八年级数学秘籍-活用几何基本图形解题事半功倍含答案.pdf

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1、活用几何基本图形，解题事半功倍几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现.因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.8 字型一、基本图形1.“8 字”形结论：N 4+N B=/C+N D；2.双垂直A结论：NCAD=NCBE；结论：ZA=ZBCD,NB=NACD；3.与角平分线有关的三个重要结论(1)双内角平分线A条件：Z1=Z2,Z 3=Z 4,结论：Z5 OC=9 0+-ZJ；2证明：ZA+ZABC+ZACB=S O,ZB OC+Z2+Z4=1 80,即：ZT4+2Z2+2Z4=180,Z2+Z4=9 0-ZTI,2.,.ZB OC=1 80-(Z2+

2、Z4)=9 0+2 N N；2(2)一内角平分线，一外角平分线条件：Z 1=Z2,Z 3=Z 4,结论：Z O=Z 4；2证明：Z4=Z2+ZO,2/4=2/2+/,可得：ZO=-Z/1；2(3)双外角平分线A条件：Z1=Z2,Z 3=Z 4,结论：ZB OC=9 0-Z/4；2证明：ZA+ZABC+ZACB=S O 0,Z5 OC+Z2+Z4=1 80,即：Z/i+1 80-2 Z2+1 80 -2 Z4=1 80 ,Z2+Z4=9 0+l ZJ,2A Z5 0 C=1 80-(Z2+Z4)=90-Z A；24.四边形外角N 1与N 2是四边形48 8的外角，结论：Z1+Z2=ZJ+ZB；5

3、.飞镖模型N BO C=N 4+N B+N C6.与面积相关如上图所示，D、E、尸分别是 NBC各边的中点结论：图中，SAOF SAAOE=SBOF SCOE=SBOD SCOD二、典例解析【例1-1】(安徽淮南月考)如图，8尸是/8 C中/N 8 C的平分线，C P是N Z C 8的外角的平分线，如果N ABP=20,ZACP=50,则 NN=().A.60 B.80 C.70 D.50A解：尸是 4 8 C中/8 C的平分线，C P是/C 8的外角的平分线，ZABP=20,ZACP=50,：.N 4 BC=2N ABP=4 0,ZACM=2ZACP=100,：.ZA=ZACM-ZABC=6

4、0故答案为4【例1-2】(平原县月考)如图，在四边形/8 C O中，Z A +Z D=a,N/18C的平分线与/S C O的平分线交于点尸，则/P=()DA.90-a B.90 H-a C.a2 2 2D.360。一aC解：由四边形的内角和定理知：N/8C+N6cz360。一（/4 +N。）=360。一a,1 1 zy由角平分线的定义可得：NPBC+NPCB=Q（NABC+NBCD）=-（360-a）=180-y,/p=180 (180-?=故答案为C.【变 式 1-1】（陕西西安 高新一中月考）己知，如图，/XON=90。，点4、8 分别在射线OX、OY上移动,BE是N W 的平分线，BE的

5、反向延长线与NO/18的平分线相交于点C,试问NACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点/、B 移动发生变化，请求出变化范围.NACB的大小始终保持45.解：作/4 8 O 的平分线交Z C 于点）,则 A B D A=1 80-(ZD J B+/D B 4)=1 80-；(Z 0 A B+N 0 B A)=1 3 5 ,因为8。，BE分别是N O区4和N Y 8/的平分线，所以B D L C B,所以 N 4CB=A B D A-N D B C=1 3 5-9 0=4 5.即NA C B的大小始终为4 5 .【变 式1-2(武城县月考)如图，/8C中，B D平分NA B

6、C,且与 N B C的外角N 4CE的角平分线交于点D.(1)若 NZ8C=7 5。，ZACB=4 5,求 的度数；(2)若把/截去，得到四边形M N C8,如图，猜想/M、N N的关系，并说明理由.(1)Z =3 0；(2)Z O=(Z M+Z N-1 80)；2解：(1)V Z A C E=Z A+Z A B C,：.Z A C D+Z E C D=Z A+Z A B D+Z D B E,Z D C E=Z D+Z D B C,又BD平分/A B C,CD平分/AC E,：.ZABD=ZDBE,ZACD=ZECD,；,/A=2(/D C E-/D B C),N D=/D C E-/D BC

