北师大版八年级数学下册各章知识点汇总.pdf

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1、北师大版八年级数学下册各章知识点汇总第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：L三组对应边分别相等的两个三角形全等（SSS）2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全意SAS）3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全簟AAS）5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定 理：等腰三角形有两边相等；（定义）定 理：等腰三角形的两个底角相等（简 写 成 等 边 对 等 角 ）。推 论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互

2、相重合。（三线合一）推 论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定 理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成 等角对等边。）推 论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2:有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形。推 论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.反 证 法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法第1页 共16页北师大版八年级数学下册各

3、章知识点汇总四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理五、线段的垂直平分线 角平分线1、线段的垂

4、直平分线。性 质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外 心）判 定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角平分线。性 质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内 心）判 定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法第2页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总第二章一元一次不等式与一元一次不筹式组1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次

5、不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组一.不等关系 上 一 般 地 用 符 号（或）,（或）连接的式子叫做不等式0 2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.X 3.准 确 翻 译 不 等 式 正 确 理 解 非 负 数 、不小于 等数学术语.非负数 大于等于0（l）0和正数 不小于0非正数 小于等于0（40）0和负数 不大于0二.不等式的基本性质:L掌握不等式的基本性质并会灵活运用：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：如果 ab,那么a+cb+c,a-cb-c.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数不等号的

6、方向不变，即如 果ab,并 且c0,那么acbc,匕.c c（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即：n h如 果ab,并 且c0,那么acbc,一b,那么a-b是正数;反过来，如 果a-b是正数，那 么ab;如 果a=b,那么a-b等于0;反过来，如 果a-b等于0,那么a=b;如 果a b,那么a-b是负数反过来，如 果a-b是正数，那么ab a-b0 a=b a-b=0 ab a-b b（或ax 0 时，解为x 2；当a=0 时，且 b0,则 x 取一切实数；a当 a=0 时，且 八 0,则无解;当a 0 时，解为x 2；a05.不等式应用的探索（利用不等式解决实

7、际问题）列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似即：审：认真审题,找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼如 大于、小 于 、不大于、不小于”等含义设：设出适当的未知数列：根据题中的不等关系，列出不等式；解：解出所列的不等式的解集;答：写出答案,并检验答案是否符合题意.五.TB一次不等式与一次函数六.一56-次 不 等 注X I.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.派2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.派3.解一元

8、一次不等式组的步骤：Q）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b 为实数，且 a b两大取较大x axb-J-a b*xaxa-J-J-a-b两小取小x axbaxa b大小交叉中间找xb无解-J-a-b在大小分离没有解（是空集）第H 9图 形 的 好 与 除一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。关 键：a.平移不改变图形的形状和大也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）.b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。2平移的规律（

9、性质）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。注 意：平移后，原图形与平移后的图形全等。3简单的平移作图：平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。第 6 页 共 16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关 键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。2旋转的规律

10、（性质）：经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。）注 意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。3简单的旋转作图：旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度。整个旋转作图就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。三、中心对称1.中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180,如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的

11、对应点叫做对称点。2 .中心对称的基本性质：（1）.成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。（2）.成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。第7页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总3.中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。4、中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形那么这两个图形成中心

12、对称。3.图形的平移、轴对称（折 叠）、中心对称（旋 转）的对比5、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。第 四 章 因 式 分 解1.因式分解2.提公因式法3.公式法-因式分解工把一个多项式化成几个整式的积的形式这种变形叫做把这个多项式分解因式X 2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系：Q）整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘提公共因式法上如果一个多项式的各项含有公因式那么就可以把这个公因式提出来从而将多项式化第

13、8页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ah+ac-a(h+c)X2.概念内涵：因式分解的最后结果应当是 积；(2)公因式可能是单项式，也可能是多项式；(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律即：m a +m b-m e =m(a+h-c)易错点点评：(1)注意项的符号与幕指数是否搞错;(2)公因式是否提 干净；(3)多项式中某一项恰为公因式才是出后，括号中这一项为+L不漏掉.三 公 式 法上如果把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.X2.主要公式:(1)平方差公式：“2-。

14、2 =(a+/?)(&-。)(2)完全平方公式：2+2ab+b2=(a+b)ia2-2ab+b2 (a-b)203.易错点点评:因式分解要分解到底.如X4-y4=(X2 +y 2 )(2 -2)就没有分解到底.从运用公式法：Q)平方差公式：应是二项式或视作二项式的多项式二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式：应是三项式;其中两项同号，且各为一整式的平方；第 9 页 共 16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总还有一项可正负，且它是前两项幕的底数乘积的2倍.X5.因式分解的思路与解题步骤：Q)先看各项有没有公因式,若有以1 1先提取公因式；(2

