北师大版九年级数学上册菱形的性质与判定练习试题.pdf

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1、 第1章菱形的性质与判定一、选择题1 .菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直2 .如图，菱形A BC D 的周长为2 4cm,对角线A C、BD 相交于0点，E是 A D 的中点，连接0 E,则线段0 E 的长等于（）D.2 cm3 .如图，四边形A BC D 的四边相等，且面积为1 2 0 cm,，对角线A C=2 4cm,则四边形A BC D 的周长为（）A.52 cm B.40 cm C.3 9 cm D.2 6cm4.如图，在 口 A BC D 中，对角线A C 与 BD 交于点0,若增加一个条件，使 口 A BC D

2、 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A.A B=A D B.A C BD C.A C=BD D.N BA C=N D A C5.如图，菱形A BC D 中，ZB=60 ,A B=2 cm,E、F 分别是BC、C D 的中点，连接A E、E F、A F,则4A E F的周长为（）BE、DA.2-/3 cm B.3/cm C.4/3 0 1 1 1 D.3 cm6.如图，在菱形A BC D 中，对角线A C 与 BD 相交于点0,若 A B=2,ZA BC=60 ,则 BD 的长为（）7.如图，在菱形A BC D 中，A C=8,BD=6,则4 A B D 的周长等于（）A.1 8 B.1 6

3、 C.1 5 D.1 48 .某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A.2 0 m B.2 5m C.3 0 m D.3 5m9 .如图，将A A B C 沿 BC 方向平移得到a D C E,连接A D,下列条件能够判定四边形A C E D 为菱形的是A.A B=BC B.A C=BC C.N B=60 D.N A C B=60 1 0 .如图，四边形A BC D 是菱形，A C=8,D B=6,D HL A B于 H,则 D

4、H等 于（）HA.-B.-C.5 D.45 5二、填空题1 1 .如图，在菱形A BC D 中，对角线A C=6,BD=1 0,则菱形A BC D 的面积为1 2 .如图，在菱形A BC D 中，A B=4,线段A D 的垂直平分线交A C 于点N,A C N D 的周长是1 0,则 A C1 3 .如图，平行四边形A BC D 的对角线A C,BD 相交于点0,请你添加一个适当的条件使其成为菱 形（只填一个即可）.1 4.如图，将两张长为9,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是.1 5.如图，在菱形A BC D 中

5、，对角线A C 与 BD 相交于点0,A C=8,BD=6,0 E BC,垂足为点E,则 0 E=1 6.菱形A BC D 的对角线A C,BD 相交于点0,E,F 分别是A D,C D 边上的中点，连接E F.若 E F=J,BD=2,则菱形A BC D 的 面 积 为.1 7.在菱形A BC D 中，N A=3 0 ,在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为1 2 0。的等腰三角形BD E,则N E BC 的 度 数 为.1 8 .如图，菱形 A BC D 中，A B=4,ZB=60 ,E,F 分别是 BC,D C 上的点，N E A F=60 ,连接E F,则A A E F 的面积最小

6、值是.三、解答题1 9 .已知：如图，在菱形A BC D 中，点 E、F 分别为边C D、A D 的中点，连接A E,C F,求证：A A D E WC D F.2 0 .如图，四边形A BC D 是菱形，C E L A B交 A B的延长线于点E,C F_ L A D 交 A D 的延长线于点F,求证:D F=BE.2 1 .如图，A BC 丝ZX A BD,点 E 在边A B上，C E BD,连接D E.求证:(1)ZC E B=ZC BE；(2)四边形BCED是菱形.D2 2.如图，在a A B C 中，NACB二 90。，D,E 分别为AC,AB的中点,BFCE交 DE 的延长线于点F

7、.(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；&(2)当NA=30时，求证：四边形ECBF是菱形.2 3.如图，AEBF,AC平分N B A E,且交BF于点C,BD平分N A B F,且交AE于点D,AC与 BD相交E于点0,连接CD(1)求 N A0D的度数;(2)求证：四边形ABCD是菱形.A D E二R 0.F2 4.如 图,在 口 ABCD 中，BC=2AB=4,点 E、F 分别是 BC、(1)求证：ABEgACDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.A _F_n/VAD 的中点.B 第1章菱形的性质与判定参考答案与试题解析一 选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性