7、,：.ZA=2ZDfV ZJJ?C=75,N4C8=45。ZJ=60ZZ30 ND=；(/+NN-180。)理由：延长8/、CN交于点、A,则/A=/B M N+/C N M 180NO=-Z A=-（NM+NN-180。）.2 2【例 21（广东模考）如图所示，N。的度数是（）A.10 B.20 C.30 D,40A.解：如图:Zl=300+20=40+Za,则/a=10。，故答案为4【例2-2】(霍林郭勒市月考)如图1所示，称“对顶三角形”,工4 f(2)B(3)(4)利用这个结论，完成下列填空.(1)如 图(2),ZA+ZB-ZC+ZD+ZE=_；(2)如 图(3),ZA+ZB+ZC+Z

8、D+ZE=_；(3)如 图(4),Z l+Z2+Z3+Z 4+Z 5+Z 6=_(4)如 图(5),Z l+Z2+Z3+Z4+Z 5+Z 6+Z 7=_(1)180,(2)180,(3)360,(4)540解：如图：(1)VZ1,N 2的和与NO,N E的和相等，其中，ZA+ZB=ZC+ZDr NZ+N8+NC+NO+NE=NN8+NC+N1+N2=180。；故 1 80 ；(2)VZ1,/2的和与/,/E的和相等，,ZJ+ZB+ZC+Z)+Z=Z/1 4-ZS+ZC+Z1+Z2=1 8O0；故 1 80 ；(3)Z 1,N 2的和与N7,N 8的和相等，Z l+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

9、Z7+Z8+Z3+Z4+Z5+Z6=3 6 0 ；故 3 6 0 ；(4)V Z6,/7的和与/8,/9的和相等，.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z8+Z9=5 4 0.(1)N 4+N B=N C+N D；(2)5 4 0 ；(3)2ZP=ZD+ZB.故 5 4 0 考三鼻4【变 式1-1 (1)如 图1我们称之为“8字形”，请直接写出(2)如图 2,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=_度；(3)如图3所示，已知N1 =N2,N3 =N 4,猜想ZP,图1 图2 图3N B,ZC,N O之间的数量关系:之间的数量关系，并证明.B解：(1)

10、A+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=1 80 ,NAOD=NBOC,，N4+NB=NC+ND,故 N/+N 8=N C+N O；(2)如图，V Z6,N 7的和与N8,Z 9的和相等，Z 1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=N l+N2+N3+N4+N5+N8+/9=5 4 0 ；(3)NDAP+ND=NP+NDCP,NPCB+NB=NPAB+NP,：/DAB和NB C。的平分线AP和CP相交于点P,/DAP=ZPAB,4DCP=NPCB,+得：NDAP+ND+NPCB+NB=NP+NDCP+NPAB+NP,即 2ZP=ZD+ZB.【变式1-2】(广东广州月考)如图，已知BC与DE交

11、于点、M,则/Z+N B+N C+N O+/E+/尸的度数为I)/B360解：连接BE.CQM 和中，4 DMC=/BME,：./C+/D=/MBE+/B E M,：.NA+NB+NC+ND+/E+NF=/A+NB+NMBE+NBEM+NE+NF=NA+NF+NABE+NBEF=360。.故 360.【例3】（安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求NZ=90。，N8=32。，Z C=21,当检验员量得NBDC=T45。,就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？这个零件不合格.理由见解析.解：如图，连 接 并 延 长，：/l=NB+NB4D,N2=NC+NC/O,V ZA=90f Z5=32

12、,ZC=21,：.ZBDC=Zl+Z2,=N B+N B A D+N D A C+N C,=Z B+Z B A C+Z C,=32+90+2 1,=143,：143 彳 145,这个零件不合格.【变式3-1】(山西盐湖期末)探究与发现：如 图 1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，(I)观察 规形图”，试探究N8DC与N力、NB、NC之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图2,把一块三角尺X K Z 放置在/8 C 上，使三角尺的两条直角边XKAZ 恰好经过点8、C,ZA=4 0,则Z A B X+Z A C X等于多少度

