初中中考总复习数学《特殊三角形》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

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1、中考总复习：全等三角形一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知等腰三角形的一个内角为4 0 ,则这个等腰三角形的顶角为（）A.40 B,100 c.40 或 100 D.70 或5/2.如图，在A A B C 中，A B=A C,/A=36,BD、CE 分别是A BC、A B C D 的角平分线，则图中的等腰三角 形 有（）A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个3.如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A.1：2：4 B.1：3：5 C.3：4：7 D.5：12：134.下列条件能确定A A B C 是直角三角形的条件有（）（1）Z A+Z B=Z C；（2）

2、ZA:ZB:ZC=1:2:3；（3）ZA=9 0-Z B；（4）Z A=Z B=A ZC.2A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.已知：A A B C 中，A B=A C=x,BC=6,则腰长X的取值范围是（）A.0 x 3 C.3 x 66.（2015泰安）如图，A D是A A B C 的角平分线，DE A C,垂足为E,BF A C交 E D的延长线于点F,若BC恰好平分/A BF,A E=2BF.给出下列四个结论：DE=DF；DB=DC；A D_ L BC；A C=3BF,其中正确的结论共有（）7 .如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则/1+/2=度 8

3、.如图，谡（7和AD C E都是边长为2 的等边三角形，点A C,E在同一条直线上，连接3 D，则8 Z）的长为9 .如图，在等腰 R t ZA BC 中，NC=9 0,A C=BC,A D 平分/BA C 交 BC 于 D,DE _ L A B 于 D,若 A B=10,则BDE 的周长等于.10.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45 ,则 这 个 三 角 形 的 顶 角 等 于.11.（2015 春邺城县期中）如图，A B=A C=A D=4c m,DB=DC,若 NA BC 为 60 度，则 BE 为,ZA BD=12.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为1 5 和 6

4、两部分，则腰长与底边的长分别为.三、解答题13.如图 14-59,点 0 为等边 A A BC 内一点，ZA O B=110,ZB0C=135,试问：（1）以 0A、O B、0C为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果N A 0 B 大小保持不变，那么当N B 0 C 等于多少度时，以 0A、O B、0C为功的三角形是一个直角三角形？14.（2015秋淮安期中）如图，在A BC中，BA=BC,D 在边CB上，且 DB=DA=A C.（1）如图 1,填空NB=,NC=；（2）若 M为线段BC上的点，过 M作直线M H L A D于 H,分别交直线A

5、B、A C与点N、E,如图2求证：4 A N E 是等腰三角形；试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明.1 5.已知：如图，A F 平分/BA C,B C 1 A F,垂足为E,点 D 与点A关于点E 对称，P B分别与线段CF,A F 相交于P,M.1）求证：A B=CD；2）若N B A C=2/M P C,请你判断N F与N M C D 的数量关系，并说明理由.16.（1）如 图 14-63,下列每个图形都是由若干个边长为1 的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别 为 1,2,3,，设边长为n的等边三角形由s 个小等边三角形组成，按此规律推断s与 n有怎样的关系;(2

6、)现有一个等角六边形A BCDE F (六个内角都相等的六边形，如 图 14-64),它的四条边长分别是2、5、3、1,求这个等角六边形的周长；(3)(2)中的等角六边形能否用(1)中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】提示：分类讨论.2.【答案】A3.【答案】D.【解析】常见的一些勾股数如：3、4、5；5、1 2、1 3；7、2 4、2 5 及倍数等，应熟练掌握.D中设三边的比中每一份为k,则(5 1 )2+(1 2 1 )2=(1 3 1 )2,所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D.4 .【

