明几何结论的重要工具，也是发现新性质的手段。任务四：探究活动之结题我们要对前面研究情况做一个总结，撰写一份研究报告，研究报告的格式参考课本6 5页的格式：用向量方法研究三角形的性质年级 班 完成时间1.本课题组成员姓名：2.发现的数学结论及发现过程概述：3.证明思路及其形成过程概述:4.结论的证明或者

16、否定:5.用向量法探索几何图形性质的一般步骤:6.收获与体会：师生活动：学生以小组形式课后完成上交.老师选择优秀作业进行展示.设计意图：结题报告是是课题探究活动不可或缺的一环，我们需要将研究过程与研究成果以书面的形式记录下来.结：问题6：通过本节的学习，请大家思考（1）什么是数学探究活动？它应该经历哪些环节？（2）数学探究与平时的解题一样吗？为什么？师生活动：学生思考与同学交流，师生一起交流对数学探究活动的想法，数学探究活动强调的是发现和提出有意义的问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方法，通过自主探究、合作交流的形式完成对数学结论的论证，主要包括选题一开题一做题一结题四个环节，它与平时的解题有着很大的区别.设计意图：总结归纳数学探究活动的基本过程，体会数学探究活动与平时解题的不同.5.5 作业布置1.按照课本6 5 页的格式撰写本节课的结题报告；2.自选题目完成一次数学探究活动，体现选题一开题一一做题一一结题的四个环节：可供选择的题目如下：课 题 1：继续探究三角形中线和重心的性质；课 题 2：探究三角形高和垂心的性质；课 题 3：探究三角形的内角平分线与内心的性质；课 题 4：探究中垂线与外心的性质；课 题 5：三 角 形“四心”之间的关系.