13、；如图3,0 c 平分乙4。8,EC 平分N 4 E B,若/Z/E=40。，乙D 8 E=130。，求乙D C E 的度数；如图 4,ZABD,N/8 的 10 等分线相交于点 G i、G.、G g,若N 8 O C=133。，ZBGiC=10,求N Z的度数.见解析.解：（1）如图，连接/。并延长至点RnJW Z.BDF=ZBAD+ZB,NCDF=NC+NCAD,：ZBDC=ZBDF+ZCDF,ZBAC=ZBAD+ZCAD,：.NBDC=N4+NB+NC；(2)由(1),可得：N4BX+N4CX+N4=NBXC,V ZA=40,N8XC=90。，N/BA，N4C=90-4(T=50；由 ，

14、可得NDBE=NDAE+NADB+N4EB,：.ZADB+ZAEB=ZDBE-ZDAE=130-40=90o,：.-(ZADB+ZAEB)=90-2=45,2：DC 平分/NOB,EC 平 分/NEB,NADC=-NADB,NAEC=-ZAEB,2 2NDCE=NADC+NAEC+NDAE,=-(ZADB+ZAEB)+ND/E=85。；2由得/8 G i C=，(ZABD+ZACD)+ZA,10：ZBGiC=10,设乙4为x。,ZABD+ZACD=3 3-x/.(133-x)+x=7 0101.13.3-x+x=7 0,10解得x=6 3,即NZ的度数为6 3。.【变式3-2】(山东岱岳期末)

15、如图1六边形的内角和N 1+N 2 +N 3+N 4+N 5+N 6为加度，如图2六边形的内角和/1+/2 +/3+/4+/5+/6为度，则，一=.0解：如 图1所示，.,.加=N1+N 2+N 3+N 4+N 5+N 6=18 0 x 2+36 0=7 2 0如图2所示，；.=N1+N 2+N 3+N 4+N 5+N 6=18 0 x 4=7 2 0=0故答案为0.【例 4】（唐山市月考）如图所示，在ABC中，己知点。，E,尸分别是8C,AD,CE的中点，5Ac=4平方厘米，则SABEF的 值 为（A.2 平方厘米C.平方厘米2B.解：是 8 c 的中点,5AJ5D=SAJCD=y SABC

16、=y x4=2c/n2,是 4）的中点,SBD后SH D声y x2=lczn2,S&BEr=(S&BDm SK D E)=-X(1+1)5.1平方厘米D打方厘米=1C/M2.故答案为艮【变式4-1（山东历下期中）如图，ZBC的面积为1.第一次操作：分别延长N B，B C,C 4至点4,B 1,G，使 4 6 =4 6,B1C=B C ,C,A=C A,顺次连接4,4，C,得 到 第 二 次 操 作:分别延长 4 4，B ,4 至点 4,B2,C2,使4 4 =4 4,B S =B ,G 4=G 4,顺次连接A.,B2,C2,得到 A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020,最少

17、经过多少次操作（）A.4 B.5 C.6 D.7A.解：连接4 C,如图，：AB=AiB,N8C与8C的面积相等,面积为1,S&A、BC=1 :BB=2BC,SAA、BB-2S&ABC=2,同理可得，SAG&C=2,2,*,S&B、GS c、BC+S/X H&G +S“2+SM B C=2+2+2+l =7；/2&C 2 的面积=7 x A/|8 i G 的面积=49,第三次操作后的面积为7 x 49=343,第四次操作后的面积为7*343=2 401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2 02 0,最少经过4 次操作.故 4【变式4-2 （台州市月考）在四边形4 88中，尸是4。边上任意

18、一点，当4户=时，S.PBC与S，ABC和 之 间 的 关 系 式 为：;一般地，当/尸=,（表示正整数）时，S.P B C与S“BCn和we之间关系式为：c J_q 1 J_ Q Q _ J_ v-L -1 qAPBC C ADBC T c A ABC；APBC-ADBC 丁 0 A ABC2 2 n n解：*：AP=-AD,aZB尸和48。的高相等,2 S,%ABPI s2 AABD9：P D=AD-AP=AD,C D P 和 C D 4 的高相等,2S&CD尸 S2CDA，SPBC=S四 边 形 ABCD-SABP-ACDP=S 四边形ABCD-ABD-QSCDA二 S 四边形ABCD-

