2022高考数学真题全国甲卷（原卷+答案）.pdf

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1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项:1 答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡并交回.、选择题:本题共1 2小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B.3.D 4

2、.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.13.1114.近316.6 一 1#-1+百三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.（1）解:因 为 +=2。+1,即 2S +=2 “+，当2 时,2 s+（=2（1）。_ +（鹿_,一得,2s2s1)=+-2(-1),即 2a“+2 1 =2%+1，即2(一l)2(”一l)a“_|=2(1),所以_1 =1,2且eN*,所

3、以 4 是以1为公差的等差数列.(2)一78.18.(1)证明:在四边形ABCD中,作 E丄Afi于E，C 丄 于,因为 C0/A8,AD=CO=C5=1,A5=2,所以四边形ABC。为等腰梯形,所以AE=6=丄，2/7 _故E=-，BD=4DE、BE2=6,所以。2+8。2 =筋2,所以A。丄8。,因为P。丄平面ABC。,3。u平面ABC。,所以P。丄6。,又PD cAD=D，所以8。丄平面，%。,又因B 4u平面尸A。,所以8。丄Q4；.519.(1)0.6；(2)分布列见解析，(X)=13.【解析】依题可 知,X的可能取值为0,10,20,30,所以，p(X=0)=().5x0.4x0.

4、8=0.16,p(X=10)=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.44,P (X=20)=0.5 X 0.6 X 0.8+0.5 X 0.4 X 0.2+0.5 X 0.6 X 0.2=0.34,P(X=3 0)=0.5 x 0.6 x 0.2=0.0 6.即X的分布列为X0102030p0.160.440.340.06期望 E(X)=0 x0.16+10 x0.44+20 x0.34+30 x0.0 6 =13.2 0.=4x；(2)AB:x=y/2y+4.2 1.已知函数/(工)=纟 nx-x-a.(1)(-oo,e+l（2）

5、由题知,/（x）个零点小于1,个零点大于 1不妨设玉11要证 玉 光2 1,即证 再 一X21因为 苦，一(1 A(0,1),即证，(%)/X2 因为/（玉）=/（），即证/（）/X2、1即证-I n x+x-xex-Inx 0,x e (l,+oo)x 丄即证-xe”-2xev-1 卜面证明 1 时,-xex 0,I n x x x 2 X)1，设（x）则 g (x)e*所以e(x)e(l)=e,而e：g(l)=0,所以 XQX 0X令/(九)=l n x-|x-1|,xlXh x)=-X丹守二用所以刀（X）在（1,+c。）单调递减即(无)(1)=(),所以111%-；0；综上,一2 l n

6、.-l x-ix 21 x 丿0,所以。（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选题作答.如果多做,则按所做的第题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.（1）/=6 x-2（y 0）；（2）G，C的交点坐标为（；，0,2）,G，c 的交点坐标为 选修4-5:不等式选讲23.（1）证明:由柯西不等式有/+2+（20 2+2+12”（。+2,所以 a +b +2c 3,当且仅当。=0 =2c =l时,取等号,所以。+2c 0,0,c 0,由（1）得 a+Z?+2c =a +4c、3,即0 0）的左顶点为点尸,。均在。上,且关于，轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为丄,则C的离心率为（）

7、4在-2nV2D.-2I21D.一311.设函数/（无）=sin x+丿在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）-5 13、5 19A.一,B.一,C.|_3 6 丿 3 6 丿31 1 112.已知。=一,/?=cos,c=4sin,则（32 4 4A.cba B.bac二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,13.设向量。,的夹角的余弦值为丄，且|a|=l,S|=3,则（2。+=.214.若双曲线=1（机0）的渐近线与圆+4丫 +3=0相切，则加=m15.从正方体的8个顶点中任选4个,则 这4个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.不 司 6 一)C.abc

8、D.acb共 20分。16.己知A B C 中,点在边BC上,Z A D B =120,A D =2,CD=2 B D ,当 取得最小值时,B DA B三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。（-）必 考 题:共 60分。17.（12 分）记 S为数列 凡 的前项和.已知一消+=2an+1.（1）证 明:凡 是等差数列;（2）若。4,，成等比数列,求S“的最小值.18.（12 分）在四棱锥 P-A B C D 中,P D丄底面 A B C D,C D /AB,A D =D C =C

9、 B =1,AB=2,DP=6（1）证 明:B D P A；（2）求 P。与平面R4B所成的角的正弦值.19.（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率;（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.20.（12 分）设抛物线C:=2px（p 0）的焦点为凡 点（p,）,过 尸的直线交C 于 M,N 两点.当直线M垂直于 x 轴时，|MF|=3.（1）求 C 的方

