2023届高中数学大题二轮复习第10讲证明垂直-解析版.pdf

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1、第 10讲证明垂直证明垂直,一般通过降维的手段，最终归结为证明线线垂直.线线垂直是问题的核心，具体线线垂直的证明方式总结如下.(1)共面直接证明1.勾股定理:在 ABC中,A B2+A C2=B C2，则 ABA.AC.2.三线合一:在二 ABC中,AB=AC,M 是B C的中点，则A M 1 B C.3.矩形:找到或者证明一个四边形是矩形，则可得邻边相互垂.(2)性质定理转化证明1.线面垂直:若要证明的直线为异面直线，通常转化为线面垂直，利用线面垂直的性质证明线线垂直2.面面垂直：若题目中给了面面垂直，通常是要找到两平面交线和垂直于交线 的直线，利用面面垂直性质转化为线面垂直.勾股定理证明垂

2、直【例 1】如下图所示，在三棱柱A B C-A 4 cl中，A B A A=4,BC=2,A,C =2yf3,AC BC,AA B =60.证明：BC_L 平面 A C J4 .【解析】证明：如下图所示，连接A.由ABMAV N A A B UGO可 得ABA为等边三角形.4。=2 8。=2,4 3 =4,B-=C2+BC2,:.BCLAiC.又：氏:4仁 亚 八 年 二。，且 AC,4 c u 平面 ACC A，.,.BC J_ 平面 ACC A.【例 2】如下图所示，在四棱锥P-ABC。中,PZ)J_平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形g E?C 是边长为血 的 等 边 三 角 形=证

3、明：AB_L平面P8O.【解析】证明：/5。_1平面43。,且6,。匚平面48（,.。，8,。_1 8.在 Rt PBD 中,PB=0：.PD=BD=.在 Rt_PCD中,CD=I.；BD2+DC2=BC2,:.BDVCD.四边形ABC。是平行四边形，:.AB/CD,:.ABBD.PZ）J_ 平面 ABCD,AB 3=0,连接 P0.PB=PD,:.POVBD.又 底面ABC。是菱形,.BD，AC.BD平面 PAC.:.BDPC.又 PE=P F,E F /B D,E F L PC.由已知条件得BD=2,AC=2百.PA2.L pc2 AC2 32由余弦定理得cos/APC=Q 6 生一=-2

4、PAPC+32-(273)2 _ 12x3x3 3AM2=PA1+PM2-2PA-PM.cos/APM=9+l-2x3xlx =8,PA2=PM2+AM2.：.PCI.AM.AM与EE相交，且AM,E尸都在平面AEMF内，.,.尸。，平面4砌 【例4】如下图所示，在四棱锥P-ABCD中,2 4,平面ABCD,AD/BC,/BAD=120,A8=AO=2,点M 在线段 PD上，且0M=2MP,P5/平面M 4c.证明:平面阪4C _L平 面 抬。.【解析】证明：如下图所示，连 接BD交AC于点N,连接MN.PB/平面 MAC,MN u 平面 MAC,平面 P3c平面 MAC=MN,:.PB/MN

5、.由 DM=2Mp 知,DN=2NB.又 AD/BC,：.ABCN-D AN.：.BC=-A D =1.2在 ABC 中,ZABC=6 0，由余弦定理 AC?=AS?+BC2-2AB-BC cosZABC 得AC=6,即 AC2+BC?=钻2,故 A C B C ACLAOQ4，平面 ABCD,AC u 平面 ABCD,.PAA.AC.又，B4cAr=A,.AC_L平面尸A。.又；A C u平面MAC,/.平面MAC 平面PAD.三线合一证明垂直【例1】如下图所示，在四棱锥Q-A 8C D中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=/5,QC=3.证明:平面 QAD，平面 ABCD.【解