8、质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质.【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案.【解答】解：.菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.故选D【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质.注意菱形的对角线互相平分且垂直.2.如图，菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于0 点，E 是 AD 的中点，连接0 E,则线

9、段0E的长等于（）A E n-A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm【考点】菱形的性质.【分析】根据菱形的四条边都相等求出A B,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出0E是4 A B D 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=2AB.【解答】解：；菱形ABCD的周长为24cm,AB=24-r 4=6cm,对角线AC、BD相交于。点，.,.OB=OD,；E是AD的中点,.O EA AB D的中位线,二 OE-AB-X 6 3cm.2 2故选A.【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记

10、定理和性质是解题的关键.3.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm,，对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为（）A.52cm B.40cm 0.39cm D.26cm【考点】菱形的判定与性质.【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点0,则可求得BD的长，在Rt/SAOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长.【角 孕 答】解：如图，连接AC、BD相交于点0,.四边形ABCD的四边相等，二四边形ABCD为菱形，.ACBD,S 四 边 形 A BC D二：ACBD,A y X 2 4 B D=1 2 0,解得 BD口0cm,/.0A=12

11、cm,0B=5cm,在 RtAOB中，由勾股定理可得AB=J i 22+5 n3(cm),二.四边形 ABCD 的周长=4X13=52(cm),故选A.【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应用.4.如图，在。ABCD中，对角线AC与 BD交于点0,若增加一个条件，使 口 ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()B-C.A.AB=AD B.ACBD C.AC=BD D.NBAC=NDAC【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断.【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当 AB=AD时。ABCD是菱形；B、

12、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，口 ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、NBAC=NDAC 时，ABCD 中，ADBC,ZACB=ZDAC,ZBAC=ZACB,二.AB=AC,ABCD是菱形.ZBAC=ZDAC.故命题正确.故选C.【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.5.如图，菱形ABCD中，NB=60,AB=2cm,E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、A F,则4AEF的周长为()B DEA.2/3001 B.3%&m C.4*/cm D.3cm【考点】菱形的性质；三角形的角平分线 中线和高；勾股

13、定理.【分析】首先根据菱形的性质证明4ABE丝4 A D F,然后连接AC可推出4A B C以及4ACD为等边三角形.根据等腰三角形三线合一的定理又可推出4A EF是等边三角形.根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长.【解答】解：.四边形ABCD是菱形，.,.AB=AD=BC=CD,NB=ND,；E、F分别是BC、CD的中点，.,.BE=DF,在AABE和4A D F中，AB=AD-Z B=Z D,BE=DF.,.ABEAADF(S A S),.,.AE=AF,ZBAE=ZDAF.连接AC,ZB=ZD=60,.ABC与4ACD是等边三角形，.-.AEBC,AFCD(等腰三角形底边上的中线与底边

14、上的高线重合)，ZBAE=ZDAF=30,ZEAF=60,.AEF是等边三角形.AE=、ycm,，周长是3，5cm.故选B.BDa【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理.6 .如图，在菱形A B C D 中，对角线A C 与 B D 相交于点0,若 A B=2,N A B C=6 0 ,则 B D 的长为（）【考点】菱形的性质.【分析】首先根据菱形的性质知A C 垂直平分B D,再证出A A B C 是正三角形，由三角函数求出B 0,即可求出B D 的长.【解答】解：:四边形A B C D 菱形，.-.A C B D,B D=2 B 0,V Z A B C=6

15、 0 ,.A B C 是正三角形，Z B A 0=6 0 ,.-.B 0=s i n 6 0 A B=2 X 零=/,.,.BD=273.故选：D.【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般.7 .如图，在菱形A B C D 中，A C=8,B D=6,则4 A B D 的周长等于（）DR CA.18 B.16 C.15 D.14【考点】菱形的性质；勾股定理.【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD,AO=OC,在 RtaAOD中，根据勾股定理可以求得AB 的长，进而4 A B D 的周长.【解答】解：菱形对

