九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题提升训练.pdf

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1、九年级数学中考复习 轴对称最短路径问题解答题专题提升训练(附答案)1 .如图，在 A BC中，已知A B=A C,A B的垂直平分线交A 8于点。，交A C于点E,连接BE.(1)若/A 8 C=6 8 ，求乙4比)的度数；(2)若点P为直线。E上一点，A 8=8,B C=6,求P BC周长的最小值.2 .如图，在平面直角坐标系中，已知A (-4,3),B(-1,-2).(1)请在x轴上画出点C,使H C-B Q的值最大.(2)点C的坐标为,I A C-8 C I的最大值为.VA3 .探究：如图所示，C为线段B D上一动点，分别过点5,点。作A BL BC,E D B D,分别连接 A C,E

2、 C.已知 A B=5,E D=1,8 0=8.设 C Q=x.(1)4 C+C E的值为.(用 含x的代数式表示)(2)请问：当点A、C、E 时，A C+C E的值最小，最小值为.(3)根 据(2)中的规律和结论，请构图并求出代数式x 2+4+(1 2.X )2+9的最小值.4 .在一平直河岸/同侧有A、B两个村庄，A、耳到/的距离分别是3 A m和24,A B=akm现计划在河岸/上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为力，且（%加）（其 中B Pl于点P）;图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度

3、为d 2,且di=PA+PB （km）（其中点4与点A关于/对称，48与/交于点P）.观察计算：（1）在方案一中，dkm（用含。的式子表示）；（2）在方案二中，组长小强为了计算心的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2=km（用含。的式子表示）.探索归纳：（3）当”=4时，比较大小：dd2（填或“”、=”或 V ）；（4）请你把a （当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何5.如图，R t A 4 8 C中，Z C=90 ,A B=5,A C=2,以A 8为边在A B上方作正方形A BD E,过点。作。口L C B,交C B的延长线于点F,连接BE.（1）

4、求证：（2）M,N分别为A C,8 E上的动点，连接A N,M N,求A N+M N的最小值.6.已知：M、N分别是N 4 0 8的边。A、0 8上的定点，（1）如 图1,若N 0=/0M N,过M作射线M 0 B（如图），点C是射线M Z）上一动点，NMNC的平分线N E交射线0 A于E点.试探究/M E N与/MCN的数量关系：（2）如 图2,若 尸 是 线 段0N上一动点，Q是射线M A上一动点.N A O B=2 0 ,当M P+P Q+Q N取得最小值时，求N 0P M+N 0Q N的值.7 .如图，等边A BC (三边相等，三个内角都是6 0 的三角形)的边长为1 0 c m,动

5、点D和动点E同时出发，分别以每秒1。的速度由4向B和 由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为fs,D C和B E交于点E(1)在运动过程中，C D与B E始终相等吗？请说明理由：(2)连接Q E,求/为何值时，DE/BC-,(3)若B M L A C于点M,点 P 为 B M上的点，且使P D+P E最 短.当t=7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由.8.R tZV l B C 中，ZB=9 0,AB=2,BC=4,A C 的中垂线 O E 交 A C 于。，交 B C 于点、E.(1)如 图1,连接4 E,则AE=；(2)如图2,延

6、长。E交A 8的延长线于点F,连接C F,请求出C F的长；(3)如图3,点P为直线D E上一动点，点Q为直线A B上一动点，则B P+P Q的最小值为.9 .如图，/X A B C内接于半径为2的其中NA 8C=4 5 ,Z A C B=6 0Q,C O平分N4 C 8交。于。，点M、N分别是线段C 、A C上的动点，求M A+M N的最小值.1 0.最值问题.(1)如 图1,在A A C B中，有一点尸在A C上移动，若4 8=A C=5,B C=6,求A P+8P+C P的最小值.(2)如图 2,在 R tZi A B C 中，ZA CB=90 ,A C=8 C,点 M 在 A C 边上

7、，且 4 M=2,M C=6,动点P在A 8边上，连接P C、P M,能使P C+P M的长度最短.请通过画图指出点P的位置.求出P C+P M的最短长度.1 1 .如图，SAABC+，A B=A C,点E在线段B C上，连接4 E并延长到G,使得EG=A E,过点G作G B A分别交5 C,A C于 点 凡D.(1)求证：A A B E A G F E；(2)若 GO=3,C D=1,求 A B 的长度；(3)过点。作。H_ LB C于H,P是直线。上的一个动点，连接4兄A P,F P,若/C=4 5 ,在(2)的条件下，求A FP周长的最小值.1 2.如 图，直线a A点A,点。在直线b上

