2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考数学（理）试题及答案.pdf

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1、2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考（高二）数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 .已知 集 合 二 同 7,B =N*,则（）.A.1,2 B.1,2,3 C.1,2,3,4 D.1,2,3,4,5）答案：C解析：集合 A =1 2 =x|lWx a，若 一为真命题，则。的取值范围是（）.A.（-o o,l）B.（-00,1 C.（l,+o o）D.l,+o o）答案：C解析：P：3X GR,因为r P为真命题，则（V+l）.1.故选：c.3.设a,b是实数，则/的一个必要不充分条件是（）.A.a2

2、b2 B.a3 /?31 1,C.-D.2”2ba b答案：D解析：假设。人 的必要不充分条件为p,则即找a 分能推出但不等价的条件.对于A,令a =l力=一2,显然满足。心 但。2/等价，故 B错误;对于C,令a=2,b=l,显然满足a 但故C错误；a b对于D,当。6时，a+b,由y=2 的 单 调 性 得 2 J当2 山 2仙 即 +1人时，令 a=b=,显然a+l，但 a=，即推不出。b,故 D正确.故选：D.4.若向量a,b，6 满足向=M=1，a.b=U，ca=2,c-b=3 C =xa+yb,则工+可=（）.A.5 B.6 C.3 D.4答案：A解析：因为c=xa+y，所以。a=

3、（M +地）&,又 ca=2,同=1,d-b=0 所以x=2,因为C=xa+y b,所以cA=（m +y。）力，又1 =3，1|=1，力=0，所以y=3,所以x+y =5,故选：A.5.已知 a=log4 5,b=-4c=y/2，则 a,b.c 的大小关系是（）.A.a b cB.acbC.c a bD.b c 5,又 g（x）=log4%在（0,+。）上单调递增，则 og44；log4 5,即.又3=B?=2=（正）=。3,人（力=3在在（0,+功上单调递增,则Z?“，则a 0时/(x)=e*+ln x,则/(x)=e +J 0,即函数在(),+“)上单调递增，故A错误；对于 B：x)=e

4、r+e 2 x 定义域为 R,且 e-jO，e2 x 0 所以x)=e r+e 2*(),故 B错误；对于c：/(x)=+：定义域为 x|x#O ,2r(x)=2 x-y2X_1 1又 2 3 x?+2 3 x +1 =23x +当0或0 x。，12 T时/(x)2：或无 0,当0 x 2!时r(x)，/1 (I 即函数在(-8,0),2 3,+8上单调递增，在0,25上单调递减，符合题意;7 V 7故选：D8.已知在J W C中，O,b,c分别为角A,B,C的对边，o=4,c=2b-2,则COS8的最小值为()c 3痒1 D 4后 T8 1 1 0答案：C解析：由。=4,c=2b2 得，0e

5、(2,6).由余弦定理知,na2+c2-b2 1 6+(2 6 2)2 k 3 b2 88+2 02ac-1 60-1)1 6(Z?-1)令 b l =m,则 T?2W(1,5),b=m+l,所以 co s 8=3(？+l)_8(7+1)t 2 0=J _(3/?7+经 _2 2 g&：2=j y zj ,(当 且 仅 当16m 1 6(m J 1 6 83 m=,即?=,b=V5 +1 c=2 j 时取等号).m故选：C.9.已知/(x)是偶函数且在 0,+。)上单调递增，则满足/(s i n x)/(co s x)的一个区间是()3兀T,7r解析：因为“X)是偶函数,故析(乃=/(国),故

6、由/(s i n X)/(co s x),得 f(|s i n x|)/(|co s x|),由函数在 0,+8)上单调递增得卜i n x|co s x|,贝|J s i n?x co s2 x,则 co s 2 x0,所以 2kit 2 x 2kli H,即 kit-x ku d ,k Z,2 2 4 4所以A C D不合题意，选 项B符合条件.故选：B.2.1 0 .如图，在.A B C 中，B M =2 B C，N C =/LIAC,直线 A M 交 8N 于点 Q,B Q =-B N f 则()C.(4一 1)(2以-3)=1D.(22-3)(/-l)=l答案：C解析：由题意得，6 Q

7、 =g 碗=g (5A +A N)=g BN+(1 一 )A C=g 出+(1 )(B C -B A)g 6A +(1 )B C =gB M ，因为Q,M,A三点共线，故+=化简整理得(4-1)(2-3)=1.3 3/I故选：c.1 1.以意大利数学家莱昂纳多斐波那契命名的数列 4 满足：=1，*+2=4+4+1，设其前n项和为S“，则S ig n （）.A.q（）i+1B.。1D.。1 0 4 10。答案：B解析：解：因为4=1,。2=1，。“+2=。“+。+1，所以数列。的前100项和为5100=q+4 +生+%+4oo6/2 +q+%+4 +%+4（）0 1=+%+6 +/+4oo 1=

