2023年函数的单调性知识点与题型归纳.pdf

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1、第三节福数6蝌I性高考明方向1.理解函数的单调性 最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值，运用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等.客观题重要考察函数的单调性，最值的拟定与简朴应用.2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理 名师一号P15注意：研究备熬草蠲雌於慎急求备数的是义域,备核的草惆区同是定文域的单 桶 暖同不像畀/知识点一 函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义增函数减

2、函数定义一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量X,与.当力 与 时，都有/（%）/（%）,那么就说函数人工）在 区 间。上是减函数若函数/U）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做/（幻的单调区间.注意：1、名师一号P 1 6问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？（1）定 义 中X i,X 2具有任意性，不能是规定的特定值.（2）函数的单调区间必须是定义域的子集；定义的两种变式：设任意x i,x 2 e a,切且修。2,那么/（%）一/（%2）0 o外在a,为上是增函数；%一尤2”引一/

3、但）0寸（X）在a/上是减函数.X1 一%（X1 X2）/（X i）/（X 2）。心X）在a,Z上是增函数；（X1-X2）V（X i）-f（X 2）0/X）在。,加上是减函数.2、名师一号P 1 6 问题探究问题2单调区间的表达注意哪些问题？单调区间只能用区间表达,不能用集合或不等式表达；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.知识点二单调性的证明方法:定义法及导数法 名师一号P 1 6 高频考点例1 规律方法(1)定义法：运用定义证明函数单调性的一般环节是：任取X I、*2。,且*1 0,则f(x)在区间D内为增函数;假如f 0,则/(x)在区间。内为增函数；

4、假如尸(x)WO,则/(x)在区间D内为减函数.(2)单调性的判断方法：名师一号P 1 7 高频考点 例2 规律方法定义法及导数法 图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1.若/0),g G)均为增(减)函数，则 外x)+g(x)仍为增(减)函数.2.若，（*）为增（减）函数，则一/U）为减（增）函数，假如同时有/（x）o,则 忘 为 减（增）函数,7 7 为 增（减）函数.3.互为反函数的两个函数有相同的单调性.4.y=fg（x）是定义在M上的函数，若 外x）与g（x）的单调性相同，则其复合函数/g（x）为增函数；若f（X）、g（x）的单调性相反，

5、则其复合函数Z ig（X）为减函数.简称“同增异减”5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.函数单调性的应用 名师一号P 1 7 特色专题(1)求某些函数的值域或最值.(2)比较函数值或自变量值的大小.(3)解、证不等式.(4)求参数的取值范围或值.(5)作函数图象.二、例题分析：(-)函数单调性的判断与证明例 1.(D 名师一号P 1 6 对点自测 1判断下列说法是否对的函数./U)=2 x+1 在(-0 0,+0 0)上是增函数.()(2)函数错误!在其定义域上是减函数.()(3 汜知 f(x)=错误!，g(x)=-2 x,则 y=f

6、(x)g(x)在定义域上是增函数.()答案：Y x Y例 1.(2)名师一号P 1 6 高频考点 例1 (1)(2 02 3北京卷)下列函数中,在区间(0,+8)上为增函数的是()A.y=错误！B.j=(x-1)2C.y2Tx D.j=l o g o.s(x+l)答案:A.例 2.(1 )名师一号P 1 6 高频考点 例 1 (2)判断函数./U)=错误!在(-1,+8)上的单调性，并证明.法一:定义法设-1 X 1 X 2,则，x j-f(X2)=错误!-错误！=错误！4 X 1-*2X 1+1 X 2+1.-1 X 1 X2,.X i X 2 0,X 2+l 0.当 4。时，f(X 1)-

7、/(X 2)O,即八X I)f(x2),函数y=/(x)在(-l,+o o)上单调递增.同理当。0,即:(X 1)f(X 2),二函数y=/(x)在(-l,+o o)上单调递减.法二:导数法注意：名师一号P1 7 高频考点 例1规律方法1 .判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断（或证明）函数单调性的一般环节为：取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键,而变形的方法有因式分解 配方法等；3.用导数判断函数的单调性简朴快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.名师一号P16 高频考点 例2（1 ）求函数y=的单调增区间；j=x-|l x|=错误!作出该函数的图

8、象如图所示.由图象可知，该函数的单调增区间是（。，1 .例 2.（1）名师一号P 1 6 高频考点例2（2）求函数y=log错误！（好4x+3）的单调区间.解析:令 u=x2-4 x+3,原函数可以看作y=log错误!与 w=x24x+3的复合函数.令”=-4 x+3 0.贝 ljx3.函数y=log错误！（/-4 工+3）的定义域为（00,1）U（3,+oo）.又 =/-4 x+3 的图象的对称轴为x=2,且开口向上，=必-41+3在(-8,1)上是减函数，在(3,+8)上是增函数.而函数y=lo g 错误!”在(0,+8)上是减函数，y=lo g 错误！(x2 4 x+3)的单调递减区间为

9、(3,+o o),单调递增区间为(一叫1).注意：名师一号P 1 7 高 频 考 点 例 2规律方法求函数的单调区间的常用方法运用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域,再运用单调性定义.(3)图象法：假 如，G)是以图象形式给出的，或者/U)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：运用导数的正负拟定函数的单调区间./丫例2.(2)(补充)y=lo g x-4 1 o g x 2 J 2答案：增区间：(，,+8 ；减区间：I。U )I 4J练习：y=(lo g2 x)2-lo g2 x答案:增区间：(J 5,+o o);