8、，射线A B交直线a于点8,C )J_ a于点C,交射线A 8于点E,A B=12 cm,A E：B E=1：2,P为射线A B上一动点，户从A点开始沿射线A B方向运动，速度为l cm/s,设点P运动时间为f,M为直线”上一定点，连接PC,PD.(1)当 为 何 值 时，P C+P O有最小值，求小的值；(2)当tm G n为(1)中的取值)时，直接写出/P C M、N P D 4与/C P O的关系.备用图1 3 .河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间(如图)，要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线,分别交河岸P。，M

9、N 于 F,G.在A G上取A E=F G,连接E8,E B 交 M N 于 D.在。处作到对岸的垂线。C,垂足为C,那么。C就是造桥的位置.请说出桥造在C O位置时路程最短的理由，也 就 是(A C+C D+DB)最短的理由.1 4 .如 图1,点P是正方形A 8 C D对角线B O上 一 点(不与8,。重合)，P E L 8 c于点E,P F L C D 于点F,连 接 以、EF.(1)请探究线段A P与线段E F的大小关系;图1图2求A P+HP的最小值.1 5 .如 图1,菱形A B C。的对角线A C、8。相交于点0,且A C=6 c i,B D=8 c m,分别过点B、C作A C与

10、B D的平行线相交于点E.(1)判断四边形B 0 C E的形状并证明;(2)点G从点A沿射线A C的方向以2clnls的速度移动了 t秒，连接B G,当SABG=2S0B G时，求f的值.(3)如图2,长度为3 c?的线段G H在射线A C上运动，求8G+B”的最小值.（1）如图，在 A B C中，AO是A B C边B C的高，点E是B C上任意点，若A O=3,则A E的 最 小 值 为；（2）如图，在等腰 A B C中，A B=A C,NB A C=1 2 0,OE是AC的垂直平分线，分别交8C、A C于点。、E,D E=c m,求 A B D的周长；问题解决：（3）如图，某公园管理员拟在

11、园内规划一个a A B C区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路A B、B C和A C,满足NB A C=9 0,点4到HC的距离为2 km.为了节约成本，要使得A B、B C、A C之和最短，试求A B+B C+A C的最小值（路宽忽略不计）.1 7.如 图1,A村和B村在一条大河C O的同侧，它们至I 河岸的距离A C、8。分别为1千米和4千米，又知道C O的长为4千米.（1）现要在河岸C C上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择.方 案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到8村（即A C+4 B）（如图2）；方案2：作A点关于直线CO的对称点A,连接A 8交C

12、D于M点，水厂建在M点处,分别向两村修管道AM 和（即 AM+8M）（如图3）.从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适.（2）有一艘快艇。从这条河中驶过，若快艇。在之间（即点Q 在线段C 上），当OQ为多少时？ABQ为等腰三角形，请直接写出结果.1 8.如图，在三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=120,A D L B C,垂足为。，P 为 A。上的动点，。在 BA的延长线上，且NCPQ=60.（1）如图，当 P 与 A、。不重合时，PC与 PQ的数量关系是什么？说明理由；（2）M 为 BC上的动点，N 为 AB上的动点，8

13、c=5,直接写出AM+MN的最小值.19.在A8C中，A 8=A C,点。是直线BC上 一 点（不 与 8、C 重合），以 4。为一边在AO 的右侧作使 AZ）=AE,Z D A E Z B A C,连接 CE.（1）如图，若NAOE=60,A 8=4 C=2,点。在线段8 c 上，NBCE和N8AC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；当四边形AOCE的周长取最小值时，直接写出8。的长；（2）若NBAC#60,当点。在射线BC上移动，如图，则/8 C E 和NB4C之间有怎样的数量关系？并说明理由.图 图 20.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若

14、鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.AaDbEa-bB1-bA B图1图2【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b.c.显然，ZD 4 B=/B=9 0 ,A C A.D E.请 用a、b、c分别表示出梯形A B C。、四边形A E C 、E B C的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S 梯 形 A8CD=，S EBC=S四 边 形AEC =，则 它 们 满 足 的 关 系 式 为,经化简，可得到勾股定理.【知识运用】(1)如图2,铁路上A、B两点、(看作直线上的两点)相距4 0千米，C、D为两个村