7、答案】D.【解析】三角形中有一个角是9 0 ,就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得A A B C 中N C =9 0。.故选D.5 .【答案】B.6 .【答案】A.【解析】V BF/7 AC,A Z C=Z C BF,；BC 平分NABF,/ABC=NC BF,A Z C=Z ABC,；.AB=AC,；AD 是ABC 的角平分线，；.BD=C D,AD BC,故正确，在A C D E 与D BF 中，Z C=Z C BF C D=BD ，Z E D C=Z BD F.C D E AD BF,；.D E=D F,C E=BF,故正确；AE=2 BF,.AC=3 BF,故正确.故选 A.二、填

8、空题7 .【答案】2 7 0 .【解析】提示：根据邻补角的性质可得.8 .【答案】2 万【解析】DA作 D F J _BE,：BC=C D,.,.Nl=3 0 ,又：Z k D C E 为 2 的等边三角形.D F=G，即 BD=2 相9 .【答案】1 0.1 0 .【答案】9 0 .1 1 .【答案】2 cm;7 5【解析】：AB=AC,/A B C 为 6 0 度，.二 ABC 为等边三角形.在A A B D 和4 A C D 中，AB=AC AD=AD，BD=CD/.ABD AAC D,NBAD=NC AD,.AE 是 BC 边的中垂线，BE=2 BC=2 cm；2故答案是：2 cm；：

9、AB=AD (己知)，.Z ABD=Z AD B(等边对等角)，Z.Z ABD=1 (1 8 0 -Z BAD)=1(1 8 0 -3 0 )=7 5 .2 2故答案是：7 5 .1 2 .【答案】腰 为 1 0,底边长为1.【解析】提示：注意此类题型要分类讨论，最终结果要进行验证.三、解答题1 3 .【答案与解析】(1)将a A B O 绕 A 点旋转6 0 度，使 B 与 C重合，0点转动后的点为0,因为AO=AO,Z A0 0,=6 0 ,所以AO O 是等边三角形。所以0 0=0 A.转动后OC=OB,所以00C其实就是以OA、OB、0C为边组成的三角形，ZC00=360-ZA0B-Z

10、B0C-Z0 0A=360-110-135-60=55,ZC 00=NA0 C-ZO 0，A=ZA0B-Z0 0 A=110-60=50,Z0 C0=180-ZC00-ZC 0 0=180-55-50=75.(2)从上面的角度计算我们可以看出来，当NB0C可变时，ZC 0 0 依旧为定值50.若三角形为直角三角形，则/C 00=90或/O 0)=90.若使/C 0 0=90,则 360-ZAOB-ZBOC-ZO 0A=90,可解出 NB0C=100.若使N0C0=90,则NC00=40,可解出 NB0C=150.14.【答案与解析】解：;BA=BC,Z BCA=N BAC,DA=DB,Z BA

11、D=Z B,AD=AC,Z ADC=N C=N BAC=2N B,Z DAC=Z B,Z DAC+Z ADC+Z C=180,2z B+2Z B+Z B=180,Z B=36,Z C=2Z B=72。，故答案为：36；72；(2)在 ADB 中，DB=DA,N B=36,Z BAD=36,在AACD 中，,；AD=AC,Z ACD=Z ADC=72,Z CAD=36,Z BAD=Z CAD=36,MHAD,Z AHN=Z AHE=90,Z AEN=Z ANE=54,即 ANE是等腰三角形；CD=BN+CE.证明：由 知 AN=AE,又；BA=BC,DB=AC,BN=AB-AN=BC-AE,CE

12、=AE-AC=AE-BD,BN+CE=BC-BD=CD,即 CD=BN+CE.15.【答案与解析】(1)证明：AF平分NBAC,/CAD=ZDAB=1 ZBAC.2.)与 A关于E对称，.E为 AD中点.V B C1A D,.B C为AD的中垂线，A A C=CD.在RtZACE和RtZABE中ZCA D+ZA CE=ZD AB+ZABE=90,Z C A D=ZDAB.A Z A C E=Z A B E,AC=AB.AB=CD.(2)V Z B A C=2 Z M P C,又/BAC=2NCAD,A Z M P C=Z C A D.V A C=CD,A Z C A D=Z C D A,A Z

