2023届湖南省永州市高三年级上册学期1月第二次适应性考试（二模）数学试题含答案.pdf

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1、2023届湖南省永州市高三上学期1 月第二次适应性考试（二模）数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=则集合8=（）A 8 1 B.，20 A*2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z -i）=l+2 i,则在复平面内复数z 对应的点在（）A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限V2sin|13.“。是锐角”是“14”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C 充要条件

2、D.既不充分也不必要条件4.设。为力8 c 所在平面内一点，A D=3AB,则（）CD y CA-l CB B CZ=3C4+2CScC D -2 C A-3 C B D CZ）=-2C4+3C55.若存在常数a，。，使得函数/（X）对定义域内的任意X 值均有4 x）+/（2 a-x）=2b,则/（）关于点(/)对称,函数，(x)称为“准奇函数,，现有“准奇函数”g(x)对于Vxe火，g(x)+g(-*)=4,贝|J函数(x)=sinx+x+2g(x)-l在区间-2023,2023上的最大值与最小值的和为()A.4 B.6 C.7 D.86.如图，片，鸟为双曲线的左右焦点，过 西 的直线交双曲

3、线于民力两点，且鸟0 =3月3,E为线段。片的中点，若 对 于 线 段 上 的 任 意 点，都有巴/尸 鸟 之 瓦 管 破 成立，则双曲线的离心率是()A，B.也 C.2D.石a _“1 8 h 7*7.已 知 数 列 +2一 1 2 T，若对任意的*N 则实数/I的取值范围是()(1 18|#18)(1 1 (5 IJ)B.1&司 c W 引 D.M引8.如图，在三棱锥一8。中，N/BC=45,点尸在平面8CQ内，过尸作P 0_L/8于0,当尸。与面时，与平面”3C所成角的余弦值是()Vio8 8所成最大角的正弦值是4V10 V6 V15A.5 B.4 c.5V10D.6二、多项选择题：本题

4、共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分./(x)=s i n 2 x 4-2 5/3 s i n x c o s x9.已知函数(6 J ，贝!J ()A.，I)的最大值为1_ 71B.直线 7 是/（x）图象的一一条对称轴C.”x）在区间上单调递减D./G）的图象关于点1 7 J 对称1 0 .已知为坐标原点，抛物线，=4x的焦点为 E，准线为/,过点尸的直线交抛物线于48两点，下列说法正确的有（）A.线段N3长度的最小值为4B.过点（）与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线04交抛物线的准线于点。，则

5、直 线 平 行 x轴可能为直角三角形1 1 .如图，棱长为3的正方体 8 C。-4 8 1 G 2 的顶点/在平面a内，其余各顶点均在平面a的同侧，已知顶点08到平面0的距离分别是1 和 2.下列说法正确的有（）A.点C到平面1的距离是3B.点G 到平面a的距离是42C.正方体底面ABCD与平面a夹角的余弦值是3VwD.Z 8 在平面a内 射 影 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 5a b=2.8 6,c i n e =M n d =-0.3 5,a b,cd1 2 .已知M a l n/），则 有（）J2c +d 一Aa+h2e B.eQ ad 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2

6、0分.1 3 .数据：2,5,7,9,1 1,8,7,8,1 0 中的第8 0 百分位数是.-+2 11 4.1 x ）的展开式中/的系数是.1 5.三个 元 件 独 立 正 常 工 作 的 概 率 分 别 是 把 它 们 随 意 接 入 如 图 所 示 电 路 的 三 个 接 线 盒九心 刀 中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此 电 路 正 常 工 作 的 最 大 概 率 是.1 6.对平面上两点刘8,满足I”的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点48 是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这

7、一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系_数4只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知/（1，），6（4,0），。（。，3）,与 4,8 两点距离比是5的点P的轨迹方程是=4,则 2 1 即+陷的最小值是,最大值是3 回 一 2 1 即的.四、解 答 题：本 题 共6小 题，共70分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证明过程或演算步骤.1 7 .（本题满分1 0 分）已知A/B C 的内角4 民的对边分别为。，“c,且向量加=（2 b-a,c）与向量无=（c o s 4 c o s c ）土 纬(1)求 C ；（2）若C=的 面 积 为 2 ,求 a +b的值.1 8.

