2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题（解析版）.pdf

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1、2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题一、单选题1.已知xeR,i 是虚数单位，且 史|是纯虚数，则|x+i|=()A.亚 B.C.V5 D.02 2【答案】A【分析】根据复数的除法运算得到空 =-当 i,再由纯虚数的概念得到x=(,结合复数的x+i x+1 x*+l 2模的定义即可求解.【详解】因为x eR,i 是虚数单位,而“2-i _（2-i）（x-i）_ 2 x-（2+x）i+i2 _ 2x-l 2+xx+x-r 厂+1 x+1故选：A.2.已知集合4=巾=1 吗(*一1),B=yy=2x-2 ,则 他 4)c B=()A.0,+8)B.1,+)C.(-

2、2,1 D.(2,1)【答案】C【分析】先分清楚集合A 8,然后再进行集合的运算即可.【详解】对于集合 A：x-lO,.-.xl,.M =(l,+-2,8=(-2,E),(Q A)c 8 =(-2,1；故选：C3.已知数列 q 是等比数列，且出=2,=6 4,则公比4=()A.72 B.2 或-2 C.-2 D.夜或一夜【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式/=卬代入解方程即可.【详解】因为等比数列 可 的通项公式4=4所以七=ag,Oj=q 引,%=aq2又因为出=2,%=64即44=2常.雨=（喃.檎 4）.夕 3 =64所以照 及故选：B4.已知角a 的顶点与坐标原点。重合，角的始边与

3、x 轴非负半轴重合,点 P是 a 的终边与单位圆的交 点.若 丽 在 x 轴上的投影向量的坐标为,0）,则c o s 2 a=（)A-?B-4C-ID.92【答案】B【分析】由投影向量的坐标可得点P横坐标，根据三角函数的定义，求得c o s a,二倍角公式求出C O S 26r【详解】若 丽 在 X轴上的投影向量的坐标为.0）,则点P横坐标为g,点 P是 a 的终边与单位圆的父点，有 cos ex=j cos 2a-2 cos a 1 =2x1 j 1 =.3 9故选：B5.若命题p：W x 0,42_改+4 2 0”是真命题，则实数。的取值范围是（）A.a2 C.a4 D.a 0,则有炉+4

4、 2 公，4因为V x 0,所以x+之。，x因为+&2 2、口=4,当且仅当x=即x=2时等号成立，所以a V4,故选:C.cos2x+36.函数/（力=履/工 0）与 函 数 J ,3+A-的图象交于不同的两点A,8.若点。（见）满足0 3-xDA+DB=2,则，的最大值是()A.7 2 B.2 0 C.石 D.2G【答案】A【分析】先根据函数y =x)和函数y =g(x)的奇偶性得到A和B两点关于原点对称，再利用这个结论结合|方+方|=2得到含有m和这两个未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.【详解】因为/(何=收/*0)是一次函数，且函数图象过原点，所以/(x)=A x(k*0)的图

5、象关于原点对称，为奇函数，函数共可一不I岂 的定义域为(-3,0)U(0,3),关于原点对称，&3-xg(r)=c o s (-2 x)+3c o s 2 x +3c o s 2 x +3I g3-x-XX+-3一3电-g(),所以函数y =g(x)为奇函数，函数y =g(x)g3 +x3 +x的图象关于原点对称.又因为函数x)、=(A w O)、与函数从 f *rJ _-cjo s32x+3x的图象交于不同的两点A和8,b 3-x所以A和B关于原点对称，设A(%先),则 以%,%),因为0(?,)，所 以 丽=(%-m-“)，D B =(-x0-m,-y()-n),所以方X+丽 =(一2根,

6、一2),因为 方+而 卜2,所以卜2/)2+(-2)2 =2,即M+“2=l,因为+=加2 +2 +2m n =+2,7 7/7 bc B.b acC.cah D.cha【答案】Dx【分析】构造新的函数，/(x)=eA-l-x,g(x)=ln(x+l)-x,/i(x)=l n(x+l)-s i n-求导判断x+1函数的单调性，即可比较大小.【详解】设函数f(x)=e*-l-x,(x0),贝！/(x)=e*-l,当x 0时，/,(x)0,所以/5)在(0,e)上单调递增，当x 0时，/(x)/(0)=0,即/l x,所以e0Jl0.01.1 _y设函数g(x)=ln(x+l)-x,(x 0),则

7、 g(x)=-1 =o时，g(x)0时，ln(x+l)x,即b=lnl.01b.设/i(x)=ln(x+l)-sin,(x0),则(x)=-c o s (一 r)=(1+-cos-),x+1x+1 x+(X +1)x+1 x+1 x+l当x 0时，方(x)0,所以(X)在(0,+8)上单调递增，所以当x 0时,/i(x)A(0)=0,即 ln(x+l)sin上，(x0),X+1所以I n lK in儒J=sin*所以，故故选：D二、多选题9.已知函数x)=Asin(“x+8)(A0,co0,H|)的部分图象如图，则()A.函数解析式x)=2sin(2x+VB.将函数y=2sin(2 x-?)的