13、 M P C=Z C D A.NMPF=NCDM.V A C=A B,AEBC,A C E=B E.AM为B C的中垂线，VEM 1BC,A EM 平分/CMB,A ZC M E=Z B M E.V ZB M E=ZPM F,A ZPM F=ZCM E,ZM CD=N F (三角形内角和).16.【答案与解析】s二r?1 9.提示：延长FA、C B交于点P,延长AF、DE交于点Q,延长ED、B C交于点R,可证A PAB、QEF、RCD、APQR为等边三角形.ADC=CR=DR=3,AB=BP=AP=2,BP PR=3+2+5=10=QR=QP,AEF=6,FA=2,周长=1+3+5+2+2+

14、6=19 能,S=1 0 -22-3 -62=5 1 .中考总复习：全等三角形一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.已知等边a A B C的边长为a,则它的面积是（）A.a25.（2 0 1 2 镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1 个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六 边 形（如图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A，xg）5 a B.gxg）5 a C.-x（）5 6a D.g

15、x（%x6.（2 0 1 4 本溪校级二模）如图，过边长为1 的等边A A B C 的边AB上一点P,作 PE LAC 于 E,Q 为 BC延长线上一点，当 PA=C Q时，连 PQ交 AC 边于D,则 D E 的 长 为（）B.走a?C.22 4D,走a?422 .在四边形ABC D 中，对角线AC 与 BD 相交于点E,若 AC 平分/D AB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论中：（1）AC 1 BD；（2）BC=D E；（3）Z D BC=-Z D AB；（4）4 ABE 是正三角形，其中正确的是（）2A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（3）和（4）D.（1）和（4）3

16、.如图，等腰三角形ABC 中，Z BAC=9 0 ,在底边BC 上截取B D=A B,过 D 作 D E _L B C 交 A C 于 E,连接A D,则图中等腰三角形的个数是（）A.1 B.2 c.3 D.44 .如图，三角形纸片A B C 中，Z B=2 Z C,把三角形纸片沿直线A D 折叠，点 B落在A C 边上的E处，那么下列等式成立的是（）A.A C=A D+B D B.A C=A B+B D C.A C=A D+C D D.A C=A B+C DD.不能确定二、填空题7.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在 AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形C D E,AD与

17、BE交于点O,AD与 BC交于点P,BE与 CD交于点Q,连结P Q.P以下五个结论：A D=B E；(2)P Q A E；A P=B Q；D E=D P；Z A O B=6 0 .恒 成 立 的 有(把 你 认 为 正 确 的 序 号 都 填 上).8 .(2 0 1 5 鄂尔多斯)如图，Z X A B C 中，Z C=9 0 ,C A=C B,点 M 在线段 A B 上，Z GM B=l zA,B GM G,垂2足为G,M G与 B C 相交于点H.若 M H=8 c m,则 BG=cm.2尺9 .若直角三角形两直角边的和为3,斜边上的高 为 胃，则斜边的长为.1 0 .如图，已知正方形A

18、BCD的边长为2,ABPC是等边三角形，则4CDP的面积是:A B P D的面积是.1 1 .如图，P是正三角形ABC内的一点，且 P A=6,P B=8,P C=1 O.若将APAC绕点A逆时针旋转后,得到A P A B ,则点P与点P之间的距离为,Z A P B=.1 2.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2 个等腰直角三角形A B A”再以等腰直角三角形A B A i的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形AIB BI,，如此作下去，若 O A=O B=1,则 第 n个等腰直角三角形的面积S=.三、解答题1 3.已知：在A A B C 中，N A B C=9 0 ,点 E 在直线A

