2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试卷（附答案）.pdf

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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷数学本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须

2、保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.唐代诗人王维，字摩诘，在后世有 诗佛 之称，北宋苏轼评曰：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在 王 维 相思这首诗中，哪一句可以作为命题（）A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思2.若z i=1|z 贝ij|z 引=（）A.1 B.V2 C.2 D.13.如图，在三棱锥P-4 8 c中，PA=BC=V3,PB=AC=2,PC=AB=V 5,则三棱锥P-A B C外接球的体积为（）AA.V2T TB.V

3、3T TC.V6T TD.67r【高 三 数 学 第1页共6页】4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=LoD微，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，小表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示衰减速度.己知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为1 8,且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为()(参考数据：lg2=0.3010)A.72 B.74 C.76 D.785.抛物线C:y2=2 p x(p 0)的准线

4、交x轴于点D,焦点为尸，直线/过点D且与抛物线C交于4 B两点，若=2|4 F,则直线4B的斜率为()AA-.2 V 2 DB-.TV 2 c.3f2 D-T注6.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直乂如图)，要求前述直角三角形周长为3 0d m,面积为30曲广,则此时斜杆长度应设计为()dm.A.10 B.13 C.16 D.197.己知函数/(x)=2cos%x+2/Jsin3xcos 0,a e R).且：/(x)的最大值为 1；：/W的相邻两条对称轴之间的距离为，若将函数/(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的去，再向右平移已单位，得到函数g(x)的图象，

5、若g(x)在区间0,四 上的最小值为g(0),7的最大值为()A.B.-C.-D.12 6 3 38.已知。=击-1/=1211(-0.1),0=1110.9,其中6为自然对数的底数，则()A.c ab B.abc c.b a c D.a c b【高 三 数 学 第2页共6页】二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干(一、二等奖作品数相等)，其中男生作品分别占40%,60%,6 0%,现从获

6、奖作品中任取一件，记取出一等奖作品为事件4 取出男生作品为事件B,若P(4B)=0.1 2,则()A.P(B|4)=0.4 B.一等奖与三等奖的作品数之比为3:4C.P(川B)=0.25 D.P(B)=0.5410.下列选项中正确的是()A.若平面向量3,石满足向=2同=2,则一一 2臼的最大值是5；B.在ABC中，AC=3,AB=1,。是ABC的外心，则 阮 荷 的值为4；C.函数/(x)=tan(2 x-的图象的对称中心坐标为弓+,0)fceZD.已知P为4BC内任意一点，若 演 两=而 定=腐 定，则点尸为ABC的垂心；11.已知函数/(x),g(x)的定义域为 R，g(x)为g(x)的

7、导函数，且/Q)+g(x)=5,/(x)-g(4-x)=5,若g(x)为偶函数，则下列结论一定正确的是()A-f(4)=5 B.g=0 C./(-I)=/(-3)D./+f=1012.在正四面体ABCD中，若AB=&,则下列说法正确的是()A.该四面体外接球的表面积为3兀B.直线4B与平面BCD所成角的正弦值为苧C.如果点M在CD上，则AM+8M的最小值为历D.过线段4B一个三等分点且与4B垂直的平面截该四面体所得截面的周长为 等 史三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。r2 v213.已知椭圆C京+%=l(a b 0)的上、下 顶 点 分 别 为&，点P是椭圆C上异于4、%的点，直

8、线P&和P 4的斜率分别为七、k2,写出一个满足心 心=一 4的椭圆C的方程是.14.已知(-3)(x+2)4=a0+arx+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则实数的值为.【高 三 数 学 第3页共6页】1 5.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ccosB+bcosC=2 a co s4 不+-的取值范tanB tanc围为.YPX 4-T 0.点，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)在ABC中，角4 5 C成等差数列，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.若2-C=p 求a:c的值；

9、若2=判断ABC的形状b a+b+c18.(12 分)已知等差数列 即 中，公差d R O,a3=5,a2是由与as的等比中项，设数列 勾 的前项和为S”，满足4S”=bn-l(n G N*).(1)求数列 册 与 b 的通项公式；设金=anbn,数列%的前n项和为Tn,若乂+J 1 对任意n e N*恒成立，求实数2的取值范围.【高 三 数 学 第4页共6页】19.（12 分）已知梯形力BCD,AB|C D,现将梯形沿对角线AC向上折叠，连接B D,问:若折叠前BD不垂直于A C,则在折叠过程中是否能使B D 1 4 C?请给出证明；若梯形力BCD为等腰梯形，AB=3,CC=5,折叠前A C