10、减区间：倒,、历)(三)运用单调性解(证)不等式及比较大小例1.(D 名师一号P17特 色 专 题 典 例(1)已知函数=lo g2 x+错误!，若 乂1 (1,2)m (2,+oo),则()A.f(xi)0,X2)0 B.f(Xi)0C.X i)0,八k2)vO D.f(x)0,f(X2)d【规范解答】，.函数/(*)=I Og2x+错误!在(1 ,+s)上为增函数，且#2)=0,.当乃当(1,2)时,f (x,)/(2)=0,即/Ui)0.例 1.(2)名师一号P 1 7 特色专题典例(2)已知函数人幻=错误!则不等式/(层-4)/(34)的解集为()A.(2,6)B.(-1,4)C.(l

11、,4)D.(-3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数人幻在R上是单调递减的.由加2_4)/(3 a),可得出一43a,整理得a2-3a-40,即(a+1 )(a 4)0,解得一1 a 2已 知 函 数/(%)=卜 丫满足对任意的实数1,x v 2X#X2,都有E H /也)0成立,则实数。的取值范围为()A.(-oo,2)B.错误！C.(-oo,2 D.错误!【规范解答】函数Ax)是R上的减函数，于是有错误!由此解得a W 错误!,即实数。的取值范围是错误!.例 2.(1)(补充)假如函数/(x)=ax2+2x-3在区间(-c o,4)上单调递增，则 实 数a的取值范围是

12、_ 答案 -错误!,0 解析(1 )当。=0 时次幻=2 1-3,在定义域R 上单调递增，故在(-8,4)上单调递增；(2)当 今0 时，二次函数f(x)的对称轴为直线x=-错误!，由 于1Ax)在(-0 0,4)上单调递增，所 以 a 4,解得一错误!力)=必-6 a x 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是()A.(-0 0,0 B.-2,2 C.2 D.2,+oo)答案 C 解析f (x)=3 x2-6a,若 空。，则 二 介)单 调 增，排除A;若 a0,则由广(*)=0 得 x=，当*错误!时，/(x)0J(X)单调增，当-错误！Vx0且/(x)在 区 间 内 单 调

13、递 减，求a的取值范围.答案：1,+8)(五)抽象函数的单调性例1.(补 充)已知/(x)为R上的减函数，那么满足/(I-I)f(1)的实数X的取值范围是()XA.(-1,1)B.(0,1)C.(-l,0)U(0,l)D.(-8,-1)U(1,4-00)答案:C解析:由于/(x)为减函数，f(-|)1,则|x I 1 且#0,即 x e(-1,0)U(0,l).练习：y=/(x)是定义在 1,1 上的增函数,解不等式/(I x)1 时，有/(%)0。(D 求/的 值；(2)判断/(x)的单调性并加以证明；(3)若 4)=2,求/(%)在 1,1 6 上的值域.答案：单调增；0,4 注意：有关抽

14、象函数单调性的证明通常立足定义练习：计时双基练P 2 1 8培优4函数/(x)的定义域为(0,4 8),且对一切x,ye 都有/(x)+/(y)=/(x+y),当 x。时，有/(x)0且a W1)是R上的减函数，则。的 取 值 范 围 是()A.(0,1)B.错误!，1)C.(0,错误!D.(0,错误!分析：/(x)在R上为减函数，故/(*)=优(x，0)为减函数，可 知0 a(X)在R上为减函数可知，/(X)在xVO时的值恒大于f(x)在xNO时的值，从 而3 a解析：A x)在 R 上单调递减,.错误！，错误!.答案:B练习2:已知/(幻=错误!是(-8,+8)上的增函数，那 么a的取值范

15、围是()A.(1,+8)B.(00,3)CR,3)D.(1,3)答案D 解析 解法1:由/(*)在 R 上是增函数,，/(x)在 1,+8)上单增，由 对 数 函 数 单 调 性 知 1，又 由 f(X)在(-8,1)上单增,.3 3 0,，a 3，又由于/(x)在 R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，(x)在G,1 上的最大值35a要小于等于/(x)在 1,+)的最小值0,才干保证单调区间的规定，即 错 误！,由可得1 a3.解法2:令。分别等于 f (3,5)、0,1,即可排除A、B、C,故选 D.点评/U)在 R 上是增函数,a的取值不仅要保证f(*)在(-8,1)上和 1,+8)上都是增函数，还要保证X 1,孙21 时，有/(X1)0由于V =6*2 +6 o r+1 2开口方向向上，所以 AM O,即 3 6(/4 x2)W O,即-2 7 2 a 2 4 2时条件成立；(2)已知函数y=2%3+3 ax2+i 2 x,若函数的单调递减区间是(1,2 1则a的值是.解析:若函数的单调递减区间是(l,2)(l,2)=x|r(x)0分类讨论：A 0,BP 36(2-4 x 2)0,B P-2A/2 a 卜2夜或”-2加 当 2 a 42 q_3/(2)0 I即-3 4”-2加 或 42夜条件成立;综上,a-3条件成立，a 2-3为所求.