2022年高考数学模拟卷5（新高考）（解析版）.pdf

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1、2022年高考数学模拟卷(新高考专用)二轮拔高卷05(本试卷共6 页，22小题，满 分 150分.考试用时120分钟)一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=x|x(x 2)0,B=x 1 x 1 ,则/n 8=()A.x|-1%2 B.xx 2C.x|0%1 D.xx 1【答案】C【解答】解：,集合A=x|x(x 2)0=x|0 x 2,=x|1 x 1,A d B=x 0 x 0,所以排除C选项.【解答】解：因为/(x)=y=(i-暮 菽)|x|=一 芸所以/(-X)=(1-1+eS-n(-x),I 一%1=(1-

2、1+；“心)四=三 黑 =一/(力所以函数为奇函数，排除4、8 选项；肥)=(目)吟所以排除C故选：D.6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,B两 点,点P在圆(x-2/+/=2上，则。面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8 C.V2,3V2 D.272,372【答案】A【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的方程及点到直线距离公式，属于中档题.由题意，|4 8|为AABP的底边长，点P到直线x+y+2=0的距离为AABP的高力，利用圆上点到直线距离的最大值与最小值即可求出.【解答】解：丫直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,B两点，二 令x=0,得y=-2,

3、令y=0,得x=-2,二 4(2,0),6(0,2),AB=V4+4=2V2,点:P到直线x+y+2=0的距离为 ABP的高八，圆(X-2尸+y2=2的圆心为(2,0),半径为近，圆心到直线的距离为：d=等 等=2或，vlz+lz所以点P到直线的距离人的最大值为2a+V2=3衣，最小值为2a-V2=V2,则4 4BP面积为S=：X AB X h,最大值为:x 2应 x 3&=6,最 小 值 为 夜 x 夜=2,所以 4BP面积的取值范围为2,6.故选A.7.某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线，上取长度为1的线段4 B,并作等边三角形4 B C,然后以点B为圆心，BA为半径逆时针

4、画圆弧，交线段CB的延长线于点D;再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧，交线段4C的延长线于点E,以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线/有6个交点（不含4 点）时，则螺线长度最小值为（）【答案】A【解析】【分析】本题主要通过自定义的方式考查等差数列的相关问题，属于中档题.按照题目所表达的意思可以根据扇形的弧长公式先求出第一项的值为与，后面依次成等差数列进行递增，最后进行求和即可得出最后结果.【解答】解：第1次画线：以点8 为圆心，r=l,旋转拳划过的圆弧长为“弓=手第2次画线：以点C为圆心，r=2,旋转季 划过的圆弧长为2 x 与=拳第3次画线：以点A为圆心，r =3,旋转拳 划过的圆

5、弧长为3(=胃=2兀；第4次画线：以点B为圆心，r =4,旋转季 划过的圆弧长为4 x=詈；第5次画线：以点C为圆心，r =5,旋转手 划过的圆弧长为5 x=等，交嗦计3次;第6次画线：以点4为圆心，r =6,旋 转(，划过的圆弧长为6 x胃=詈=4兀，交I累计4次;第7次画线：以点B为圆心，r =7,旋转季 划过的圆弧长为7 x詈=詈；第8次画线：以点C为圆心，r =8,旋转拳划过的圆弧长为8 x苧=等，交嗦计5次；第9次画线：以点4为圆心，r =9,旋转季划过的圆弧长为9 x =等=6兀，交I累计6次;在螺线与直线，恰有6个交点有9段弧，各段弧长组成以等为首项，以军为公差的等差数列，总的弧

6、长为9 x等+等x等=3 0 7 r.8.如图，设椭圆的：捺+5=1(1 6 0)与双曲线。2：捻一=l(m 0,n 0)的公共焦点为 F i,F2,将 G,C 2的离心 F O-F j 率分别记为e I，e 2,点4是C i，C 2在第一象限的公共点，若-2 2点4关于C 2的一条渐近线的对称点为F i，则 看=()A.2 B.|C.|D.4【答案】D【解析】解：由题意设焦距为2 c,椭圆的长轴长2 a,双曲线的实轴长为2 m,则由双曲线的定义|力&|一依七1=2 m 由椭圆的定义|4&|+MF 2 l =2a。2的一条渐近线是线段4居的中垂线，4&4尸2 =9 0。，故|4 0|2 +AF

7、22=4 c 2 2 +2得|叫产+|叫 产=2 a 2 +2 7 n 2 将代入得2 a 2 +2 7 n 2 =4c2,即 尹 嵩=4故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a 0,b 0,a+b2=l,则下列选项中正确的是()A.3-b 的最大值为3 B.匕声的最大值为:C.仿+b 的最大值为V 5 D.+*的 最 小值为2【答案】BC【解答】解：因为a,b 0,a 4-62=1,所以 Q=1-匕 2 0,所以 0 V a V l,0 b 1,对于/：因为OVbVl,所

