2023届高三数学小题专练——三角函数综合（含解析）.pdf

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1、一、单选题1.已知函数，若/。）=忘：05武 （0,7）的图象与函数 =1211彳的图象交于4 8 两点,则 A04B（O 为坐标原点）的面积为（）A.叵 B.C.红 D.叵2 2 3 42.某人的血压满足函数解析式/（f）=24sin（160m）+1 1 5,其中/为血压，为时间,则此人每分钟心跳的次数为（）A.60 B.70 C.80 D.903.达 芬奇的经典之作 蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对 蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B点,测得如下数据：AB=

2、6cm,B C =6cm,A C=10.392cm（其 中 立 a 0.866）.根据测量得到2的结果推算：将 蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）4.如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确 的 是（）（cm）A.该质点的振动周期为0.7s B.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和（）.5s时振动速度最大 D.该质点在0.3s和0.7s时的振动速度为05.动点P（x,y）在+/=4 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间f=0 时，点则当041412时，动点P 的横坐标x 关于，（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A.0,2 B.0,5

3、C.0,2和8,12 D.0,5和11,126.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度,T T制下，角。的面度数为?，则角的余弦值为（）A.-3 B.-C.D.在2 2 2 27.在两个弹簧上各挂一个质量分别为和朋2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间f （s）时离开平衡位置的位移s/（c m）和S 2（c m）分别由下列两式确定：6/=5 s i n（2f+）,S 2=5co s（2f-?J.则在时间

4、，=当 时，门与S 2的大小关系是（）A.S1 S2 B.S1/3 D.4/611.如图所示，扇形OQP的半径为2,圆心角为?，C 是扇形弧上的动点，四边形ABC。是扇形的内接矩形，则 的 最 大 值 是（）A.也 B.2后 C.G D.12.下列函数中，同时满足：在（0,上是严格增函数；以2万为周期；是奇函数的函数是（）A.y=sin（x+）B.y=cosxC.y=tan D.y=-tanx1 3.电流强度/（A）随时间r（s）变化的关系式是/=5sin（100R+。），则当”募s 时,电流强度/为A.5A B.2.5A C.2A D.-5A1 4.某城市中一年12个月的平均气温与月份的关系

5、近似地用三角函数y=a+Acos乡（x-6）（x=l,2,3,.2）来表示，已知6 月份的平均气温最高，为 28度.12月份的平均气温最低，为 18度.则 10月份的平均气温为（）度A.20.5 B.21.5 C.22.5 D.23.51 5.己知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则 第 10分钟时他距地面大约为（）A.95 米 B.100 米 C.105 米 D.110 米16.“牵星术”是古代的航海发明之一，在 郑和航海图中都有记载.如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组

6、成.要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）.某航海观察员手持边长为20cm的牵星板，绳长70cm,观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（参考数据：tan 100.1763,tan 150.2679,tan 20 0.3640,tan 25 0.4663）（）A.0,10 B.(10,15 C.(15,20 D.(20,2517.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约

7、，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（）A.10分钟 B.12分钟 C.14分钟 D.16分钟18.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每 30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则 10分钟后试卷第4 页，共 8 页A离地面的高度为（）A.43 米 B.78 米 C.118 米 D.121 米19.某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地

8、面120米，能够看到方圆4 0 公里以内的景致.某乘客观光3 分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：0 7 1.414,621.732）A.50 B.38 C.27 D.1520.小 说 三体中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小 刘 是 三体的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB,AC和优弧8 C 围成，其中BC连线竖直,7A8,AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为:，则8SNR4C=（）.4A.1725D.B.超757二、填空题21.如 图，某市在进

9、行城市环境建设中，要把一个四边形ABC。区域改造成公园，经过测量得到 A8=lkm,BC=2km,CO=3km,A D=4 k m,且NA8C=120。，则这个区域的面积是 km2.22.如图，射线。4和0 8均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中产，。分别在射线04和0B上羟测量得，扇形OPQ的圆心角（即ZPOQ）为 手，半径为1千米为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路M N,分别与射线0 A,。8交于M,N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S.设/P0S=a（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计，则公路MN长度的最小值为 千米.23.摩天轮的主

10、架示意图如图所示，其中。为轮轴的中心，距地面42m（即。M长）,摩天轮的半径长为40m,摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点例为吊舱的初始位置，经 过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM=8P=2 m,则产距离地面的高度h为 m.24.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫试卷第6页，共8页汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）记录表.时刻0：0 0 3：0 0 6：0 0 9：0 01 2：0 01 5：0 01 8：0 0 2 1：0 0 2 4：0 0