6、析】证明：如下图所示，取AO的中点为。，连接QO,CO.QQA=QDQA=OD,:.QO LAD.AD=2,QA=y/5,QO=2.在正方形ABCD中，AD=CD=2,DO=l,CO=y .QC=3,QC2=QO2+OC2,:.QOC为直角三角形且QO，OC.OC（AD=O,QO_1.平面 ABCZ）.。=平面。，平面 QAD J_ 平面 ABCD.【例2】如下图所示，在三棱柱A B C-A gG中,8g=A4=A8=8C,点。为AC的中点,&BC=90.证明:平面A8与A JL平面ABC.4【解析】证明：如下图所示，取AB的中点为。，连接。,。四,则OD/8C.在ABB1中,旦8=4 4,.

7、OB】LAB.；AB BD,OBi n BQ=旦，.AB_L 平面 4 0 0.QDu 平面 BqD,AB10D.根据已知,8C_LBg,又.ODI/BC,：.0D B B-ABcBBB,.,.OD_L 平面 A B B.又 O O u平面ABC,平面ABC_L平面性质定理证明垂直【例1】如下图所示，在三棱柱ABC 4 4 G中,6C =C ,平面A f G，平面B C G g.证明:平面AB|C J_平面A/G .【解析】证明：-：B C=c q且四边形B C B i为平行四边形,，.四边形 BCC,Bi 为菱形.；.B,C 8G.又 平面A 8 G，平面6 C G 4,平面 A fG C

8、平面 BCC&1=BC,：.BC j平面 AG.又4。u 平面平4。,平面4月。上平面4 8。1.【例2】如下图所示，底边A3CO是正方形，平面45E/_L平面A8C,4），0E.证明:平面ACE 平面BED.【解析】证明：平面ADEE_L平 面ABCD,平面AD所 c平面ABC。=AD,DE u 平面 ADEF,DEA.AD,.。_1平面43。.AC u 平面 ABC。，.D EL AC.又四边形ABQD是正方形，:.ACBD.DEcBD=D,D Eu平面 BED,B D u 平面 BED,_ 平面 BED.又.A C u平面ACE,二平面ACE J平面BED.特殊四边形证明垂直【例1】如下

9、图所示，在三三棱柱ABC-中，底面ABC是等边三角形，侧面BCG4为菱形，且平面BCC,B,1平面A8C,点D为棱AA的中点.证明:BC,平面D C B【解析】证明：设3C的中点为E,BG与4 c的交点为。，连接AE,EO,O,如下图所示.由E为BC的中点可得A_LBC.又-平面8CG与，平面ABC,平面B C G dc平面ABC=BC,.4，平面5。田.又。为BG的中点,EO/CC闰EO=gcC又，AO/CC.l.AD=g c G，.AD/ZMAD=EO.因此四边形AOOE为平行四边形,A E/)且 AE=OO,。_L平面 B C CB、,D O L BC又一四边形BCG瓦为菱形，BC 12

10、?,C.又 OO c 4 c =O,OO u 平面 D C B”g C u 平面 D C B”BC _ L 平面 D C B【例2】如下图所示，在直四棱柱ABC。-A 4 G R中，底面ABC。是菱形，民产分别为C G，BD的中点.证明：防_L平面【解析】证明：如下图所示，连接AC交8。于。点，连接OF.四边形ABCD为菱形，且ACcBD=O,二。为BO的中点./为8。的中点,;.OFDDi 且 OF=gDD-在直四棱柱ABC。4 4 G A 中,CCJ/DDCC=DD,又 后 为 CG的中点，:.CE/DD.且 CE 2.12 1：.OF/CE0OF=CE.：.四边形OCEF为平行四边形.EF/OC.在直四棱柱ABCD 4 4 C 2 中,DD,，底面ABC。,OC u 底面ABCD,:.DR IO C.底 面A3CD是菱形，.-.BDA.OC.又,DD】cBD=D，且 DR,80 u 平面 BBRD.0。_1 _平 面3 4。1。.；.EF 上平面 BBQiD.