8、以一IV-力V0,所以-lVQ-bVl,所以3。一 3 1 =3,故A错误；对于B：ba=V l -a -V a 1+炉 2 示.声=2，当 且 仅 当 三=等，即a =0,b =l 时等号成立，又0 al,所以/)错误，a+l b2故选：BC.1 0.下列命题中，正确的是()A.若事件4 与事件B 互斥，则事件4 与事件B 独立B.已知随机变量X的方差为U(X),则U(2 X 3)=4 V(X)C.已知随机变量X 服从二项分布B(n,|),若E(3 X +1)=6,则n=5D.己知随机变量X 服从正态分布N(1R2),若P(X 3)=0.6,则P(-l X l)=0.2【答案】BC【解答】解

9、：对于4 相互独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件，故 A错误；对于8,V(2X-3)=22V(X)=4K(X),故 8 正确;对于C,由随机变量X服从二项分布B(n,3，得E(x)=n.所以E(3X+1)=3E(x)+1=n+1=6,所以n=5,故 C正确；对于。，因为随机变量x服从正态分布N(i,d),所以正态曲线关于 =I对称，由P(X 3)=P(x -1)=0.4,贝 X 1)=0.5-P(x -1)=0.1,故。错误.11.已知函数J/I ，I .，.：/，若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示，则下列关于函数/Q)的结论中，正 确 的 是()A.4

10、=2B.，C.图象的对称中心为(号+卜 兀,1),/CGZD.在区间已羽上单调递增O O【答案】AC【解答】解：根据图象，可知伫解得 建:；7 77r TT 2 7 rl2 6 6*T=2zr,O)=T =1./(%)=2cos(x+0)+l.根据图象，wi 点/,3)为五点作图法的第一个点,7&r+l 0e=0,：.cp=7-1 /(%)=2cos(x-)4-1,6 图象的对称中心为(F +k7T,l),fcG Z,在区间S，?上单调递减.3 6 6故答案为：AC.1 2.已知函数/(x)=e k x,g(x)=母，其中k M 0,贝！()A.若点P(a,b)在fQ)的图象上，则点P(b,a

11、)在gQ)的图象上B.当k=e时，设点4 B分别在/(x),g。)的图象上，则|的最小值为心eC.当k=1时，函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值小于|D.当k=-2e时,函 数G(x)=fQ)-g(x)有3个零点【答案】ACD【解答】解：对于4若点P(a,b)在f(x)的图象上，RiJb=ek a,化简得a=年,即 点P(b,a)在g(x)的图象上，A正确；对于B,由4可知f(x)与g(x)它们的图象关于直线y=x对称，平移直线y=x使其与函数的/(X)图象相切，由/(x)=e e =1,解得x=5/(一=p则切点(-3)到直线y=的 距 离 为 写=V 2-,e因此|AB|的最小值为4

12、 X2=,B错误:e e对于C,当k=1时，F(x)=/(x)5(x)=ex In x,则尸(%)=靖：，因为函数尸(x)在(0,+8)上单调递增，且尸(0,存在与6(1),使得e，。-=o,Xo所以函数F(x)在(0,%)上单调递减，在(%0,+8)上单调递增，F(x)的最小值2(出)=ex -lnx0=g +与，XO设函数m(x)=：+%，%则M(x)=_或+1 V 0,则6 o)在 6 G，l)上单调递减,所以m(x)0,由指数型函数及基函数性质可得s(t)=0有两个解,即函数G(x)=。有两个不同的根，由当 0时 G(x)0,G*()=：+g 0所以存在X2G(i,|),使得函数G(x

13、)在(0,X1)上单调递增，在(/,工2)上单调递减，在(冷，+8)上单调递增，又当x T 0时，G(x)0,G(3)=*-/0,由函数零点定理可得,G(x)=f(x)-g(x)有3个零点，。正确,故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数/(x)=ax-。2(2,+1)+cosx(a R)为偶函数，则。=.【答案】|【解析】解：根据题意，函数/(X)=ax-2og2(2*+1)+cosx,其定义域为R,若/(x)为偶函数，则f(-x)=f(x),则有 a(-%)log2(2-x+1)+cos(%)ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得：2ax=log2

14、(2x-I-1)-log2(2-x+1)=x,必有a=p故答案为：14.已知(%+l)6=Q()+ai(x-1)+。2(%-4-F a6(x-l)6,则 生=.【答案】60解：(1+1)6=(%1)+26,展开式通项4+1=C(x-1)6T.2r,(r=0,123,456),即由题设。4对应6-r=4,则r=2,a4=4 盘=60.故答案为：60.1 5.已知48是过抛物线必=4%焦点F的弦，P为该抛物线准线上的动点，则 万 丽 的最小值为.【答案】0【解答】解：因为抛物线y2=4x的焦点为尸(1,0),所以直线4 8 的方程可设为x=ty+1,代入抛物线方程得y2-4 t y-4 =0.设B