11、水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0试用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值y 与时间 0,2 4 ）的函数关系,则 这 个 函 数 关 系 式 是.2 5 .某城市一年中1 2 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数7Ty =a +A c o s -（x-6）（4 1,2,3,，1 2）来表示，已知6月份的月平均气温为2 8；O1 2 月份的月平均气温为1 8 ,则 1 0 月 份 的 平 均 气 温 为 .2 6 .如图，摩天轮的半径为50m,圆心。距地面的高度为6 0 m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 1 5 m i n 转动一圈.游客在糜天轮的舱

12、位转到距离地面最近的位置进舱.游客进入摩天轮的舱位，开始转动5 m i n 后，他距离地面的高度为 m.2 7 .如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为?）而 网（0 4 3）（其中记为不超过x的最大整数），且过点 P（专,3）若葫芦曲线上一点到y 轴 的 距 离 为 华，则点M 到x 轴的距离为2 8 .水 管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况，如图所示)，这就要精

13、确计算带子的“缠绕角度。指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面A 8 Q 9 时的ZABC,其中A 8 为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1,水管直径为2,则“缠绕角度 a的余弦值为.2 9 .若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数：力(x)=si n x+c o sx；右(x)=&s i n x+&；/(x)=si n x；(4)力(x)=&(si n x+c o sx).其中“同形”函数有.(选填序号)30 .已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于5 2 米.若该小区内某居民在

14、距离楼底2 7米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为4 5。，则该小区的住宅楼楼间距实际为 米.试卷第8 页，共 8 页参考答案:1.B【解析】联立函数可求出A,B坐标，即可求出面积.【详解】由题意有血c o sx=t an x 有 夜c o sx=s0,c o sx有0（1-si n?x）=si n x ,解得si n x =或-百（舍去），2由X（0 可 得X=f或 手，4 4则点A的坐标为（彳,1）,点8的坐标为（苧1）.4 4线段AB中点的坐标为（W，0）,则钻的面积为?x x 2 =W.2 2 2 2故选：B.2.C【解析】根据函数的周期为丁 =臼

15、2 4 ，频率/=上1求解.co T【详解】由题意得：函数的周期为7=岩=上，1 6 0万 80所以频率/=3=8 0,所以此人每分钟心跳的次数为80.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的周期，属于基础题.3.A【解析】由已知A B =B C =6,设 加C =2 9.可得si n。=之詈=0.86 6.于是可得。，进而得出结论.【详解】解：依题意A B =B C =6,设Z A B C =2 6.贝lj si n0 =%=（）.86 6.62：.0 =-,2 0 =.3 3设 蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.则a+M=江,故 选:A.答案第1页，共1 5页【点睛】本题考查了

16、直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4.B【分析】根据简谐运动的概念判断A B,运动曲线与速度的关系判断CD.【详解】由图象可知周期是0.8s,A 错，振幅为5cm,B 正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在0.1s和0.5s时振动速度为0,C 错，质点在0.3s和0.7s时的振动速度不为0,D 错.故选：B.【点睛】本题考查简谐运动的图象，考查三角函数图象的物理意义，属于基础题.5.C【分析】由题意初始角为-g,尸 点 终 边 对 应 的 角 根 据 三 角 函 数 的 定 义 得3 6 3X=/Q）=2COS%=

17、2COS（L）,再求得函数的单调递增区间，根据范围得到所求.【详解】f=0 时，点初始角为-2 因为旋转一周用时12秒，所以角速度0 =工=9,所以+d =12 6 3 6 3根据三角函数的定义，x=f（t）=2cos%=2cos（今一g.要求横坐标x 关于r（单位：秒）的函数的单调递增区间，T T 7 T则令 71 +2 k1 t-4+12A:/12A:+2,k e Z ,6 3给女赋值，且o釉1 2,贝 I 魄出2或8麴 1 12,所以单调递增区间是 0,2 和 8,12故选：C6.B【解析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角夕【详解】由面度数的定义可知2 一万,即。=彳，r-7 3

18、24 1cos 0=cos=.故选：B答案第2 页，共 15页7.C【解析】将，=与2乃代入求值，可得s/=s2【详解】当 时，s/=5sin(2 x M +g =-5,S2=5cos(2x4-g =-5,.s/=s23 V 3 67 133)故选：C8.C【解析】求得P（x,y）中y 关于时间f 的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】设 P（x,y）,则 y=45+40cos（葺 f）=40cos/r+45（r为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.对于A 选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每 6 分钟转一圈，所以经过3 分钟，点 P 首次到达最低点，A 选项正确.对于

