2023北京丰台高三（上）期末数学（教师版）.pdf

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1、2023北京丰台高三（上）期末数 学2023.01考生须知1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2.本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效.4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分（选择题40分）一、选

2、择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集/=1 ,集合A =x -l 0）过点41,0），焦点为凡 若点3（九（）满足|4尸|=|8/|,则加的值为（）A.2 B.V 2+1 C.2 或 T D.及+1 或 1一夜7.已知函数/（x）=31o g 2 X 2（x l）,则不等式/（幻 0的解集是（）A.（1,4）B.（-8,l）U（4,+8）C.（0）5 4,+。）D.（0,4）2 28 .设双曲线（7:5年=1（“0 8 0）的右焦点为尸，过点尸的直线/平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P,与双曲线C交于点0,若。

3、为线段b P 的中点，则双曲线C的离心率为（）A.：B.c.V 2 D.2 2 59 .如图，在四棱锥P A BCO中，底面A 8CO是边长为3 的正方形，平面A 8CO,点 M为底面上的动点，用到P Q 的距离记为，若|M C|=2d,则点/在底面正方形内的轨迹的长度为（）2 兀 八 二 3 7 1A.2 B.C.J 5 D.3 41 0.市场占有率指在一定时期内，企业所生产 产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流

4、动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有 4 B,C三个企业都生产某产品，2 02 2 年第一季度它们的市场占有率分别为：4 0%,30%,3 0%.经调查，2 02 2 年第二季度Z,B,C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2 02 2 年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态,第2 页/共1 9 页最终达到“稳定市场占有率时，/企业该产品的“稳定市场占有率”为()A.4 5%B.4 8%C.5 0%D.5 2%第 二 部 分(非选择题110分)二、填空题共5 小题，每小题5分，共 25分.H.函数/(制=一

5、一+JTTT的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 -11 2 .在等差数列%中，公 差 1不 为 0,4=9,且 q,%，%成等比数列，则=；当=时，数列 凡 的前n项和S“有最大值.1 3.已知集合 A =(x,y)|x-y-m =0,x,y e R ,B =1(x,y)|x2+/-2 x+2 y =0,x,y e R j,若 A cB为 2 个元素组成的集合，则实数?的取值范围是.1 4 .已知函数/(x)=s i n 8 +聿(0 0),若，且 f(x)在区间(2,/)上有最小值无最大值，则 g=.1 5 .已知函数/(x)=a l n x (x l)2 (a e R

6、)存 在 两 个 极 值 点 芭(0.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6 .如图，已知正方体A B C。中，点 E 是 棱 的 中 点.(1)求证：8。7 平面OGE；(2)若点尸是线段8 的中点，求 直 线 与 平 面 OGE 所成角的正弦值.1 7 .在 4ABe 中，2 a s inB =.(1)求小第3 页/共1 9 页 若b=2亚,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得.ABC存在且唯一确定，求,A B C 的面积.条件：c o s C =-12；条件:条件:sin B=5注：如果选择多

7、个条件分别解答，按第一个解答计分.1 8.非物质文化遗产(简称“非遗”)是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了 1 0 0 0 名非遗短视频粉丝,记录他们的年龄，将数据分成6 组：1 0,2 0),2 0,3 0),3 0,4 0),4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0 ,并整理得到如下频率分布直方图：频率0.0 2 80.0 2 4O 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 年舲(岁)(1)

8、求。的值；(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过4 0 岁的人数为X,用频率估计概率，求 X的分布列及数学期望E(X)；(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为机，若中位数的估计值为，写出加与的大小关系.(结论不要求证明)1 9.已知椭圆:，+m=l(a b 0)过点4-2,0),离心率为孝.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P(2,机)(机 0),直线PA 与椭圆E 的另一个交点为C,O为坐标原点，8 为椭圆E 的右顶点.记 直 线 0尸的斜率为占，直 线 的 斜 率 为 左 2,求证：人,

9、%为定值.2 0 .已知函数/(x)=l n 尤+s in x.(1)求曲线y =/(x)在点(1,7(I)处的切线方程；(2)求函数/a)在区间 l,e 上的最小值；(3)证明函数/a)只有一个零点.2 1 .设 2为正实数，若各项均为正数的数列 4 满足：V e N*，都有+则称数列%为第4 页/共1 9 页P(数列.(1)判断以下两个数列是否为尸(2)数列：数列 A：3,5,8,1 3,2 1；数列 8：l o g2 5 ,兀,5,1 0.(2)若数列也 满足仇0且而石-而I,是否存在正实数4,使得数列出 是 口数列？若存在，求2的取值范围；若不存在，说明理由.(3)若各项均为整数的数列

