2023年高一数学微含答案平面向量痛点问题之三角形“四心”问题.pdf

《2023年高一数学微含答案平面向量痛点问题之三角形“四心”问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高一数学微含答案平面向量痛点问题之三角形“四心”问题.pdf（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年高一数学微专题微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【藕型归纳目录】题型一:重心定理题型二：内心定理题型三:外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.二、三角形四心与推论：(1 )0 是 A BC 的重心：S吩:SCOA：S 川 汨=1：1：1O A+O B +O C =3.(2)0是AAB C的内心：S c-SCOA-

2、S A OB=a：b：c oaOA +b OB+c O C =0.(3)0是 A BC的外心：SABO。:SCOA:SAOH s i n 2 A:s i n 2 B:s i n 2 c o sin2A OA +sin2BOB+s i n 2 c o e =0.(4)0是 A BC的垂心：SABO。:S 4 c oA:SAOU=t a n A:t a n B:t a n C o t anA OA +t anBOB+t anCOC=6.【方法技巧与总结】AR 4广(1)内心：三角形的内心在向量厂=可+丁=可 所在的直线上.ABI希 卜 用+1宓I 咒+1两 卜 两 =CQP 为 A BC的内心.外

3、心：|同1=1两1=1尹4 O尸为 A BC的外心.垂 心：两 两=两 用=用 同oP为 A BC的垂心.(4)重心：声 后 引+后方=G oP为 A BC的重心.题型一:重心定理例1.（2023春山东商城商一山东曹城一中校考阶段练习）已知点G 是三角形ABC所在平面内一点，满足不才+,+/=6,则G 点是三角形4 8。的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心例2.（2023春山东高一阶段练习）己知G 是 ABC的重心，点。满足 舒=比，若 可=工存+立而?，则立+?为（）AB-y C.-1 D.1例3.（2023 J B-5-C 1 6-D-7-题型三:外心定理例8.（2023鲁沏北武汉

4、高一校戚才期末）在/B C 中，4B =2,4 7=3,N 是边BC上的点，且 丽=而,O 为 ABC的外心，则 福 而=（）A.3R 1 3B 丁C-9。2D1例9.（2023春河南许曷商一统才期末）已知P 在A4BC所在平面内,满足|巨可=|两|=|PC|，则P 是4 反7的（）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心例10.（2023春四川自贡高一统考期末）直角ARC中，/C=90。,4 3 =4,0 为ABC的 夕 卜 心，O A -O B +O B-O C +O C-O A =（）A.4 B.-4 C.2 D.-2例11.（2023春辽宁丹东高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知。为 的

5、外心，若 AB=1,则AB-AO=（）A.B.C.-1 D.题型四:垂心定理例12.（2023卷河南南阳.方一统考期中）若“为所在平面内一点，且 H A 2+|BC|2=H B2+|泛 非=|宓:+|前 则点是4 45。的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心例13.（多选题）（2023春湖南长沙高一长沙市明檐中学校考期中）已知O,N,P,/在 4 3。所在的平面内，则下列说法正确的是（）A.若=|诟|=五|,则O 是 ABC的外心B.若巨不 两=闻 用=用 同,则P 是 ABC的垂心C.若NM+而+A存=0,则N是 ABC的重心D.若 怎 乩=衣 屈=胡 法=0,则/是4 4 5。的垂心

6、例14.（2023春河南育丘高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）设”是4 3 C 的垂心，且4a+5H B+6H C=6,则 cosNAHB=.HMS31一、单选题1.（2023四川A州落*五中校考二模）已知A4BC的重心为。，则向量后5=（）A.B.-A B+-4（7 C.4 5 +寺AC D.A B +-A C2.（2023全国南三专题练习）对于给定的3C,其外心为。,重心为G,垂心为H,则下列结论不正确的是（）A.AO-AB=A B-B.OA-OB=OA-OC=OB-OCC.过点G 的直线，交4B、于E、尸，若 毋=荏，而=而,则+工=3/1 D.与7与 厂 卒 一+共线ABcosB|/