16、角线互相垂直平分，.,.B0=0D=3,A0=0C=4,.,.AB=5,.ABD 的周长等于 5+5+6=16,故选B.【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键.8.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A.20m B.25m C.30m D.35m【考点】菱形的性质.【专题】应用题.【分析】根据题意和正六边形的性质得出4 B M

17、G 是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m,同理可证出AF=EF=2.5 m,再根据AB=BG+GF+AF,求出A B,从而得出扩建后菱形区域的周长.【解答】解：如图，.花坛是由两个相同的正六边形围成，ZFGM=ZGMN=120,GM=GF=EF,ZBMG=ZBGM=60,ABM G是等边三角形，.,.BG=GM=2.5(m),同理可证：AF=EF=2.5(m)AB=BG+GF+AF=2.5 X 3=7.5(m),.扩建后菱形区域的周长为7.5X4=30(m),【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出

18、辅助线，找出等边三角形.9.如图，将a A B C沿BC方向平移得到a D C E,连接A D,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是A.AB=BC B.AC=BC C.ZB=60 D.ZACB=60【考点】菱形的判定；平移的性质.【分析】首先根据平移的性质得出AB幺C D,得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案.【解答】解：.将4 A B C沿BC方向平移得到4DCE,J.AB幺CD,二四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时,平行四边形ACED是菱形.故选：B.【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB2_CD是解题关键.1 0.如图，

19、四边形A B C D 是菱形，A C=8,D B=6,D H J L A B 于 H,则 D H 等 于（）【考点】菱形的性质.【分析】根据菱形性质求出A 0=4,0 B=3,Z A 0 B=9 0 ,根据勾股定理求出A B,再根据菱形的面积公式求出即可.四边形A B C D 是菱形，.,.A O=O C,B 0=0 D,A C B D,；A C=8,D B=6,.,.A 0=4,0 B=3,Z A 0 B=9 0 ,由勾股定理得：AB=32+42=5J；S 菱 形 ABco=y X AC X BD=AB X DE,.-.yX8X6=5XDH,.DH亭24，5故选A.【点评】本题考查了勾股定理

20、和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱 形ABCD=yXAC X BD=AB X DE是解此题的关键.二 填空题1 1.如图，在菱形A B C D 中，对角线A C=6,B D=1 0,则菱形A B C D 的 面 积 为 3 0【考点】菱形的性质.【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案.【解答】解：；在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,菱形ABCD的面积为：AC,BD 30.2故答案为：30.【点评】此题考查了菱形的性质.注意菱形的面积等于对角线积的一半.1 2.如图，在菱形ABCD中，AB=4,线段AD的垂直平

21、分线交AC于点N,ZCND的周长是1 0,则A C【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质.【分析】由菱形性质AC=CD=4,根据中垂线性质可得DN=AN,继而由aCND的周长是10可得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC.【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形,AB=4,.,.AB=CD=4,.MN垂直平分AD,.,.DN=AN,VACND的周长是10,/.CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10,AC 6,故答案为：6.【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线段两端的距离相等是关键.13.如图，平行四边形ABCD的对角线A

22、C,BD相交于点0,请你添加一个适当的条件AC LBD或 NA0B=90或AB=BC使其成为菱形（只填一个即可）.【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.【专题】计算题；矩形菱形正方形.分析利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可.【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,添加一个适当的条件为：ACBD或NA0B=90或AB=BC使其成为菱形.故答案为：ACJ_BD 或 NA0B=90 或 AB=BC【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键.14.如图，将两张长为9,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸

23、条垂直时，菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是15.【考点】菱形的性质.【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可.【解答】解：如图,此时菱形ABCD的面积最大.设 AB=x,E B=9-x,AE=3,则由勾股定理得到：32+(9-x)2=x2,解 得x=5,S 最 大=5X 3=15;故答案为：15.【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程.1 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AC=8,BD=6,0 E B C,垂足为点E,