10、 1 B D,当折叠至面4DC垂直于面ABC时，二面角A-B D-C的余弦值.20.（12 分）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为5 0,根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N（“,02）（用样本平均数元和标准差s分别作为小。的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程X 6 250,400的概率；（参考数据:若随机变量

11、 X N（）,则 pQ -a X n +a）0.6827,PQ-2。4 X 4 +2G B0.9545,P（n-3 o X fi+3（r）0.9973）【高 三 数 学 第5页共6页】某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出 玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、32 0)移动，若遥控车最终停在 胜利大本营”(第 1 9 格)，则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在 微笑大本营”(第 2 0 格)，则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是最遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若

12、掷出正面，遥控车向前移动一格(从k 到k +1);若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k 到k +2),直到遥控车移到“胜利大本营 或 微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第九(1 n 0；若函数/(久)有且仅有一个极值点，求实数。的取值范围.【高 三 数 学 第 6 页共6 页】2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷答题卡姓名：考号：座位号：一、选 择 题（1-8题为单选，9-1 2题为多选）题号1234567891 01 11 2答案二、填空题题号答案1 31 41 51 6三、解答题17.1 7.（续）18.19.2 0.（续）22.2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

13、参考答案一、选 择 题（1-8题为单选，9-1 2题为多选）题号123456789101112答案AACBABCBABDABDABDACD二、填空题题号答案1 3v2 .+%2 =1 （答案不唯一）1 4 4 01 5除 可1 6-1 或 2 （1,1+7）三、解 答 题：参照详解2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷参考答案详解1.A【详解】对于A选项，红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题:2.A【详解】设2 =&+历，(。,匕2 为虚数单位).所以。+3 一1 =1 一1 3-1)2 +的，所以1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ f a =1 ,i,1

14、r.2 ,，2 解得：b _L所以z=1+小2=1 一,，所 以 忆 一 引=川=1.b 1=-l(a-1)+炉(0 2 2 23.C【详解】解：由题意，PA =B C=6,PB =A C=2,PC=A B =V 5,将三棱锥P -A BC 放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为四，2,V 5,设长方体的长、宽、高分别为a,瓦c,则7 7 万=V 3,心量=2,V c2+b2-V 5,解得a =1,6 =V 2,c=V 3.所以三棱锥P -A BC 外接球的半径R =j x V a2+b2+c2-y.,三 棱 锥 P -A BC 外接球的体积V =T T/?3=倔 r.4.B【详解】由于L

15、 =而，所以L =0.5 x滞，依题意0.4 =0.5 x湍 则。=p 则Z,=0,5 x (行，由L =0.5 x /1 81 o g4：=半 器 萼=华 竽 2 73.9,所以所需的训练迭代轮数至5二5 Ig5-21g2 l-31g2少为74 次.5.A【详解】设直线4 B方程为K=m y-与，将,联立得产一 2 p/ny+p 2 =。，设2 I y2=2px4(勺,y。，8(x 2,、2)，BP(y i+y 2Z2?m过点48 分别向准线作垂线，垂足为M,N,又因为(为，2 =PB F=2A F,所以|N B|=2|A M|,即|BD|=2|4。|,所以A 为B D 的中点，即 2 yl

16、=、2,所以得二 P 7贝 哈 m2 =i,解得M=士 乎，所以直线4 8 的斜率为工=乎，y2 T p m 9 4 m3Q si n0 +4 c o s0+。=3 06.B【详解】设斜杆长为。，它与地面的夹角为凡 由题意有：L .八 八/八 ，a si n 6 c o s 0 =si n 20=6 02.2 si n0 c o s6 =,而si n6+c o s。=双二,结合si r?e+c o s?。=1,知：(双二与？-可=1,解之得a =1 3.a a a a7.C f(x)=2COS2C DX+2y/3sincoxcosa)x+a=c o s2 6 9x +V 3 si n2 6 y