15、庄(看作两个点)，A DLA B,B C L A B,垂足分别为A、B,AD=2 5千米，B C=16千米，则两个村庄的距离为 千米(直接填空)；(2)在(1)的背景下，若A 8=4 0千米，A =24千米，8 c=16千米，要在A B上建造一个供应站P,使得P C=P D,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式1 x 2+9 +(16-x )2+8 1的最小 值(0 x；.|A C -8 c l的最大值为百5，故答案为：(5,0),V l0-3.解:(1)A C+C E=AB2+BC2+CD2+DE2=52+(、_X)2+3+x

16、 2,故答案为：V 52+(8-X)2+V 1+X2;(2)当A、C、E三点共线时，A C+C E的值最小，过A点作A F平行于8。交E C的延长线于点F,得矩形A B 凡 连接4 E.则。尸=A B=5,A F=B D=i,EF=ED+DF=5+=6,所以 A E=7AF2+FE2=VS2+62=1 ，贝i j A C+C E的最小值为10.故答案为：三点共线，10；(3)如图2所示，作8。=12,过点3作A B _L B ,过点D作E D L B D,使4 2=2,ED=3,连接A E交8。于点C,设B C=x,则A E的长即为代数式，乂2+4+/(12-乂)2+9的最小值.过点A作AF/

17、BD交E D的延长线于点F,得矩形ABDF,则 A B=O F=2,AF=BD=2,E F=E D+D F=3+2=5,所以 A E=AM+EM=VB2+I22=13即代数式J x 2+4+4(12_x )2+9的最小值为13.4.解：(1).如图1,作A关于执行/的对称点A,连 接 网，.A和4关于直线/对称，：.PA=PA：,d=PB+BA=PB+B=a+2；故答案为：a+2；(2)因为 3片=。2一 i,A,B2=B k1A,K1=a1-l+52=t z2+24,所以2=Ja2+24；故答案为：，a 2+2 4 ；(3)当。=4 时，d i=6,&=也3，did2；当 4 =6 时，6/

18、1 =8,dld2；故答案为：;(4)d2-dr=(a+2)2-(4 2+2 4)2=4 a-20.当 4 4-20 0,即 5 时，d2-t/22 0,.d-d2 0,:小d2；当 4 a-20=0,即 a=5 时，J i2-(/220,:.di-d2=0,；.di=d2；当4 a-20V 0,即a 5时，_ 疗 0,：.d-J2 5时，选方案二；当”=5时，选方案一或方案二；当l a 5时，选方案一.5.(1)证明：在 R t z X A B C 中，Z C=9 0,DF CB,；.NC=NDF B=90 .；四边形A B D E是正方形，：.B D=A B,ZDB A=9Q,V ZDB

19、F+ZA B C=90 ,N C A B+N 4 B C=9 0,:./DB F=NCA B,在 B D F与 A B C中，rZ D F B=Z A C B=9 0A A B C 0/B DF,：.DF=B C=9,B F=A C=2,F C=B F+B C=9+12=21.如图，连接。M ,顶点A 与顶点D 关于BE对称，:AN=DN.如使得4V+MN最小，只需。、N、历在一条直线上，由于点M、N 分别是AC和 BE上的动点，作交BE于点、N i,垂足为Mi，9：DF/AC,:,AN+MN的最小值等于DM=FC=2.6.解：(1)设/O=/O M N=a,:4M NB=2a,:MDOB,Z

20、AM D=af :NE 平分 NMNC,：./M N E=/E N C,设 NMNE=0,：.N C N B=2a-20,:MDOB,：.NMCN=2a-20,NEMC+/MEN=NENC+NMCN,B+2a-20=a+NM EN,AMEN=a-p,：2/M EN=NM CN；(2)作 M 点关于OB的对称点N 点关于OA的对称点N,连接MW与。氏 OA分别交于点P、点。，连接。乂、0M,:MP+PQ+QN=MN,此时 MP+PQ+QN 的值最小，由对称性可知，/O Q N=/O Q N,/O PM=NO PM,：.ZOPM=ZAOB+ZOQP=ZAOB+(180-/O Q N),V ZAOB