19、 B 上，E D 与直线A C 垂直，垂足为D,且点M为 E C 中点，连接B M,D M.(1)如 图 1,若点E在线段A B 上，探究线段B M 与 D M 及/B M D 与/B C D 所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2,若点E 在 B A 延长线上，你 在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E 在 A B 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段B M 与 D M 及/B M D 与/B C D 所满足的数量关系.1 4 .如 图 1,在正方形A 3 C D 中，点分别在边上交于点O,/A O F=9 0 .如 图 2,在

20、正方形A B C D中，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,N F O H=9 6：E F=4.求G 4的长.已 知 点 分 别 在 矩 形 四 制 的 边 仍 加 上，班 6 7/交 于 点 N尸组=9 0 ,E F=4.直接写出下列两题的答案：如图3,矩形A B C O 由2个全等的正方形组成，求G H的长；如图4,矩形A B C D由个全等的正方形组成，求G H的长（用n的代数式表示）.1 5 .如图1,在正方形ABCD中，M 是 BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是 BC延长线上一点,N是N D C P的平分线上一点.若N A M N=9 0 ,求

21、证：A M=M N.下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明.证明：在边A B上截取A E=M C,连ME.正方形A B C D中，Z B=Z B C D=9 0 ,A B=B C.,.Z N M C=1 8 0 Z A M N Z A M B=1 8 0 Z B Z A M B=Z M A B=Z M A E.（下面请你完成余下的证明过程）若将中的“正方形A B C D”改 为“正三角形A B C”（如图2）,N是/A C P的平分线上一点，则当N A M N=6 0 时，结论A M=M N是否还成立？请说明理由.若将中的“正方形A B C D”改 为“正岸边形

22、A B C D X，请你做出猜想：当NAMN=时，结论A M=M N仍然成立.（直接写出答案，不需要证明）16.（2015秋江阴市期中）如图，Z i AB C中，/C=R t N,AB=5c m,B C=3c m,若动点P从点C开始，按C-A-B-C的路径运动，且速度为每秒1c m,设出发的时间为t秒.（1）出发2秒后，求aAB P的周长.（2）问t为何值时，B C P为等腰三角形？（3）另有一点Q,从点C开始，按C-B-A-C的路径运动，且速度为每秒2c m,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线P Q把AAB C的周长分成相等的两部分？R【答

23、案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做.(1)AB=AE,所以a A B E 是等腰的，等腰三角形底角N A E B 不可能9 0 ,所以A C X B D 不成立.排除 A,D；(2).(：平分N D AB,AB=AE,AC=AD.A AD AE AC AB,；.B C=D E 成立,排除 C.3.【答案】D.【解析】三角形AB C 是等腰三角形，且N B AC=9 0,所以N B=/C=45,又 D E _ L B C,所以/D E C=N C=45 ,所以A E D C 是等腰三角形，B D=AB,所以A A B D 是等腰三角形，Z B AD=Z

24、B D A,而N E AD=9 0 -Z B AD,Z E D A=9 0-Z B D A,所以N E AD=N E D A,所以4 E A D 是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4 个.4.【答案】B.【解析】根据题意证得AB=AE,B D=D E,D E=E C.据此可以对以下选项进行一一判 定.选 B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】过 P作 P F B C 交 AC 于 F.：P F B C,Z AB C 是等边三角形，A Z P F D=Z QC D,Z AP F 是等边三角形，；.AP=P F=AF,V P E 1AC,；.AE=E F,V AP=P F,AP=C Q,，P

25、 F=C Q.在4P F D 和QC D 中，rZPFD=ZQCD ZPDF=ZQCD.,PF=CQ.,.P F D AQC D (AAS),；.F D=C D,V AE=E F,；.E F+F D=AE+C D,/.AE+CD=DE=2AC,2V AC=1,.D E=1.2故选：B.二、填空题7.【答案】.【解析】提示：证4 A CD名B C E,A A C P A B C Q.8.【答案】4.【解析】如图，作 M D L B C 于 D,延长D E 交 B G 的延长线于E,.,AB C 中,Z C=9 0,C A=C B,A Z AB C=Z A=45,Z G M B=1Z A,2/.Z