24、则0E=12【考点】菱形的性质.【专题】计算题.【分析】先根据菱形的性质得AC_LBD,0 B=0 D*D=3,0A=0C=-AC=4,再 在R S O B C中利用勾股定理计算出B C=5,然后利用面积法计算0 E的长.【解答】解：.四边形ABCD为菱形，.-.ACBD,0B=0DBD=3,0A=0CAC=4,在 RtZkOBC 中,.-0B=3,0C=4,-3+4 2=5,/OEXBC,.,.OE*BC=OBOC,2 2AOE=3X4=12.5 5故答案为毕.【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对

25、角.也考查了勾股定理和三角形面积公式.16.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是AD,CD边上的中点，连接E F.若EF=料,BD=2,则菱形ABCD的 面 积 为2、历.【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.【分析】根据EF是4ACD的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解.【解答】解：.正、F分别是AD,CD边上的中点，即EF是4ACD的中位线，.AC=2EF=2M，贝U S ABCD=4A C，B D=ix 2V 2 X 2=272.故答案是：【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键.17.在菱

26、形ABCD中，ZA=30,在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为1 2 0 的等腰三角形BDE,则巳EBC的 度 数 为4 5 或105.【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质.【分析】如图当点E在BD右侧时，求出NEBD,NDBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出NDBE，即可解决问题.【解答】解：如图，二四边形ABCD是菱形，.-.AB=AD=BC=CD,NA=NC=30,ZABC=ZADC=150,NDBA=NDBC=75,；ED=EB,NDEB=120,ZEBD=ZEDB=30,Z EBC=N EBD+N DBC=105 ,当点E在BD右侧时，.ZDBE/=30,.N E BC=N

27、DBC-NDBE=45,ZEBC=105 或 45,故答案为1 0 5 或45.【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型.1 8.如图，菱形 ABCD 中，AB=4,NB=60,E,F 分别是 BC,DC 上的点，NEAF=60,连接E F,则A A E F的面积最小值是【考点】菱形的性质.【分析】首先由A A B C是等边三角形，即可得AB=AC,以求得ZACF=NB=60,然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得N A E B=N A FC,证得4AEB会4 A F C,即可得A E=A F,证得4 A E F是等边三角

28、形，当A E B C时得出4 A E F的面积最小值即可.【解答】解：当A E LB C时，,.ABC是等边三角形，.,.AB=AC,NACB=60,NB=NACF=60,；ADBC,Z AEB=Z EAD=Z EAF+ZFAD=60 +N FAD,ZAFC=ZD+ZFAD=60+ZFAD,NAEB=NAFC,在4A B E和4 A C F中，2B=NACF ZAEB=ZAFC,AB=AC.,.ABEAACF(A A S),.,.AE=AF,ZEAF=60,.-AEF是等边三角形，当 AE_LBC 时，AB=4,.AE=2V3.AEF 的 面 积 最 小 值x V 3 X X 243=343,

29、故答案为：诉.【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答.三、解答题1 9.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE,C F,求证：4ADE丝CDF.【考点】菱形的性质；全等三角形的判定.【专题】证明题.【分析】由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由SAS证明ADECDF即可.【解答】证明：,四边形ABCD是菱形，/.AD=CD,丁点E、F分别为边CD、AD的中点，/.AD=2DF,CD=2DE,.,.DE=DF,AD=CD在AADE 禾 口ZkCDF 中，NADE=NCDF,DE=DF.,.A

30、 D E A C D F (S A S).【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.2 0.如图，四边形ABCD是菱形，CE_LAB交A B的延长线于点E,CF_L A D交A D的延长线于点F,求证:DF=BE.【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】连接A C,根据菱形的性质可得A C平分NDAE,C D=B C,再根据角平分线的性质可得CE=FC,然后利用H L证明R tA C D F R tA C B E,即可得出DF=BE.【解答】证明：连接AC,四边形ABCD是菱形，二.AC 平分NDAE,C

