2023年1月佛山市统考高二数学（含答案）.pdf

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1、2022-2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学2 0 2 3 年 1 月 1 0 日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，直线/的倾斜角为A.C.7143 万TB.D.TCT5 461.【答案】C【解析】由图可知，直线/的倾斜角3二7 r.42.已知向量 =(4,2,3),6 =(l,5,x),满足则x的值为A.1 4C.31 4D.-32.【答案】A2B.2)()【解析】由J 九 可得7B=4 x l +(2)x 5 +3 x =6 +3 x =0,解得x =2,3.已知圆的一条直径的端点分别为(2

2、,5),(4,3),则此圆的标准方程是)A.(x +3)2+(y +4)2=8B.(x-3)2+(y-4)2=8C.(x +3)2+(y +4)2=2D.(x-3)2+(y-4)2=23 .【答案】D【解析】圆心坐标为(3,4),半径厂=；山6|=也,所以此圆的标准方程是。一3+3 4)2 =2.4 .已知向量 =(1,0,6),坂=(1,2,0),则B在Z 上的投影向量是()、A.B.C.D.1474.【答案】C【解析】b在。上的投影向量是a-h-a=5(1,0,6)10一4 ,u,4 J.5.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出

3、的2个球都是红球的概率为,，则的值为3()A.45.【答案】AB.5C.1 2D.1 5第1页 共1 3页c2 3 0 1【解析】依题意，取出的2个球都是红球的概率为尸=-=一C：+6 5+6)(+5)3.(+6)(+5)=9 0 =1 0 x 9,解得 =4.6.已知直线4 :x +2 0 1 =0与4：。l)x 即 1 =0平行，则实数a的值为C.0 或一66.【答案】C【解析】由/2，以(一a)=2 a(3 a l),且解得。=0或6V2 X27 .过点M(2,l)作斜率为1的直线，交 双 曲 线 彳 一 彳=1 3 0 1 0)于2,3两点，点A/为N8的中点，则该双曲线的离心率为B.

4、G7.【答案】B【解析】由圆锥曲线的性质可知，kOM-kA B=e2-,即2 x l =e 2 1,解得e =J L8.在两条异面直线a,6上分别取点H,E和点N,尸，使4 4 J _ a,且.已知H E =2,A F =3 ,E F =5,A A f,则两条异面直线a,b所成的角为8.【答案】B【解析】如图，作G工厂，且H G =/E,连 接/G,则四边形4 4 G尸是平行四边形，由4 4 _ L/E,A AI AG,A E Q A G A ,可得 N H _ L 平面/EG,又 F G 4 4,;.R G _ L 平面/EG,F G LE G,E G =2 FG?=EF?4加=晒,又N E

5、 H G即为异面直线a,b所成的角4 +9-1 9 1 171(或其补角)，在E4 G中，由余弦定理可得co s/及4 G =-=，/EAG=,所以异2 x 2 x 3 2 3TT面直线a,b所成的角为3 G.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.第2页 共1 3页9.对于一个古典概型的样本空间。和事件Z,B,其中(0)=1 8,(4)=9,(8)=6,M(JU 5)=12.则()_?A.事件4与事件8互斥 B.P(A J B)=-1C.事件4与事件8相互独立 D.P(AB)=69.【

6、答案】B C【解析】由(N U8)=(/)+(8)(Z3)，可得(Zn 8)=3,所以事件与事件8不互斥，A错误;n(A u 8)=(。)(Zn 豆)=(。)一(/)一(4 n 8)=1 8 -(9 3)=1 2 ,P(A UB)=-=-,B 正确；(Q)3A P A=,P(B)=-,P(/B)=L,；.P(/8)=尸(N)P(8),所以事件4与事件3相互独立，从而2 3 6_ _ 7 1事件Z与事件8相互独立，C正确；P(AB)=-P(A jB)=-=-,D错误.X2 V21 0.已知曲线。的方程为 一+”=1 ,则C可能是()25-k 9+左A.半径为J后的圆 B.焦点在x上的椭圆，且长轴

