八年级数学代数培优竞赛专题专题8分式的运算技巧含答案.pdf

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1、专题8 分式的运算技巧知识引入一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭.”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”这则笑话看起来很荒

2、谬，但却道出了解决数学问题的重要思想，那就是转化思想，转化思想在数学中有着广泛的应用，比如在进行分式除法运算的时候，首先要运用除法法则，将除法运算转化为乘法运算，然后再解决。知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果.2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找出各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；（3）通分后

3、，进行同分母分式的加减运算；（4）公分母保持积的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。3.正确进行分式的混合运算，需弄清以下各要点：（1）分清运算级别，按 照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（5）最后结果要注意化简；（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。培优学案典例学案一、分式的乘除(2)x2-4y2.2y+xx2+y2+2xy x2+xyx2-y2 _ x2+2xy+y2 x2+xy-xzx2 (y-z)2

4、(x-yy-z2 x2-xyX2-4X+3?J 4+2X-2X2 1 2 x x2 J 2x-8 ,【提示】考虑先将除法转化为乘法，再分子、分母因式分解，最后约分化简.【技巧点评】分式乘除法运算的一般步骤:利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；把分式的分予、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；约分，得到最后的结果.跟踪训练11.计算：（1）8/炉（_二）.”；（2）Jy1，+:c t z l；4y x y x-2xy+y y-xzAx 2x-6/与、x2+x-6(4

5、)-4-(X+3)E-4-4x +x2 3-x二、分式的加减运算例 2 计算：(1)A+_J_;(2)上+a_q；3 x 4 y 6xy x-4y 4y-x x-4y/八/x +2 2 ./、1 6 x i(3)-x2+2；(4)-x-1 x-3f-96+2 x【提示】异分母分式相加减需要先通分，化成同分母分式，再计算。【技巧点评】(1)“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减时，要避免出现符号错误；(2)异分母分式相加减要首先转化为同分母分式相加减，然后按照同分母分式加减法法则进行计算，其转化的关键是通分。跟踪训练22.计算：口一山；(2)F2xy 2

6、xy x2-1 -x2(3)2.x 6 x+2 x +1 x +1-7-1-7-；-x 9 x+x 6 x 2(4)._ 4 2 _x、x(-+-)+-X2-4X+4 x +2 x-2三、化简求值问题，收敛你的喜欢例 3 将代数式F 二+0 +L）化简，再选择一个你喜欢的x 值代入求值。厂一 1 x-1【提示】先将分式化简，然后选取一个使得分式有意义的X 值代入求值.【技巧点评】X的值不能随便选择，所选取的x的值，必须使得分母不为。和除数不为0,本题x的值不能取1 和 0,而往往0,1 这三个数是最容易中招的.跟踪训练33.先化简（a -犯 口）+（匕 这），然后给a 选择一个你喜欢的数代人求

7、值.a a +a四、因为不存在，所以抄错也没事例 4 有这样一道题：“计 算 士 义 里 十二二L-x的值，其中x =2 0 1 5 ”.甲同学把“X-1 X+Xx =2 0 1 5”错抄成“x =2 0 5 1 ”，但他的计算结果也正确，请说一说这是怎么回事？【提示】此类探究问题一般都先化简，再考虑接下来怎么做.【技巧点评】由于x =2 0 1 5 和 x =2 0 5 1 代入求值的结果一样，因此分式化简的结果可能与x 无关，所以可考虑先化简再求值.跟踪训练44.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3,5-2 拉,7+6时，求代数式x2-2 x +l2 x-2 的值.小明一看：“太复

8、杂了，怎么算呢？你能帮助小明解决这个问题X 1 X+1吗？请你写出具体过程。五、以退为进，先约分，再通分例 5 化简:a4+aib-a2b2-abi a3-ab2a3b+ab+2a2b2-a2b-b3【提示】直接通分，极其繁琐，显然，化简后再通分计算会方便许多.【技巧点评】类似这种分子与分母可以化简的分式，可先约分再计算，减少运算量。跟踪训练5匚 2 b 2x-2 x+2 3-x5.化间：-；-+-x 3x+2 x x 6 x 4x+3拓展延伸六、特殊分式的加减技巧例 6 计算：X 1 X+1 X2+1 X4+112 2 1-1-;x 2.x x+1 x+2x+x+2 x-4 x-3-4-4-

9、1-x(x 4-1)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)【提示】(1)若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，构成平方差公式,则可使问题简单化，避免了复杂的计算；(2)先降次，再通分，如2=l+:(3)将第一、X+1 X+1四和第二、三两项分别通分；(4)利用一=上一 ，将四项拆成八项。n(n+1)n +1【技巧点评】本题看似一个很常见的分式加减的计算题，仔细阅读才会发现题目隐藏着巧妙的解题方法，在解题过程中要仔细阅读题干，不加分析地解题，往往会造成计算上的繁琐。遇到较长的计算题，要仔细审题，根据题目特征选择适当的解题方法.跟踪训练66.计算：1 1 1

10、 ,八 1 1 1(1)-H-H-(2)-1-1-1-x 1 +x 1 +x2 x-1(x-l)(x-2)(x-2)(x-3)竞赛链接4 A Rx例 7(五羊杯试题)已知 一:=史+二 上,则/=,B=，C=.x(x2+4)x x2+4【提 示】思 路1:这个式子是一个恒等式，等式右边的分式分母的积等于左边分式的分母，如果将等式右边相加，则 左、右分母相同，分子也应相同，从 而 可 求 出 心B,C的值；思 路2：要求出三个未知数的值，取 三 个x的值代入恒等式即可列出三个关于4B,C的方程组成一个三元一次方程组，从 而 求 出 儿B,C的值.【技巧点评】本题所用的方法称为待定系数法，使用特殊