19、5（5 四边形ABCD-SADBC）-Q（S 四边形ABCD-AABC3一 2 ADBC 丁 2 A ABC；当（”表示正整数）时，nU：AP=-AD,A B尸和48。的高相等，n ABP=-&A B D nn ：PD=AD-AP=-AD,C O P 和 C 的高相等，n s-nSn OAPBCS 四边形ABCD-S&ABP-SCDPsS口四边形 ABCD AABDnACDAnS 四边形ABCD 一 7 （S 四边形ABCD-ADBC）/（S 四边形ABCD-AABC一 _L q i -1 c一ADBC 丁 0AABC;n n故 SPBCJ _ S _|_J_c.-S+-!-SC ADBC T

20、 C A ABC APBC 一 ADBC 丁 0 A ABC,2 2 n n【例5】（庆云县月考）探究与发现:（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？B图图图3已知：如图，/之。与NEC。分别为 4X 7的两个外角，试探究/与NFQC+NECD的数量关系,并证明你探究的数量关系.（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图，在中，DP、CP分别平分/4 3 C和NZC。，试探究N 4与N P的数量关系，并证明你探究的数量关系.（探究三）若将“DC改成任意四边形/

21、8CZ）呢？己知：如图3,在四边形48C。中，DP、CP分别平分N/DC和/8 C。，试利用上述结论直接写出/N 8与N P的数量关系见解析.解：探究一：V ZFDC=ZA+ZACD,ZECD=ZA+ZADC,：.ZFDC+ZECD=A+Z.A CD+ZA+ZADC 180+Z/4；探究二：,:DP、CP分别平分乙IOC和/CD,ZPDC=ZADC,ZPCD=NACD,2 2NP=180-ZPDC-ZPCD=180-ZADC-NACD2 2=180-L(.ZADC+ZACD)2=180-(1800-2=9 0。+上 N小2探究三：:D P、C 尸分别平分N 4 Z X 和N 8 C。，Z P

22、D C=/ADC,N P C D=/BCD,2 2/.Z P=1 8 0 -Z P D C -Z P C D=1 8 0-Z A D C -Z B C D2 2=1 8 0-Q A D C+/B C D)2=1 8 0-(3 6 0 -Z J -Z B)2一(N 4+N B).2故探究一：ZF DC+ZE CD=S 0+ZA；探究二：Z P=9 0 +-Z；探究三：Z P=-(ZA+ZB).2 2【变式5-1】(河南宛城月考)问题情景：如 图 1,A 4BC中，有一块直角三角板PMN放置在A 48C上(尸点在A 48C内)，使三角板尸 网 的两条直角边尸加、PN恰好分别经过点8和点C.试问乙4

23、 8 P 与Z A C P是否存在某种确定的数量关系？(1)特殊探究：若乙4 =5 0，则 44 8 C +4cB=度，N P BC+N P CB=度，ZABP+ZACP=度；(2)类比探索：请探究48P+N/C0与 NZ的关系；(3)类比延伸：如图2,改变直角三角板尸MV的位置；使尸点在A 48c外，三角板尸MN的两条直角边PM、尸 N 仍然分别经过点8和点C,(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.(1)130,90,40；(2)ZABP+A A CP=90-,理由见解析；(3)不成立，ZACP-ZABP=90-ZA解：(1).4=50,N/8C+N/C8=180-50=

24、130,VZP=90,NPBC+NPCB=900,：.ZABP+ZACP=130-90=40.故 130,90,40；(2)结论：ZABP+ZACP=90-ZA.证明：V90+(NABP+N4CP)+/Z=180,ZABP+ZACP+ZA=90,：.ZABP+ZACP=90-ZA.(3)不成立；存在/C P-N/8 P=90。-/.理由：48C 中，ZABC+ZACB=80-ZA,：ZMPN=90,：.NPBC+NPCB=90。,，CZABC+ZACB)-QPBC+NPCB)=180-N4-90,即 N4BC+NACP+N PCB-NABP-N4BC-NPCB=9Q。-N 4,：.ZACP-Z

25、ABP=90-ZA.【变式5-2(吉林宽城期末)将三角形纸片N 8C 沿。E 折叠，使点4 落在点力处.(感 知)如图，若点4落在四边形5C D E 的边8 E 上，则 N Z 与N1之间的数量关系是（探究）如图，若点4落在四边形3C D E 的内部，则 N Z 与 N1+N 2 之间存在怎样的数量关系？请说明理由.（拓展）如图，若点落在四边形5 C D E的外部，Z l=8 0,N 2 =24,贝I NN的大小为 度.图图图感知：Z 1=2 Z J；探究：2/Z=N l+N 2,理由见解析；拓展：2 8解：【感知】根据外角定理，易得2乙4 =/1【探究】2 N Z=N l+/2.理由：连结4