7、1C|COSC3.（2023.3 川校联考模拟覆测）在平行四边形ABCD中，G 为BCD的重心，AG=xAB+y赤，则3*+y=（）A.j B.2 C.j D.34.（2023秋河南信阳高三校考阶段练习）过 4B C 的重心任作一直线分别交4 3、4。于点D、E,若AD=xAB,AE=夕 4（7,且工9#0,则 +=（）A.4 B.3 C.2 D.15.（2023秋上海高二专题练习）0 是平面上一定点，4、B、C 是该平面上不共线的3 个点,一动点P 满足：和=6 1+4 初+前）,1 0,则直线A P一定通过 4 3。的（）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心6.（2023秋 湖北高二 联考

8、期中）。是丛ABC的外心，AB=6,4C=10,而=xAB+yAC,2x+10y=5,则 cosNBAC=（）A.4 B.C.-p-D.或2 3 5 3 57.（2023湖南高考真题）P 是ABC所在平面上一点，若巨晨 而=闻 刃=两，则 P 是 4 3。的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心8.（2023全国高一寿题练习）已知点O,尸在ABC所在平面内，满小3+1 +。苕=6,|两|=|两|=|用|,则点0 岁依次是4 4 3。的（）A.重心，外心 B.内心，外心 C.重心，内心 D.垂心，外心9.（2023-全国南一专题练习）已知0,4 8。是平面上的4 个定点，4 8。不共线，若点

9、P 满 足 加=5 1 +/1（通+京），其中AW 则点P 的轨迹一定经过 4 8。的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心10.（2023春 安徽安庆高一安庆一中校考阶段练习）在4AB e中，设。是ABC的外心，且 配=4湿+4京，则NR4C等于（）J OA.30 B.45 C.60 D.9011.（2023-全9 高三专题练习）在&AB C中，=45,。是4AB C的外心，则/肥+云 南 的 最大值为（）A.1 B.等 C.3 D.y12.（2023全国高三专题练习）在ABC中，4 8 =3,4 7=4,B C=5,O 为4的内心，若 而 =证+/粉，贝!+=（）A.卷 B.-T-C.

10、堤 D.3 4 6 513.（2023秋四川纬用南二四川省绵相南山中学校才开学考试）若 O,Al,N在 所 在 平 面 内，满足|3?|=|加|=|正|,曲 丽=丽 沈=湿 初，且 丽 +而 +诟 =6,则点O,M,N依次为 4 8。的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，垂心，重心14.（2023着浙江绍兴高二校考学业考试）已知点O,P 在 4 8。所在平面内，且 3司=OB =7 4 两=两 用=用 以，则点O,P 依次是 4 反7的（）A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.（2023春河南龙一校联考期中）已

11、知AAB C的重心为O,边AB,BC,C 4 的 中 点 分 别 为 E,F,则下列说法不正确的是（）A.O A +O B =2ODB.若 ABC为正三角形，则 赤+历 沃?+文 5 2 =（）C.若 加（南 怒）=0,则O 4L B CD.O15+O E +O F =016.（2023全国高三专题练习）如图，”是ABC所在平面内任意一点，。是 ABC的重心，则（）AA.AD+BE=CF B.MA+MB+MC=-3MOC.MA+NSB+A N m +ME+MF D.BC-AD+CA-BE+AB-CF=O17.（2023秋 重庆渝北高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）设。为A45C的外心,且满

12、足2为+3赤+4。4=6,司=1,则下列结论中正确的是（）A.OB-OC=-B.|祠=卓 C.N4=2/C D.sin/A=81 1 2 418.（2023春安微淮北南一淮北弹范大学附属实脸中学校考阶段练习）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的 三角形的几何学 一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这 就 是 著 名 的 欧 拉 线 定 理.在 中，。，G分别是外心、垂心和重心，。为边的中点，下列四个选项中正确的是（）A.GH=2OG B.GA+GB+GC=0C.AH 2OD D.=S&BCG=19.（2023-全国模板fl测）在4ABC中，点。，E分别是BC,

13、AC的中点，点。为4A B e内的一点，则下列结论正确的是（）A.若 而=团，则及5 赤+灰?）B.若近5=2瓦，则 瓦=2说C.若 而=3彷，则 OB=AB+4 O OD.若点。为的外心，BC=4,则）=-120.（2023春河北石家庄高一统考期末）著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知 4BC的外心为。，垂心为H,重心为G,且=3,力C=4,下列说法正确的是（）A.AH-BC=（）B.AG-BC=-士 C.AO-BC=-D.OH=OA+OB+OCO N三、填