15、(x2,y2),则为+72=4t,yx-y2=-4.因为P为该抛物线准线上的动点，可设P(-l,m),则 可=(%1+1,m)=(ty1+2,y1ni)PB=(x2+l,y2-m)=(ty2+2,y2-m),所 以 而 丽=(ty1+2)(ty2+2)+(yx-m)(y2-m)=(t2+1)%及+(2 t-m)(yi+yz)+4+m2=(t2+1)(4)+(2t m)-4t+4+m2=(2t m)2 0.即N 丽的最小值为0.1 6.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星 射：定位等方面都有广泛的应用.如图，A,B,C是球面上不/在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点

16、，.。经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为 触，BC,CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面A4BC.已知地球半径为R,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点.若P,Q在赤道上，且经度分别为东经40。和东经80。，则球面4NPQ的 面 积 为；若NP=NQ=PQ=乎 R,则球面ZNPQ的面积为.【答案】海nR2【解析】解：PQ在赤道上，且经度分别为40。和80。，如图所示：则上半球面面积为:X 4兀x R 2 =2 nR2,而N POQ =8 0 -4 0 =4 0 ,得球面 N PQ面 积 为 券x 2TTR2=)R 2当/V P=N Q =PQ =手/?时，A N P Q为等边三角形,构造正

17、四面体M-N P Q,M H _ L平面N PQ,四面体棱长为壁R,3则 M H =J 律/(竽 RX(X|)2 =iR,设四面体外接球半径为r,则 G R -r)+(竽川 x g x =r2解得r =R,则球。为正四面体M -N PQ外接球，故球面 N PQ的面积即为球。面 积 的%即 为TTR 2.故答案为声腔；兀/?2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知在4 BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b c o s C =(2 a -c)c o s B.BCA(1)求心(2)如图，若(1=b,在ABC外取点。，且4。=4,=2.

18、求四边形力BCD面积的最大值.【答案】解：(1)0 ,bcosC=(2a c)cos5,由正弦定理得 sinBcosC=(2sin4 sinC)cosF,2sinAcosB=sincosC+cossinC,2sirh4cosB=sin(B+C),2sinAcosB=sin4v sin4 W O,；cosB=V 0 B 7T,故 B=p(2)v F=p且Q=b,.ABC为等边三角形，设乙4DC=a,则在4 0 中，由余弦定理得炉=16 4-4-16cosa=20-16cosa,:,SABC=I x b2 x sin=5V3 4V3cosa,S&ACD=j x 4 x 2sina=4sina,四

19、边 形 ABC。的面积 S=5A/3 4V3cosa+4sina当。时，S有最大值8+5 8.61 8.已知等差数列%中,0=1 且%,a2,。7-4 成等比数列.数列%的前n项和为Sn,满足 3bn-2Sn=1.(1)求数列%,勾 的通项公式；(2)将数列%J,%的公共项融,以2，,以“按原来的顺序组成新的数列，试求数列伙工的通项公式，并求该数列的前n项和7；.【答案】解：设等差数列小 的公差为d，的=1且的，。2,。7 一 4成等比数列，.a i(a7-4)=谖，即由(%+6d 4)=(%+d)2,解得d=2,a；,=1+2(n 1)=2n 1.又当n=1时，有3瓦 2sl=瓦=1；当n

20、2 2时，由3bli-2 Sn=1=3bn -2sA i=1，由一整理得：匕=3%-1，数列 匕 是首项为1,公比为3的等比数列，故%=3 T：(2)依题意得：akn=bn,由(1)得2%-1 =3-1,.%=9+5所以 7；=式3+3】+32+3n)+=3+：-i1 9.如图，在长方形4BCD中，AD=24B=2或，点E是4。的中点，沿BE折起平面4BE,使平面ABE _L 平面BCDE.(1)求证：在四棱锥4 BCDE中，AB LAC-,(2)线段/C 上是否存在点F,使二面角4-8 E-F 的余弦值为?若存在，找出点F 的位置;若不存在，说明理由.【答案】(1)证明：由题可知，BE=CE

21、=2,又BC=2近，可得CE_LBE,又平面48E 1平面8C D E,平面ABE n平面BCCE=BE,CE u 平面BCDE,所以CE 1平面A B E,又：AB u 平面4BE,所以A B 1 C E,又4 B 1 4 E,AE n CE=E,A E,CE u 平面AEC,所以4 8 1 平面4 E C,又 AC u 平面AEC,即得4B _ L.(2)解:F为线段AC的中点，易知 ABE和 BEC均为等腰直角三角形，过点4 作底边BE的高,交BE于。点，以。为原点建立空间直角坐标系，如图所示:可得平面ABE的一个法向量记(0,1,0),假设在线段4 c 上存在点F,使二面角4-B E-