26、 4，,；N1=NDAA+NDA4,N2=NEA4+NE44,：.Z+Z2=ZDAE+ZDAE,由翻折，得NDAE=ND4E：.2ZDAE=Zl+Z2：.2ZA=Z1+Z 2【拓展】V Z 1=8 O 二 ZADE=ZEDA=50设/DEB=x,由 N 2=2 4。，贝U N Z D=x+2 4。AX+X+24=180Ax=78.Z=78-50=28故为28度.三、习题专练1.（安徽淮南月考）如图，N4+N8+NC+NO+NE+NE=360解：如图所示,N1=N4+NB,Z2=ZC+ZD,N3=NE+/F,：.Z 1+N2+N3=NZ+N8+NC+NQ+NE+N又N 1、N2、N 3 是三角形

27、的三个不同的外角,AZl+Z2+Z3=360o,，N4+NB+NC+NO+/E+N尸 =360。.故答案为360。.2.（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形/8 C。中，N/B C 与 的 平 分 线 的 交 点 E恰好在A.Z A+Z D -4 5 C.1 8 0 -(Z J+Z D)DB.(4+N。)+4 5 21 1D.Z A+ND2 2解：四边形的内角和=3 6 0。,，N/8 C+N 8 C Q=3 6 0 -(ZA+ZD),V Z A B C与NB C D的平分线的交点E恰好在A D边上,AEBC=-AABC,NECB=-NBCD,2 27.ZEBC+NECB=g(NZBC+N

28、BCD)=k 360。一(4 +/.Z S C=1 8 0 -Q E B C+N E C B)=g(N/+N。),故答案为。.3.（山东潍坊期末）如图，点。是 4 8 C 的边8c的延长线上的一点，线交于点小，/小 3c的平分线与/4C。的平分线交于点幺2,依此类推.为.（用含a 的代数式表示）./A B C的平分线与Z A C D的平分,已知N/=a,则N Z 2020的度数AiAiBCD1-2-2-0-2-0o解：在 N 8 C 中，NA=NACD-N4BC=a,./月 8。的平分线与/。的平分线交于点出，：.Z A i=ZAtCD-ZAiBC=(N4CD-NABC)=ZA=-a,2 2

29、2同理可得N/2=N4=a,2 2211/小=一/血=-r a,2 23以此类推，AA202Q=a,故人 一220-20a4 .（信阳市月考）如图，BE、C E是/8 C的角平分线，N历1C=8 O。，BE、C F 相交于。，则N8OC 的度数是.13 0.解：ZBDC=90+1-ZBAC=30.25 .（惠州市月考）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=度.180.解：N 2 是O 3C的外角，N8+NC=N2,V Z 1 是的外角，N4+NE=N1,VZ1+Z2+ZD=18O,Z.N4+N8+NC+NO+NE=180.故答案是：180.6.（商城县月考）如图，ZBC的两个内角平分线相交于点P

30、,过点尸向/以 力。两边作垂直线4、小若N 1=40。，则N8PC=.110.解：如下图所小:Z A/P A M18 0o-Z l =l 4 0,四边形 AM P N 中，Z =3 60-9 0-9 0-14 0=4 0,:P C、尸8分别是/Z C 8和N/8 C的角平分线，,Z 2+Z 3=y Z J C 5+y N 4 BC=g(4 CB+N/BC)=；(18 0-Z J)=y xi4 0=7 0,.在尸8 c 中，Z CP S=18 0-(Z 2+Z 3)=110,故 110.7.(临沐县月考)如图，Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6+Z 7=.5 4 0.解：由三角形的外

31、角性质可知/6+N 7=/8,.,.Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6+Z 7=Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 8,X V Z 1+Z 2+Z 3+Z 10=3 60,Z 4+Z 5+Z 8+Z 9=3 60,Z 10+Z 9=18 0,.,.Z l+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 8=(Z1+Z 2+Z 3+Z 10)+(Z 4+Z 5+Z 8+Z 9)-(Z 10+Z 9)=5 4 0.8.（霍林郭勒市月考）如图，8小 和C小 分 别 是 的 内 角 平 分 线 和 外 角 平 分 线，比12是N/归。的角平分线，Ch是N 4 CD的角平分线，历13是乙42 8