26、 G M B=1Z A=22.5 ,2V B G M G,A Z B G M=9 0,/.Z G B M=9 0-22.5 =67.5,Z G B I I=Z E B M -Z AB C=22.5 .V M D/7AC,A Z B M D=Z A=45,.B D M 为等腰直角三角形，B D=D M,而 N G B H=22.5,；.G M 平分/B M D,而 B G _ L M G,；.B G=E G,B|J BG=1BE,2Z M H D+Z H M D=Z E+Z H M D=9 0 ,:.N M H D=N E,Z G B D=9 0-Z E,Z I I M D=9 0-Z E,:.

27、N G B D=N H M D,在aB E D 和M H D 中，rZE=ZMHD 2 _ 3-2 4,所以 BP=2PD=3.6cm,所以P 运动的路程为9-3.6=5.4cm,则用的时间为5.4s,A BCP为等腰三角形；i i i)如图5,若 BP=C P,此时P 应该为斜边A B的中点，P 运动的路程为4+2.5=6.5cm则所用的时间为6.5s,BCP为等腰三角形；综上所述，当 t 为 3s、5.4s、6s、6.5s时，BCP为等腰三角形(3)如图6,当 P 点在AC上，Q 在 AB上，则 PC=t,BQ=2t-3,V 直线PQ把 ABC的周长分成相等的两部分，t+2t-3=3,t=

28、2；如图7,当 P 点在AB上，Q 在 AC上，贝 ijAP=t-4,AQ=2t-8,直线PQ把 ABC的周长分成相等的两部分，t-4+2t-8=6,t=6,当t 为 2 或 6 秒时，直线PQ把4 ABC的周长分成相等的两部分.图6图7中考总复习：特殊三角形一知识讲解(基础)责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题.【

29、知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为6 0 的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三

30、角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，3 0 锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a b J c?,那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直

31、角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形C 1.如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()A.顶角的2 倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图，A A B C 中，A B=A C,B DL A C 于 D,所以/A B C=/C,Z B DC=9 0 ,所以/DB C=9 0 ZC=9 0 -(18 0-Z A)=-Z A,2 2【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形，可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律,等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三：【变式】如图，在a A B C 中，A

32、 B=A C,Z A=3 6 ,B D、C E 分别是A B C、A B C D 的角平分线，则图中的等腰三角形有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2 个【答案】A.C2.(20 15 秋南通校级月考)如图，在a A B C 中，A B=A C,D、E是A B C 内两点，A D平分/B A C,Z E B C=Z E=6 0 ,若 B E=3 0 c m,DE=2c m,则 BC=cm.【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出B E=3 0,DE=2,进而得出 BEM为等边三角形,E F D 为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.【答案】3 2;【解析】解：延长ED交 B

33、C于 M,延长AD交 BC于 N,作 DFII BC,AB=AC,AD 平分NBAC,ANBC,BN=CN,Z EBC=Z E=60,BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=30,DE=2,DM=28,BEM为等边三角形，/.Z EMB=60,ANBC,Z DNM=90,/.Z NDM=30,NM=14,/.BN=16,/.BC=2BN=32,故答案为32.【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键.类型二、直角三角形C 3.将一张矩形纸 片 用 8如图所示折叠，使顶点C落在C*点.已知为3=2,Z Z)C*=3 0*,则折痕。E的长为(

34、)A.2 B.2 后 c.4 D,1【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，3 0 角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，Z C E D=Z C(E D=3 0 ,因为在矩形A B C D中，/C等于9 0 ,C D=A B=2,所以在R t A DC E 中，DE=2C D=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边A C=4 c m,B C=8 c m,将A B C 折叠，点 B与 点 A重合,折痕为D E