8、（本题满分1 2 分）已知数列M 的前项和为S“，若S”=4+i T%=2（1）求数列 4 的通项公式;=6 0)72的离心率是2且过点PR）.（1）求 的方程;（2）过点P的直线人,2 与 C的另一个交点分别是48,与轴分别交于M，N,且M =N,P Q 上A B于点Q,是否存在定点7?使得I 陶 是 定值？若存在，求出点火的坐标与阙的值；若不存在，请说明理由.2 1.（本题满分1 2 分）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现2 _感染症状）或呈隐性（无感染症状）的概率都是5,体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显性与呈隐性的传染性相同，且人

9、感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙丙三位专家要当面开个小型_ i _i_研究会，其中甲来源地人群的感染率是5,乙来源地人群的感染率是3,丙来源地无疫情，甲乙两人体质很好，丙属于易感人群，参会前三人都没有感染症状，只确定丙未感染.会议期间，三人严格执行防疫措施，能2隔断3的病毒传播，且会议期间不管谁感染，会议都要如期进行，用频率估计概率.（1）求参会前甲已感染的概率；（2）若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率；（3）若参会前甲己感染，而乙、丙均未感染，设会议期间乙、丙两人中感染的人数为随机变量X,求随机变量X 的分布列与期望.（tx2+2 x +/）/（x

10、）=-；G R2 2.（本题满分1 2 分）已知函数 e(1)讨论/(X)的单调性；n tx+2x+tx e(x+xlnx+2 2x)时，V )，求实数/的取值范围.2023届湖南省永州市高三上学期1月第二次适应性考试（二模）数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.题号12345678答案ACADBDBC题号91 01 11 2答案A B CA CA C

11、 DB C D三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3.1 01 4.4 01 6.2 7 1 0 ；59部分小题答案8.解：由于Q e/8,过。作 的 垂 面 Q EF,如图可知 N 3 _ L 0E,_ L QF,过 AB作平面8。上的垂面ABM，如图，即面ABM，面 BCD,可得BM与 E F 的交点即为满足条件的P点,从而NQPB为 PQ与面BCD所成角的最大角，故 sinNQPB=.平面QEF 1平面ABC,过尸作尸 _ L 0 E 于/,连接BH,可知N E Q P 就是PQ与平面4 3 c 所成角，在 RtkQEP 中，NEPQ=9 0 ,cosZEQP=,且

12、他处8为等腰直角三角形,贝 lj QB=QE.t a n /.QBP=c os Z.EQP,而 sinNQPB=拳,NQPB+ZQBP=1 ,t a n/Q8P =孚，/.cos ZEQP=-1 1.解：如图建系，A 3=(3,0,0),AD=(0,3,0),A C(3,3,0).设平面a的法向量2 =(a,b,c),aA依题知：AB-m _ Z向AD-m =1m求得机=(2,1,2),所以点C到平面a的距离d=空 屈=3 ,加所以G到平面a的距离是5,故A对B错;平 面 与 平 面a夹角的余弦值是4=2,C对.1 1 1 1 3因为点8(0,0,3)到平面a的距离为2,问=3,所 以 在 面

13、a内射影向量是7 =方-(蓝函 =(0,3,3),所以7与画夹角的余弦值是-W，所以N 8在平面a内射影与工口所成角的余弦值为,D对.正确答案A C D.5方法二：由勾股定理，易得点C到平面a的距离是3,A对；如图一延长8。交面a于点M,易知36，在/A/D中，ZADM=?,50,由余 弦 定 理 求 得3&,过0作于N,由面积法求得ZW=2，V 5如图二延长Q Q 交面a于点E,过。作D H L E N于，,则。，面a于，BD=Rt/XEDH中,D N=2,DH=,H N=3,EH=-V5 V5 23 3 9ED=，皿=-+3=，2 2 2故。到平面a 的距离是3,G 到平面a 的距离是5,

14、B 错;正方体底面力 8 8 与平面a 夹角的平面角为N O N E,2c o s N O A 。对；如图三，分别过a 5作H P,面a 于P,。，面。于过3 作3 必 P 0 交。1 0 于F,B P=2,。=3,D、B=3 f,PQ=BF=应,(第 11题图三)。，A P=岳,DP=y/35,由余弦定理求得c os/)/P =1 8+5 3 52xyf5 x3五V i o5贝 必 1 8在平面a 内射影“尸与/G 所 成 角 的 余弦值是半，D 对.正确答案A C D.1 2.解：构 造 函 数=g(x)=xl n x,/七)=史 4-,In xIn x/(x)在区间(1,e)上递减，在区

15、间(e,+oo)上递增，g (x)=l n x+l,g(x)在(0,J 上递减，在 ：，收)上递增，由极值点偏移知A错 B对，1 1 1 1 1 1aeb,c-d,f(-)=-，f(-)=-,e,ae，e x-g(x)d-g(d)d/(%)在区间(1,e)上递减,1 _ 1 1/(-)=2.85 7 a ade9be，C -g(c)。/(-)=2.857),-,选 BCD.c-g(c)c1 6.解：依题知 I PB I =2PA,2PD+PB2PD+2PA2 I AD I =2,设点O 关于圆C 对应的阿波罗点为E(0,m),依题知点(0,2),(0,-2)分别到点E,。的距离之比为c，2一加