10、 4是尸数列，且%的前加(加2 2)项 和 卬+4+4+品 为1 5 0,求%+用 的最小值及取得最小值时的所有可能取值.第5页/共1 9页参考答案第 一 部 分(选 择 题40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .【答案】B【解析】【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为U =R,A=x|-l x 4-2 令4 2 r =0,解得r =2,所以展开式的常数项为1=4 C；=2 4故选：B4 .【答案】A【解析】【分析】由a/必 可求出九=五，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.【详解】若。/人 则2 x 1 -%=0,解

11、得：2 =+V 2.所以/=a/。，而a/匕推不出丸=g.故 几=J 5”是 a I lb”的充分而不必要条件故选：A.第6页/共1 9页5.【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【详解】选项A由令y=l-x2的定义域为R，且/（一%）=1 _（一切2=2,由函数为二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以在（o,+。）单调递减，故函数在区间（o/）上单调递减，故A错误，由y =t a n x的定义域为 x|x H+E,女w z j,关于原点对称且/（X）=t a n （一 无）=一 t a n 尤=-f（x）,所以y =t a n x 奇函数，故选项B错误，由旷=。0

12、5%的定义域为R,且/（-X）=（-x）cos （一X）=-x cos X-/（JC）,所以y =x cos x为奇函数，故C错误，由丁=，+6-*定义域为R,且 f （-x）=e*+e*=fx）,所以y =e*+e T为偶函数，/xx,x2 e(O,l),且 再 X2,所以/（3）一/（）=9+6小=e”e*1 因为e（0,l）,且看尤2,因为y =e 在R上单调递增,所以e*-e*2 0，leV|e,l e2 0)过点4 1,、历)，可求出人 即 可 表 示 出 尸 再 由I A F|=|B F|,即可求出加的值.【详解】因为抛物线C:y 2 =2 p x S O)过点4 1,0),所以

13、2 =2 p=1,所以抛物线C：y 2=2 x,则呜,()1,又因为|A f|=|8尸所以=J故选：C.7.【答案】A【解析】【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，【详解】依题意/(x)=3 1og2 X 2(x l)0P =lg2 X 优=1 优=4由 2(一解得 或一。y=o 3=22画出y =log2 x,y =q(x l)的图象如下图所)由图可知，不等式/(x)0的解集是(1,4).故选：A8.【答案】C【解析】b【分析】首先根据题意得到直线/：y =(x-a加一，解得：机=2或 =T结合图象求得正确答案.，1幅%(1)，K,c),与 另 一 条 渐 近 线 联 立 得 到 根 据。

14、为线段12 2a第8页/共19页外的中点得到。匕(3 c Fbe,再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：F(c,O),平行的一条渐近线为y =x,ab则直线/:y =(x c),ab(、y =_(x -c)a=by=xaCx=2bey=-2a即尸(W(3 c be因为。为线段仪的中点，所以下工Q，2 2化 简 得 济-9=1，即1=2,则e=J5.166r a-故选：C9.【答案】B【解析】【分析】在平面中求得”点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.【详解】由于PO_L平面ABC D O M u平面A 8。，所以尸所以|DM|=d,|MC|=2 d.在正方形A B C。中，建立平面直角坐标系如

15、下图所示，“3,0),设M(x,y),则需=；，翳=：，.C=4Q M.(x-3)2+y2=4x2+4y2,x2+,2+2 x-3 =0,(x +1)2+y2=4,所以M点的轨迹是以E(-1,0)为圆心，半径为2的圆.第9页/共19页由（x +l）2 +V=4 令 x =0,解得 y =G，则 网0,-由于|。闵=1,所 以/QE F =1,j r 2 7r所以用点的轨迹在底面正方形内的长度是-x 2 =.3 31 0 .【答案】D【解析】【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【详解】最终达至 稳定市场占有率“时，/企业该产品的“稳定市场占有率 为：0.4 x（l-0.3 -0.3）+0

16、.3 x 0.6 +0.3 x 0.6 =0.52=5 2%.故选：D第 二 部 分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1 .【答案】卜付2-1且x w O【解析】【分析】根据题意得到 求解即可.x +l 02,1。0【详解】由题知：且x x O.x +l 0故答案为：x|x N-l且x/0.1 2.【答案】-2.5【解析】【分析】根 据 等 比 数 列 得 到=4%，解得1 =一2,再计算4=10，4=一1 0,%=1 0 ,6=-1 0 ,故=5时，S“有最大值.故答案为：-2；51 3 .【答案】（0,4）【解析】【分析】集合A表示直线上的点，集合B表示圆上

