2022年高考数学理科版复习讲义大题小做第1单元.pdf

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1、专 项1r丁 角 函 数 与 解 三 角 形 2W大题小做考 点 1三角函数的图象与性质及其应用X题 题 型 分 析三角函数的图象与性质问题，主要考查其周期性、单调性、最值等情况，辅以考查同角公式、诱导公式、和角与差角公式、二倍角公式，目会推导掌握它们之间的内在联系.解题过程中，当已知函数解析式时,直接结合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质进行求解;当未给出函数解析式时，需要先依据已知的函数的性质确定其解析式，再研究其性质.小 做 拆 解 技 巧庖丁解题高考真题过程拆解(2017年全国卷,1 7)4 W的内角A.B.C的对边分别为a/,c,已知sin(J*C)=8sin21.求Cos B

2、,若%的 面 积 为2,求b.1.利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 F利用诱导公式化简sin(4+C).2.利用降鬲公式化简si吟 美 当 结 合sin m e o s,求出cos B.3.利用中求出的cos Z?的值、余弦定理和面积公式求出ac,从而求 出b.答题模板评分细则解:根据题设,，4出+。二 兀/所 以/心n也.1分 得 分 点 所以 sinC4f0=sin(冗-由=si.n Bo=_oS X)_-co-sBN/cos B.1分 得 分 点 结合 sin2 o s2j?-l,得17cos25-32cos历1 5 0,.2分 得分点解得cos 或cos 6=1(舍去)，

3、第问踩点说明(针对得分点刎 助：依据三角形内角和为“彳导1分，考生容易忽略这个解题细节.利用诱导公式，化简条件sin(4)卷in g得到sin 5=4(1-cos 为得 1 分.两边平方彳导到关于cos 3的一个一元二次方程，得2分.由一元二次方程得解，并对解进行取舍彳导2分.所以cos B帚.2分得分点第问踩点说明(针对得分点 (须：由 cos B*j,得 s in Wl-cos2B哈.1分得分点结合第问得到s in 6的 值 得1分，这个步骤考生容易忽略，利用函数方程的思想.结合三角形的面积公式彳导5k.巧a cs in B 2,.1分得分点根据三角形面积公式建立等式彳导1分，求解得到a

4、c号彳导1分.得am.1分得分点结合余弦定理得到b的值彳导3分.再由余弦定理得1 =a+(?-2accos BX a +c)一2 a c 2 accos B=36-2Xy X(lvl|)所以。N.3分得分点导向训练1.已知函数 几)之s i n肥力1(才节.求函数/的最小正周期和单调递增区间;当口屿 时,求函数列)的值域.过程导引解析依据两角和的1 B玄公贩 二倍角公式化简函数解析式，化为x)=4s in(3 x+。)”的形式.根据正弦函数的，性质，确定其周期、单调递增区间.解:因为/(A)=2s in H.sin x*o s x)W 3(i )si n 2x=s in(2x?)吟所以函数/(

5、x)的最小正周期为r=n.由胃+2衣 1 2 A(才eZ),解得 哈 n W后 净 行(MZ),利用正弦函数的单调性结合给定的自变量的取值范围，确定其函数的值域.所以函数中)的单调递增区间为*用,净C (AC Z).因为x e0,?所 以 加 走 吗 争,所以 s in(2*?)e 呼 1,即七)的值域为0/号.2.已知函数/(x)Fcos x s in(x 9)-L6用五点法画出/(X)在一个周期内的简图；将函数4工)的图象向左平移W 个单位长度后再向上平移1个单位长度彳导到函数虱X)的图象，求函数虱X)在0,2 n 内所有零点的和.过程导引依据两角和的I B 蚣 式 化 简函数的解析式.利

6、用五点法画出函数在一个周期内的图象.依据图象变换得到函数武彳）的解析式，然后结合函数的零点，确定其零点之和.解析 将 函 数/（X）的图象向左平鹿个单位长度后再向上平移1个单位长度彳导到W x）=2s in2（x 母中+1N C O S 2x+的图象O O令 2cos 2x 4 刈得 2*=与（Y Z）或 2x#+2 （M Z）.所以 x奉k n U S Z）或 x号+k n（A e Z）.又 x d 0,2 n ,故或 号 或*专 或*号.所以函数匐力在出,2”内所有零点的和为4“.突破针对训炼1.已知函数x）s in（3 x+0）（其 中A,6J,P为 常 数 且 加 0,。为,力 0）的