16、 2+m4=-=-，3-2 3+2求得加=3,4=2,E(0,),3 3 32PE=-PDf23PA2PD=3(P A-P D)=3 CPA-PE)26 分(2)由(1)知，当”是奇数时,d 二%,记 儿 的前10项的奇数项和为尊,贝I J师=q+a+as+a7+a9=2+3(2+23+25+27)=512.b“当”是偶数时，M+1 n-2n2+2 2(n2-1)+4、1 1-+=-=-=2+2(n-1 +1-(一 1)(+1)-n2,-1-n-1 n+1.+1 n -1 +2 +l 2,1 1 、bn=-+-=-+-=2+2(-)(或者 一 1 +1 +1 1 +1)9分记协“的前1()项的

17、偶数项和为心,则金=2x5+2(l-g +；1 1-1 一5 51 17 71 1F -9 9n)=10+fr11分512+10+=1157621195 2 3 (注：写成 II也可).1 2 分1 9.(本 题 满 分 1 2 分)解：(1)由 题 可 知 四 边 形 是 正 方 形，E是 3c的中点，=2B E,Z AB E =9 0 ,.1 分又 AE =M，AB2+B E2=-A B2=A E2=5,4所以Z 8=2 ,.2分又 P A=2也，N 4B P =60,由余弦定理可得:尸8=4.3分AB +AP2=P B2,HP A B 1 P A,.4 分又/E _ L P Z 且 Z

18、E C I4 5 =Z ,P A 平面/8 8 ,.6分(2)由 知 、4。两两垂直.以8 为原点，AP、4B所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.贝！|A(0,0,0),E(0,2,1),。(2 6，0,0),8(0,2,0),0(0,0,2),于 是 花=(0,2,1),AP=(27 3,0,0)(P D =(-27 5,0,2)1.设 P F =D,0,1则 万 =万 +而=酢+4 5 =(2瓜 3 2mxi 0 22设平面4 E F的法向量为 二(x，y，z),f A E n=0 J 2y+z=0则 疗.)=0|(27 3-273A)X+2/l z =0

19、；8 分z =-2,x =厂 2 n=(尸2A,令丁=1，贝 Ij J i J L l ,A/3 V 3z l1-2)9 分可知平面尸的一个法向量?=(，),10 分 -I mn.2 y/2cos =一 一 =/=所以 忆 应+5A=解得 3 或者2=-1（舍去）.11分又 PD 7 P A 2 +AD2=4,所以 PF=,34即当平面/E F 与平面21B所成的夹角为30。时，段尸尸长度为.12分2 0.（本题满分12分）解：（1）因为椭圆C：=+4 =1的 离心率是立，a2 h2 2所以 e F-g）=即 0=41 b.2 分2 2因为二+4=1过点尸（2,1）,2b b23 分联立a=近

20、 b 解得 a=&,b=y/3 2 2故椭圆。的方程是+二 L6 3法二：Y2 V2 历因为椭圆C r+J=l 的 离心率是注，a b2 2所以 =也，a 2联 立/=b2+c2 可得 a=V2 b,2 2x v因为一r+二 二 1过点尸（2,1）,2b-b25 分1分2 分4 1所以7+-T =，2b b23 分联立。=近 6解得Q=&,b=A/3,故椭圆C 的 方 程 是 片+区=1.5 分6 3（2）依题意，直线Z 8 存在斜率，设直线4 3 方程是y=+联立卷+gl,消去y 得，（1 +2心2+4粕 丫 +2/-6 =0,A=16/-4(2从-6*1+2k2)0设 Z（X,为），8（x

21、2，儿），则 xt+x2-4kb+2k22b2-6l+2k26分直线 P/：y-l=-(X-2),士-2令 x=0,得 yM=-+1,X-2同 理 外=三 学+1,X2-2依题意知为+%=0,即 区 +1+2=0,$2 X2-27 分(1弘)*2 幻*(1%泗 2升(2)(X2 2)=0,(1 Axj-/)(x2 2)-n(l%6)(用 2)+(芭 2)(X2 2)=0,(12人)百 入 2 +(2-b-1)(%1 +x2)+4b=0,8 分(12%)(2/-6)+(2左-6-1)(一4处)+46(1+2/)=0,整理得 +2她+6%+26-3=0,即(6 +3)(2%+6 -1)=0,.9