7、长为J 2 5-左C.等轴双曲线 D.焦点在y上的双曲线，且焦距为2 J 2左1 61 0.【答案】AD【解析】选项A,当2 5%=9 +4，即左=8时，曲线。：/+产=1 7,表示半径为J万 的 圆，A正确;若曲线C为焦点在x上的椭圆，则其长轴长为2 J 2 5-左，所以B错误；若曲线C为等轴双曲线，则2 5左=(9 +左)，该方程无解，所以C错误；若曲线。为焦点在y上的双曲线，则/=9 +左，2 5,其焦距为2 c =2 J。？+从=212k-1 6,所以D正确.1 1 .已知抛物线C:_/=4x的焦点为尸，过尸的直线与。交于/、8两点，且/在x轴上方，过4、B分别作。的准线/的垂线，垂足

8、分别为H、B,则()A.O A 1 O B B.若|/尸|=5,则”的纵坐标为4C.若 万 =2而，则直线4 5的斜率为2夜 D.以48 为 直 径 的 圆 与 直 线 相 切 于 产1 1.【答案】B CD第3页 共1 3页【解析】设乂），5（,%），则由抛物线的性质可知中2=（r乂%=p 2.：.O A O B =-p2=-p2/2 .c正确；设、门平-r面-w4/跖 的法向里=(/x j,z)、,-1n-AE =-X +y-z=0-7 1n-AF=-x+y=01则-4。川 1,可取=(2,4,3),所以点。到平面4 EF 的距离为=?=，所|2 J 2 9以 D错误，故选B C.三、填空

9、题：本题共4 小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3.从长度为4,6,8,1 0的 4 条线段中任取3 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.31 3.【答案】-4【解析】从长度为4,6,8,1 0的 4 条线段中任取3 条，事件总数为C：=4,其中只有4,6,1 0不能构成三角形，所以这三条线段能构成一个三角形的概率为士3.41 4.如图，在空间平移 Z 8 C 到N 8 C,连接对应顶点.设五7 =2,A B =b,A C =c,M 为 AC中点，则用基底 值 瓦&表 示 向 量 的=第5页 共1 3页_ -1 -1 4.【答案】a-b +-c2t.,.3.I .I 【解析】B M=

10、BB+BA+AM =AA AB+-A C =a b +-c.2 21 5.已知E是双曲线C:斗 一 匕=l（aO）的右焦点，P是C的左支上一动点，Z（0,2 ji）,若A 4 P Fa 3周长的最小值为1 0,则。的 渐 近 线 方 程 为.1 5.【答案】y=y/3x【解析】设双曲线的左焦点为耳，则|/用=|PF|=|尸用+2，所 以 尸 尸 的 周 长 为 AP +AF +P F =AP +AF +2a+|PF|2 AFt+2a=2 1 1 2 +/+3 +2a=2yJ a2+5 +2a,当且仅当点尸为线段4片与双曲线的交点（如图）时等号成立，则由题可得2 /打+1 5+2。=1 0,6+

11、15=5-两边平方，解得。=1,所以双曲线的渐近线方程为y =x,即 卜=岳.1 6 .圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝心与影片门耳应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C:二+竺 =1，椭圆的左右焦点分别为，尺，一束光线从居发出，射向椭圆位于第一象限上的尸点后4 3 1 2 24反射光线经过点片，且t a n/PK =,则 4P g的 角 平 分 线 所 在 直 线 方 程 为.1 6.【答案】4 x 2 y 1

12、=02 t a n f）4【解析】设P（X o J o）（X o O，MO），设/F P F,=29,则 t a n 2 6 =-厂=一，整理得：1-t a n 0 3第6页 共1 3页2 t a n2 +3t a n 9-2 =0,(2 t a n。一l)(t a n 6 +2)=0 ,显然9为锐角，故t a n 6 =；.由椭圆焦点三角形的面积公式可得：SFIPF2=b2 tan0=cyo,解 得 与=|,从 而x 0=l,.尸 1：，过点P的椭圆的切线方程为:+=1,其斜率为-g.又/耳袖的角平分线与点尸的椭圆的切线垂直，所以角平分线的斜3率k=2,所以角平分线所在直线方程为y =2(x

13、 1),整理得：4 x-2 y-l=0.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(1 0 分)Z 8 C的三个顶点分别为/(1,2),5(3,0),C(4,5),是Z8的中点.(1)求 边 上 的 中 线C M所在直线的方程；(2)求 8 C M的面积.5-11 7.【解析】(1)由4(1,2),3(3,0)可得中点河(2,1),故 左 旧=二 =2 .3分4 2因此边Z6上的中线GW所在直线的方程为y l =2(x 2),整理得2 x y 3=0.5分(2)由(1)知直线C W的方程为2 x-y 3=0,因此，点8到 的 距 离 为d|2 x 3-