19、B 选项，当 f=4 时，y=40coS y+45=25；当 f=8 时 y=40cos与+45=25.所以第 4分钟和第8 分钟点P 距离地面一样高，B 选项正确.对于C 选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每 6 分钟转一圈，所以第7 分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4 分钟，根据A 选项可知，经过3 分钟，点 P 首次到达最低点，所以第 1 分钟至第3 分钟，摩天轮高度降低，第 3 分钟至第4 分钟，摩天轮高度上升.所以C 选项错误.TT TT 1 TT对 于 D 选项，由40cos/+45N65得cos,其中0 M Y 6,所以0 4 4 4 2 万，故3 3 2 30 4”曙 或 节

20、 喙 42%,B|J0 r 1 5 r=20,NC=3()o,ZAOC=120。,所以 NC4=30。，所以 4)=CD=20,在RtAABD中，4B=20 xsin600=10G 米.故选：CII.A【解析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.【详解】0如图，记N C O P =a,在R/AOBC中，OB=2 cosa,BC=2sina,在 RACMD 中，OA=B D A =昱 BC=巫,布 a,设矩形ABC。的面积为S,S=AB-BC=(2cos0,0,*0,2乃)，根据题意求得各参数得解析式，然后计算/(10)可得.【详解】

21、设该游客在摩天轮上离地面高度/)(米)与 时 间 r(分钟)的函数关系为/(/)=A sin(a+e)+B(A 0,(y 0,9e0,2;r),由题意可知A=60,3=135 60=75,7=3 0,所以。=工，即0)15/(/)=60sinfj|z+j+75.3 7 7 又 0)=135 120=1 5,得sin=-l,故*=*，所以 7(f)=60 sin 舟+75=-60 cos 含 +75,所 以 川 0)=-60*8 5与 +75=105.故选：C.16.C【分析】先由题中数据计算眼睛距离牵星板的距离，记北极星眼线与水平线的夹角为。，由题中数据求出tan。，进而可得出结果.【详解】由

22、题意可得，眼睛距离牵星板的距离为d=，7。2一(段 J =40Gcm,记北极星眼线与水平线的夹角为6,贝 ij tan 6 =型=走 a 0.2887,d 40V3 6又 0.2679 0.2887 0.3640,tan 15 0.2679,tan 20 0.3640,所以 15，,如图所示，求 出1 0分钟旋转的角度NCOB，得N D C O,从而求得0。后可得C点高度.【详解】设1 0分钟后到达C点，作C D 1.08于O,如图所示460。.Z C O B=1 0 x =1 20,OC=78,3 0/.ZOCD=3 0,.OD=-OC=39,2 摩天轮进行1 0分钟后离地面的高度为：应）-

23、（7 8-3 9）=1 21 （米）.故选：D.答案第7页，共1 5页19.C【分析】作出简图，求出3 分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.【详解】设走了 3 分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为。=2 4 女3=看，OE=7?cos =55cos,14 14r-jn 1 冗 37V因为，6 14 4&3 乖）所以 COS ，2 14 23万所以 38.885 55 cos 二 /1 .由于 AC=J7,C D =3,A D =4,所以 AC2+CD2=A)2,则AC。为直角三角形.则 SABCD=5即+5 0 8 =2-sinl20+-5/7-3=+

24、3 .2 2 2故答案为：二+3.2【点睛】本题考查三角形的面积计算，涉及到余弦定理的知识点，属于简单题型.22.2也【解析】在 ROSN中，在R/AOSM中，分别表示出SM=tana,SN=t a n 1-a),从而可得=4竺D,令t=G t a n a-l 0,利用基本不等式可求得最值.J3 tana-1【详解】因为MN与扇形弧尸。相切于点S,所以OS_LMN.在RAOSN中，因为OS=1,NMOS=a,所以SA =tana.在用AOSM 中，N N O S =/-a,所以SN=.,cr),(2 n、/3(tan2a +l)n 7 1所以 M N=tan cr+ta n-a=产-，其中:a

25、 0,令1=G ta n a-l 0,贝!J tana=二(/+1),答案第10页，共 15页所以 MN=(/+3 +2),由基本不等式得MN之母丹+2=2百，当且仅当，=,即 f=2时取“=”,此时tana=6.t所以公路MN长度的最小值为2 G 千米.故答案为：2 0【点睛】关键点点睛：根据相切关系与直角三角形的边角关系，解 题 的 关 键 是 将 公 路 的长度表示为关于a 的函数，用三角恒等变换化简M N的解析式，利 用 基 本 不 等 式 求 得 的最小值.23.20【分析】以M 为坐标原点，MO为了轴，与MO垂直的线为x 轴，建立坐标系，设点8 的方程为y=A sin(s+s)+A