8、+%+/+100 1 =5+“4+%+00 1=4 +4 +4+to o -1 =一.=100+9 9 +4（）0-1 =101+Goo _ 1 =4 02 -1 故选：B.1 2.已知函数/（x）=sin xcos x,cos x0 sinx+cos x,cos x0=sin（x+2TI）-cos（x+2K）,COS（X+2n）0 sin x-cos x,cos x0,故/（Xo）=sin$+cosx（）,此时兀-/G2,20 0 8(7 1-)0 ,/(兀一%)=s i n(兀_/)_ c o s(兀一/)=s i n/+c o s/=/(/)，故/(1)的图像关于直线X =对称，故正确；

9、57 r对于，若s i n x+c o s x =&，则x =2痴+,Z e Z,此时c o s x 0,/(x)w s i n x-c o s x；故4/(x)最小值不能取 近，故错误；对 于 ,因 为/(J =s i n u +c o s Y =l J G t)=s i n 7 i：-c o s 7 r =l,B P/I -1=/(7 t),所以函数在 3,兀上不单调，故错误;综上：正确的个数为2.故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.己知函数/(x)=2*+l,g(x)=a-f的值域分别为，N ,M c N丰0,则实数。的取值范围是.答案：(1,+0 0)解

10、 析:解:因 为 力=2*+1 1,所以M=(l,+8),又g(x)=a-%2 所以N=(-o o,a ,因为M cN#0,所以al,即a e(l,a).故答案为：。,物)1 4 .己知数列 4为等比数列，公比40,首项q=l,前三项和为7,a,G2L (1=1 0 24,则n答案：5解析：由条件可知，+4+。3=7，即l +q +q 2=7,q。，解得：q=2,所 以%=2，(T)(n-n=1 2 2 2 2T=2 2=1024,即 -=10,得力2-20 =0，解得：=5或 =一4 (舍).故答案为：51 5.已知t a n a +t a n/?=3,s i n(a +/?)=3s i n

11、(。一/),则 t a n(a-/?)=.1答案：3解析：因为s i n(a +/7)=3s i n(a-/?),所以 s i n a c o s /?+c o s a s i n =3(s i n a c o s J3-c o s a s i n p),贝i j s i n a c o s/?=2c o s c r s i n/?,即 tana=2 t a n f t,又 t a n a +t a n 尸=3,联立得t a n a =2,tan=1,/八、t a n a -t a n Z 7 1故 t a n(a -/?)=-=1 +t a n a t a n /3故答案为：.31 6.已知

12、已 为 定义在R上的奇函数,g(x)是 的 导 函 数,/(1)=1,g(2 x)+g(x)=0,2022则以下命题:g(x)是偶函数;g =0；/(X)的图象的一条对称轴是x =2；Z/(i)=l，1=1其 中 正 确 的 序 号 是.答案：解析：对于，由 X)为定义在R上的奇函数可知/(-x)=/(x),则 _ 切=卜/,即一/(-%)=(力，r(一x)=r(%)，即g(-x)=g(x)，g(x)为偶函数正确;对于，对g(2-x)+g(x)=0赋值X=1,得2g=0,故正确；对于，由/(2-x)=-r(2-)=一8(2-力 与8(2 )+8(%)=0可知，=g(x)+g(2-x)=0，贝！

13、l/(x)_/(2_ x)=c (c为常数)，令x=l,则 c=0,所以/(x)=/(2-x)=-/(x-2),/(4-x)=-/(2-x)=/(-x)=-/(x),则/(x)关于(2,0)中心对称，由题意可知/(x)不是常函数，故x =2不是其对称轴，错误；对于，/(X)为定义在R上的奇函数，则 0)=0,又/=1，f2-x)=f(x),则 2)=0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-1,/(4-x)=-/W=/(-x)t则/(X)的周期7=4,2022故=f(l)+/(2)+f(3)+/(4)x 50 5+f(20 21)+/(20 22)=l)+f =1,故正/=1确.故答案为：