17、x +l =2 si n2 6 9x +4-6 f+1,(l)Eh f,a +3 =l，解得=-2；时，=三，即7=兀，解得G=1；所以/(%)=2 5 由 仿+5 一 1，将函数/图象上的点2 2 2co 6;纵坐标不变，横坐标变为原来的I，得到y =2 s in(4x +-l 的图象，再向右平移三单位，得到函数2 6 12y =2 s in 4(x-=)+?-l =2 s in(4x-/)-l 的图象，即g(x)=2 s in(4x-g 1-l ；因为所以12 6 6 6 /1 L 兀，7 兀4 x-e -,4 w-,因为g(x)在区间 0,加 上的最小值为g(0),所以(6 -6 ,解得

18、0 0 时,g(x)0,当，0 时,gx)g(0)=0,所以eN x+1,所以Q =e-1 0.1+1-1=一 0.1;因为tanxx,x e o,4 ,所以6=-tan0.l 0 ),则。()=1一 一 =V 2 Jx x当0 x l时，0(x)0,所以当x=l 时，8(x)取得最小值，所以夕(%)之9=。，所以In x W x-l,所以c=ln0.90.9-1=-01 ：设/(x)=ln(x+l)-tan x,x e(-1,0)/(x)=-?-=c,s%设%(x)=cos2x-(x+1),hf(x=-2 cosxsinx-1=-sin2x-x+1 cos x(x+l)cos-x在(T O)

19、上，/(x)/(0)=0 所 以 川 x)0,/(x)递增，所以-0.1)0),即 ln0.9 tan(0.1)0,所以 c bc【法二】秒 解 一】(利用泰勒展开式)a=e1(1-0.1 +4-x0.01 xO.001)-l0.9(M 8-2 o1 =-0.095 2,c=ln(l-0.1)=-0.1-y X 0.01-y xO.001=-0.105 3,6=tan(-0.1)=-0.1-/x 0.001=-0.100 3,所以 a 6 c.r 楼型!友用1 加用趋勒族计式e”,ln(1 +x),tan x 的前/b吸估值求解秒 解 二(利用帕德逼近近似式)y=e 的帕德逼近近似式为R(x)

20、=卫，所 以 a=e-2.-x1 Q 7r 0 21=分-1=-0.095;y=ln(x+l)的帕德逼近近似式为/?(%)=尹，所以 c=ln(l-0.2.1 2+x J L y二0.105 3；y=tan%的性修通远近似式为R=%,所 以 b=tan(-0.1)=-0.1,所 以a b c.7+r【记J分式】y=e*在=0 卷的1,1 泞招信逼近力7?(x)=-,y=ln(x+l)/&x=0代州Z -x 1,1 为帕德逼近为R(x)=2+,y=ta n x 在 工=。代自。内性偿逼近为7?(x)=x,3题可以直搂定田求蛹B9.ABD【详解】解：设一、二等奖作品有x件，三等奖作品有y件，则男生

21、获一、二、三等奖的作品数为0.4x、0.6x、0.6 y,女生获一、二、三等奖的作品数为0.6x、0.4x、0.4 y,因为P(4B)=0.1 2,所以4x=3y,所以P(B|4)=吧=0.4,故 A 正确；P(川B)=/=1 彳0.2 5,故 C错误；一等奖与三等奖的x x+0.6y x+0.6Xy 94作品数之比为x:y=3:4,故 B正确；P(B)=管 曳=H 罕=0.5 4,故 D正确；2x+y 2呜工10.ABD【详解】对于 A,因 向=2|司=2,则|五 一 2万 I =J (a-2 b)2=y/a2+4&2-4a-6 J l2+4 x 22+4|a|b|=5,当且仅当石=2N时取

22、等号，A 正确：对 于 B,令边N 8 的中点为。，因。是ABC的外心，则0。1 4 8,则而 A B =(A D +DO y AB=A B2=同理 有 前 A C=g砂=,所 以 阮-A O=(A C-A B y A O =A C-A 0-A B-A 0 =4f B 正确；对于C,由 2%g k W Z得x=+j k Z,因此函数/(%)图象的对称中心为(廿 年,0),fc G Z,C 不正确；对于D,点尸在ABC内，由 腐 厢=两 无 得：(演 一 定)两=0,即 次PB =0,有P B J.C 4,由 两 定=而 定，同理有P C 1 4 B,因此点尸为ABC的垂心，D 正确.11.AB

