函数压轴题型1利用奇偶性单调性解函数不等式问题.pdf

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1、题型1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题1.设函数f(x)=/n(14-1x|)+x2,则使得f(x)/(2工一1)成立的x 的取值范围是()A.(1)C.(-4(e f U。2)D.【解析】解：函数/(无)=例1+|%|)+%2,刃 R 么 y(-x)=/n(l+1 -x I)+(-x)2=ln(l+1%I)+x2=/(x)可知f(x)是偶函数，当x0,/(x)是递增函数，/(x)f(2x-l)成 立,等 价 于|x|2x-l|,解得：-X/(2x-l)成立的x 的取值范围是()A.(1,1)B.(-00,1)51，+)C.(-g,；)D.(-00,-g)k_ J(g,+o o)【解析】解

2、：/(x)是 R 上的偶函数，X.0时，/(x)=x-2oJ+2,./(*)在 0,+o o)上是增函数，由 /f(2x-1)得，/(|x|)/(|2x-l|),/J x|2x-11,:.x2 4 x2-4 x+1,解得3.X的取值范围是(g,l).故选：A.3.函数f(x)=l o g1(1+x?)-二,则使得f(x),J(2x-1)成立的x 取值范围是()3 1 -2 闺A.(-co,1 B.1 1)U(1,1 C.1,1【解析】解：/(x)是偶函数，且在(0,”)上单调递减；由 /(x)/(2x-1)得，/(|x|)/(|2x-l|);/Jx|.J2x-l|,且 1#0,2犬 一I w

3、O;/.X2.(2X-1)2,且 xw O,;2解得！麴k】，且3 2.x的取值范围是：3 2 2故选：B.174 .已知函数/(幻=2_ 4 3 一4 工+2/士,其 中 e 是自然对数的底,3ex4-00)若/(a-l)+/(2a2)0,则实数a 的取值范围是()A.(c o ,1 B.,+o o)C.(-4D.-1,【解析】由尸(x)=f-4 +2e +2 蹶 2 -4 +2,4 e .e =Y。，知/(x)在 R 上单调递增,且 f(-x)=-g V+2e-x-2e=-f(x),即函数 f(x)为奇函数,故/(a-l)+/(2a2)D/(a-1)f(-2a2)a-l-2a2 2a2+a

4、-l 0,解得一啜上2故选：。.5 .已知函数/(MV-si n x +e*-,其中e 是自然数对数的底数，若/(a-1)+2),0,则实数a 的取值范围是()A.一：,1 B.-1,；C.(-o o,-l J,+o o)D.(-o o,-|,l,+o o)【解析】解：由于/(x)=/一 s inx+e*-,则/(-x)=-x3+s in x+ex-ex=-7(x),故函数f(x)为奇函数.故原不等式/(C L 1)+f (2/),0,可转化为了(2)“一/(-1)=/(1一)，即/(2 a 2),J(l-a);又 f x)=3x2-cos x+ex+ex,由于e-2,故 f(x)=3x2 一

5、cosx+e*+e-*.J 恒成立，故函数f(x)单调递增，则由/(2/),J(l-a)可得，2a2,1-，即 2/+。-0,解得-1麴h2故选：B.6.已知函数/(%)=20201+log2020(7x2+1+x)-2020 x 4-2,则关于x 的不等式/(3x+l)+/(x)4 的解集为()A.(,+oo)B.(-oo,-)0.(0,+4 可得 g(3x+1)+g(x)0 即 g(3x+1)g(x)=g(-x),所以 3 x+l-x,解得，x -.4故选：A.7.已知函数f(x)=一+/(+1+/)+2,则关于X 的不等式/(3x+l)+/(x)4 的解集为()A.(,-Foo)B.(c

6、o,-)0.(-oo,0)D.(0,d-oo)【解析】解：根据题意，函数/(幻=-+加(+1 +外+2,其定义域为R；设 g(x)=/(x)-2 =ex-e-x+ln(lx2+1+x),有 g(-x)=ex-ex+ln(G +1 -x)=-ex-ex+ln(/x2+1+x)=-g(x),即函数 g(x)为奇函数，又由函数y=ex-ex和y=In x1+1+x)都是/?上的增函数，故g(x)为R 上的增函数；f(3x+1)+/(x)4=f(3x+l)-2 2-f(x)=f(3x+1)-2Hf(x)-2=g(3x+)-g(x)=g(3x+1)g(-x),则有 3x+l -x,解可得x ;4即X的取

7、值范围为(-,+00);4故选：A.8.已知函数 f(x)=2018A-2018x+log2()l8(Vx2+l+x)+2,则关于 x 的不等式/(3x+l)+f (x)4 的解集为()A.(,+oo)B.(-oo,-)C.(-co,0)D.(0,4-co)【解析】解:.f(x)=2018V-2018-v+log2018(Vx2+l+x)+2,令 g(x)=f(x)-2,g(-x)=-2018+2018T+log2018(Vx2+l-x)=-g(x),f(3x+l)+f(x)4,g(3x+1)+2+g(x)+2 4,g(3x+l)+g(x)0,g(3x+1)-g(x)=g(-x),g(x)=2