32、。的角平分线，。3是 的 角 平 分 线，若N4=a,则N 42018 为.a萍解：:/山 是N48C的平分线，4 C是N4C。的平分线,A AABC=A ABC,NAICD=L N ACD,2 2X V Z A C D=Z A+Z A B Cf ZAiCD=ZABC+ZAif：.(N 4+N 48C)N45C+N4,2 2/.Z J|=NA,2*/Z J i=a,同理理可得/4 2=工Z-A=a,2 2a贝!j Z J 2 O I8=7 7 .29.（四川师范大学附属中学期中）如图，已知/8 C中，/N=6 0。，点。为 N B C内一点，且/80 C=14 0,其中O山平分N/8 O,Oi

33、 C平分N/C O,。2 8平分乙4 8。1，0 2 c平分乙4 c o i，。”8平分NZ8。”.1，0,C平分N/C O“I,，以此类推，则N 8 0C=,/8。2。17。=.100；60+()2017 x8 0.解：如图，VZ5OC=14 0,/.Z l+Z 2=18 0 -14 0。=4 0。.，N/80+4co=18 0-60-4 0=8 0.点。是N/BC与/NC 8的角平分线的交点，.N 8 O iC=18 0。-(X80+40)=1 0 0。.2/8。2。=18 0-120-(N4B O2+NA C O2)=8 0.依次类推，Z5 0201 7 C=18 0-120-(y )a

34、。喙。=60。+(/)2017 x 8 0故 100,60+(y )2017 x 8 0.1 0.（重庆月考）如图，瓦分 别 为 四 边 形 的 边 力 民8C C 2Z M的中点，并且图中四个小三角形的面积之和为1,即S1+S2+S3+S4=l,则图中阴影部分的面积为.Y E、尸、G、分别为4 8、BC、CD、D 4的中点，:S&BCE=S&ACE，S&ADG=S”CG，S2ABH=S 2BH，SK D F=SBDF，._ _ 1 SBCE S ADG=SDB/f S&BDF=-S 四 边 形 488，Si+S四 边 形 见0人 户+&+S2+S 四 边 形/0/)+S=S 四 边 形 反w

35、八 尸+S 阴 影+S四边形HQPD，*S+S4+S2+S3=S 阴影，V Si+S2+S3+S4=1,S阴影=1 故1.1 1.（江苏祁江期末）（1）如 图1,4BC D,点E是在AB、C。之间，且在8 Q的左侧平面区域内一点,连结 8E、D E.求证：NE=NABE+NCDE.（2）如图2,在（1）的条件下，作出/或。和NEZM的平分线，两线交于点尸，猜 想/、A ABE,/C D E之间的关系，并证明你的猜想.（3）如图3,在（1）的条件下，作 出 的 平 分 线 和EO8的外角平分线，两线交于点G,猜想4G、NABE、/C A E之间的关系，并证明你的猜想.（1）见 解 析（2）见 解

36、 析（3）2ZG=ZABE+ZCDE解：如 图,过点E作EH4B,NBEH=NABE,:EHAB,CD/AB,：.EH/CD,NDEH=NCDE,：.NBED=NBEH+/DEH=NABE+NCDE；(2)2NF-(ZABE+ZCDE)=180,理由：由（1）知，NBED=NABE+NCDE,：ZEDB+ZEBD+ZBED=80,，N EBD+N EDB=180。-N BED=18。-(NABE+NCDE),YBF,D F分别是NDBE,N 8D E的平分线，：./EBD=2NDBF,4EDB=2NBDF,：.2 ZDBF+2 ZBDF=180-(ZABE+ZCDE),：.NDBF+NBDF=

37、90-(ZABE+ZCDE),2在8。尸中，ZF=S00-C ZDBF+ZBDF)=180-90-y(ZABE+ZCDE)=90+y(NABE+NCDE),即：2NF-(N4BE+NCDE)=180；(3)2ZG=ZABE+ZCD E,理由：由(1)知，ZBED=ZABE+ZCDE,:BG是NEBD的平分线，二 ZDBE=2ZDBG,.DG是NEOP的平分线，ZEDP=2ZGDP,：.ZBED=ZEDP-ZDBE=2ZGDP-2ZDBG=2(ZGDP-ZDBG),/.Z GDP-ZDBG=Z BED=(NABE+NCDE)2 2/.ZG=ZGDP-NDBG=(NABE+Z CDE)，2：.2Z