14、空题2 1.（2023秋 上海长宁南二上海市筵安中学校考期中）已知入4 3。的顶点坐标4（一 6,2）、3（6,4）,设G（2,0）是 4 B C 的重心,则顶点C的坐标为.22.（2023款山西吕梁高三统考阶段练习）设。为2 AB C的外心，且满足2 0?+3OB+4 O C=0,刘=1,下 列 结 论 中 正 确 的 序 号 为.酒/=-；-；网=2；4 1 =2/C.23.（2023*河北模板很测）已知。为4 B。的外心，4。=3,B C=4,则 文 同=2 4 .（2023款上海嘉定高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知A、B、。为 4 B C 的三个内角，有如下命题：若 是 钝 角

15、三 角 形，则t a n 4 +t a n B +t a n。0 ；若4 A B C是锐角三角形，则c o sA +c o sB 03,5 1其中正确命题的序号是.25.（2023秋天津南开高三南开大学府属中学校考开学考试）在4AB C中，4 3 =3,4 7=5,点N 满足B N =2NC,点O为乙4 5。的外心，则 前 正 的值为.26.（2023*全国高三专题练习）已知G为AAB C的内心，且c o sA -G A+c o s历G B+c o sC-宓=。,则2 7 .（2023*全国高三专题练习）在AAB C中，c o sZ BA C=，若 O为内心，且满足质5 =x A B +y A

16、 C,O则4 +y的最大值为.28.（2023全国南三专题练习）设/为 的 内 心，若4 B=2,BC=2/，A C=4,则 R 郎 =微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【M M.题 型 一 事 心定理题型二:内心定理题型三:外心定理题型四:垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍，(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.二、三角形四心与推论：(1)0 是 力 的重心：S OC-.

17、SACOASA*1：1：1 OA+OB+OC=3.(2)0 是 AABC的内心：S c-SCOA-S A OB=a：b：c oa O A +b O B +c O C =0.(3)0 是 A B C 的外心：SBOC:SCOA:SAOH sin 2 _ 4:sin 2 B:sin 2 c Q sin2 AO A+sin2BOB+sin 2 c o e =3.(4)0 是力BC的垂心:SABO。:SCOA:S OB=t a n A:t a n B:t a n C o t a n A O A +t a n B O B +t a n C O C =6.【方法技巧与总结】AR 4 广(1)内心：三角形的

18、内心在向量7 =可+T=7 T 所在的直线上.ABI 希 卜 用+1宓 I 咒+1两 卜 两 =CQP 为 A B C 的内心.外心：|同 1 =1 两 1 =1 尹 4 O 尸为 A B C 的外心.垂 心：刀 屈=屈 用=用 一 尸为 A B C 的垂心.(4)重心：三1+后引+后方=60。为4?18。的重心.题型一:重心定理例1.（2023舂山东商城高一山东骄城一中校考阶段练习）已知点G是三角形A B C所在平面内一点，满足不才+,+宓=6,则G点是三角形4 8。的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心【答案】D【解析】因 为 函+存 于+瑟=百，所以 至5+己 月=一 定=团.以G

19、A、G B为邻边作平行四边形G4DR,连接G D交A B于点O.如图所示则五=/，所 以 豆 =五,CO是A B边上的中线，所以G点是A3。O的重心.故选:D例2.（2023叁山东高一阶段练习）已 知G是 ABC的 重 心，点。满足 初=发，若=+沙/,则 +为（）A.B.g C.D.1J /J【答案】A【解析】因 为 初=觉，A.所以。为B C中点，又因为G是力B C的重心，/所 以 历 前，/G1 又因为。为8。中点，/I 所以亦荏+小方，B D 0所以 GD-5-（-AB+-rAC）-AJ3+-i-AC,所以3?=沙=卷，所以6+g=.0故选:A例3.（2023卷上海金山高一上海市金山中

20、学校考期末）记 4BC内角4 B,C的对边分别为a,b,c,点G是43。的重心，若8GJ_CG,5b=6c则cos4的取值是（）A59 B 57 c 且 D 坦75 75 15 75【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G是的重心，所以M是BC的中点，故 彳 必 （而+/）,由已知得|肥|=a,4=b,|而|=c,因为 BG，C G,所以 GM=3 B C=y a,1 1 3又因为点G 是AAB C的重心，所以GM=卷G 4,则AM=今。+a =y a,又因为|A/W|2=+(A B +Z e?)?,所以-2=-(c2+b2+2 f e c c o sA),则 9 a2=c2+1/，2 A