7、部分图象如图所示 求 函 数/U）的解析式；若 C。居 求 s in（2 a专 的值.【解析】由 图可知,/N,吃”,故 3=1.所以/（x）N s in（x，。）.又 吟）=2s in（争0）=2,且 1/3sin 2x.因为/(。)二蟹，即S s i n 2 a二书,所以s in 2。因 为。(品),所以2。与 11).故 cos 2”总即4 )二 总.(2)/(%)+gx=-/3s in 2%A:os 2x=2cos(2x 1).因 为 职 ，所以2吗 1 0，江所以当2吗 R,即 x=?时,心)上(力有最大值，最大值为2.6.在力成、中，内 角 所 对 的 边 分 别 为 a/,c.已

8、知a cos C+ccos力 之Aos A.求角力的直(2)求 s in 6Tts i n。的取值范围.【解析】因为a cos C+ccos A=2bcos 4 所以 s in Acos C sin 6cos 月 N s in Zfcos A,即 s in(*6)=2s in B cos A.因为力+小On ,所以s in(/1%)f in B.从而 s in 庐2s in B cos A.因为s in存 0,所以cos 档.因为0所以力考(2)s in 厉s in C=sin 8%i n g 切书in 8&n cos 8p os s in B3 33 y f 3q s in B rcos B

9、2 2WJs in(8年).因为。学 号 所 以 维 尊所以s in抹 i n。的取值范围为喙何 养思飨京镁三角函数的图象与性质的应用，是高考常考内容，所涉题目属送分题，但是得满分不容易，原因有可能是步骤不完整或者范围不够精确，因此解题过程中，如果涉及求解三角函数解析式的问题，务必小心，因为求解三角函数解析式准确与否直接关系到下一步的解题，另外，需要注意题目隐含条件的处理,防止出现丢根或增根现象.一,大题小做考点2三角恒等变换与解三角形女 题 题 型 分 析在处理三角恒等变换与解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积时，可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为

10、角的关系，有时也需将角的关系转化为边的关系.解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或“已知一条边的长度和它所对的角，再有另夕L 个条件，求面积或周长的值”.解决这类问题的一般思路是：(7 注部转化为角的关系，建立函数关系式，如 y=/si n(3 0)也从而求出范围，滋惘余弦定理以及基本不等式求范围;(缄具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.小 做 拆 解 技 巧庖丁解题高考真题过程拆解(2 0 1 7 年 全 国/卷 /比 的 内 角 的 对 边 分 别 为 她 G 已知 4 8(、的面积为a.3sinA求 si n H si n C,若 6

11、c o s氏os 求 力 及 7 的周长.1.由三角形面积公式建立等式J ac si n 媪，再利用正弦定理将边化成角，从而得出si n Bsin。的值.2 .由 c o s Bcos C 和 si n 8 si n。的值计算出c o s(8 心的值，从而求出角可根据题设和余弦定理可以求出儿和b+C 的值，从而求出力%的周长.答题模板解：(1)由题设得J ac si n B=-.1 分 得 分 点。即J c si n 庐天片.1 分 得 分 点 由正弦定理得；si n C si n 8 喘 器.2 分 得分点故 si n Bsin C 4.1 分 得 分 点 由题设6 c o s氏o s。=1

12、 及中结论得c o s Bcos C-si n 康i n即 c o s(如.2 分 得分点所以6 喈，故 4 号.1 分 得分点由题设得/c s i n 4 旦 片 即秘书.2 分 得分点由 余 弦 定 理 得 即(+*c=2sin/+2sin845=2sin 4+2 s in g-/l)再利用两角和与差的IB玄公式化简，根据三角函数的有界性求解.解:由已知得（2a切）*a%26切）b=2c c,即 a2+lS-d=-ab,.a2+b2-c2 1.尸 27r,cos C-2ab 二5“一3，（2）c=V5,:啖*嚼sink smB V 3TZ a s in 力/N sin B.设加。的周长为/