38、G=NABE+Z CDE.1 2.(莆田月考)如图，点。为NBC的边8 c的延长线上一点.(1)若/:ZABC=3：4,ZJCZ)=140,求NZ 的度数；(2)若N/8C的平分线与N/CD的平分线交于点M,过点C作于点P.试探究NPCM与N4的数量关系.见解析.解：（1）:NABC=3：4,设 N/=3k,ZABC=4k.ZACD=ZA+ZABC=40,3 竹4 4 140,解得仁20。，ZJ=3=60.（2）：/A/CZ）是A/8C 的外角,NM=NMCD NMBC.同理可得：NA=/ACD-NABC.,:MC,A/S 分别平分N N C。，NABC,：.ZM-ZA C D-ZA B C

39、=-(ZA C D-ZA B C)-ZA.2 2 2 2:CP IBM,：.ZPCM=90-ZA.21 3.(全国月考)如图，四边形/8C。中，BE、。尸分别平分四边形的外角/M 8C和NNDC,若NBAD=a,ABCD=p.(1)如图，若a+A=150。，求/M 8C+NNDC的度数；(2)如图，若8E与。尸相交于点G,NBGD=30。,请写出a、4所满足的等量关系式；(3)如图，若a=0,判断5E、。尸的位置关系，并说明理由.图 图(1)150；(2)-a=60：(3)BE/D F,理由见解析(1)解：(1)在四边形 4 8 8 中，ZBAD+ZABC+ZBCD+ZADC=360,：.ZA

40、BC+ZADC=36O-(a+夕)，ZMBC+NABC=180,ZNDC+NADC=180A ZMBC+ZNDC=180-ZABC+1800-ZADC=360-(NABC+NADC)=360-360-(a+/f)=a+p,：a+0=150,，ZMBC+ZNDC=5O；(2)p-a=60理由：连接8。,由(1)得，NMBC+NNDC=a+0,；BE、DF分别平分四边形的外角NMBC和ZNDC,：.ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,2 2：.ZCBG+ZCDG=-NM8C+；NNDC=；(NMBC+NNDC)=*a+m，在ABCD 中，ZBDC+ZCDB=SO-ZSCZ)=180-/,在

41、 BDG 中，Z GBD+Z GDB+Z BGD=180,ZC5G+Z CBD+Z CDG+ZBDC+ZBGD=180,(Z CBG+Z COG)+(ZBDC+Z CDB)+ZBGD=180,y (a+)+180-+30=180,：.fi-a=60；平行，理由：延长8 c交。F于4,由(1),/MBC+/NDC=a邛,*：BE、。厂分别平分四边形的外角NM8C和NNDC,：.Z C B E=-Z.MBC,/C D H=/NDC,2 2/CBE+NCDH=：ZMBC+-4N D C=g(/M B C+/N D C)=g(a+夕),V Z BCD=Z CDH+ZDHB,/./CDH=/BCD-/D

42、HB=-/DHB,：./CBE邛-ZDHB=；(a+8),/CBE邛-/DHB=g(JJ+B)=B，：/CBE=/DHB,：.BE/DF.14.(贵州赫章期末)数学问题：如图，在N 8 C 中，/=20,N 43C,N 4C 8的2020等分线分别交于点,。2,.,。|。,。2020,根据2020等分线等分角的情况解决下列问题：(1)求/B O。的度数.(2)求/BO3。的度数.(3)直接写出N 8 O 2020C的度数.见解析.解：V Z.A=20,，NABC+NZC8=180-NN=180-20=160,；8。广 C。分别是NABC和NACB的二等分线，NOBC+ZOCB=g Q S C

43、+ZACB)=1xl60=80,二 Z5O,C=180-80=100.(2):BO?、C Q分别是N46 C 和 N 4 C 8 的四等分线，33ZO3BC+ZO3CB=-(ZABC+ZACB)=X160=1 20,Z593C=180O-120=60,（3）,:BO,7、C O31 分别是N/8C 和 N Z C 8 的等分线,.NO,3C +N0”(ZABC+ZACB x 160,nnn ABOnn,C=180-xl60=n20+160nN 8 2020。一20 x2021+160 Y _(40580V2021 J 2021 J15.（山西月考）综合与实践：阅读下面的材料，并解决问题.（1）