21、b2+2b c c o sA,又由余弦定理得 a2=c2+b2-2 b c c o sA,所以 9(，2 +2 f e c c o s/l)=c2+b2+2 b c c o sA,整理得 2 c?+2 b2 5 6 c c o sA =0,因为 5 b =6。,令6 =6 f c(f c 0)，则 c =5 f c,所以 2 x (5 f c)2+2 x (6 k)2 5 X (6k)X (5k)c o s A=0,故选：D题型二t内心定理例4.（2023春江苏宿迁南一沐闲县修还中学校考期末）已知 点P为AAB C的 内 心，N B AC=4兀,AB=1,4。=2,若*=1同 +而,则/1+=

22、.【答案 生萼且【解析】在A B C,由余弦定理得 B C=J A C2+AB2-2A C-A B c o s A B A C=V 7,设O,Q,N分别是边A B,30,力。上的切点，设AN=AO x,则N C=QC=2 -x,BO=3 Q =1 ;r,所以B C B Q+QC =l x +2 x =J1 x=,A由 和=/i荏得，取.荏=6荏+殉.福 即国.网=J+“超荏 n4O=，同 理 由 取 才 而+/）/n2A N=-4 +4，/J r -r C QB联立以及AN=AO=/即 可 解 得：+=37=3 x .不=；?,例5.（2023春陕西冷安无一陕西算大府中校才期中）已知。是平面上

23、的一个定点，4、B、。是平面上不共线的三点，动点P 满足O P =O A+聋e R），则点P的轨迹一定经过 AB C的()A.重心【答案】CB.夕 卜 心C.内心D.垂心【解析】因 为15,为AB方向上的单位向量，*为 方 向 上 的 单 位 向 量,则 半-+二 劣 的方向与乙氏4。的角平分线一致，A B|AC|，可 得 和 一 切（=4+即 AP=4+所以点P的轨迹为/9 4。的角平分线所在直线,故点P的轨迹一定经过 ABC的内心.故选：C.#96.（2023-全 国 高一假期作业）已 知/为 ABC所在平面上的一点，且/口=c,4 7=b,BC=a.若aJA+b苗+c后=6,则/是 八4

24、/3。的（）A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因 为 厉=京+南，后=湿+前,所 以aiA +b I B+c iC=aiA +b(I A +A B)+c(I A +AC)=(a+b +c)iA +b A B +c A C =,所以(a+b+c)I A =(b AB+c A C),所以_(b.而+c 词_/4=a+b +c一（常转荏+小预=一 4TZM+C 国b e AB AC a+6+c c b )=_ h（-AB .AC _ a+b+c1|雨 A C y所以N 在角A的平分线上，故 点/在AB AC的平分线上，同理可得，点/在N B C A的平分线上，故点/在AAB C的内心

25、,故选：B.例7.（2023叁四川成都高一树稳中学校才竞春）在AAB C中，cosl=，O为AAB C的 内 心，若 入5=%;正+小 记（,沙7?）,则出+夕的最大值为（）7-V 7A 2 B 6 A-3 5【答案】D【解析】如图：圆。在边AB,BC上的切点分别为E,R,连接OE,O尸,延长4 9交BC于点。设 Z.OA B=J，则 cos/=cos26=1-2sin%=*,则 sinj=4 4设 AD =A A O =A x A B+A y AC,:8,0,。三点共线，则 温+49=1,即+g=A1 AO AO AO 1 1 -.I.一.，.，A AD A O -O D A O-OF.O

26、F .O E1+近 拓1=1；8-2 瓜8 2A/2而，8-2V2即 a;+U&-彳-故选：D.题型三:外心定理例8.（2023春 湖 北 武 汉 高 一 校 屐 考 期 末）在4B C中，4B=2,AC=3,N是 边BC上 的 点，且 丽=标,。为 A3。的外心，则 福 与5=（）A.3 B.苧 C.-y D.-y4 2 4【答案】B【解析】因为 丽=而，则N是5C的中点，所以=q而+4前，设外接圆的半径为T,所以0 4V=4 9 -(yA C+*4 5)=AC +AB=-1-r x 3 x cosZOAC+r X 2 x c o sZ.OA B=TX3XT+TX2X1=-故选：B.例9.（