8、图象向左平移5个单位长度可得函数/(x)的图象C.直线x=-*%是函数/(x)图象的一条对称轴D.函数“X)在 区 间40上的最大值为2【答案】BC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断各选项即可.【详解】由题图知：A=2,函数x)的最小正周期满足=7=竺-=，即7=开,4 6 12则。=丝=2,所以函数x)=2sin(2x+e).71将 点 后2)代入解析式中可得2=2 尹 夕 即sin#+(p=1,则+9=1 +2(Z eZ),得=；+2 ki(kwZ),因为网 1,所以9=因此x)=2sin(2 x+g),故 A 错误；将函数y=2sin(2 x-?)的图像向左平移3个单位长

9、度可得函数/(x)=2sin 21+升看=2sin(2呜)的 图 像，故B正确；由/(x)=2sin(2 x+?),当x=时，/(x)=2,故 C 正确；当-y,o 时，2X+?一 冬9，所以sin2x+e-1,*,/J J J JJ4即“x)e -2,何，即 x)最 大 值 为 故 D错误.故选：B C.1 0.甲盒子中有5个红球，2个白球和3 个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A，A,和 A表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以8 表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确 的 是()2A.

10、A，4,是两两互斥的事件 B.P(B)=-C.事件B 与事件A相互独立 D.P(8|A)=【答案】A D【分析】根据B I A 的意义可求其概率，从而可判断D的正误，根据全概率公式可计算P(B),故可判断B的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断AC的正误.5 I?1 3【详解】P(A)=1=Q(4)W)A)$,1 Vz乙J L U J 1 J又 P(5|A)=(5,P(例4)=-4,P(/?|A41)=-,故 D 正确.故 P(8)=P(5|A)P(A)+P(B I4)P(4)+P(B 4)P(4)=-5 X-1-1-4-X 1I-4-X 3=9,故 BD 错庆.11 2 11

11、5 11 10 22p(5)p(A)=x；=q，尸(8A)=P(8i A)P(A)=，故尸P(A)=P(B A),所以事件B与事件A不相互独立，故 C错误，根据互斥事件的定义可得A，4,A两两互斥，故 A正确.故选：A D1 1.下列命题是真命题的有()A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为3 0B.某一组样本数据为1 2 5,1 2 0,1 2 2,1 05,1 3 0,1 1 4,1 1 6,9 5,1 2 0,1 3 4,则样本数据落在区间 1 1 4.5,1 2 4.5 内的频率为 0.4C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为

12、6 0,6 8,人数之比为1：3,则甲、乙两队全部队员体重的平均数为6 7D.一组数 6,5,4,3,3,3,2,2,2,1 的 8 5%分位数为 5【答案】BD【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间 1 1 4.5,1 2 4.5 内的个数除以总数计算概率,即可判断B 选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C 选项；由百分位数的性质，即可判断D 选项.【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9+=18,故选项A错误；对于选项B：样本数据落在区间 1 1 4.5,1 2 4.5 内的有1 2 0,1

13、2 2,1 1 6,1 2 0共 4 个，所以样本数据落在区间 1 1 4.5,1 2 4.5 内的频率为=0.4,故选项B 正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为1:3,则甲队队员在所有队员中所占权重为工=!，乙队队1+3 43 3员在所有队员中所占权重为=,则甲、乙两队全部队员体重的平均数为-x =：1 x 6 0+=3 x 6 8 =6 6,1+3 4 4 4故选项C 错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,由l()x 8 5%=8.5 ,则该组数据的8 5%分位数是第9个数，该数为5,故选项D 正确.1 2.小明和小童两位同学玩构造数列小游

14、戏，规则是:首先给出两个数字1,1 0,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,1 0,1 0,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间，得到第二个新数列1,1 0,1 0,1 00,1 0,如此下去，不断得到新数列.假设第n个新数列是：1,占,孙，王,1 0记:x”0,则下列结论成立的是()A.3=1 01 4 B.%+1 =2 C.1 0a+l=a 3 D.q a 2 a 3 a 4=【答案】A BC【分析】根据数列的新定义,写出前4 项,即可判断选项AD 的正误，再根据新定义找到项数,上“与第几个数列之间的关系，利用数学归纳法即可判断选项B 的正误，根据。田 和 之间的联系即

15、可得到选项 C 的正误.【详解】解:由题可知：第一个新数列为：1,1 0,1 0,项数为：3,%=1,4=1 0、第二个新数列1,1 0,1 0,1 00,1 0,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上，相邻两项积插入，故项数为:3+2 =5,%=5-2 =3,4=1 05,第三个新数列 1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:5+4=9,Z=9-2 =7,%=104,第四个新数列 1,10,10/00,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故项数为:9+8=17,4=