13、,贝！|1=a+b+csixx J2sin 8六/5 2 sin J2sin（4）A/3之sin 力+2sin cos J-2cos sin=sin ANJCOS A/3之sin（4号）人区:44,：2V5 2si n（4号）A/5W2 动，力比,周长的最大值为2A/3.突.破 针对创炼1.在极、中，角,4屏的对边分别为a,6,c,且singM）书,cos（留=f,a=5,求b+c的值.【解析】：singA4）=cos 4,.：cos/专.又 r04n,.：s in，萼.cos（n-B）=cos 8=3,且 0 Bn,由正弦定理得嘿=7.由余弦定理 K=4+c 2accos 打得,4925+/

14、5G解得c-8或片-3（舍去）.；b W ,cW.+c=15.2.如图，某立柱5高4米在柱顶测得地面上两点的俯角分别是30,45。，又测得乙如=30。，求,4,6两点间的距离.CB【解析】：/腼 斗0-45 M5,:在 RtZ8曲中，及X X tan 45 N（米），又丁/力切项）。-30 40,.:在 RtZU或中,4M X tan 60 WV5（米）.在/初中，AB=BO+ABBD*AD*COS ZADB 42-2X4X4V5XCOS 300二16.故/仍N（米）.3.已知函数f(x)cos-(3 X 哈)(其 中 3A),x R)的最小正周期为2 7.设a e 0,且f(。)与求cos

15、a的值.【解析】因为Q r)之cos 3x)y os(2 3 x H L14 O所 以 啮 T2，因为所以3 4.所 以/(4)mos(a5),1考所以 cos(a)q.因 为 一喷所 以 嗯 金 耳 等，D O 3所以s in(a墩等故 cos s B,所以gsin B当cos B,所以tan B二 班.由知ta n庐/，所以sin B吟c o s庐苧.由正弦定 理 熹 嗫 得，。岑噫岑,又因为sin J-V2cos B当,所以48。的面积 Acs in A=X-X/S6.在力6C中，角.1,6。的对边分别为a,8,c,已知ta n力 什an g/5(ta n力tan CT).求角4的大小；

16、若6 2求力比 面积的最大值.【解析】rtan A t.9n t,in Jian 1 tantanc：tan(4+6)=V5.又：力第+O ii,：ta n屈%I:0豕丸,：娉.在 中,由 余 弦 定 理 得cos 8史 密W，.：a：+c：=acM.丁，：acW4,当 且 仅 当a=c=2时等号成立.A T的 面 积S acsin吟X44电.：他,面积的最大值为其 恭思维京篌高考卷中的三角恒等变换和解三角形综合的试题，一般在解答题的第一题或第二题的位置，属于送分题目，解题时需要认真仔细.范围问题、三角形面积问题、最值问题等，都是解题过程中常遇到的问题,在解这些问题时，不仅要认真审题，牢记公式

17、，准确变形，还要规范解题步骤，完善解题过程，突出重要解题步骤，不可图微式解题,防止因为步骤不完整丢分.大题小做考点3三角函数、解三角形与平面向量的综合大 题 题 型 分 析关于三角函数、解三角形与平面向量的综合题目，常见的解题思路是:首先依据所给的向量和平面向量的运算性质彳导到相应的函数表达式;然后根据三角公式化简函数表达式;最后结合题意，确定所求解的结果.解题关键是正确得到相应的函数解析式.容易出现的丢分原因是步骤不完整、三角公式使用错误等.小 做 杯 解 技 巧庖丁解题高考真题过程拆解(2017 年江苏卷,16)已知向量 a o s x,sin%),Z)=(3,-V3),e0,ii.若a也

18、求x的值；记f小a b,求/U)的最大值 和 最 小 值 以 及 对 应 的x的值.1.利用向 量 平 行 的坐 标 运算 得到 关 于sinX.COS 3的等式.2.利 用 同 角 三 角 函 数 的 关 系 求 出ta n的值，再求 出”的值.3.利 用 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 运 算 得 到/%)的解析式,再利用三角恒等变换化简.4.利 用 函 数KS4COS(的图象与性质求解.答题模板评分细则解：(1)因为 acos x,sin x,b=,-3),a/b,所 以rG c o s产3sin x.2分 得 分 点 本 题 满 分14分.第问踩点说明(针对得分点四：若 cos x