27、20234 河南许$高一稣考期末）已知P在ZV16C所 在 平面内,满 足|凡可=|两|=P C，则P是4 6。的（）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心【答案】A【解析】|巨司=|两|=|声 表 示P到A B C三点距离相等，P为外心.故选：A.例10.（2023春四川白贡高一统考期末）直 角ABC中，/。=90。,人口=4,0为4 3。的外 心，O A-O B +O B-O C +O C-O A=（）A.4 B.-4 C.2 D.-2【答案】B【解析卜.直角 A BC中，NC=90,AB=4,O为 力 的 外 心，二O为AB的中点，即O A=OB=2,:.O A +O B=6 且 O A

28、 -O B =OA OB,cosl800=4,.以 屈 +亦正+弧5 1=-4 +弧（5 1 +两=-4+0=-4,故选：B.例11.（2023春辽宁丹东方一凤城市第一中学校考阶段练习）已知。为 4 B C的外心，若力B =1,则AB-AO =（）A.B.C.-1 D.【答案】BC【解析】因为点。为 ABC的外心，设4 B的中点为2连接QD,则OD_LAB,如图所 以 初=屈 （莅+而）=诟 而+通 函=4荏2 +0=J x l2=J/故选：A4nB题型四:垂心定理例12.（2023春河南南用南一饨考期中）若H为4BO所在平面内一点，且|方 君+|SC|2=H B+|不 =|月通|2+1司同2

29、则点”是4 4口。的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【答案】D【解析I丽 +HS2+CA2 HA2+（而 +笳）2=HB2+（C H+HA）2,得 朗 武=司 且 才=宓 切 =0,即 笳_1_诟；HA2+BC2=HC2+AB2 HA+（B H+HC）2=I 宓 +（AH+HB）2,得 丽 蔗=而 说 n丽 而 =0,即 屈_L 前；HB2+CA2=HC+AB2 H B2+（由+锅）2=iic f+（而+画 2,曲 海=彳）说 n面 丽 =0,即 弘_1_0及所以H为 ABC的垂心.故选：D.例13.（多选题）（2023春湖南长沙 方一长沙市明稳中学校考期中）已知O,N,P,/在 A

30、3。所在的平面内，则下列说法正确的是（）A.若|次1|=|砺|=|定|,则O是 ABC的外心B.若 户1 两=两7日=用 巨 乙则P是 ABC的垂心C.若 殖+说+配=0,则N是 A3。的重心D.若 万 京=衣 用=说，而=0,则/是 4R C的垂心【答案】ABCD【解析】对4根据外心的定义，易知A正确；对3,P B-（对 一 用）=闻 淳 =0=01,。4,同理可得：PA JLCB,PC_L4B,所以P是垂心，故3正确；对。，记AB、BC、C 4的中点为D、E、R,由 题 意 醇 +而 =2 N D =-N C,则|M7|=2|ND|,同理可得：|M4|=2|WE|,|7VB|=2 NF,则

31、 N是重心，故 C正确；对D,由题意，C B I A,A C1.I B,BA I C,则I是垂心，故。正确故选：A BCD.例14.（2023春河南商丘 iU一商丘市第一高级中学校考阶段练 习）设H是的垂心，且4豆4+5HB+6 H C=6,则 c o s Z A H B =.【答案】一 密解析；H是ZVIB。的垂心，：.H A B C,H A-B C =H A-H C-H B）=O,:.海 屉=而 怠，同理可得,H B-H C =H C-H A,故互5屈=配 同=超 且5,4Z+5 屈+6 初=6,：.A H A2+5 H A-H B +G H A-H C =0,.a.屈 =一吉|豆?，同理

32、 可 求 得 两.而 =一|说 ，c o sA A H B=丝竺=B HA-畀网-网 网，c o s A 4 H B.H B-H A|同明4 网2网网c o Z.A H B=*，即 c o sZ.A H B=故答案为：一 噜.M M S1一、单选题1.（2023四川泸州济县五中校才二模）已知 ABC的重心为O,则向 量 司=（）A.-AB+-AC B.+-rAC C.r-AB+-AC D.jr-AB 4-ACJ J J J J J o o【答案】c【解析】设E,F,。分别是AC,AB,BC的中点，由于。是三角形4 3。的重心，所以 BO=与BE=x（AE AB-x（-r-A.C AB）=AB+