17、的点，根据直线和圆相交计算得到范围.【详解】集合A表示直线天一y一，=0上 点，集合8表示圆（x-l+（y +l）2=2上的点，圆心为M。,1）,半径R =0,A c B为2个元素组成的集合，故直线和圆相交,即1 =V2,解得0机-=,69 O,2/3 6 6由于。0,所以的值为4.故答案为：41 5.【答案】0【解析】【分析】求出函数定义域以及导函数/（*）=2 一2龙 一 由 1）=0可说明正确;由已知，X尸（x）=0有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出”的范围，判断；根据求根公式，解出 巧，结合中解出的a的范围，可得到 0-Q n中2=-0 =(-2)2-4 x 2x(-a)

18、=8 a +4 0,解 得 一 故 错 误;2对于，解方程2/-2x-a =0可得，x=2 /8 +4=1缶+1,因为苍 /，所以4 2 J+l，由知一,。0,所以0 2。+1 1,所以，1,故错误;2 2 2对于，由/X 0可得，即2/-2 x “0,所以 七，所以/（X）在（玉,&）上单调递增；解八x）0可得，0无为或x,所以/（x）在（O,x J上单调递减，在（乙，+8）上单调递减由知（彳2 1,所 以/（）/（1）=0，故 正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.【答案】（1）证明见解析也3【解析】【分析】（1）连接CR交G。于H

19、，连接E”，证明即可.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面。的法向量为=（2,-1,1）,根据向量的夹角公式计算得到答案.【小 问1详解】如图所示：连接C。交G。于“，连接E”，第12页/共19页DG是CQ中点，E是BC的中点，故u 平面OG石且8 A G E的法向量为=(x,y,z),则 ，-n DCt=2y+2z=0取y =-i得到=(2,-i,i),=(1,1,1)./n-D F 2 V2直线DF与平面 C,E所成角的正弦值为c os DF)=-口=6 娓=-17.【答案】（1）4 =：或4 =,；4 4（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可得s in A =

20、匹，即可求出结果；2（2）若选：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，s inC =s i n A，三角形唯一，根据两角和10第13页/共19页的正弦公式可求出sin 8=正，根据正弦定理求出a的值，根据S ABc=LbsinC即可求出面积；若选52：根据正弦定理可求出sin B=l,B为直角，三角形唯一确定，可求出C=A,即可求出1OS ABC=ac=2；若选：由sin A sin B,可知4=3或4=，有两解.2 4 4【小 问1详解】由 2a sin B=6 b 可得，2sin Asin B=6,sin B.因为sinB oO,所以sinA=1,又()A兀，所以4=1或4=生.24 4【小问

21、2详解】若选：cosC=-Y .10因为0 sin A=sin(兀 -A)，7T又一 兀 一 A兀，所以。/5,sin 5 sinC smB V5T所以 S ABC cib sin C=x 2x 2/2 x 3y=6；2 2 10若选：a=2.因为。=2加 a，所以A =；，由正弦定理一一=，一可得，.D bsinA 2也文三.4 sin A sin 6 sin 8=-=-=1a 2T T因为0 8 si n B，所以/B,此时4 =5或4 =也，24 4所以，此 时A B C存在但不唯一.18.【答案】(1)。=0.018(2)分布列详见解析，E(X)=0.6(3)n m【解析】【分析】(1

22、)根据频率之和为1求得d(2)根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.(3)根据平均数、中位数的求法求得加，并比较出两者的大小关系.【小 问1详解】(0.004 +0.012+0.014 +0.024 +0.028 +a)x l0=l,解得 a =0.018.小问2详解】不超过4 0岁的人的频率为(0.004 +0.012+0.014)x 10=0.3,所以X 8(2,0.3),X的可能取值为01,2,P(X =0)=C；x 0.3 x 0.72=0.4 9 ,P(X=1)=C 2X0.3X0.7 =0.4 2,P(X =2)=C；x 0.32 x 0.7 =0.09 ,所以X的分布列为：X

23、012P0.4 90.420.09所以 E（X）=2x 0.3=0.6.【小问3详解】加=15 x 0.04 +25 x 0.12+35 x 0.14 +4 5 x 0.24 +5 5 *0.28 +6 5 x 0.18 =4 6.4 岁.0.04 +0.12+0.14 =0.3,0.04 +0.12+0.14 +0.24 =0.5 4,“c 0.2，八 25 14 5所以 =4 0 H-x 10=4 0 H-=-m.0.24 3 32 219.【答案】（1）+匕=14 2（2）证明见解析【解析】第15页/共19页【分析】(1)根据过点和离心率计算得到椭圆方程.m 2(2)计算直线方程，联立方