11、值代入法时需要注意，所取的特殊值的绝对值要尽可能小，但又要使分式有意义.跟 踪 训 练7c ra x2+3 A B C7.已知-=-1-1-(x-l)(x +2)2 x-1 x+2(x+2)2,其 中Z,B,C为常数，贝i A=B=C=培优训练直击中考1.计算：(1)(-，(-与+(_ 加);b a/0、(2-x)(4-x)/工-2 襦 -2+2X-8)-；-(-)-X2-16 4-3X(X-3)(3X-4)a-1 a 一4。一5 什 金 八+，）2.计算：1 V-2 _ 1(1)(1-)4-x+2 x+2(2)9-34 y-8+2-甘(3)2Q+2a-1+(Q+1)-6Z2-1a2-2a+l

12、(4)/。+2 8、a 2(-5-+-0 +-;a-2a 4一。-a(5)-，+x+-)；2x x+y 2x2、五2 2-,-x+y叶 下J x-y.先化简，再求值：（1）。内蒙古呼和浩特）有1r号/其中x=4-(2)(2 0 1 7 江苏盐城)S+(x+2-一二)其中 X=3+Gx 2 x 2（3）（2 0 1 7 山东荷泽）（1 +主 二+其中x 是 不 等 式 组 的 整 数 解。x+1 x2-l I 八4.已知2 x+l A B-=-1-(x+2)(x 2)x+2 x 2，试 求 儿 8 的值5.已知、=立 二 山+孕 L-x +1,试说明不论x 为何值，y的值不变。X 1 X -X挑

13、战竞赛1.计算:1 1 1 1 5 1;-1j-1;-x+x x+3 x4-2 x+5 x+6 x+7 x4-1 2a-x2.计算-a+x3.已知b,c均为实数,口 5-lx a b且-=-+-+(X l)(x 2)X -1 X 4-1x 2求 abc的值.专as 8分式的诏算技巧例 i.(D一 !/“!5 4)4(CXr-+1D)8例2.3+法”2,舍,一儡.例3.原 式=忌+言 (x-l)*5因为化M结果与了无关因此工=20】6和X2O51代人求值的结 果 怦.例 1gL-“Q+b A Q-b)。(一 ).1-6 Q 1例6.(1)原 式 后 一 出+击=_*+“一3 _ 1.4.x4-l

14、 山+1_ 3 I 3)3 +U-D，八.工+1 +1 *+2+1 4*4一1X3-1(2)原式.-7后-7踵 一+下 丁 一 下 于=(】十)-(1+/)+(1-)-(|-七).1 _1.IT T i 7T?rT,3=*+2-C r+D N-3-4 1一 4UTTHTTZ)(X-4)(X-3)_ _!_ 1 _(*+1)(1+2)(x-3)(x-4)_ Cr-3)Gr-4)-C r+D(i+2)(*十】)1+2)(1-3)(*-4)二 7.+1 2-3*2_(x4-l)(j-H-2)(x-3)(x-4)._TOorMO_(H D G r+2“L 3)a T),原式=(缶-占)+(-土)2C

15、r-l)-2G r+D ,(*+2 一(工一2)n Q+D C r-D 1*-2乂1上2)-4 4 4 一4(一4)丁4(一 1)刀一x1-4(4-4)12-D 1 T)原式.(十一*)+(+-7)+(-去)+(鼻-为)_ iti-f-i-x X-4 4 x(x-4)x(x+4)*例 7.1-1 0提示-:士方旺法I1,二4 J+_aHEC_ACx2+X4)?+而W fir+O(A+6)/GH4AQ，4)因为左、右两边恒等且分列相同,故分干也应恒等即(A+B)/TCT+4A-4 旦1的对应项的系数相等.(A+O IA-1.从前称|d O.修引2-1l4Am4.I O-O.方 法2,对于等式寻+

16、黠 来 说当X-1时可秘-A，号 一 B+C-5-1当42时可 傅 十=勺 弊Q 4 O髀这三个方程蛆成的三元一次方程坦可得A1B-1C=Ql.(D-36Hyi 2)Cr-yh(3)JI(4)?2,2.(1):(3)li(4)-A.x jr-1 JT 十工1化筒结果：1一。”的值只要不是0,士l即可.,1-一 1 .2r 2 Cr-1A“十】14：7 _ -T H *(x-l)(x-rl).2(X-1)*T*因此，不管T取何侦.这个代收式的值都是十.x x：w(x=2cl-D J4-2*-3(x-2)(j-1)(x-3)(x-F2)(J-3)(J-1)2_ 1 _ L.,一2 K I(x-l)

17、C r-2)C r-3)2，村二号+恐-器3*+上*+占-占占.74 5 7.*A%B 4 c7-T T T 1示：.E+K+E PA J+2A-BCL DCT L2)+OLD-2*(A 1期/-(5+B+OJT+4A2 B Yg l)g 2 A山+3Cr-2卅J 4 A+B+S 0.眇 4A-2B-C-3.Q申考昨Ln#三 省.2&当 口 而0,得”1.所以不等式ffl的解集为l+rODCHDd)S D C r-2)_(a-M vXi3-储36)上-2a 十 2fr-v(j-D C r-2).-5 zZ i_Cii-DCr-2),C H O.fa=l.所以，。+3*7.MUK*=2,3+%-c-5.1.一W：+=&方法2：取T=O.23代人等式得：；心=一6