33、-AC.O O J/J o故选：c.2.（2023全国高三寿题练习）对 于 给 定 的 ABC,其 外 心 为O,重 心 为G,垂 心 为 ，则 下列结论不正确 的 是（），1 9A.AO-AB=-ABB.OA-OBOA-OC=OB-OCC.过 点G的 直 线Z交4 8、A。于E、尸，若 荏=碣而=而，则 十+5=3D.而与一+一一共线ABcosB|A C|COSC【答案】B【解析】如图，设 中 点 为M,则OM_L AB,：.AOcosAOAM=AM,Ad-AB=AdABcosOAB=网（展,OSNOAB）=AB-=司故A正确；OA OB=OA OC 等价于 OA（O B-O C）=0 等价

34、于 0 4 08=0,即 0 4 BC,对于一般三角形而言，O是外心，CM不一定与B。垂直，比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，0 4与B。不垂直，故B错误；设3 C的中点为则 而=1 =?南+态）=1得 通+时通”击 担+壶 祝E,F,G三点共线，.-X-+-=1,即+工=3,故C正确；5/1 0/.1 A）1荏 /庇=涵历+前 历ABcosB 困COS。J 网cosB 国cosC|A B|B C|COS（7T-B）罔瓯COS。|ABjcosB|A 0,则 O P-O A=2A A E则 A P 2 A A E.则直线AP 一定通过 ABC的重心.故选：C.6.(2

35、023 秋湖北高二校联考期中)0 是&4BC 的外心，AB=6,AC=1(),而=xAB +y A C,2x+l()y=5,则 c o s Z.BA C=()A.-1-B.C.D.I 或 去2 3 5 3 5【答案】D【解析】当。在力。上，则。为AC的中点，2=0,?=满足22+10?=5,符合题意，:.AB B C,则 cosZBAG=石；当。不在人。上，取4 8,4 C的 中 点E,连接O D QE,则O 0，4旦OE L AC,故选：D.7.(2023湖南高考真题)P是ABC所 在 平 面 上 一 点，若月不 丽=两 咒=对巨才，则P是 4 3。的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂

36、心【答案】D【解析】因 为 可 屈=丽 困，则 两 (咒 一 两)=屈 冠 =0,所以，P B L 4C,同理可得R4 BC,PC 1.A B,故P是A4BC的垂心.故选：D.8.（2023全国龙一寿题练习）已知点O,P在 ABC所在平面内，满。才+而+。心=6,庐 司=|丽|=|同|,贝1 J点O,P依次是 A B C的（）A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB中点为。，因为小N+。豆+。方=6,所以。+丽+区=2时+五=小，即一2=况，C因 为 彷，而 有 公 共 点O,所以，O,。,。三点共线，即。在 ABC的中线8,/lo 同理可得。在 ABC

37、的三条中线上，即为 4 8。的重心；/I 因为|声胃=|两|=|困A D B所以，点P为AAB C的外接圆圆心，即为 A5C的外心综上，点O,P依次是 4BC的重心，外心.故选：A9.（2023全国龙一专题练习）已知。,A B C是平面上的4个定点，A B C不共线，若点P满 足 赤=?+1（初+/）,其中/任 儿 则点P的轨迹一定经过八4口。的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC边的中点为，则 荏+而=2标，因为点P满足丽（荏+前），其中/所以，。声一。N=存=A（A B +AC）=2A A D,即 A P =2A A D,/所以，点P的轨迹为力BC的

38、中线AD,B D C所以，点P的轨迹一定经过 ABC的重心.故选:A10.（2023春 安微安庆高一安庆一中校考阶段练习）在ABC中，设O是ABC的 外 心，且 而=；通+:丞?,则NB4C等 于（）A.30 B,45 C,60 D.90【答案K：【解析】依题意，因为方方=4 而，所以。也是 ABC的重心，又因为。是 A BC的外心，所以 ABC是等边三角形，所以/氏4。=60.故选：c.11.(2023-全 国 高三专题练习)在 A B C中,AB=禽,N AC B=4 5，。是 A B C的 外 心，则 彩 8方+文 阳 的 最 大 值 为()A.1 B.y C.3 D.y【答案】c【解析