21、=20,NOMP=2000-NOQM NOPM+NOQN=200.NAf7.解：(1)由已知可得EC=t,:AD=CE,ABC是等边三角形A ZA=ZACB=60,BC=ACf：.AADCACEB(SAS),:BE=CD,CQ与BE始终相等；(2):DEBC,A D =A E*A B A C，*：AB=AC=109：.AD=AEfAZ=1O-6：.t=5；(3)VBM1AC,8M平分NABC,作。点关于5M的对称点少交3 c于点D,连接ZXE,交BM于点P,：DP=DP,:.DP+PE=D，P+PE=D、E,1=7,：.AE=BD=3f AD=CE=7,VDDIBM,BM_LAC,：.DD,/

22、AC,:BD=BD ZABC=60,ADD=3,四边形ADDE是平行四边形，：.AD=D,E=1,.PD+PE的最小值为7.：.AE=CE,设 A E=C E=x,贝ij BE=BC-CE=4-x,在RtzXABE中，由勾股定理得：22+(4-x)2=/,解得：碑=立,2即 AE=-,2故答案为:5；2(2)是AC的中垂线，：.AF=CF,设 A F=C F=y,贝ljB F=y-2,在R C B C F中，由勾股定理得：(y-2)2+42=7,解得:y=5,即C F的长为5；(3)方法一：连接C F,过B作BMLCF1于M,交直线O E于P,过P作PQ，_L3F于0 ,如图3所示：.OE是A

23、C的中垂线，：.AF=CF,:./A FD=N C FD,：PM1CF,PQLBF,：.PM=PQ,则点M与Q，关于DE对称，此时BM=BP+PM=BP+PQ,即BP+PQ的值最小=BM,由(2)得：AF=CF=5,A8=2,：.BF=AF-AB=3,V ZCBF=180-NABC=90 ,：./BCF 的面积=1 C F X B M=LBFX BC2 2 .DDlVl_-B-F-X-B-C-_-3-X-4-_,12CF 5 5即B P+P Q的最小值为着，故答案为：125方法二：作点B关于。E的对称点，交 D F 于 G,过点H作H Q L A B于Q,交Q E于点P,如图4所示：则点P、Q

24、就是使B P+P Q最小的点，由对称得：N A F D=/C F D,N A F D=N H F D,BP=HP,FB=FH,Z C F D=ZHFD,.点 C、H、F 三点共线.B P+P Q=H P+P Q=H Q,由“垂线段最短”得：8P+P。的最小值为“Q.在等腰 8F4 中，,:FB=FH,”Q_L8P 过 3 作 BM_LCF 于 M,：.H Q=B M（等腰三角形两腰上的高相等）.由方法一得：B M=.5：.B P+P Q的最小值为差.故答案为：1 2.5图39.解：连接。A,OC,：ZABC=45 ,0A=0C=2,A ZAOC=90 ,，A C=20A 2 V2 X 4 2V

25、 2 过点A 作 4E_LAC,交 CO于点E,过点E 作 E4 于点A 过点A 作 A N AC于点N,:C D平分NACB交。于D,.点A 与点A 关于直线CQ对称，N 的长即为M4+MN的最小值，AC=A C=2&,VZACB=60,；.A N=A Csin60=2&X 亨=&,即 MA+MN 的最小值是血.10.解：(1)从 8 向AC作垂线段B P,交 4 c 于 P,设 A P=x,则 C P=5-x,在 Rt/MBP 中，BPAB2-AP2,在 RtABCP 中,B卢=B d -CP2,：.AB2-APBC2-CP2,.*.52-=6 2 -(5-x)2，解得x=1.4,在 Rt

26、AABP 中，BP=V52-I.42 T 2 3.04=4.g，.,.AP+BP+CP=AC+8P=5+4.8=9.8.故答案为：9.8.(2)如图，过点C 作 CO_LAB于。，延长8。到 C,使。=O C,连接M C,交 A 8于P,则点P 为所求；此时M C =P M+P C=P M+P C的值最小，连接A C,：CO1AB,AC=BC,NACB=90,ZACO=yX900=4 5，V CO=OCr,CO.LAB,：.ACr=CA=AM+MC=8,/O C A=NOCA=45,：.ZCAC=90,:C A_LAC,MC，=VAM2+AC2=V22+82=2/17:.PC+PM的最小值为

27、W I7，故答案为：2 1 7.：.ZB=ZEFG,在ABE和GEE 中，2B=NEFG,ZAEB=ZGEF，AE=EG/.AABEAGFE(AAS).(2)解：如 图 1 中，U：AB=AC,：.ZB=ZACBf:DF AB,：.ZDFC=ZBf：.NDFC=NDCF,：.DC=DF=1,QG=3,：.FG=DG-DF=2,:MABE安XGFE,：.AB=GF=2.(3)解：如图 2 中，；A2=AC=2,.Z B=Z C=4 5 ,：.Z B A C 90Q,JAB/FD,：.ZFDC=ZBAC=90,B P FDLAC：AC=AB=2,CD=,：.DA=DC,：.FAFC,：.ZC=ZF