8、018*-2018,+log2018ax2 +1 +x)单调递增，3x+1 x,解可得，x -.4故选：A.9.偶函数y=/(x)满足下列条件X.0时，/(x)=d ;对 任 意,t+l,不等式f(x +r).8/(x)恒成立，则实数f的取值范围是()A.(-8,-力 B.a C.-2,-D.-,1【解析】解：根据条件得:/(|x +r|).8/(|x|):.-.(|x+r|)3.8(|x|)3；.-.(|x+r|)3.(2|x|)3；:x+t.2x;/.(X+/)2.4X2;整理得，3了2一2次一产,0在，+1上恒成立：设 g(x)=3x2-2tx-t2,g(t)=0;gQ +1)=3(r

9、+1)2-2t(t+1)-0；3解得J 一士;4实数/的取值范围为(V,4故选：A.1 0.已知函数 f(x)=2020A+ln(yjx2+1 +x)-2020-x+1 ,贝I 关于 x 的不等式/(2xl)+/(2x)v2 的解集为()A.(-，)B.(-c o,)C,(,4-o o)D.(,+o o)【解析】解：/(x)+f(-x)=2020v+ln(y/x2+1 +x)-2020+1 +202(T*+ln(ylx2+1 -x)-2020r+1/(y x+1+x)+x+1 x)+2=ln(/x2+1 +x)(V x2+1-x)+2=ln(x2+1-X2)+2=/川+2=2,则/(r)+/(

10、x)=2,则不等式 f(2x-1)+/(2x)2,等价于/(2x-1)+/(2x)/(-2x)+/(2x),即/(2x-l)/(-2x),f(x)在R上是增函数，2x-l -2x 得 4 x v 1,得 x L4即不等式的解集为(-8,1).故选：A.1 1.设函数/(x)=d)+一，则使得了(2 x-l)+/(l-2x)2/(x)成立的x 的取值范围是()2 l+|x|A.g,l)B.(-oo,；)U(L+oo)C.(H D.(,-)U(,+oo)【解析】解：函数f(x)=(i)+?,2 l+|x|由解析式可知，/(x)为偶函数且在 0,+8)上单调递减，则 /(2x-l)+/(l-2x)=

11、2/(2 x-1),.f(2 x-l)+f(l-2 x)2 f(x)2 f(2 x-l)2/(x)/(2x-1)/(%)/(|2x-l|)|x M 2X-1|2 3|X|2X?O X/或X1,2x 的范围为(-00,).33故选：B.1 2.已知定义域为R 的函数.f(x)在 2 ,+8)上单调递增，若/(x +2)是奇函数，则满足/(x +3)+f(2 xl)0 的x 范围为()2 2 2 2A.(co,)B.(,+oo)C.(co,)D.(,4-oo)【解析】解：/(x +2)是奇函数；./(X)关于点(2,0)对称;又.f(x)在 2,+oo)上单调递增；.(%)在 K 上单调递增;.由

12、 f a +3)+/(2 x l)0 得，/(X+3)-/(2X-1);/+3)v/(-(2 x 3)+2);.,./(x+3)x2 0在1引0,2时恒成立，显然不成立，排 除A、C、D,故选：B.14.已知a是方程x+/gx=4的根，b是方程x+10=4的根，函 数/是定义在R上的奇函数，且当X.0时，f(x)=x2+(a+b-4)x,若对任意,f+2 ,不等式/(x +f).2/(x)恒成立，则实数f的取值范围是()A.5/2,+00)B.2,+8)0.(0 f 2 D.x/o.,TUS，【解析】解：由程x+/gx=4得/gx=4-x ,由 x+10=4 得 10、=4-x,记/(x)=l

13、 g x,则其反函数 f-(x)=10,它们的图象关于直线y=x 轴对称，根据题意，a,b为f(Q,r lx)的图象与直线y=4-x交点A,3的横坐标，由于两交A,8点关于直线y=x对称，所以，8点的横坐标月就是A点的纵坐标，即A(a力)，将&。,人)代入直线y=4-x得，a+b-4,则当 x.0时，/(x)=x2+(a+b-4)x=x2,函数f(x)是定义在R上的奇函数，.,.若 x 0,贝b/(-*)=V =-/&),即/0)=-炉，x 则/(x)=x,x.O x2,x/2+1)/,即 2,后则 t.产=y/2,近故选：A.1 5.设函数/(x)=*T 二，则不等式/(x)/(2x+l)的

14、解集为()(x-1)-A.(1,0)B.(o o,-l)c.(-1,；)D.(-1,0)5 0,；)【解析】解：根据题意，函数f(X)=*T 二，设 g(x)=#-L其定义域为 X|XH 1,(x-1)厂又由g(-x)=*-=g(x)，即函数g(x)为偶函数，X1 2当 X (0,y)时，g(X)=ex 7，有 g(X)=/+F，为增函数，厂 g(x)的图象向右平移1 个单位得到/(X)的图象，所以函数/(%)关于X=1对称，在(-0,1)上单调递减，在(1,4 w)上单调递增.1由 /(%)f(2x+1),可得(2x+1 w 1 ,|x-l|(2x+l)-l|解可得：-l x 与，有 一/!