39、】解：由题知，记的三边为a,b,c,因为。是 4 3。的外心，记AB中点为。，则有 O D _ L A B,所以 O D A B -0且 也=4(出+函，所 以 旅.宓+文.屈=出.而+(OD+D C)-A B=C A-C B +O D-A B +D C-A B=CA-C B-C A +CB).A B=C A-C B-y(C/L +C B)-(C B-C A)=C A-C B +y(|C A|2-|C B|2)=b a c o sZ.A CB+a2)-(V 2 a fe +b1-a1)，在A B。中，由余弦定理得：即 a2+62 c2=V 2ab,即 a2+b2-2 =V 2ab,代入中可得：

40、A C-B C +O C-A B =b2-l,在4AB C中，由正弦定理得：a _ b _ c _ 四 _ 2sinA sinB si n C 孱 2 所以 b =2 si n B 所以。4+OB=2OD,所以力正确，.A对于3,因为 4 5。为正三角形，。为 4 3。的重心，/T 所以。4 =0 8 =0。，/4 0 3=/3 0。=/4 0。=120,/设 CL4=OB=OC=a,则O A-O B +O B-O C +O C-O A=OA OB c o sA A OB+OB OC c o sZ BOC+|OC|E OA c o sA A OC=a2cosl20+a2cosl20+a2cos

41、l20=1-a2#0,所以B错误，对于C,因 为 耳（荏 一 怒）=0,所以NO屈 =0,所 以 而 J_C及所以。4 _L B C,所以。正确，对于D,因为边A B B C C 4的中点分别为D,E,尸，所 以 司=（）+说），O E =-（O B+O C）,QF=y（0 4 +OC）,因为O为 ABC的重心，所以 口 =2玩5,所以2团 =-O C,所 以 彷+9+前=2（引+方）+皆（况+砺）+寺（况+正）=O A+O B +O C 2 O D +O C=-5方+五=6,所以。错误，故选：BD16.（2023全 国 高三专题练习）如 图，M是 A3C所在平面内任意一点，。是A4BC的重心

42、，则（）A.AD +B E =C F B.MA+MB +MC =3 MOC.KIA+MB+MC=MD+ME+MF D,B C-AD +C A-B E +AB-C F =O【答案】BCD【解析】对于A选项，由题意可知，D、E、F分别为反7、AC、AB的中点，所以,AD =AB +-BC=AB +-（A C-A B ）=-（AB +AC）,同 理 可 得 或 =/巨5+肥），声 =J（可+2国，所以,Z 5+屈=朱 荏 +而）+5（胡+反，=4（而+肥）=_前,A错；对于B选项，由 重 心 的 性质可知而=告才5,B E =-BO,C F =-CO,由4选项可知，赤 +A至+前 =9（%方+舒 +

43、/）=6，所以，苏+诟 +说=（汨+a）+（荻+丽）+（碱+兄）=3丽 一（而+郎 +诙）=3破,B对；对于C选项，由重心的性质可知Oi5=-A O,O E =-BO,O F =-CO,4 乙 /所以，MD +A 4 E+MF =（MO +O D）+（MO +O E）+（MO+OF）=3MO+y（40+B O +C O）=3 M O,。对；对于D选项，宓.初 二4（冠 一 碉 （而+碉=+（松 一 宿），同理可得C4-BE=5（氏T反丁），AB-CF=+（CB-C 4）,因此，BC-AD+CA-BE+AB-CF=Q,D.故选：BCD.17.（2023秋直庆渝北高二宣庆市两江育才中学校校考阶段练

44、习）设O 为&ABC的外心，且满足2为+3丽+4（元=6,=则下列结论中正确的是（）A.O B-O d=B.|词=卓 C.ZA=2ZC D.sin乙4=58 1 2 4【答案】4 8。【解析】有题意可知：0 4 =0 8=0 0=1.对于 A:2aA+：50B+40C=0 2 0 A =-3 0 B-4 0 C.两边同时平方得到：4|3?=9|两 +16|文 +2 4 9.5方.解得OB-OC=一卷，故力正确.O对于 B:20A+30B+40C=020A-20B=-50B-40C=2A B =50B+40C.两边再平方得到：4|AB|2=25|OS|2+16|OC|2+40OB-OC.结合A可