22、分若2k+6-1 =0,则直线18 过点尸(2,1),不合题意，舍去，.10分若6 +3=0,则 直 线 过 点（0,3）,令。（0,3）,则点。在以尸。为直径的圆上，.所以当R为尸。的中点，即以尸。为直径的圆的圆心时，田。|等于圆的半径,11分故存在定点A（L-l），使得成。|为定值后.12分2 1.（本题满分12分）解：甲，乙，丙第，轮次感染分别记为事件4,B、,C（i e N*）,且参会前的感染为第1轮感染，无症状记为事件（1）依题意，参会前甲已感染事件4 即是无症状感染事件小|E,.1 分所以P（小）=尸（小|）=费/（2）丙感染记为事件厂,P(BIE)P(E)1 1 13 2-6.1

23、2 1157X 3 3 2 6 4尸 但)=则 F=C2ABC2(C2 14升瓦，2 分,4分,5分P(BJ=P(BilE)=P(F)=P(GI 4+8 C2(G I 4)+8 18 2c 2c 3)=P(C2A)-hP(B1)P(C2B)P(C2|A)P(B2 A)P(C2 A)P(C3 B2)1 1 1=+X X3 5 32 4 1 2 1 59+X X-X =-3 5 3 3 3 1356 分病毒由乙传染丙记为事件M=BC?+BTB2c2c3,P(M)=P(BC2+6 B2 C2c3)=尸（男）尸（。2囹）+尸（华）尸（骂1 4 3）尸（。3匹）114121 17 X +X X X =-

24、5 3 5 3 3 3 1357分丙感染是因为乙传染的事件即为ME17P(M 尸产翳=弓135故丙感染是因为乙传染的概率是1二7 .8 分59(3)那 取 值 为 0,1,2.-2 2 4P(X=0)=P(B,C、)=-x-=,9 分3 3 9-1 2 2 1 2 2 8P(X=1)=P(B)C,Cq +C,B)Bx)x x +x x 9.10 分3 3 3 3 3 3 27P(X=2)=P(52C2+52QC3+C2 B2B3)1112 1 1 2 1 7 八=x +x x +X X =,.11分33333333 27X的分布列为：X012P498277278 14 22(%)=+=27 2

25、7 2712分2 2.(本题满分12分)/(.=上2史)解：(1)由,，可得,tx+(2/-2)x +2 /(x l)(，x +2-/)f(x)=-；-=-；-e e ,.1 分当 t=0 时，e ，由/(x)0 得 xl,由/(x)l,故/(x)在(-8,1)单调递增，在(1,+8)单调递减：.2 分当时，令/(x)=,可 得/&)=的两根分别是1和 J,.21 1 i）当，0 时，I ,21-x 0,得 t ,X 12 故/（X）在区间 J上单调递增，（-0 0,1-）在区间 t和（1，+）上单调递减.3分i i-2i i）当，I-由ra）o,得x i或 j2八 1 工1 由/0 1r寸，

26、/（x）在区间 t上单调递增，在区间 t和。，+8）上单调递减；2 2r/（L1 J-（1 ,4-00）当，0时，八3在区间 t上单调递减，在区间（一8，1）和 t 上单调递增.5分（2）由 I +2工2 +tx-ex（x2+x l nx +2-2 x）o+2+w（工2 +E x +2-2x）可得：炉 ，枕2 +2 x +z 2 _-0时，/（x）4g（x）恒成立.,1 2 x+x 2(x+2)(x 1)g (x)=1 +-=-=-x x x x7分当 0 x l 时，g (x)1 时，g (x)0所以函数g（x）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1收）上单调递增,所以g（x）而“=g（l）

27、=l ,8 分22当f 0时,/G）在/上单调递减，在区间（-8,1）和。7+上单调递增,/（1）=-1 、又 e e ,且当x趋向正无穷时，/（X）的值趋于0,故/（x）g（x）成立：当片0时，/（x）在（r，l）上单调递增，在（L*）上单调递减，2/（%=-0时，/（X）在t）单调递增，在（/和（1，+）上单调递减,i-20,当x l时，则/（“）。所以/（x）在（，1）单调递增，在（1，+）单调递减，l J（X）ma x =/=所以 e又因为g（x）2 1,/（x）4g（x）恒成立，2 f+2 e-2-1 t -所 以e ，解得 2 ,e 20 t 所以 2 ,20 1 7）和。,+8）上单调递减,此时有/一I 5,/G/g G)不恒成立所以2不符合题意.(e-27，丁综上，实数，的取值范围为I 2.1 2 分