35、,则 DE 的长为().A.2 7 5 B.7 5 C.正 D.5【答案】B.解析：由折叠可知，A D=B D,DE A B,；.B E=A B2设 B D 为 x,则 C D=8-x；N C=9 0 ，A C=4,B C=8,A C2+B C2=A B2.A B2=42+82=8 0,/.A B=4 J 5,/.B E=2j 5在 R t Z X A C D 中，A +C D A D2,.*.42+(8-x)2=x 解得 x=5在 R t z B DE 中，B E2+DE2=B D2,即(以/F+D EW.DE=J,故选 B.4.已知：在直角A B C 中，Z C=9 0 ,B D平分/A

36、B C 且交A C 于 D.(1)若N B A C=3 0 ,求证：A D=B D；(2)若 A P 平分N B A C 且交B D于 P,求N B P A 的度数.图 1 图 2【思路点拨】(D 利用直角三角形两锐角互余，求得N A B D=/A=3 0 ,得出A D=B D.(2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】(1)证明：V Z B A C=30,Z C=90,?.Z A B C=60又:B D 平分/A B C,/.Z A B D=30,/./B A C =/A B D,；.B D=A D；(2)解法一：V Z C=90,.N B A C+N A B

37、C=90.ZBAC+ZABC 心 -=452/B D 平分N A B C,A P 平分N B A CZ B A P=ZBACZ A B P=ZABC22即 N B A P+N A B P=45A Z A P B=1800-45 =135解法二：V Z C=90o,.,.Z B A C+Z A B C=90.ZBAC+ZABC-=452；B D 平分N A B C,A P 平分N B A CZ D B C=ZABC，/P A C=ZBAC22.Z D B C+Z P A D=45.*.Z A P B=Z P D A+Z P A D =Z D B C+Z C+Z P A D=Z D B C+Z P

38、 A D+Z C=450+90 =135.【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系.类型三、综合运用e 5.已知A B C 的两边A B、A C 的长是关于x的一元二次方程x2-(2 k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边 B C 的长为5.(l)k 为何值时，A B C 是以B C 为斜边的直角三角形？(2)k为何值时，A B C 是等腰三角形？并求出 A B C 的周长。【思路点拨】A A B C 的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.【答案与解析】(D A B、A

39、 C A B、A C 的长是关于x的一元二次方程x2-(2 k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，A B+A C=2 k+3,A B XA C=k2+3k+2又A B C 是以B C 为斜边的直角三角形，B C=5二 AB+AC2=BC2：.(AB+AC)2-2AB AC=2 5即(2 左 +3)2-2 6 2 +3%+2)=2 5ky=5 或2 2 =2当 k=-5时，方程为/+7%+1 2 =0解得玉=-3,4 =T (不合题意，舍去)当 k=2 时，方 程 为/一 7%+12 =0解得 X =3,z=4/.当 k=2 时，A A B C 是以B C 为斜边的直角三角形.当 A B

40、C 是等腰三角形时，则有A B=A C,A B=B C,A B=B C 三种情况:=(2A+3)2-4(/+3Z+2)=10.ABWAC,故第一种情况不成立；当 AB=BC 或 AC=BC 时，5 是方程 x-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的根k、-3或 匕=4当 k=3 时，x2 9 x+2 0 0,玉二 5,X?4 等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；当 k=4 时，X2-11X+30=0,X=5,%2=6所以等腰三角形的边长是5,5,6,周长是16.【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、。且=。，若

41、关于x的一元二次方程ax2-&bx+c=0的两根之差为0,则等腰三角形的一个底角是().A.15 B.30 C.45 D.60【答案】B.6.(2015 春威海期末)如图，AABC 中，ZBAC=90,AB=AC,AD 1 B C,垂足是 D,AE 平分/BAD,交BC于点E,E H A B,垂足是H.在AB上取一点M,使BM=2DE,连接M E.求证：MEBC.【思路点拨】根据E H A B于H,得到 B EH是等腰直角三角形，然后求出H E=B H,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得D E=H E,然后求出H E=H M,从而得到 H EM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性