16、17-2=15,%=1 0,故选项A正确；不妨记第个数列时，k为k.,当 =1时，即第一个数列时,满足匕=1,不妨假设当=m时,即第机个数列时满足心+1 =2 且数列有+2项，贝IJ当“=,+1时，即第m+1个数歹U时，数列的项数有心+2+绘+1 =2k,+3项，此时*=2心+3-2=2km+1 =2m+l-l,满足4+1 =2,故选项B正确；由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到，且4,=卜占.xt.-10,故在4+i中比%多出来的部分斗,，需要乘2次,1,10需要乘一次，再加上乘以,3故有4+1=(再市,即 10。向=。，故选项C正确；由选项A中可知：4=1()2,22=105M3 =1

17、0匕4 =10”,q%=106 2,故选项D错误.故选:ABC三、填空题21 3 .己知函数/(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0 x 0,b 0,若关于x的方程2 4+J|x+2 a|=b恰有三个不同的实数解,巧，七，且xix20，0)=2疡=。，再对x分类讨论去绝对值，求解/(毛)=2属，即可解出a,b,得出a-力 的值.【详解】设/(x)=J x-2 a|+J x+2 a|,xeR,则fx)=yj-x-2 a+yl-x+2 a=yjx+2 a+J x-2 a l =/(x),./(x)为偶函数,则/(x)=6恰有三个不同的实数解演，巧，不，结合偶函数对称性，显然 刍=0,x3=-x

18、,0,则 f(0)=2 届=6,以下讨论x (0,-K O)上/(x)性质确定x3：当。j2 a+x=44a+2 14a。-x2 2Z J,f(x)=y/x-2 a+1x+2 a=2 x+2 Jx2-4a2 单调递增，由/（玉）=2 12 a 得:Xj=a 2 a,则=j a,2 2 a=b 3 2 ,1 6 48-a=,b=,a-b =-.2 5 5 2 5故答案为：四、解答题1 7.为了解患某种疾病A 与某种生活习惯B是否有关.某社区所在地随机调查了 500位居民，结果如下：有疾病4 病历无疾病A 病历有生活习惯B401 6 0无生活习惯83 02 7 0(1)估计该地区居民中，有疾病A

19、病历的比例；(2)根据小概率值a =0.01 的独立性检验，分析有生活习惯B是否会增加患某种疾病A 的风险.附.(_ 一32(a +b)(c+d)(a +c)(b +d)a0.0500.010.001Xa3.8 416.6 3 51 0.8 2 8【答案】(1)二7(2)答案见解析.【分析】对 于（1）,利用500人中有疾病A 的比例，估计该地区居民中有疾病A病历的比例；对 于（2）,由表中数据计算出2,比 较/与 6.635大小即可得答案.【详解】（1）在 500人中，有 70人有疾病4 病历，则估计该地区居民中有疾病A病历的比例为:70 7500.5（f（2）由表中数据，力 2500 x(

20、40 x270-30 x160)70 x430 x200 x300 9.967 6,635-故在犯错几率不超过1%的前提下，可以认为有生活习惯B会增加患某种疾病A 的风险.18.已知AA B C的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c.若 配 丽+2前.丽=瓦 丽.（1）求包W 的值;sine 若 2acosC=2/7-c,求 cosB 的值.【答案】（1）正 3应-亚8【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案：（2）根据余弦定理整理等式，求得c o s 4,利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.【详解】（1）由 阮 丽+2抚 通=函,则

21、函 网 cosB+2|罔.网 cosA=W|.同 cosC,设 AB=c,A C =b、B C =a,则 accosB+2 bccos A=ba cos C,根据余弦定理，可得，小萨+班 出 关Ka2+b2-c2-ab-2 ab化简可得2c=0 ，根据正弦定理可得：2sinC=&sin A，则#sine(2)由为根据余弦定理，可得加.2+厅 。2=2,整理可得从+2一/=机.，2 ah则 COSAJ 啜=-,sin A=5/l-cos2 A=,由 也 =血,贝 lJsinC=，2 bc 2 2 sinC 4由 立 立，K iJsinA sinC,根据正弦定理，可得即A C,故cosC=Jl s

22、ii?C=叵,2 44cos B=-cos(i4+C)=-cos Acos C+sin AsinC=+3 后-2 4 2 4 819.已知函数/(x)=QCD?+/(2a-2X Q.当。=3时，求曲线y=/（x）在点（1 。）处的切线方程;（2）若 0,讨论y=x）的单调性.【答案】(l)6x y-5=0答案见解析【分析】(1)先将。=3代入得到y=/(x),并求出“1)的值，再利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后通过直线的点斜式方程即可写出切线方程.(2)先求出y=/(x)的导函数并进行因式分解，可得到一个含参的二次式，然后对参数进行分类讨论即可得到函数y=x)的单调性.【详解】(1)