10、程；（2）设直线M D,N D 与 C 的另个交点分别为,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 a,尸.当a-/?取得最大值时,求直线AB的方程.21.（12 分）已知函数/(%)=-l n x+x-a .（I）若/（x）0 I 求”的取值范围;（2）证 明:若/（X）有两个零点X,则1.（二）选 考 题:共10分。请考生在第22、2 3题中任选题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。2 2.选修4-4:坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系x O y 中,曲 线 G 的参数方程为2+t6 （r 为参数），曲线g 的参数方程为y=4t2+sx=-6y=-s（s 为参数）.（1）写出G

11、的普通方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为2c os（9s i n 6 =0,求与 G 交 点 的 直 角 坐 标,及 与 交 点 的 直 角 坐 标 23.选修4-5:不等式选讲（10 分）已知a,b,c 均为正数，且/+4。2=3,证明:（1）a+b +2c3；（2）若/?=2 c,则丄+丄3.a c绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学参考答案注意事项:1答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形

12、码.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡并交回.、选择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B.3,D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.13.1114.2/1316 .百一三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，

13、每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.2S17.（1）解:因 为-+n=2af J+1,即25 +=2 ，当2时,2 s+（=2（1）。_ +（鹿_,一得,2s2s1）=+-2（-1）,即 2a“+2 1 =2%+1，即2（一l）2（”一l）a“_|=2（1）,所以_1 =1,2且eN*,所以 4 是以1为公差的等差数列.（3）一78.18.（1）证明:在四边形ABC。中,作。丄 于E，C丄B于,因为 C0/A8,AD=CO=C5=1,A5=2,所以四边形ABC。为等腰梯形,所以AE=6=丄，2/7 _故E=-，BD=4DE、BE2=6,所以

14、。2+8。2 =筋2,所以A。丄8。,因为P。丄平面ABC。,3。u平面ABC。,所以P。丄6。,又PD cAD=D，所以8。丄平面，%。,又因B 4u平面尸A。,所以8。丄Q4；.519.（1）0.6；（2）分布列见解 析,E（X）=13.【解析】依题可 知,X的可能取值为0,10,20,30,所以，p（X=0）=（）.5x0.4x0.8=0.16,p(X=10)=0.5 x 0.4 x 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2=0.44,P(X=20)=0.5 X 0.6 X 0.8+0.5 X 0.4 X 0.2+0.5 X 0.6 X 0.2=0.34,P

15、(X=30)=0.5x 0.6 x 0.2=0.06.即X的分布列为期望 E(X)=0 x0.16+10 x0.44+20 x0.34+30 x0.06=13.X0102030p0.160.440.340.0620.(1)=4;(2)A B:x-y/2y+4.ex21.已知函数/(x)=-I n x+x a.x(1)(-oo,e+l（2）由题知,/（x）个零点小于1,个零点大于1不妨设玉11要证 玉 光 2 1,即证 再 一X21因为 苦，一(1 A(0,1),即证，(%)/X2 因为/（玉）=/（），即证/（）/X2、1即证-I n x+x-x ex-I n x 0,x e (l,+oo)x

16、 丄即证-xe”-2xev-1 卜面证明 l 时,-xex 0,I n x x x 2 x)1，设(x)则 g (x)e*所以e(x)e(l)=e,而e：0,所以g )0X所以g(x)在(1,+O O)单调递增即 g(x)g(l)=0,所以 XQX 0X令/(九)=l n x-|x-1|,xlXhx)=-X丹守二用所以(龙)在(1,田)单调递减即 (x)(1)=(),所以 I n x丄(X-|0,所以0)；(2)G，C的交点坐标为弓，(L2)，G，c 的交点坐标为 选修4-5:不等式选讲23.(1)证明:由柯西不等式有 +从+自 +产”(+Z?+2c)2,所以 a +b +2c 3,当且仅当。

17、=0 =2c =l时,取等号,所以。+2c 0,0,c 0,由(1)得。+Z?+2c =a +4c 3,即+(y+l)2=515.2(满足1 0)；(2)C 3 c的交点坐标为,(1,2),6，02的交点坐标为!,(-1,-2).选修4-5:不等式选讲23.(1)证明:由柯西不等式有。2+(2(12+12+2)2(“+2c)2,所以 a+b+2cK 3,当且仅当。=Z?=2c=l时,取等号,所以a+2 c W 3；(2)证明:因为=2 c,a 0,b 0,c Q,由(1)得a+b+2 c =a +4 c 3,即。a+4 c 3,所以之丄,Q+4 c 3由权方和不等式知丄+丄=f+2 i z(l