23、D【详解】因为g(x)为偶函数，则g(-x)-g(x),两边求导 得-g(-x)=g(x),所以g(x)为奇函数，因为f(x)+9(X)5=0,/(x)-g(4-x)5=0,所以/(x)5=g(x)=g(4 一 4),故g(-x)=g(4-x),所以g(x)=g(4+x),即gQ)的周期T=4 且g(0)=g(4)=0,在/(%)+g(x)-5=0,/(x)-g(4-x)5=0 中，令x=4,可得/(4)+g(4)-5=0,所以/(4)=5,故 A 正确；令x=2,可得g(-2)=g(2),而g(x)为奇函数，则g(-2)=g(2),所以g(2)=g(2),贝!|g(2)=0,故 B 正确;令

24、久=-1 得f(1)一屋(5)-5 =0,g(5)=屋 =g(-1),则/(一 1)+g(-1)-5=0,无法求得/(-1),同理令 =-3 得/(-3)+g(-3)-5=0,g(-3)=g(l)=-g(-1),因此/(一 3)-/(-1)-5=0,相 力 口 得/(-1)+/(-3)=10,只有在g(-1)=0 时，有/(一1)=/(-3),但屋(一 1)不一定为 0,因此 C 错误;在/Xx)+g(x)-5=0 中，令x=1 得/(I)+g(l)-5=0,在一 9(4 一 x)5=0 中，令%=3 得,/(3)-5(1)-5 =0,两式相加得“1)+/(3)-1 0 =0,即 1)+f(3

25、)=1 0,故 D 正确；是奇函数.由/(*)+g(x)-5=O/(x)-g(4-x)-5=0,得f(x)-5=-g(x)=g(4 _彳)，即/(_*)=g(-x+4),所 以gG)是 周 期 函 数，且 周 期 为4,g(0)=g(4)=0.在/(*)-g(4-x)-5=0 中，令 x=4 得 J(4)=5,A 正 确；无 法 求 得g(2)的值,B错误;1指 立 注 谭】由 于g(x)美 假 品 数，因 此 其 解 析 文 中 的 室 数 灵 可 受 的，口弃泰仔又太郎反g(x),因诂多木.g(*)值的选,顼羽於正稀在/(工)-g(4-%)-5=0 中，令x=-1 得/(-1)-g(5)-

26、5=0,g(5)=g(l)=-g(T),则/(-1)+g(-1)-5=0 ，无法求得了(-I),同 理 令”=-3 得 J(-3)+g(-3)-5=O,g(-3)=g(l)=-g(-1),因此/(-3)-g(-1)-5=0 ，相加得/(-1)+八-3)=10,只有在1(-1)=0时，有/(-1)=/(-3)，色 口无；定 为0,因此C错误;r陵 汨】酒隧晡容易碑入求g(-1)的泥潭，案防上g，(-1)为沦审什4值却不公广生矛信在/(*)+g(x)-5=0 中，令*=1 得J(l)+g-5=0,在/(彳)-g，(4-)-5=0 中，令x=3得 J(3)-5=0,两式相加得/(I)+/(3)-10

27、=0,即 f(l)+/(3)=10,D 正确.故选 AD.注：试题调研中与本试卷的题目B选项有所区别1 2.A C D【详解】正四面体4 B C 0中，A B =2/?=苧/必7 2/?的 周 长 为 手+白+誓=迎 芳 与 同理在平面A B C中过点N作N Q J.A B交B C于Q,在平面4 B D中过点N作N S 1 4 B交B D于S,连接Q S,可得平面N Q S,而平面N Q S即为所求，N Q =NS =y,B Q =Q S =A P=竽，则4 N Q S的周长为苧+半+苧=笞 吟 故D正确.01 3.+x2=1 （答案不唯一）【详解】由题意可知4（0,a）、（O,-a）,设P（

28、X o，y o）Qo力。），则普+今=1，所40 C L以就=一 丝 炉,所以k#2=k 四=电 贮=一*=4,所以a 2 =4 b 2.所以椭圆C的方程可以为。+/=1Q Xo XQ XQ D 4（只需满足。2 =4所即可）.故答案为：=+d=1（答案不唯一）.1 4.一40【详解】（x +2）4的展开式的通项7 +i=C/x 4-kx 2 k=2加 以久4i,4=0,1,2,3,4.当化一3选取X时，应取0+2）4展开式中含x的项，令4一/（=1,则k=3,7 4 =2 3第，=3 2刈 此时/的系数为3 2：当x-3选取一3时，应取（x +2六展开式中含好的项，令4 一 k=2,则k=2