22、尸的余弦值为它,54(0,0)，8(1,0,0)，C(-l,2,0),E(-1,0,0),则 刀=(LO,1)，AC=(-1,2,-1)，设 而=4 而，则 钎=瓦？+4 正=(1-4 2 儿1-/1)，又瓦 =(2,0,0),设平面BE尸的一个法向量为=(x,y,z),可 得 科.更=,即f(i-汝+24y+(1-A)z=0In-EB=0*T、7 H R 1那么可得 cos =-=-解得/I=p所以当点F是线段AC的中点时，二面角4-B E-尸的余弦值为2 0.某校开展“学习新中国史”的主题学习活动.为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的

23、学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试;第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分;若两次均答错，答题测试不过关，得0分.某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m,0.5,两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p.(1)若m=0.5,求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p),当f(p)取最大值时，求p,m.【答案】(1)解：设每一位参与答题测试的学生所得分数为随机变量X，则X的可能取值分别为5,3,0,则P(X=5)=0.5,P(

24、X=3)=(1-0.5)x 0.5=0.25,P(X=0)=(1-0.5)x(1-0.5)=0.25.则每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望为E(X)=5 x 0.5+3 x 0.25+0 x 0.25=3.25.(2)解：由题意得f(p)=C?2P(I-PT，(0 p 0,得0 p 0.7 5由/(P)0,得0,75 p 0/0)的虚轴长为4,且经过点弓,|).(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C的左、右 顶 点 分 别 为 A2,过左顶点为作实轴的垂线交一条渐近线&y=于点7,过T作直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点，直线必 P，4 Q 分别交，于M,N两点.证明：四边形4

25、 1 M A 为平行四边形.【答案】解：(1)因为双曲线的虚轴长为4,且经过弓,|),所以 雪_*=1 解得=；：所以双曲线的标准方程为/一廿=1.4(2)联立yi N得7(-1,2),由题意知过r 点的直线斜率存在，设过7点的直线方程为y-2=fc(x+1),P(X1，%),Q(x2,y2)、y-2 =k(x+1),联立?y 2 得(4-(2攵2 +4k)%-(人2 +4k+8)=0,xz-=1,4则4=(2 k2+4k尸+4(4-k2)(k2+4k+8)0,得k 一2,所以=富,=专等，因为4 2(I,O)，所 以 直 线 的方程为丁=含(万 一1)，联立丫=含(1),解得知-%+2 a

26、L同理可得环=?所以 K +x =_ 1y2 =k X z+k+2 f+k+2m-M w-%+2(必-1)T 及+2(&-1)(k+2)X i+k (k+2)x2+k_ 2/c(f c+2)X1X2+(2 k2+4/c+4)(X1+X 2)+2 f c(f c+2)(/c+Z +f c (k+2)X2+f c 因为 2 k(k +2)xtx2+(2 k2+4勾 +4)(/+x2)+2 k(k+2)_-2 k(k+2)(L+4k +8)+(2幻+4/c +4)(41+2 k2)+2 k(k+2)(4-/)4 k2(-2/c)(f c+2)(f c2+4f c+8)-(2/c2+4/c+4)-(4

27、-/c2)八=-=3即=0.所以对角线MN与&互 相 平 分，即四边形4 M4 N为平行四边形.2 2.已知函数/(%)=%2 (a +l)x +1 -ext a E R.(I )讨论函数/(%)的单调性;(1 1)若。=-1,对任意 1，X2 e (0,+oo),当 1%2 时，不等式 I/Q 1)-/(%2)l 0,故/(x)在(-8,+8)上单调递增；当QV-1时，则 W(a,-1),f(x)0;即/(X)在(-8,Q),(-1,+8)上单调递增，在(Q,-1)上单调递减；当 a1时,则%(l,a),f(x)0;即/(x)在(一8,1),(a,+8)上单调递增，在(一1,砂单调递减.()由(I)可知，当。=-1时，/(%)在R上单调递增,故当%1%2时，f (%1)f。2)，原不等式即f (%1)-/(%2)m(e2 X 1-e2%2),从而有/(%i)-m e2 X1 /(x2)-me2 X 2,令。(%)=f(x)-m e2x,则gO J g(%2)，等价于g(%)在(0,+8)上单调递减，g (x)=/(%)2 m e2 x=(x +l)2ex 2 m e2 x,令g (x)任 孚 在(0,+8)上恒成立，ex令九(%)=底署，则。)=宏，故九(%)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,从而只需2m之九=%故m的取值范围为区+8).