14、0-3|_ 33亚回(了 飞 丁.7分又|CM|=J(4-2)2+(57)2 =而=2旧 .8 分所以 8 C W的面积为5=/四|=；*26=3.1 0分1 8.(1 2 分)每年的1 1月9日是我国的全国消防日.1 1 9为我国规定的统一火灾报警电话，但1 1 9台不仅仅是一部电话,也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特 在1 1月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和

15、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为25一，乙每轮答对的概率为P，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为一.31 2(1)求p的值；(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.18.【解析】(1)设4，4分别表示甲两轮猜对1题，2题的事件，片，坊 分别表示乙两轮猜对12 1 4 60）,四点片（一 1,1）,鸟（0,百），鸟舄卜,一|）中恰有三点在椭圆C上.（1）求。的方程；（2）若斜率存在且不为0的直线/经过。的 右 焦 点 且 与C交于/、8两点，设/关 于x轴的对称点为。，证明：直线8。过x轴上的定点.1 9.【解析】（1）由于4，与两点关于x轴对称

16、，故由题设知C经过鸟，鸟两点，1119又由知，。不经过点6,所以点2在C上，.1分a b-a 4b7?=L a2=4因 此“解 得，.3分1 9 ,b2=3故C的方程为工+广=1.4 3.4分第8页 共1 3页（2）由（1）知 Z7。,。），设直线/的方程为 x =+1,/（须,%），B（x2,y2）,则。（X”一乂），（5 分）2 2.Z 1由|4 3=1,得(3?2+4)/+6叼-9=0,所 以 乂+%x=m y+-6 m3m+4yty2-93 m2+4，（7 分）因为直线8。的斜率kB D=巴 士&,所以直线8。的方程为y-y2=上色之（x-x2）,8分x2-X令y=0,则一为=乂 吐

17、一2（x 一马），即x =2左?z.,.9 分马一演 乂+必有（加 乂 +1）%+（加为+1）弘 一 2小为 1 _彳，.”分乂+%乂+%所以直线8。恒过x轴上定点（4,0）.1 2分2 0.（1 2 分）如图，在多面体/8 C D E中，平面 平面N C 0 E ,四边形Z C 0 E是等腰梯形，E D U A C ,A B V A C,A E =E D =D C =LAC =1.2（1）若Z 8 =l,求8。与平面Z C O E所成角的正弦值；T T（2）若 平 面 与 平 面88 的夹角为一，求Z 8的长.2 0.【解析】（1）因为平面/8 C J.平面4 C D E,平面N B C n

18、平面/C DE =/C,A B 1 A C ,48u平面Z 8 C,得N 8 _ L平面Z C D E.连接D4 ,则N 8 D 4即为AD与平面/C O E所成角.2分在平面Z C 0 E内，过。作于尸，则C F=，D F=昱,4F=.2 2 2因为平面Z 8 C _ L平面Z C 0 E,平面A 8 C n平面4 C O E =/C，D F工A C ,。/匚 平 面2。,得_ L平面/8 C.3分连接8/，由于8Eu平面N 8 C,有D F工B F ,则8 0 =J/笈+z尸+。尸=(+(|)+今=2.4 分因此，在中，si n ZB D A-,即8。与平面/C O E所成角的正弦值为.-

19、6分B D 2 2第9页 共1 3页J（2）以/为原点，建立空间直角坐标系/-孙 z如图所示，设=3则即,。,。），C（2,。,。）“5，。,一 白 (3B E=,E O =(1,0,0),B D=I2 2)I2 2)8分设平面B D E的法向量为云=（演，乂,4）B E -m=0E D-/?=0则1 V 3即 5 否 一 供+万-4 =0须 二 令 弘=石，得加=（0,退,2。，.9 分3 V 3-x2 ty2+z2=01 V 3 a TX2 +-VZ2 =0一B D =0设平面BCD 的法向量为=（%,%,Z 2）,则 _ _ ，即 C D =0令 必=2 百，得1 =（6,2石 ），.1

20、 0 分n 兀 m-n 6 +2/J 1由于平面8D E与 平 面 的 夹 角 为 工，所以c o s.=il=/=旺，T 1分4 4 时，3 +4 己 J 1 2 +4 J 2解得/=逅，因 此 的 长 为 逅.1 2 分2 22 1.（1 2 分）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国96 0 万平方千米的大地之下拥有超过3 50 0 0 座，总长接近赤道长度的隧道（约 3 70 0 0 千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”;或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门.佛山某学生学过圆的知识