24、程得到。点坐标，再 计 算 勺=一，k2=-一，相乘得到答案.2 m【小 问1详解】椭圆七：5+，=1(0匕0)过点4(-2,0),离 心 率 为 也，故 =2,g=,c-y/2，h yJa2 c2 /2，椭圆方程为+=1 -a 2 2 4 2【小问2详解】,m+八、kAP f 直线 AP：=了(+2)，联立方程m /7丁=小+2)2 2-1-1I 4 2得到(8 +/+4m2x+4 m2-32=0,A-0 加 2方程的一个解为-2,故另外一个解为 一 .8 +当 16-2加2当 x =-H J,8 +8(2,0),k=R,m(16-2w2 A 8 机-4-(-8-+-+2)=8 +W716-

25、2/8m、8 +/8 +，即C8 m8 +m216-2加 28 +m2-1,得证2 0.【答案】(1)(l+c os l)x-y-l+s inl-c os l=0(2)/(l)=s inl(3)见解析【解析】【分析】(1)对/a)求导，求出/(l)=s inl,/(l)=l +c os l,由点斜式方程即可求出答案；(2)令g(x)=/(x)=g +c os x,g (x)=-5 s inx,得出g(x)在 l,e 的单调性，结合零点存在性定理可得“X)在无 1,a)上单调递增，在x e(a,e)上单调递减，再 比 较/(e)的大小，即可得出答案.(3)利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性

26、定理，讨论0 x W l,l 乃时，f(x)的正负，即可得出证明.【小 问1详解】f(x)=In x +si n x的定义域为(0,+功，第16页/共19页故/Xx)=+cosx,/(1)=sin 1,/l)=1 +cos 1,x所以曲线y=/(x)在点(1,/)处的切线方程为：y sinl=(l+cosl)(x-1),化简得：(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0【小问2详解】令g(九)=/(x)=!+cosx,g(x)=-V-sinx,当xw l,e时，g(x)=；sinx 0,/1 1 2-I 1g(e)=+cos e-+cos =-0；当 x e(a,e)时，g(x)=/(

27、x)/(l),所以函数/(x)在区间 l,e上的最小值为/(l)=sinl.【小问3详解】/(x)=Inx+sinx,x e(0,+oo),若0 c x Wl,/,(x)=+cosx0,x(、1所以/“)在区间(0,1上单调递增，又y(l)=sinl0,f =-1 +sin(),sinxN(),则/(x)0,若%乃，因为lnxln%12-sin光，所以/(x)0,综上，函数/*)在(0,+力)有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.2 1.【答案】(1)数列A

28、是，数列B不是；(2)不存在，理由见解析；(3)答案见解析.第17页/共19页【解析】【分析】（1）根据定义验证%+1-4 2 2 是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知2+J+3 +1可推得+|一4 -j=.7rl当+时，bn+l-bn =A,这与假设矛盾，所以不存在；（3）根据已知推出a+|Na“+1,进而推出之加，2,21-13=82 2 均满足，所以数列A 是PQ）数列：对于数列8,因为5-兀 bn+A,即bn+l-bn A 恒成立.因为 bn+i=bn+3 y/n+I,所 以%也=而一心二高+21 ,1当“后 时，。,+1一d 为,所 以-4 aM i-1，am_2 am_x

29、-am-2,am_3 am_2-l am-3）,a2ay-l am-（zn-2）,tz,a2-l am-（/n-1）,第18页/共19页所以q +2m 2 23/n 1 1 59-=3U-=2 2 2 2因为数列 4,是整数列，所以册+机的最小值不小于30.八 2 1 。(假设 a”+?=30,必有I-30)解得 m 12,m 2 2 3因为机e N*,所以机可取9,10,11,12.当机=9时，=21,存在满足条件的数列.10,a?=1 4,=1 5,=1 6,。5 =1 7,。6 =18,c i-j=19,4 Z g 20,c i g=21；当初=10时，=20,存在满足条件的数列.q=6

30、,4=12,%=13,%=14,a5=15,&=16,%=17,4 =1 8,佝=19,al0 20；当机=11时，。,“=19,存在满足条件的数列.q=5,a,=1 0,=1 1,“4=12,。5 =13,c i =14,=15,=16,a。=17 ,6。=18,a”=19；当初=12时，%=18,存在满足条件的数列.q =7 ,a、=8,c i y=9 ,c i =10,c i =11,c%=12,a1=13,=14,c i g=15,%o =16,a 1 =17,6?1 2 18.以上都是am+m=30的充分条件.所以a,“+根的最小值为30,此时品的所有可能的取值为18,19,20,21.第19页/共19页