42、质求解即可.【答案与解析】解：；NBAC=90。，AB=AC,Z B=Z C=45,EH A B 于 H,.B EH是等腰直角三角形，HE=BH,Z BEH=45,A D B C,DE=HE,DE=BH=HE,BM=2DE,H E=H M,A HEM是等腰直角三角形，Z M E H=45,Z B E M=45+45=90,M E _ L B C.【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键.【高清课堂：等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 例 6】【变式】如图，在A B C 中，A C=B C,Z A

43、C B=90,A E 平分N B A C 交 B C 于 E,B D _ L A E 于 D,D M A C交 A C 的延长线于M,连接C D,给出四个结论:/A D C=45；B D=A E；A C+C E=A B；A B-B C=2 M C；2其中正确的结论有（）A.l 个 B.2 个 C.3个 D.4个【答案】D.中考总复习：特殊三角形一知识讲解(提高)责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定.2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质

44、和判定解决简单问题.3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形L等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60.要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为6 0 的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：

45、(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2.性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，3 0 锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a+b c,那么这个三角形是直角三角形;(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：(1)直角三角形中，耽=L c h=L

46、ab,其中a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；2 2(2)圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形.3.判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形1.(2014秋自贡期末)如图，点 O 是等边 ABC内一点，Z AOB=HO,Z B O C=a.以OC为一边作等边三角形O C D,连接AC、AD.(1)当 a=150。时，试判断AAOD的形状，并说明理由；(2)探究：当

47、 a 为多少度时，AAOD是等腰三角形？【思路点拨】(1)首先根据己知条件可以证明ABOC2A A D C,然后利用全等三角形的性质可以求出Z ADO的度数，由此即可判定 AOD的形状；(2)利 用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.【答案与解析】解：(1)OCD是等边三角形，OC=CD,而 ABC是等边三角形，BC=ACZ ACB=Z OCD=60,Z BCO=Z ACD,在 BOCJ5A ADC 中，fOC=CD,:ZBCO=ZA CD.BC=AC B O S A ADC,Z BOC=Z ADC,而N BOC=a=150,Z ODC=60,Z ADO=150-60=90,ADO是直

48、角三角形；(2).设N CBO=N CAD=a,Z ABO=b,Z BAO=c,N CAO=d,则 a+b=60,b+c=18O-110=70,c+d=60,a+d=50Z DAO=50,b-d=10,(60-a)-d=10,a+d=50,即 N CAO=50,要使 AO=AD,需NAOD=NADO,/.190-a=a-60,a=125；要使 OA=OD,Wz OAD=Z ADO,/.a-60=50,a=l 10；要使 O D=A D,需ZOAD=NAOD,190-a=50,a=140.所以当a 为 110。、125。、140。时，三角形AOD是等腰三角形.【总结升华】此题主要考查了等边三角形

49、的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识,根据旋转前后图形不变是解决问题的关犍.举一反三：【变式】把腰长为1 的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个 小 三 角 形 的 周 长 是.3 答案2+立.22.已知：如图，菱形A B C D 中，E、卜 分别是C B、C D 上的点，B E=D F.求证:A E=A F.(2)若 A E 垂直平分B C,A F 垂直平分C D,求证：4 A E F 为等边三角形.【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)V 四边形 A B C D 是菱形，.A B=A D,Z B=Z D ,又BE=DF,名”)F .AE=AF.连 接A C,AE

50、垂直平分BC,AF垂直平分CD,.AB=AC=AD,；AB=BC=CD=DA,/.ABC和AACD都是等边三角形.,-Z C 4 =Z A 4 =3 0,，Z.CAF-ZHAF-3(r-*-Z E A F =N C A E +N C A F =6 0*又；AE=AF 郎 是 等边三角形.【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例4】【变式】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE.求证：CE=DE.V /|Z S b 答案】延长BD到F,使D F=B C,连接EF,等边ABC,