14、.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.若数列 4 满足q =1,an+l-an=I n.(1)求 q,的通项公式；1 1 1 c(2)证明：一+一 2.4 a答案：(1)an=n2-n +(2)证明见解析1.因为a“+i-a”=2，所以=(a _ Q _|)+(6 i +(2-a j +q =2(1)+2(2)+2+12 n-+2-(n-l)+l =n2-+l,故 an=“2-+1 ；2.证明：当 =1时,=1 2.q ，1当2 2 时，一an111 1-5-n-+1 n-n1 1则一+ax a2+9+1 +%1 1 1 1-+12 2 31 1+-n-n=2

15、 2,n1 1故一 十 一 +a a2+/2c o sx-c o sx)=1 -c o s2x+f1 +sin 2x+2sin兀x-=1 +sin 2x +sinl 2 x-y I,=1+sin 2 x-c o s 2 x,=/2sinf l x-+1,I 4j1k冗 Ji令 2x -kji,k w Z,可得 x=-1 ,k,w Z,42 8又 f +()=&s i n(无 万)+1 =1,所以函数/(x)的 对 称 中 心 为 仔+Z e Z,函数/(x)的最小正周期T=号=7；2.因为/(6)=g,所 以 后 sin(26-?)+1 =与，所以sin 26?=旦一 而 所以sin 2 6-

16、cos 23=，2 2 10所以 sin 20-cos 20=,所以 10sin cos0-5(cos2。一sin2 0=sin2 6+cos?3,所以 4 sin 2 夕 +10 sin 夕 cos 夕 一 6 cos2 夕=0,(兀 3 71、因为-W，？J,所以cos60,故2tan?6+5tan。一3=0,所以（21血，一1）卜11夕+3）=0,所以 tan 8=3 或 tan 夕=1,2八，兀3兀又 外 一 引 不,故 tan。.219.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且。=4,c=3b.（1）若cosA=，求.5C的周长；6（2）若一ABC内切圆、外接圆的半径分别

17、为r,R,求人火的取值范围.答案：（1）的周长为十；（2）小R的取值范围为（W，2.1.由余弦定理可得COSA=2 ,又cosA=,，a,a+c b,a+b c,所以 lv b v 2,令=，则r.R =3 L,1Z 1,所以3 /+r 2,所以_ L L _ 9,b 2t2+t 2 4 2 t2+t 3所 以;r-A 2,所以r.R 取值范围为20.已知x)为定义在R上的偶函数，g(x)=H,且/(x)+g(x)=2L(1)求函数/(x),g(x)的解析式；(2)求不等式2 切2一38(力 8的解集.答 案:(1)f(x)=2x+2-x；g(x)=2x-2-x；(2)0,1 .1 .由题意易

18、知，f-x)=fx),则=/(%)，即-r(-x)=r(x),故/(x)为奇函数，故g(x)=/l。为奇函数，又 又X)+g(x)=22，则/(-x)+g(x)=2-川，故/(x)g(x)=2-z，由解得/(x)=2、+2 T,g(x)=T-2-2.由2/(x)2一3g(x)W 8,可得2(2*+2-)2-3(2V-2-X)8,所以2(2?x +2+2-2V)-3(2X-2-V)8,即r+4-3(2-2-x)032X-2-X12,2 _ 23.2-1 0所以 2X2I 2解得0 4x 41,故不等式的解集为0,1 .21.若数歹（I 4 满足=2,an+l-2%=3i.（1）证明:用一3%是等

19、比数列；（2）设 4 的前n项和为5，求满足5 2 2易得 S,为递增数列，又 S7 =1 220 20 23,S“20 23,故的最大值为7.22.己知函数/(x)=e*0 +1在 处 的 切 线 过 点(o,e),a为常数.(1)求a的值；(2)证明：-e lnx).答案：(1)a=l(2)证明见解析.1.由=得 r(x)=e*-a(e +l)x e+i,所 以/(l)=e _ a(e+l),/(l)=e-a,因为/(x)=er-a re+1在(1,7(1)处的切线过点(0,e),所以 r(l)=e-a(e +l)=/-e1-0所以 e-a(e +l)=-=-a,解得a =l,1 02.证

20、明:要证/(x)W(l-e l n x),即证e*-%e+i 1%e(_ e inx),即证 e“一1+i _,工(1 e lnx)i0,印证一(l-e lnx)20，因为 V=enx,所以即证 尸 心 一 a-e I n x)-1 N 0,e x e令 t(x)=x-e l n(0,+o o),则 tx)-1 =-x x当0 x e时，rrW e时，/(x)0,所以 x)在(O,e)上递减，在(e,+8)上递增,所以 X)m in=(e)=0 ,所以r(x)N 0恒成立,令 )=e r-1 1 2 0,则(7)=e 1 20,所以在0,+8)递增，所以当f=0时，)取得最小值0,所以原不等式成立.