18、 +2 1=9 2 3,a c a 4c a+4c a+4c1 2 1当且仅当一=一,即。=1,c =时取等号,a 4c 2丄+3所以。c2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数 学（文科）注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡并交回。、选

19、择题:本题共12小题,每小题5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合 A=2,-1,0,2,8=乂0,*。0)的离心率为:，4,4分别为。的左、右顶点,8为。的上顶点.若珂%=1,则C的方程为()A.x 1 y=.1 B.x F-y-=1 C.x F-y-=1.D.x F y 2=1i18 16 9 8 3 2 212.已知 9=10,a=l(F 11,=8一 9,贝 ()A.aOb B.a b 0 C.baQ D.bOa二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分。13.已知向量a=(7,3),=(l,z+l).若a 丄,则.14.设点M在直

20、线2x+y-1 =0上,点（3,0）和（0,1）均在“上,则。”的方程为215.记双曲线C：a=1（。0,。0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的个值16.已知/VIBC中,点。在边BC上,ZADB=120,AD-2,CD-2BD.当 一 取 得 最 小 值 时,BD=AB三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。（-）必 考 题:共 60分。17.（12 分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、

21、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?准点班次数未准点班次数A24020B21030n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(d)18.（12 分）P(K2.k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635记S”为数列 叫的前“项和.已知二+=2+1.（1）证 明:凡 是等差数列;（2）若%,%，为成等比数列,求S”的最小值.19.（12 分）小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面AB

22、C。是边长为8（单位:c m）的正方形,胡。A均为正三角形,且它们所在的平面都与平面A 3C D垂直.（1）证明：所 平面ABC。;（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.20.（12 分）已知函数/（%）=X3-x,g（x）=x2+a,曲线y=/（x）在点（,/（%,）处的切线也是曲线y=g（x）的切线.（1）若玉=-1,求a：（2）求a的取值范围.21.（12 分）设抛物线。:=2P无5 0）的 焦 点 为 凡 点。（,0）,过 的直线交C于M,N 两 点.当直线垂直于x轴时，|M同=3.（1）求C的方程:（2）设直线A1,N与C的另个交点分别为4,B,记直线M N,4 8的倾斜角

23、分别为a,.当a取得最大值时,求直线A B的方程.（二）选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。2 2.选修4-4:坐标系与参数方程（1 0 分）在直角坐标系x O y 中,曲线G的参数方程为,6 。为参数）,曲 线 G的参数方程为）=山2+sx=-6 (5I 为=2+rX=-参数）.（1）写出G的普通方程;（2）以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为2 co s6si n 8 =0,求 C 3与 G交点的直角坐标,及G与 G交点的直角坐标2 3.选修4-5:不等式选讲（1 0 分）已知a,b,c均为正数,且。2+夂?

24、=3,证明：（1）Q+Z?+2G,3（2）若b=2 c,则丄+丄.3.a c2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数 学（文科）参考答案注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡并交回.、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出

25、的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分.313.#-0.75414.(X-1)2+(J+1)2=515.2(满足l e=AB，M u平面钻,所以0丄平面ABC。,同理可得FN丄平面ABC。,根据线面垂直的性质定理可知E M/F N,而 E M =F N,所以四边形EMM7为平行四边形,所以E F/M N,又E平 面ABC。,M V u平面A 5C D,所以七/平面ABC。./640/T(2)V 3.320.(1)3(2)-l,+oo)21.(1)

26、y2=4 x；(2)A B:x=yj2y+4.(-)选考题:共1 0分.请考生在第22、2 3题中任选题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.(1)y2=6 x-2(0)；(2)C3C的交点坐标为(；,(1,2),C 3C的交点坐标为 工,一1),(-1,-2).选修4-5:不等式选讲23.(1)证明:由柯西不等式有“+2+(2c)2(+12+i2”(a+2cf,所以。+2cW3,当且仅当 =b=2c=l时,取等号,所以。+Z?+2cK3；(2)证 明:因为 b=2 c,Q0,Z?0,由(1)得 a+2c=a+4c3,即0-,。+4c 3由权方和不等式知丄+丄=11+生 之(+2)一 =9 2 3a c a 4c a+4c。+4c当且仅当,即。=1,c=时取等号,a 4c 2