28、AC=45,./4FC=90,：.DF=DA=DC=,：.AF=y2,：DH1.CF,:.FH=CH,点尸与点C 关于直线PD对称，当点P 与 重合时，的周长最小，最小值=的周长=2+逐.1 2.解：（1）在PCD 中，PC+PDCD,当取等号时，P,C,。在同一条直线上，即点P 与点E 重合,此时PC+PD最小，；.AP=AE,：AE：BE=1：2,AB=2cm,.AE=Afi=4cm,31 1故机=4 时，PC+P。有最小值；(2)当 机 即Y 4时，点P在AE上，过点尸作PH内如图:又：。b,：.PH/a/h,:./PCM=/CPH,NPDA=NDPH,：./PCM+NPDA=/CPH+

29、/DPH,/CPD=NCPH+NDPH,：.NPCM+NPDA=/CPD,当，V4 时，ZPCM+ZPDA=ZCPD；(3)当 机 即 已4时，点P在BE上，过点尸作尸”小如图:：.PH/a/b,：.ZPCM+ZCPH=SO0,ZPDA+ZDPH=SO,:NPCM+NCPH+NPDA+NDPH=360,又 V ZCPD=/CPH+/DPH,：.ZPCM+ZCPD+ZPDA=360,即当 122/4 时，ZPCM+ZCPD+ZPDA=360.当 f12 时，同法可得NPCM=NCPZ)+NPD4.综上所述，14 时，ZPCM+ZCPD+ZPDA=360 或NPCM=NCPD+NPDA.13.解：

30、利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB=(ED+DB)+CD=EB+CD.而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短.14.解：(1)过点P作PG LA 8于点G,图1:点尸是正方形ABC。的对角线8。上 一 点(点P不与点8、。重合),:.G B=G P,同理：PE=B E,：A B=B C G F,：.A G=A B -G B,F P=G F -G P=A B -G B,：.A G=PF,在AAGP和FPE中，A G=PF NA G P=NF PE，G P=PEA AAGPAFPE(SA S),：.A P=E F；(2)取CO的中点G

31、,连接A G,交BD于P,图2；四边形ABC。是正方形，”是A。的中点，G是C。的中点，:.H、G关于8。对称，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使A P+H P最小的点,A P+H P的最小值为AG的长度，：AB=4,：.A D=4,DG=2,G=/AD2+DG2=V 42+22=2 找,.AP+HP的最小值为2遥.1 5.解：（1）结论：四边形BOCE是矩形.理由：CB E/OC,E C/OB,：.四边形O B E C是平行四边形，四边形A 8 C Q是菱形，C.A C1.B D,：.N B O C=90 ,四边形B OC E是矩形.(2)如图2中，.四边形A B C。是菱形,.O

32、A =OC=3 cmf 0 B=0 D=4 cnr,S/ABG 2S&0BG，：.A G=2 0 G,：.2 t=2(3-2/)或2 f=2 (2 f-3),解得t=或z=3,.满足条件的f的值为1或3.(3)如图 2 中，设。G=x,则 BG+B”=X2+4 2+(X_3)2+42,欲求8 G+8”的最小值，相当于在x轴上找一点尸(x,0),使得点P(x,0)到A(0,4)和8 (3,4)的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B,连接A B 交x轴于P,连接B P,此时以+P8的值最小,V A (0,4),B (3,-4),：.A P+PB=A P+PB =A B =g 2 +32=C

33、.B G+B H的 最 小 值 为 伍.1 6.解：(1)是4 B C边B C的高，点E是8 c上任意点,4 0=3,则A E的最小值为3,故答案为：3；(2)：A 8=A C,Z B A C=1 2 0 ,/.Z B=Z C=A (1 8 0 -1 2 0 )=3 0 ,2OE是A C的垂直平分线，：.A D=CD,ND 4 C=NC=3 0 ,：.Z B A D=Z B A C-ZDAC=120-30=90,在 RtA CDE 中，DE=cm,ADCD2DE=2cm,在 RfAB。中，BD=2AD=2CD=4(cm),4B=AOtan60=2代(cm),.AB。的周长为：AO+BQ+AB=