31、D=BC,.C E A B,CFAD,.,.CE=FC,ZCFD=ZCEB=90.在 RtZkCDF 与 RtZCBE 中,fCD=CBICF=CE.,.R tA C D F R tA C B E (H L),二.DF=BE.D,A R K【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.2 1.如图，ABC丝Z X A B D,点E在边A B上，CEB D,连接D E.求证：(1)ZC E B=ZC B E；(2)四边形BCED是菱形.【考点】

32、菱形的判定；全等三角形的性质.【专题】证明题.【分析】(1)欲证明N C E B=N C B E,只要证明NCEB=NABD,N C BE=N ABD即可.(2)先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定.【解答】证明；(1)A B C gaA B D,ZABC=ZABD,.CE/7BD,NCEB=NDBE,.ZCEB=ZCBE.(2),.,A B C A A B D,.,.BC=BD,NCEB=NCBE,.,.CE=CB,.,.CE=BD；CEBD,四边形CEDB是平行四边形,；BC=BD,二四边形CEDB是菱形.【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定

33、等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.2 2.如图，在ABC中，ZACB=90,D,E 分别为AC,AB的中点，BFCE交 DE的延长线于点F.(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；(2)当NA=30时，求证：四边形ECBF是菱形.【考点】菱形的判定；含 30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质.【分析】(1)利用平行四边形的判定证明即可；(2)利用菱形的判定证明即可.【解答】证明：(1),.-D,E 分别为边AC,AB的中点，DE BC,即 EFBC.又：BFCE,二四边形ECBF是平行四边形.(2).ZACB=90,ZA=30

34、,E 为 AB 的中点，.,.CB=AB,CE=AB.2 2.,.CB=CE.又 由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，二四边形ECBF是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键.2 3.如图，AEBF,AC平分N B A E,且交B F于点C,BD平分N A B F,且交A E于点D,A C与BD相交于点0,连接CD(1)求N A 0 D的度数;(2)求证：四边形ABCD是菱形.【考点】菱形的判定.【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到NDAC二NBAC,N A B D=N D B C,然后根据平行线的性质得到 NDA

35、B+NCBA=180,从而得到N B A C+N A B D=(Z D A B+Z A B C)=l-X 1 8 0o=90,得到答案 NA0D=90；(2)根据平行线的性质得出NADB=NDBC,N D A C=N B C A,根据角平分线定义得出NDAC=NBAC,NA B D=Z D B C,求出NBAC=NACB,N A B D=N A D B,根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案.【解答】解：(1)：AC、BD分别是NBAD、N A B C的平分线，/.N DAC=N BAC,N ABD=N DBC,；AEBF,Z

36、DAB+ZC BA,=180,ZBAC+ZABD=(Z D A B+Z A B C)X 1 8 0。=90,2 2ZA0D=90；(2)证明：；AEBF,二 NADB=NDBC,NDAC=NBCA,；AC、BD分别是NBA是N A B C的平分线,/.N DAC=N BAC,N ABD=Z DBG,NBAC=ZACB,N ABD=N ADB,.,.AB=BC,AB=AD；.AD=BC,VADZ/BC,J.四边形ABCD是平行四边形，.AD=AB,四边形ABCD是菱形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键.2 4.

37、如图，在 口 ABCD中，BC=2AB=4,点E、F分别是BC、A D的中点.（1）求证：ABEgZCDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质.【专题】计算题；证明题；压轴题.【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等.第（2）要求菱形的面积，在 第（1）问的基础上很快知道4 A B E为等边三角形.这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得.【解答】（1）证明：.,在。ABCD中，AB=CD,.,.BC=AD,NABC=NCDA.y.BE=EC=BC,AF=DF=AD,2 2/.BE=DF.ABE 丝CDF.（2）解：四边形AECF为菱形，.,.AE=EC.又：点E是边B C的中点，.,.BE=EC,即 BE=AE.又 BC=2AB=4,.,.AB=BC=BE,2.AB=BE=AE,即A A B E为等边三角形，ABCD 的 BC 边上的高为 2Xsin60=73,菱形AECF的面积为2 T.【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力.(1)用SA S证全等；(2)若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB,所以4 A B E为等边三角形.