29、,T3=2 2 c x -x2=24x2,此时/的系数为-3 x 2 4 =-7 2.所以a?=32-72=-4 0.15.竽，8)【详解】由正弦定理得 s in C c o s B +s in B c o s C =2 s in 4 c o s A,又 s in C c o s B +s in 8 c o s c =s in(B +C)=si n(I)=s i M 则 s irM =2 s in A c o s 4 又4 e (0,则 s irM 丰 0,则 c o s A =手 则A 与熹+白=篝 +cosC _ sinCcosB+sinFcosCsinC sinBsinCsin(B+C)

30、_ sin力sinFsinC sinFsinC品，由 山 轲 得。=卜8,又 A B C为锐角三角形，则,可得；B p 则 s i n Bs i n C =s i n Bs i n B)=sinB(?c o s B+s i n B)=y s i n Bc o s B 4-|s i n2B=s i n 2 B CQS2B 4-7 =|s i n(2B 7)+7，又2B g 里，贝 咕 V s i n(2 B-W 1,贝 心 2 4 4 4 2 6/4 6 6 6 2 6/2|sin(2B-g+i 即兴 sinB sinC.则 熹+6 殍,司.16.一 1 或 2(1,1+【详解】(1)当XWO

31、时，/(x)=xex+所以/(x)=6工 +x k =(x+l)e,令/(x)=0,得=-1,并且当x -l 时，/(%)-1 时，y(x)0,所以函数/(x)在(一 8,-1)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，所以f(X)m in=/(-l)=0,故当 W 0时，/(X)=0 有唯一根一 1,当X 0 时，/(X)=x2-2%,令/(盼=0,解得x=0(舍 去)或 2,故当x 0 时，/(x)=0 的根为2,综上，/(x)=0 根为-1 或2:(2)因为/(X)=/e+e,X-0,当X s 0 时，由(1)/(x)min=/(-1)=0,则 0 /(X)0lx2-2 x,x 0时，r(x

32、)=刀 2-2x=(X-1)2-1,则函数/(X)在(0,1)上单调递减，y在(1,+8)上单调递增，且仅当/(2)=0,且/(X)2-1,因为当y=/(/(x)-a)=0 时,则有f(x)-a =2 或-a=-l,即f(x)=a+2 或/(x)=a-l,由图象得，要使函数、=/(/。)一 1)有四个零点，则 a+2 ：解 得 i a i+L 或无解，一/.I e.|综上所述,实数a 的取值范围是(1,1+故答案是：一1 或 2；(1,1+力.17.(1)2+73(2)直角三角形【详解】(1)；4 8 ac=c2-2accos=c2=lac Ac=2a由正弦定理可得sinC=2sinA,A+C

33、=n B=空,：.A=-C3 3sinC=2sin4=2sin(y C)=V3cosC+sinC/.cosC=0,V C G(0,y),/.c =p 4BC为直角三角形.1 8.(l)an=2n-l,dn=(-0(2)-y A 8【详解】VU。3=5=Al-5+m+4 d”解 嚼 二 或 忆舍去)/.an=1 +2(n -1)=2 n 1.又,4 S n =b n _ l,当r i =1 时，4 b l =瓦 一1,则Z?i =当n 2 2 时，4 S,1 =bn_ 1 -1,则 4bn=bn-b a，即 含=-；，bn-l 3则数列 砥 是 以 首 项 比=-3公比为-!的等比数列，,也=(

34、4),(-广=(一/(2)cn=(2 n -1)(-1)，北=1 X(-+3 X(-守+5 x(-1)3+-+(2n-3)(-旷 +(2n-1)(-1 rn=l x(-1)+3 x(-1)+5 x(-1)+.+(2 n-3)(-1)+(2 n-l)(-1)两式相减得：Tn=-1 +2 (-0 +-+(-5)-(2 n-1)(-0 +甯：A(Tn+1对任意的n G N*恒成立,即4等1(一9“1对任意的n G N*恒成立当r i是奇数时，一入喑1任意的n e N*，恒成立.-A /对 任 意 的n e N*恒成立当n是偶数时，2竿-/Wl对任意的n e N*恒成立o 3.,.A 0对任意的n 6