44、已知在A 4 3c中，Z/i =6 0 ,图 1,图 2,图 3中的A 4 8c的内角平分线或外角平分线都交于点O,请直接写出下列角的度数如图1,/。=；如图2,N0=；如图3,/。=；如图4,N ABC,N R CB的三等分线交于点Q,02,连接Q。2，则/以劣。=(2)如图5,点。是A4BC两条内角平分线的交点，求证：Z O =90 +-ZA.2(3)如图6,在A48 C中，N Z 3 C的三等分线分别与N/C8的 平 分 线 交 于 点,02,若N l =1 1 5 ,N 2 =1 3 5。，求乙4的度数.见解析.解：(1)平分N/8 C,CO平分乙1 C8,ZO BC=-N ABC,N

45、 O CB=-ZACB,2 2ZO BC+ZO CB=g(N 4 BC+N 4 CB)=；(1 8 0。N 8 ZC)=；(1 8 0。6 0。)=6 0。,Z O=1 8 0 -(Z0 5 C+N 0 C8)=1 2 0 .如图2,:台。平分N Z8 C,CO平分N/CD,：.ZO BC-ZABC,ZOCD=-ZACD.2 2NACD=N4BC+NA,：.ZOCD=g(ZABC+NZ)V ZOCD=ZOBC+NO,ZO=ZOCD-ZOBC-ZABC+-Z A-Z A B C-Z A 3 0 2 2 2 2如图 3,:BO平分/EBC,CO平分 N8C。，ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-/B

46、CD,22ZOBC+ZOCB=；(ZEBC+NBCD)=g(+N4CB+N8CZ)=；(/+180。)=120。,Z(9=180-(N08C+NOCB)=60.如图4,*：NABC,N/C8的三等分线交于点,O2,2 2NO,BC=-ZABC,NO,CB=-ZACB.2 3 2 3OB 平 分4 O&C,OtC 平分 ZO2CB,02a 平分 N802c,2 2 2ZO2BC+ZO2CB=-(NABC+ACB)=-8 0-ZBAC)=-(l80-60)=80,/BO2c=1 SQ-(ZO2BC+ZO2CB)=100,二 ZBO.O.=-4BO,C=50.2 1 2故 120；30；60；50.

47、(2)证明：，：OB 平分 NABC,平分 N/C 8,V ZOBC=-NABC,ZOCB=-ZACB,2 2/.ZO=180。-(N08C+ZOCB)=180-1(ZABC+ZACB)=90+|z j.(3)VZ(925O1=Z2-Z1=20O,NABC=3 N O g =60,NO、BC=OZBO,=20,Z5CO2=180o-200-135o=25,NACB=2ZBCO2=50,ZA=S00-ZABC-ZACB=10.16.（福建永安期末）（1）如 图1.在NBC中，ZB=60,N D 4 c和N/C E的角平分线交于点O,则40=NB)(1)试探究NE4。与NC、N3的关系；(2)若尸

48、是ZE上一动点，当尸移动到NE之间的位置时，J.B。，如图2所示，此时NEED与NC、4B的关系如何？(3)若尸是/上一动点，当尸继续移动到ZE的延长线上时，如图3,F D 1 B C,中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.AAA图 图 T 图见解析.解：(1)NEAD=L(N C N 8).理由如下：2 ZE 平分 N34C,1 NBAE=NCAE=-ABAC2V Z C=180-(N 8+N C)1：.ZE A C=-180-(N 8+N C)9：ADBCf：.ZJDC=90,ZDAC=80-A ADC-Z C=90-Z C,V ZEAD=ZEAC-ZDAC：.ZEAD=180-(N 8+N C)-(90-ZC)=；(N C-N 8).(2)ZEFD=-(N C/6).理由如下：2BEDO-C过力作ZG _L8 C于G由(1)可知N E/G(ZC-Zf i)2,/F D 1B D,AGLBC：.FD/AG，ZEAG=ZEFD：.ZEFD=-(ZC-ZS)2(3)ZAFD=-(N C-N B).理由如下:2过/作8 c于 由(1)可知NE4H=L(ZC-ZB)2,；FD 上 BD，AH IB CJ.FD/AH：.ZEAH=ZAFD：.ZAFD=-C ZC-ZB).2