34、2+4+2愿=6+2料(cm).(3)延长CB到点。，使得A B=8,延长8 c到点E,使 得C E=A C,连接4 0、AE,：.ZA D B Z D A B-/A B C,AAEC ZC A E=-/AC B,AB+BC+ACDB+BC+CE2 2=DE,的最小值即为4B+8C+4C的最小值.V ZDAB+ZCAE=-(ZABC+ZAC B=(180-NBAC)=45,2 2A ZDAEZDAB+ZCAE+ZBAC=135,以。E为斜边向下作等腰直角三角形O D E,以点。为圆心，。为半径作圆。，NEAD=180-/O O E=1 3 5 ,.点A在弦DE所对的劣弧，过点A作AP_LQE于

35、 尸，过点。作OH_LDE于4,连接0 4 则AP=2,设 W=x,W J DE=2x,OH=x,O A=O D=x,贝ij A P+O H A O,可得 2+xW&x,.V2-1:.D E的最小值为2x=战=4&+4.V2-1；.AB+BC+AC 的最4、值 为(472+4)km.1 7.解：(1)方案 1：AC+AB=1+5=6,方案 2：AM+BM=AZ B=VcD2+(A C+B D)2=V ii，V 6/6（或 4，（不合题意，舍去）若 AB=BQ2=5 或 48=805=5 时，DQ=V52-42=3;当AQ3=BQ3时，设。Q 3=X，则有+42=（4-x）2+128x=l.1x

36、至 即：DQ=1；o故当D Q=3或工时，A3。为等腰三角形.81 8.解：（1）PQ=PC,理由：如 图 1,连接3P,9：AB=AC,ADLBC,A。是 3 c 的垂直平分线,；.BP=PC,：./BPD=NCPD,：AB=AC,AD1BC,：.ZD AC-ZBAC=60,2.NAPQ=180-ZD AQ-ZB(2P=18O0-120-ZBQP=60Q-ZBQP,V ZAPQ+ZCPQ+ZDPC=O,A ZDPC=180-ZAPQ-ZC PC=180-(60-ZBQP)-60=60+NBQP,:.NDBP=90-ZBPD=90-ZDPC=90-(60+ZBQP)=30-ZBQP,:NDBP

37、+NPBQ=30,/.ZPBQ=30Q-ND8P=30-(30-NBQP)=/B Q P,：.BP=PQ,:BP=PC,：.PQ=PC；(2)如图2,作 A 关于BC的对称点A,作 A N IA B 于点N,交 BC于点M,则此时AM+MN的值最小，S.AM+MN=AN,：.ZBAD=60连接4B,.ABA是等边三角形，：.AN=BD=,2即：AM+MN的最小值是21 9.解：(1)NBCE+NBAC=180；如图1：/ABD jA C E,：.BD=EC,/四边形 ADCE 的周长=AQ+OC+CE+AE=AO+OC+3O+A：=8C+2A。，当A拉最短时，四边形ADCE的周长最小，即AOJ

38、_BC时，周长最小;U：AB=AC,：.BD=-BC=1；2(2)ZBCE+ZBAC=180；理由如下：如图2,A与CE交于尸点，,/BAC=/DAE,；NBAD=/CAE,9：AB=AC,AD=AE,：.AABDAACE,ZADB=ZAEC,/AFE=NCFD,：.ZEAF=ZECDf9：ZBAC=ZFAE,ZBCE+ZECD=O,：.ZBCE+ZBAC=SO；.AO_LA3,BC.LAB,B D C图12 0.解：【小试牛刀】答案为：Xa Q+6),(62 2【知识运用】(1)如图2,DE二二二二二工A B图21B c D图2-i),c2,a(a+6)=b(a-b)+2 2 2 2连接。，作CELAO于点E,：BC=AE,CE=AB,：.D E=A D -AE=25-1 6=9 千米,*-CD=VDE2-K；E2 =VO2+4 O2=41 千米，.两个村庄相距4 1千米.故答案为4 1.(2)如图2 所示:在 RtA A D P 中，DP2=A P2+AD2=?+2 42,在 RtZ i B PC 中，CP1=B P1+BC1=(4 0 -x)2+1 62,:PC=PD,；./+2 4 2=(4 0 -x)2+1 62,解得x=1 6,即A P=1 6千米.【知识迁移工如图3,代数式J 3日;71的最小值为：V (9+3)2+162=2 0-