45、得：|豆 研=乎.所 以B正确.对于 C:2OA+3(5B+4OC=0=3BO=2OA+4OC.两边平方得到：9BO2=4O42+16OC2+16|a4|OC|cosZ?lCC.解得 cos/AOC=一我.同理可得cos乙403=4，cos/BOC=.乙408=2/。，NCOS=2乙4.cos2NC=；V-r,所以 与 2NC V,则 V 4NC 兀，cos2ZA=V，所以r 0-对于B选项，设。为BC的中点，则4G=/1 D,/ZAD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（A C-A B）=-（AB+AC）,所以，怒=_|而=（超+彩），/所以，怒.弱=y（AC+AB）.（AC-AB）=y（A

46、C2-A B2）=j,J A 二错；对于C选项，由外心的性质可知OB=OC,则OD BC,：.A O-B C=（AD+DOyBC=AD-BC=A B +AC）-（A C-A B =A C1-A B2）=,。对；A T-T 4 7对于。选项，由力”O。得 舞 =煞=2,所以力=2 0。，CZJLZ CT 7因 为 五=1+丽=而+4正=赤+贺 云 一 池）=4（而+云），所 以 丽 一 1=加 =2 9=晶 +（5 ,即 而 =2+1 +（5?,。对.故选：ACD.三、填空题21.（2023秋上海长宁甫二上海市延安中学校考期中）已 知A 43C的 顶 点 坐 标4 6,2）、5（6,4）,设G（

47、2,0）是A4BC的重心,则顶点C的坐标为.【答案】（6,6）【解析】设点。（a,b）,/G0）是 ABC的重心，所以,卜+萍；，解 得 仁A，故点。的坐标为（6,-6）.故答案为:（6,-6）.22.（2023秋 山 西 吕 柒 高三统考阶段练习）设。为ABC的 外 心，且满足+3OB+4OC=0,|0司=1,下 列 结 论 中 正 确 的 序 号 为.加 灰?=-=；网=2：N4=2NC.【答案】【解析】由题意可知：OA=OB=OC=1.+3OB+4OC=6,则=-6OB-4OC，两边同时平方得到：4=9+24厢 五+16,解得：砺 5 4=-1，故正确.O 204+3OB+4OC=6,则

48、 -2OB=-5OB-4OC,2BA=-5OB-4OC,两边再平方得到：4|N 同2 =2 5 +1 6 +4 0。豆 五=6.所以|希|=乎，所以不正确.2 3 彳 +3OB+4 O C=0,4 0 0 =-3 O B -2 O A,两边平方得到：1 6 =9 +4 +1 2 0 4 -O B =1 3 +1 2)0 4|O B|c o s Z AO B,C O SZ A O B =j,Z AO S S(0,y),同理可得：c o s/B O C=看，Z B O C E(y,7 t),Z A O B =2 Z C,N C O B =2NA.故c o s 2 C=c o s 2 A?-,且 Z

49、.CC f o,-?-),Z.A G (牛，今),c o s 4 C=2 c o s22 C 1 =2 x (4 i=L.C Os 2 A,即 Z.A 2 4c.故正确.故答案为：23.(2023-河北模板琅测)己知O为 Z V L B C 的外心，A C=3,B C=4,则 用 荏=【答案】【解析】如图：E,R 分别为C B、C A的中点，则O E B C QF A C:.O C-A B O C-(C B-C A O C-C B-O C-C A=(OE+E C)-C B-(O F +F C)-CA=O E-C B +E C-C B-O F-C A-F C-C A=一 4|就一局同2)CA 2

50、 CB =y x (9 1 6)-%.故答案为：一24.(2023款 上海嘉定高二上海市，定区第一中学校考期中)已知A、B、C为 A B C 的三个内角，有如下命题：若 A B C 是钝角三角形，则 ta n?l +ta n B +t a n C 0 ；若 4 8。是锐角三角形，则c o sA+c o s B C 5,其中正确命题的序号是.【答案】【解析】对于，若A4BC是钝角三角形，由t a nC=-t an(A+B)=_ tanA+ta n 5得1 t a n Tit a n nt a nA +t a nB +t a n(7=t a nA t a nB t a nC 仁，有 O V j J