19、=0,则 s in x=0,与 s in2-cos2l 矛盾，故 cos B O.于是t a n户号.2 分 得分点又因为%e 0,M ,所以x 专.2 分 得分点O（2）/（M=a b=（cos%s in X）（3,-）3cos -/3s in产2VJcos（x 5）.3 分 得 分 点 因为x e0,n,所 以 嗯 e 於.从而TW c o sM）号,.3 分 得分点于是，当 嗯 吟 即 X加时，中）取到最大值3；当 樽=”,即 X丹时,&）取到最小值2/1.2 分 得分点O O正确利用向量平行的坐标运算得到75cosX 3s in x 得 2 分（针对.说明了 cos B O得 1分彳导

20、到t a n 尸 巧 得 1分（针对）.得 到 X专 得 2 分（针对.第问踩点说明（针 对 得 分 点 您 飒：利用数量积运算正确得到x）的解析式并化简得到 Hx）2V5cos（x W）得 3 分（针对.计 算 出 的 取 值 范 围 得 1分，计算得到cos（x 讶）的取值范围得2 分（针 对 劭求 得 X）的最大值及对应的*的值得1分，求得/U）的最小值及对应的x 值 得 1分（针对.R导向训练1.设向量加X2s in%V5cos x),Xs ing-x),s in x),且函数/(x)招 尤 os，.求函数/U）的最小正周期和单调递增区间；若 O Wx W,求函数&-）的最值及取得最值

21、时相应X 的值过程导引解析利用平面向量数量积的坐标运算，化简函数解析式，然后确定其最小正周期.解:根据已知/O N s i n x s ing-x）ZJs in xcos x 先os-之s in 吊景侬 x-|s in x）45s in xcos 才 mos%W3s in 2x 在os 2x 2s in（2x）,所以函数 心）的最小正周期 用5.由 W 2 x g W *2 M （A-GZ）,L o 2解得近xW A n（4C Z）,3 o所以函数4X）的单调递增区间为%n （A-eZ）.若 o w 后 5则3 2 x专在1O O O当 X?时,/（力3 玄当目时,4 才）由二 T.所以当X邓

22、寸,/（力皿2 当 日 时/（X）n i n=T.利用正弦函数的单调性确定所求函数的单调递增区间.结合给定的自变量的取值范围 确 定 落 2嗯 称，然后求出o 6 6心）的最值.2.已知向量初2s in%,s in x-cos.)Z/7(V3CO S A,s in x A:os x),记函数/(A)=m n.求函数/（X）取最大值时A 的取值集合；设侬、的角/U C 所对的边分别为她c,若/（O=2,C=75,求A9C 面积的最大值过程导引解析利用平面向量数量积的坐标运算,化简函数解析式彳导到函数/(x)工sin(2x).解:由题意知(X)二 加 nNV5sin xcos x in-co s、

23、W3sin 2x-cos 2产2sin(2x当 取 最 大 值 时,sin(2x?)=l,此时号(MZ),所 以X的取值集合为x/x4It与Ad z).因 为RO引 所 以 由 得sin(2片)=l.又因为o/2o s2彳八 )5k因 为xCR,所 以/*)的最大值 为 丝 与 厕k=.由知,&)亭sin停4 T,所 以 用)号sin停 于 畀，化简得s i傍4考因为所以合号5备.即耳解得4咨er-ii f x 2 b2+c2-a2 8+C2-40所以C O S六 方=2%1 X 2伍,化简得 cMc-32R,即 c=4.所 以 通而=|画 园c o s午X X 2或 乂 样 尸 2.已知向量

24、力cos%cos(x g),V5s in x A:os x,2s in x),且满足/(x)二 川 .6求函数/U)的对称轴方程；将函数/(X)的图象向右平移泞单位长度得到虱X)的 图 象 当0,n附 求函数内)的单调递增区间.【解析】4方 二 加n=cos MVS s in x抬os 力也cos(x)s in x夕cos x s in(x崂)&in x cos(x)必汨(2万 令).o由2 x.由 K冬M Z)得，樗 堂MZ).所以函数/(x)的对称轴方程为“丹丹(MZ).4 O虱x)2s in2(嗔*如 能 崂，由 7 2 M W 2 x T w *2 4 K (M Z)得，三十k M x