21、后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽42为 1 6 米，洞门最高处距路面4米.第1 0页 共1 3页(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧4 8的方程.(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了 2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.2 1.【解析】法：(1)如图，以圆弧所在圆的圆心为坐标原点，方方向为x轴建立平面直角坐标系,.1分设圆弧 2 8 所在圆的半径为 R ,则 4 8 =1 6,C D =4,则 J(-8,R 4),5(8,R 4),C(0,R),D(0,H

22、-4).2分在 R t Z X B。中，O D、BD?=O B?,B R(7?-4)2+82=/?2,则 R =1 0,.4 分故C(0/0),。(0,6),从而圆弧Z 8的方程为Y+V=i o o(6 W yl O).6分(2)如图，由题意知，隔墙瓦0 =2,车宽加尸=2.7分过尸作x轴 的 垂 线 交 圆 弧 于。，垂足为，则。=3.8分连接。，在 中，H Q2 O Q2-O H2,即 0 2 =1 0 2 3 2,则回.9 分微P Q=H Q-H P =M i-6 +6)2 =i o o,5分第1 1页 共1 3页故 圆 弧 的 方 程 为V+(歹+6)2=1 0 0(0 W y W 4

23、).6分(2)此货车不能通过该路口.7分由题知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，所以货车右侧的最高点坐标为(3,3.6),(9分)代 入/+(歹 +6)2 =1 0 0(0 1 0 0,因此，此货车无法通过该洞口.1 2分法三：(1)如图，以点为坐标原点，线段48所在直线为x轴建立平面直角坐标系，.1分由题意，点/,。坐标分别为(0,0),(8,4),设圆心坐标为(8,b),圆的半径为r,则圆弧Z8所在圆的方程是(X 8)2+3 6)2=/,。都在圆上,(0-8)2+(0-/)2=r2(8 8)2+(4 6)2=/，得 6 =6,r=1 0 0,从 而 圆 弧 所 在 圆 的 方

24、程 是(x-8)2+(y +6=1 0 0 ,.5分因为点Z ,故 圆 弧 的 方 程 是(X-8+(丁+6)2 =1 0 0(0 WyW 4).6 分(2)此货车不能通过该路口.7分由题知，隔墙在道路中间右侧1米，车宽2米，车高3.6米，所以货车左侧的最高点坐标为(5,3.6),.9分代入(x 8)2+(夕 +6)2 =1 0 0(0 W y W 4)后得 3 2+(3.6 +6)2 1 0 0,因此，此货车无法通过该洞口.1 2分2 2.(1 2 分)已知过原点的动直线 与圆C:x 2+V 8 x+1 2 =0相交于不同的两点/,B.(1)求 线 段 的 中 点 的 轨 迹 的方程；第1

25、2页 共1 3页(2)若直线4 ：y =心 上存在点尸，使得以点P为圆心，2为半径的圆与r有公共点，求左的取值范围.2 2.【解析】(1)由题意，圆。：犬+产 8+1 2 =0的圆心为(4,0),半径为2.1分若直线4的斜率为0,线 段 的 中 点 为(4,0)；.2分若直线4的斜率不为0,设A f(x,y),则 J“c=T，.3分即 上 =一1,得(x 2 +7 2 =4 ,.4 分x x-4设与圆。:/+/一8%+1 2 =0与(X 2)2+/=4交于点和点尸，贝ij 2 2由(：2)+y =4 ,得(3,百)，F(3,-y/3),.5 分X2+/-8X+12=0因此，线 段 的 中 点”

26、的轨迹的方程为(X-2)2+/=4(3 XW 4).6分(2)由(1)知，轨迹T即为劣弧E E,若直线，2：V =质上存在点。，使得以点P为圆心，2为半径的圆与有公共点，则当人=0时，存在圆？：(_ 2)2+/=4满足条件；.7分当人0时，只需点(3,6)至 心2号=丘 的 距 离 2,忤-向 3 6+4及即,12,得上注:.9分V F 7 T 5当左 0时，点F(3,-V3)至i j(：歹=丘 的距离d 2,N +向 -37 3-4 7 2即/L2,得 7、7 左0；.11 分V F 7 T 5ra.1VlHr/廿 FH+3/3 4 2 33+4 5/2,因此，人的取值氾围为-,-.12分5 5第1 3页 共1 3页