15、)再看能否使用公式法；(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积否则不是因式分解；(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止(补充)分组分解法：上分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)米2.概念内涵：分组分解法的关键是如何分组要尝试通过分组后是否有公因式可提并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式X3.注意：分组时要注意符号的变化.十字相乘法：XI.对于二次三项式ax2 +bx+c,将a和c分别分解

16、成两个因数的乘积a=a a,1 2c=c c,且满足。=a c+a c彳主往写成a2 c2的形式，将二次三项式进行分解.I 2 12 2 1如：ax2+/?%+C=(Q X+c XQ X+c)112 2派2.二次三项式X2 +px+q的分解：p=a+b q=ah ix/a 九2 +px+q=(x+a)(x+b)第10页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总派3.规律内涵：理 解 把X2+px+q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数那么把它分解成两个异号因数其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同对于

17、分解的两个因数还要看它们的和是不是等于一次项系数P-从易错点点评：Q)十字相乘法在对系数分解时易出错；(2)分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确第五章分式与分式方程1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并 且B中含有字母，那么式子2叫做分式。B1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母,即未知数；分子可含字母可不含字母。2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2 .分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示B B CB、C为整式(C/0 )注

18、：(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。(2 )应用基本性质时，要注意CNO,以及隐含的B/0。(3)注 意 都，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部第11页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总分 项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。3.分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相

19、同的分式。4）最简公分母：取 各个分母”的 所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母。4.分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。5.分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。_a ._c =_a_c,_a_ +_c =_a _d =_a_db d bd b d b c be3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。4）分

20、式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。第12页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b ab a c ad be ad bc _ =-，士 一=-c c c b d bd bd bd7.整数指数幕.1）任何一个不等于零的数的零次幕等于1,即0=K a 丰0）；2）任何一个不等于零的数的-n次 幕（n为正整数），等于这个数的n次幕的倒数，即a-n=J_（”0）（2）-“=凸”an a b注：分数的负指数幕等于

21、这个分数的倒数的正整数指数幕。即3）科学计数法：把一个数表示为axlOn（14|a I 10,n为整数）的形式，称为科学计数法。注：（1）绝对值大于1的数可以表示为axlOn的形式，n为正整数；（2 ）绝对值小于1的数可以表示为axlO-n的形式，n为正整数.（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其 中10的指数是-1（4）表示绝对值小于1的正小数时，其 中10的指数是第一个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）4）正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数鬲.（m,n是整数）（1）同底数的黑的乘法：。加 =;（2 ）幕的乘方：（。小）”=。析”；（3）积的乘 方：（出?）”=abn；（

22、4）同底数的幕的除法：加-7-an=am-n（a/0）;（5）商的乘方：（*=;（b砌8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。1）增 根：分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为0；（2 ）增根是分式方程化成的整式方程的根。第13页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总2)分式方程的解法：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验 根.注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母

23、的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否 则，这个解不是原分式方程的解。3)烈分式方程解实际问题(1)步 骤：审题一设未知数一列方程一解方程一检验一写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。(2)应用题基本类型；a彳亍程问题：基本公式：路程=速度x时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c.工程问题基本公式：工作量=工时x工 效.d顺 水 逆 水 问 题v顺 水=v静 水+v水,v逆 水=v静 水-v水.顺流速度=静水速度+水流速e.相遇问题f.追及问题相遇路程=速度和X 相遇时间追及距离=速度差x追及时间相遇时间=相遇路

24、程+速度和追及时间=追及距离+速度差速度和=相遇路程+相遇时间速度差=追及距离+追及时间g流水问题h浓度问题第14页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量逆流速度=静水速度-水流速度溶质的重量一溶液的重量X100%=浓度静水速度=（顺流速度+逆流速度）+2溶液的重量x浓度=溶质的重量水流速度=训页流速度-逆流速度）+2溶质的重量+浓度=溶液的重量m利润与折扣问题 利润=售出价-成本利润率=利润+成本xlOO%=（售出价+成本-1）x100%涨跌金额=本金x涨跌百分比折扣=实际售价+原售价xlOO%（折 扣 1）利息=本金x利率x时间税后利息=本金x利率

25、x时间x（l-2 0%）第六章平行四边形一、平行四边形的性质1、定 义：两统付边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平 行 四 边 形 的 性 质（1）平行四边形的对边平行且相等。（2 ）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分。二、平行四边形的判定1、平行四边形的判定（1）定 义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形第15页 共16页北师大版八年级数学下册各章知识点汇总(2)定 理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)定 理3:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2、两条平行线的距离两条平行线

26、中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。3、平行四边形的面积：S平行四边形=底、高=2卜三、三角形的中位线1、概 念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线(共三条中位线)2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半四、多边形的内角和与外角和1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)180;多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。2、正多边形的每个内角都等于(n-2)-1807n3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等4、常4、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形第16页 共16页