35、 N*恒成立4 n+5 4 n+l (4 n+5)(4 n+l)0为递增数列当n是奇数时，则Awg,即；当n是偶数时，则4S81.-y A 8.1 9.不能，证 明 见 解 析（2）一蒜【详解】（1）假设折叠过程中能使8 D _ L 4 C.折叠前，假设D E J.A C,E为垂足，连B E,则BE 与4 c 不 垂 直.折叠后，若B D J.4 C,又B。与BE 是平面B D E 内的相交直线，故A C 1 平面B D E,又BE u 平面B D E,从而有4 c 1 B E,故折叠前也应有A C J L BE.显然，与矛盾.故假设不能成立.即折叠过程中不能使B D 1 A C.（2）设折叠

36、前A C与B D 的交点为F,则由题意易知4F =B F =姜,DF =CF =.折叠前，在梯形4 B C 0 内过8做B G J.C D,垂足为G,则 CG =1,B G =D G =4,A D =B C=V 1 7.折叠后，因为面4DC垂直于面A B C,而。F J L 4&B F J.4C,所以D F 1 B F.所以 B D=y/B F2+D F2=又B F 和DF 是平面B D F 内的相交直线，所以A C_L 平面B D F.所以4 C 1 B D.解法：过点C 在平面B C O 内作CH 1 B D,为垂足，连接4口,又C H n C 4 =C,贝 1 J B D1 平面A C

37、H,又4H u 平面4 C H,所以故N 4 H C 即为二面角A -BD-C的平面角.在 B DC中，B D =B C=Vr7,D C=5,所以 cos 4B DC=篇，又 0 NBO CTT,则 s in 4B O C=篇得。=奈（7=露,力”=、业一丽=舞,又A C=4戏,2V17 2vl7 2vl7所以cos乙 A H C=4“2+“/2一 2-2AHHC-19V2537,即二面角4 B D-C的余弦值为7-25 3 7.解法：以尸为原点，分别以打 入F C、F B为X、歹、z 轴建立空间直角坐标系如图,则F（0,0,0）,D 律,0,0）,C（0 呼,0）,B（0,0,苧），力（0,

38、-乎,0）.于是，前=（除。，-苧），都=（。,苧,苧），死=（。呼,-乎）设平面A B C 的一个法向量为71 =（x i.y i.z i），则前元=0,希 元=0则50 3V2 n Xi-Z1 =03V2,3V2 八 yLyi+3-21 =0Z令i =3,则 为=-5,z i=5,则五=(3,5,5),设平面B C D 的一个法向量沆=（%2，丫 2*2），则 前 沆=0,阮 沅=05&3V2则-2-2=05V2 3V2 n y i YZ1 令 2=3,则%=3,z2=5,则沆=(3,3,5),记二面角力-BD-C的平面角力仍固 1加 布=回利=1 3 x 3-5 x 3+5 x 5 1

39、=1 9人/W l|n|-|m|V 9+9+25 W 9+25+25 V 25 3 7又观察发现二面角4-BD-C为钝角，故二面角A -BD-C 的余弦值为一20.3 0 0；(2)0.8 1 8 6；证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为2。万元.【详解】(1)估计这1 0 0 辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：x =20 5 X 0.0 1 +25 5 X 0.0 2+3 0 5 X 0.45 +3 5 5 x 0.0 2+40 5 x 0.0 5 =3 0 0；(2)：X-N(30 0,5 02),.P(25 0 X 40 0)=0.8 1 8 6.(3)由题可知P()

40、=1.Pi=g遥控车移到第 2 n 1 9)格有两种可能：遥控车先到第n-2 格，又掷出反面，其概率为 P n-2：遥控车先到第n-l格，又掷出正面，其概率为P =5 P“-2+2 P“-l；.2口.1 口条)=2 一%参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为2.0 万元2 1 哈会1 5 鱼【详解】(1)连接8 P,/)在线段8c的垂直平分线上，=PC,：.PB +PA =PC+PA =A C=1 0,又 1 0 4 B|=6,，曲线E是长轴长为1 0,B,4分别为左、右焦点的椭圆.又 衍 千=4,.曲线的方程为4+=1.25 16（2）当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x =此时”(