26、:,由题意求得解析式，当x=10代入计算即可得出结果.【详解】以 为坐标原点，为 V轴，与垂直的线为x 轴，建立坐标系如图所示，设4+左=82点5 的方程为丫=45出(5+*)+,依题意得，解得：A=40#=42,-A+k=2又因为7=12=生，所 以 止 匕 时 y=40sin(gx+/|+42,C O 6 =40sin-x 一 一 +42=-40cos-x+42,6 2)6所以当x=10时，y=-40cos(今xl0)+42=2 2,所以尸距离地面的高度=22-2=20故答案为：20.答案第I I 页，共 15页2 4.y =s i n r +5,r e 0,2 4 2 6【分析】设y与f

27、 之间的函数关系式为y =A s i n（a+9）+8（A 0,o 0）,根据表中数列可得周期和函数的最值，从而可求出A 8,。，再利用最大值可求夕，故可求解析式.【详解】设了与，之间的函数关系式为卜=4 疝（函+0）+8（/1 0,。0）,则由表中数据可得T =1 2,且A+B =7.5-A +B=2.5 故。咤屋且小I，所 以 尸|s 喉小+56因为当,=3 时，丁 =7.5,所以m x 3 +e =2 Z)+g,A E Z,6 25 7 T解得夕=2 b r,A e Z,t y =-s i n Z+5 ,其中O W/4 2 4.2 6故答案为：y =1 s i n y/+5,r e 0,

28、2 4 .2 64 12 5.2 0.5#2【分析】根据题意列出方程组，求出“，A,求出年中1 2 个月的平均气温与月份的关系，将尢=1 0 代入求出1 0 月份的平均气温值.【详解】据 题 意 得 2 8 =A +a ,1 8 =-A +a解得 A=5,。=2 3T T所以 y =2 3 +5 c o s (x-6)6jr令 x =1 0 得 y =2 3 +5 c o s -(1 0-6)62 42 3 +5 c o s =2 0.5 .3答案第1 2 页，共 1 5 页故答案为：20.526.85【分析】设距离地面的高度为=6O+5Osin3+M,求得解析式/?=60-50cos(净),

29、令.=5,代入解析式，即可求解.【详解】因为摩天轮的半径为5 0 m,圆心。距地面的高度为60m,设在，min时，距离地面的高度为 =6O+5Osin(W+0),其中一；由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 15min转动一圈，可得一=15,所以3 =二,co 15即/?=60+50sin（4+夕）,T T当f=0 时,可 得 60+50sin0=1 0,即sin=-l,解得e =一 2 4 71 24所以人=60+50sin（一 t一一）=6 0-50cos（一 t）,15 2 15令f=5,可得/i=60-50cos修x5）=60+25=85.故答案为：85.27.3【分析】根据|乂=(3-；

30、子 )卜访网(0 4*轴的距离为，即=，代入求解.6 6【详解】解：因为|)|=(3-g 程.卜 in s|(0 4 x 3 m 过 点 喂,3C 1 3 7C所 以 3-彳 3 万 6.71sm 69=3,6_.7 1 I贝 sin 6y=1,6EPsin 69=1,6jr jr所以上/=女）+,k Z,即g =6Z+3 e Z,6 217兀因为葫芦曲线上一点M到 y 轴的距离为?,6所以x=6所以3=3-1 3 乎sin （64+3）、3 _K o J/I 6答案第13页，共 15页故答案为：2 8.2/c【分析】使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，即斜边长为水管的周长为2

31、*利用展开图解决.【详解】其展开图如下图所示.,水管直径为2,则水管的周长为2 4，/1c os Z a =2乃故答案为：.2429 .【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，/(x)=s in x +c os x =Q s in(x +?,.力(x)=V (s in x +c os x)=2s in x +?四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有，所以“同畛 函数有.故答案为：.3 0 .5 4【分析】依题意作图，根据图中的几何关系解三角形即可.答案第14页，共15页【详解】如上图，设该小区的住宅楼楼间距为C9=f 米.由题意知。9=1 8 米，斯=27米,18 27+NDCE=45,二 tan ZDCE=tan(ZDCF+ZFCE)=加=1,.1 o X Z/-?即/_45f-18x27=0,解得 t=54 或 =一 9(舍)：故答案为：54.答案第15页，共 15页