15、?0,则不等式-2颗(x-1)2天一电的解集为()A.0,2J B.0,1 J 0.-1,1 D.-1,0【解析】解：对任意有0,用一工2.J(x)在R上单调递增，又/(x)是R上的奇函数，f(1)=2,所以/(-1)=-2,则由不等式2颁(x 1)2可得/(I)期(x 1)f(1),所以一啜-1 1,解可得，怎!k 2.故选：A.1 9.已知/(x)是定义在(一2 +1)上的偶函数，且 在(-2，0上为增函数，则/(x-l),J(2 x)的解集为()2 1 1 1A.B.(-1,-C.D.-,1【解析】解：根据题意，由于函数y=/(x)是定义在(-2 A+1)上的偶函数，则定义域关于原点对称

16、，则有(一2力+6+1=0,解可得6=1,所以，函数y=/(x)的定义域为(-2,2),由于函数y=/(x)在区间(-2,0上单调递增，则该函数在区间0,2)上单调递减，由于函数y=f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|),x-l.2x由f(x-n j(2 x),可 得 用x-l|),J(|2 x|),-2 x-l 2,-2 2x2解可得：T 0,H(x)0,1-x 1-x1 一 Yy=xlg-=-?(x)”(x)在(0,1)上递减，1 +xg(x)在(0,1)上递减，./(%)的定义域为(一3,-1),关于x=-2对称，并且在(-2,-1)上递减,不等式/(2 x 等价于v-3 2 x-l

17、-l3,解得一 1用，一二或 x 0.|2 x-l+2|.-1+2 4 4故选：D.2 1.已知函数f(x)=+x 二_/上W,其中e是自然对数的底数.若f (a-1)+/(2/),0,则实ex 1 +x数a的取值范围是fTX 9 Y pX 1 1 X【解析】解：由已知得：f(x)=历的定义域为(一1,1),ex +xf-x)=,f(x)=eA 4-x3-2x-In,八ex 1 +x故函数是奇函数，且增函数,/(a-l)+/(22)0,(2/)/(一).-1 2a2 1 1 a 0/(a l),则 实 数a的取值范围为【解析】解：函 数 为 自 然 对 数 的 底 数),.1/(-%)=/(x

18、)=/(|x|),且在(0,w)单调递增，f(3a-2)f(a-l),:1 3a-2a-,即 8/-10a+30,i3实数a的取值范围为a 0时，的解为：x,-,4对任意xe2r+l,2r+3 ,式恒成立，则需工.2 +3,4解得;(2)当r 0时，的解为x工，4对任意xe2r+l,2/+3 1,式恒成立，则需%,2f+l,44解 得 二,0；7(3)当，=0时，式恒成立；4综上所述，-上麴)o.74故答案为：0J.724.已 知/(x)=x|x|,若 对 任 意x w a-2,。+2,/(x +a)v 2/(x)恒 成 立，则 实 数。的取值范围是-x/2为 2 Y 0【解析】解：/(x)=

19、x|x|=A,-x,x 0可得x)在0,+00)递增，在(-8,0递增，且/(0)=0,则/(x)在 R 上递增，由 f(x +a)2/(x)可得 f(x +a)f (&)f(x)=，(亚x),则 x+a 在 xea 2,a+2恒成立，即有。(0-l)x 在x e 4-2 ,a+2的最小值，可得”(应-1)(-2),解得a -夜,故答案为：a -j2.25.设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当X.0时，f(x)=x2,则2x)-0；若对任意的4+1 ,不等式/(x +a).2/(x)恒成立，则实数a 的 取 值 范 围 是.【解析】解：,/(x)是奇函数，X.0时，/(x)=x2,.当 x0 时，f(x)=-x2.当 x.0 时，2/(x)-f(y2x)=2x2-2 x2=0,当 x 0 时，2/(x)-/(A/2X)=-2x2-(-2 x2)=0.-.2/(x)-/(V2x)=0.2/(x)=f (丘x),r./(x +a).2/(x)恒成立=/(x +a)./(&x)恒成立./(x)是增函数，:.x+a.2xa,a+l 上恒成立.l)x,xea f 2 a+,号?得a.r-2故答案为：0,+)26.已知函数/(%)=(X2+-y2-则，则不等式/(X -1)|2x _ l|,解可得0 x ,即不等式的解集为(0,|)故答案为：(0,1).