41、|,2 百)，/V(|,-2 V 3)M(|,-2 V 3),当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y -8 =-1),M(M，y i),W(x2,y2)5(x0,y0),5易知点。在曲线E外，则 黑=口，黑=山，DN|-X2 ISM XQ-X2.山=江，解得孙=丝 出 口.XQ-X2-X 2 5-X1-X2些=联立，得 1 2 5 16.,(y-8 =/c(x-)整理得(2 5 1 +1 6)x 2 +2 5 k(1 6 -5 f c)x +(6 0 -y f c)(2 0 -y f c)=0,方程(2 5 M +1 6)x 2 +2 5 4(1 6 -5 f c)x +(6 0 -y/c)

42、(2 0-y k)=0,的判别式A =6 2 5 k2(1 6 -5 k产-4(2 5/+1 6)(6 0 -第(2 0 -y f c)0,解得k -又 一 25k(5 J 6)乂X l+%2 -25k2+16 与 2（60一 翔（20-匆25d+16则&=沏+02)-2打冷 _ 25k-6 05X jX2lO/c+2 点S（%o，y o）在 直 线-8 =上,=。-|)+8 =*由 得 上=晟 喘，由得上=Z 3-IUXQ2yp16lS-lO yo?.第=,整理得出+5 必-1。=。，.，.点S（x o，y o）在线段，:x +5y-1 0 =0 （在椭圆内部，x 1）上运动.故点S 在线段

43、:x +5 y-1 0 =0 （在椭圆内部）上运动.记4为4 关于，的对称点，连接力B交I 吁S o,则当S 与S o 重合时I S A I +I S B I 最小，最 小 值 为 句.连接4 4 交，于R,则R 为4 4 的中点,-：A A/L r,/的斜率为心，.直线4 4 的斜率为5,又4 （3,0）,.直线4 4 的方程为y =5 x-1 5._ 85联 立 方 程,得 口？5；，得 1，/26得R缁却力偌纵.|S A|+|S B|的最小值为,回=Jg+3)2+g-0)2=5 V 2.2 2.(1)证明见解析；(2)实数a 的取值范围为(-8,0 .【详解】(1)因为a=l,所以/(%

44、)=x ln x +I n%-2%+2,函数f(x)=x ln x +I n x -2%4-2 的定义域为(0,4-8),f(%)=ln x+1 +：2,设g(x)=ln x+1 +：2,g(G=L 一=殍，X X4当#1 时，g(x)0,函数g(x)=ln x+1+：-2 单调递增，当 0 xl 时，g(x)g(l)=0,即/(X)0,所以f(x)=x ln x +I n x 2x+2 在(0,+8)上单调递增，又/=I n i +I n i -2 +2=0,所以当%i时，y(x)o,所以所一i)y )o,当 0 x 1 时，/(x)0,当x=l 时，/(1)=0,所以0 l)f(x)=0,

45、所以0 1)/(灯 2 0函数f(x)=x ln x +a(ln x -2x+2)的定义域为(0,+o o),f(x)=ln x+1 +a-2),因为函数f(x)有且仅有一个极值点，所以方程ln x+1 +a 2)=0有且只有一个能用二分法求解的正根，即方程xl n x+x+a(l-2 x)=0 有且只有一个二分法求解的正根，因为x=：不是方程的解，故 方 程 瞥=a 有且只有一个二分法求解的正根，2 x 1设 八(切=普，函数九(町=翳的定义域为 x|x 0 且片/，八 。)=3噌 二=节等，设卬(%)=I n x 4-2%-2,则，(%)=：+2 =当%决寸，(p(%)0,函数9(x)=-

46、I n%+2 第一 2单调递增，又邛(1)=0,所以当%1 时，(p(x)0,当g v%V l 时，p(x)0当 0 V x V决寸，0 (%)0,所以存在%()6 2弓)使得印(%)=0,即 2%。-2 =l n x0即当工 (O,o)时:(/?(%)0,当时，中(%)1时，/17(%)0,函数%)=?詈单调递增，当g vx V l时，0,函数九(%)=要学单调递增，当 G (&，)时，h 3)0，函数九(%)=；：/单调递减,又九(l)=-L=l0,以)=如 3=-2)+,“九 色 一 1)=2 =0当 0cx&时，h(x)=驾，学,其中 I n x+1 2 久 一 1 )o,由此可得函数/l(x)图象如图所示，由图象可得甯有且仅有一个能用二分法求解的正根时a 0,所以实数的取值范围为(-8,0.