25、 W+k”(X-6Z).o 3又因为XG 0,K ,所以0 W后料猾n,3 o所以函数g)在0,n 上的单调递增区间为%，吃n .3 o3.已知向量/Heos 41）/,c,且/（0=T，a N,Z 4欧的面积为2 6,求 边c的大小.【解析】/（x）气 os Ms in Jeos x-s in xcos 7）6 61 2 b.方cos片 方s in x cos xW（cos 2x 1）s i n 2x当 os（2 吗）*.由2kn W 2 x号W 2 A n r（生与得/耳的单调递减区间为即回 与（右。（2）:V（0*o s（2。号）*W：cos（2 片）=T.又:,用（0户胃7 s 鸟 a

26、bsin C*a b=Q Aab=8.：2=2,：加4.由余弦定理得/=才+斤-2/）（；05 C=.：c=2V3.4.已知函数/=2 c o s&号）（0 W*W 5）,点4 8分别是函数片七）图象上的最高点和最低点，。为坐标原点.求点4 的坐标以 及 市赤 的值；设点4 8分别 在 角 ,队。/e0,2 n ）的终边上，求s in-20的值.【解析】：后5,.：长 白 号 W?3 6 3 6 :T W e o s x号）号.6 3 L当9号号即.时，小）取得最大值1；当十号=“，即 g时,&）取得最小值-2.：所求的坐标为/1（0,1）以4,-2）,则工?40,1）,赤 巾-2）,.：6？

27、丽=2：,点J（O,1）,M -2）分别在角a,（%C 0,2 n ）的终边上，.T T .。西 Q 2V5.a s in P =c o s p.s in 2 jS =2s in 万 cos =2 X(T)X 等=总，cos =2cos2 s r t X(等)2-1.：s i吟2F)r in(：2 考 X(泠爷5.已知向量/w=(V3s in(2 n-x),cos x),s in砥-x),cos(n*x),函数 f(x)=/if n.求函数/U)的单调递增区间和对称中心；设/比、的三个内角.4,瓦。所对的边分别为a,6,c,且/5 6=7,s in A+s i n。=若，求48，的面积.【解析

28、】公)=卬 W5s in(2 n 一 犬)s in(手-x)3 s x cos(n 取)/3 s in ACOS X F O S*XVs5 i.n 2o x 1c os 2o/二1s in(2)-i.当 2 0 -W 2XT近2 Z 号(MZ)时,1/(力为增函 数 即0 xWC号(攵夕)，Z O L O 6.：尸外)的单调递增区间为伙n 项 依 Z),对称中心是 目 哈,)伏ez).0 5 Z 1Z Z(2)由/(而当导/(而f in(28q)WW，：s in(2HW)=l.6:豕 n,.：/3 Q+C y/3.1 o14-7 x,一叱可3.由余弦定理总君行-2a ccos 8 得方4 a+

29、d)2ac2accos Z5BP 49-169-3a c;/.ac=0,acsin 吁X 40X 810V l6.设向量片(JSsin%,cos x),qXcos(-x),cos(x-2 冗),函 数/(x)+q 求 函 数/的最小正周期；已知MC中 角4 6 c的对边分别为a,b,c,若殴 为 气 求a的最小值.【解析】由题意知,/(x)=V5sin xcos xHos%考sin 24+。，2储(2上书号,4L O Z：/(x)的最 小正周期为兀.:飞)=sin(代)修接.：sin(4q)=L：FC(0,在/比中，由余弦定理得，1=&+6 abecss 具。+靖-3儿，由 b+ct 知,/cW(竽).:当且仅当b=c=时 拉、取最大值，此 时a取 最 小 值1.家思维建篌三角函数、解三角形和平面向量相结合的题目，以平面向量为载体，以三角公式为工具，以三角函数图象为依托,全面考查有关面积、三角函数的单调性、最值等问题.解题过程中或因公式记忆不牢而导致错误,所以涉及一些范围问题时，处理务必小心.注意对题中隐含条件的处理，这是防止产生增根或失根情况的关键.