23、因为=3,所以“力=丁+*2-2 一3,所以i)=i3+|x-2-g =l,因为f(x)=3/+5 x 2,所以切线方程的斜率为/=3x+5xl 2=6,又因为切线方程过点(1,1),所以切线方程为y-l=6(x-l),即6 x-y-5=0,故当=3时，曲线y=/(x)在 点 处 的 切 线 方 程 为6x-y-5=0.(2)因 为 力=；奴3+/2 a-1)/-2工-3的定义域为(7 0,y)，fx)=cvc+(2t7-l)x-2=(x+2)(a r-l),令r(x)=0,解得x=-2或x=：,当：=-2 时，即 a=-g,尸(X)=(X+2)(-；X_ 1)=_*+2)2 4 0,所以函数

24、y=/(x)在区间(一,”)上单调递减；当,-2,即一!“()时，a2令/(x)-2,所以函数y=/(x)在区间1 8,|和(-2,内)上单调递减，令解得J x -2,即时，a2令，(x)0,解得x：,所以函数y=x)在区间(YO,-2)和g,+8 上单调递减，令/(x)0,解得-2%所以函数y=/(x)在 区 间,2,)上单调递增.综上所述，当“=-：时，函数y=/(x)在区间(YO,+)上单调递减；当g a 2 =2 ,4 4 1他=aan+2 2 n-2(n +2)n(n +2)2y=2n9n=2 k(keN*)-一-,n =2 k-(lceNn+2)1则&=(4 +%+,+%-)+(%

25、+%+/“)212 -1 2 n+1 +(22+24+.+I I一备)+=/+g2 1.世界杯期间，明星队和火车头队相遇，双方要打“(”为奇数)场比赛，某球队至少有一半的场次赢球即为战胜对方球队，其中明星队每场赢球的概率为P(O P D,各场比赛间相互独立.若 =11,P =0.6,估计明星队赢球多少场；对任意的正整数k,找出p的范围使得=2%+1 比 =2 Z-1对明星队更合算.【答案】6.6 g P 0 可求。的范围.【详解】(1)设明星队赢球场数为X,由 题 设 由*3(11,0.6),故 E(X)=11 x 0.6 =6.6,故估计明星队赢球6.6 场.(2)令4 表示“明星队在2 Z

26、-1场比赛中赢球的场数”，匕 t 表示踪-1场比赛中明星队战胜对方球队的概率，鸟川表示乂+1场比赛中明星队战胜对方球队的概率，其中七 7=尸(4 2&)=P 代=%)+P(J 2&+1),在歌+1场比赛中比赛中，明星队战胜对方球队，由以下3个互斥事件构成：(i )k +.(i i)且余下两场比赛中，明星队至少胜一场；(i i i)4=k-1,且余下两场比赛中，明星队全胜；故匕T=P(g“+l)+P(g =k)f -(-p +P =k-)/,所以多号-=尸(。=&T2 2 -尸仔=/)(一 A)?=p2C pk-(l-p/-(l-p)2 /(I-p)l=C-P)P-(1-刚=Cp l-p)(2

27、p-l),若，则9 PL故当gp l n(n +1).【答案】(l)a4 2；证明见解析.【分析】(1)求出导函数f(x),分类讨论确定/(x)的正负得函数单调性，由函数在()1 上的最小值不小于0即可得；(2)在(1)的讨论中得出a=2,x l 时，/(x)/(l)=0,从而得l n x 1(x 3,此函数不等式中令*=1 +：得 l n(l+3 X X Xa 0 时，/(x)0 恒成立，/(x)在(0 内 上递减，又1)=0,因此V x e(O,l ,/(x)2 0 恒成立，0 。4 2时，A=a2-4 2 时，=40,/一 a x+1 =0 有两根x,+x2=a 0 ,xtx2=1 ,因

28、此不妨设0 1三，当西 Q,/*)递增，因 止 匕/(x)/=0,与题意不合，综上，a l 时，/(x)/(1)=0,l n x -(x-),2 x令x =l +L keN*,K令 Z =l,2,3,ln(l+l)!(l+g),2 2皿叫C(衿ln(l+)-(+-),n 2 n n+然后相加得In 2+ln(l+-)+ln(l+-2 n 2 2 3 n 2 n+1ln(/z+1)1 H-1-1-.+1-一2 3n 2(+1)【点睛】方法点睛：用导数研究函数不等式恒成立问题，一般有两种方法:(1)用分离参数法变形不等式转化为求新函数的最值，从而得出参数范围;(2)直接求函数的导数，由导数确定函数的单调性，得函数最值，然后由函数最值满足的不等关系得参数范围.